专题03 解直角三角形的应用之仰俯角与方位角问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

专题03 解直角三角形的应用之仰俯角与方位角问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、坡度坡比问题 类型三、坡度坡比与仰角俯角综合问题 类型四、方向角问题 压轴专练 类型一、仰角俯角问题 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 - 从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 - 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 - 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 - 找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 - 这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中已知元素和未知元素的关系。 - 选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） - 列出关系式并求解 例1．（2025·陕西·模拟预测）外国朋友搭乘的飞机即将飞越长白山脉，如图，飞机在空中处看到长白山脉的主峰“白云峰”，此时飞行高度为，从飞机上看“白云峰”峰顶的俯角为，看山底的俯角为，试求出“白云峰”的高度．（参考数据：，，，，，）（已知，） 【变式1-1】（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【变式1-2】（2025九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【变式1-3】（2025·浙江杭州·一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 类型二、坡度坡比问题 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度l的比。 - 公式是i = h / l  - 有时也写成1:m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 - 坡度也等于坡角α的正切值，即i = tanα  2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 - 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 - 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 - 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 - 求出未知的边长或角度 例2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比是，背水坡的坡比是，大坝高米，大坝顶宽米． (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长． 【变式2-1】（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【变式2-2】（2025·广西贵港·一模）随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 类型三、坡度坡比与仰角俯角综合问题 1.画示意图，构建模型：这是最关键的一步。 - 根据题意画出直角三角形 - 标出仰角、俯角或坡度 - 把已知边长和要求的边长标在图上 2.明确边角关系：在构建好的直角三角形中，确定已知角和已知边。 - 判断已知边是这个角的对边、邻边还是斜边 - 坡度i是垂直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值 3.选用公式，计算求解：根据第二步的判断，选择正确的三角函数公式。 - 通常用正切来解决这两类问题 - 列出关系式并求解 例3．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 【变式3-1】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 类型四、方向角问题 1. 理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 - 例如"北偏东30°"，是从正北向东转30° - "南偏西45°"，是从正南向西转45° - 没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2. 画方位图：这是最核心的一步。 - 以观测点为原点，画出十字坐标系 - 标出正北、正南、正东、正西四个方向 - 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3. 解三角形：确定三角形的已知条件。 - 利用三角形内角和等知识求出未知角 - 结合三角函数或勾股定理计算边长 例4．（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【变式4-2】（2025·重庆·模拟预测）如图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，， (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去景区游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）． (1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号） (2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？ 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 3．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 二、填空题 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 8．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 9．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 10．（2025·河南郑州·三模）开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋（如图①）的高度，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 12．（2025·甘肃张掖·三模）如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 13．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 15．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形的应用之仰俯角与方位角问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、坡度坡比问题 类型三、坡度坡比与仰角俯角综合问题 类型四、方向角问题 压轴专练 类型一、仰角俯角问题 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 - 从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 - 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 - 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 - 找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 - 这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中已知元素和未知元素的关系。 - 选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） - 列出关系式并求解 例1．（2025·陕西·模拟预测）外国朋友搭乘的飞机即将飞越长白山脉，如图，飞机在空中处看到长白山脉的主峰“白云峰”，此时飞行高度为，从飞机上看“白云峰”峰顶的俯角为，看山底的俯角为，试求出“白云峰”的高度．（参考数据：，，，，，）（已知，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，延长交直线于点，可知，根据可以求出，根据可以求出，利用即可求出“白云峰”的高度． 【详解】解：如下图所示，延长交直线于点， 则， 飞机的飞行高度为， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：“白云峰”的高度为． 【变式1-1】（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)20m (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点， ， ； （2）解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 【变式1-2】（2025九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 【变式1-3】（2025·浙江杭州·一模）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】 本题考查了仰角俯角问题、三角函数的应用、全等三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题； （3）过点作于点G，交于点F，证明≌，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点， 则， ∴； 故答案为：75；60； （2） 解：由题意可得米，米， 在中，， ， 解得：米， ∴米； 答：楼的高度为米； （3） 解：过点作于点G，交于点F，则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在和中， ， ∴≌， ∴米， ∴米； 答：此时无人机距离地面的高度为110米． 类型二、坡度坡比问题 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度l的比。 - 公式是i = h / l  - 有时也写成1:m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 - 坡度也等于坡角α的正切值，即i = tanα  2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 - 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 - 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 - 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 - 求出未知的边长或角度 例2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比是，背水坡的坡比是，大坝高米，大坝顶宽米． (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长． 【答案】(1)3040平方米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵迎水坡的坡比是， ∴， ∵米，∴米， 由题意可知：四边形DEFC为矩形， 米，米， ∵背水坡的坡比是， ∴米， ∴（米）， ∴大坝横截面的面积为：（平方米）； （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 大坝横截面的周长 米． 【变式2-1】（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 【变式2-2】（2025·广西贵港·一模）随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解题的关键是支行我相关知识． （1）根据斜坡的坡度为，得到，根据，即可求解； （2）再根据斜坡的坡度为，设，，根据勾股定理列方程求出，计算即可． 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 斜坡米， （米）； （2）斜坡的坡度为，即， 设，， 斜坡米，， ， 解得：， 即米， 由（1）得米， 米． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点间的水平距离长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； （2）解：由（1）可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 类型三、坡度坡比与仰角俯角综合问题 1.画示意图，构建模型：这是最关键的一步。 - 根据题意画出直角三角形 - 标出仰角、俯角或坡度 - 把已知边长和要求的边长标在图上 2.明确边角关系：在构建好的直角三角形中，确定已知角和已知边。 - 判断已知边是这个角的对边、邻边还是斜边 - 坡度i是垂直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值 3.选用公式，计算求解：根据第二步的判断，选择正确的三角函数公式。 - 通常用正切来解决这两类问题 - 列出关系式并求解 例3．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，，斜坡的长为，坡度，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为，点B到旗杆底端C的距离为． (1)求斜坡的坡角α的度数． (2)求旗杆顶端离地面的高度．（参考数据，，，结果精确到） 【答案】(1) (2)约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度、坡角问题，解决本题的关键是仰角俯角、坡度、坡角的定义． （1）根据坡度、坡角的定义即可求出结论； （2）利用锐角三角函数即可求出的长． 【详解】（1）解： ，垂足为点， ． 在中， ， ，即． 答：斜坡的坡角的度数为； （2）解：在中， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， 在中， ，， ， ， 答：旗杆顶端离地面的高度约为． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)小开先到达山顶处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； （2）解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 类型四、方向角问题 1. 理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 - 例如"北偏东30°"，是从正北向东转30° - "南偏西45°"，是从正南向西转45° - 没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2. 画方位图：这是最核心的一步。 - 以观测点为原点，画出十字坐标系 - 标出正北、正南、正东、正西四个方向 - 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3. 解三角形：确定三角形的已知条件。 - 利用三角形内角和等知识求出未知角 - 结合三角函数或勾股定理计算边长 例4．（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米 (2)修建简易公路的最低费用为83200元 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可； （2）用路长乘以单价，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路． 设，依题意得： 在中，，， ， ， 同理：． ， ， 解得：； 答：这条最近的简易公路长为5.20千米； （2）元． 答：修建简易公路的最低费用为元． 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)； (2)甲先到达点 ． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 【变式4-2】（2025·重庆·模拟预测）如图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，， (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去景区游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【答案】(1)AB的长度为米 (2)小飞先到达C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作交延长线于，交于，连接，得到四边形是正方形，在中根据求出，，再在中求出，最后根据计算即可； （2）根据题意分别求出和的长，即可求出两人花费的时间，最后比较大小即可得到结论． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于，连接， 由题意得：四边形是矩形，， ， 四边形是正方形， ， 在中，，， ， 米，米， 米， 在中，， ， ， 米， 米， 即的长度为米； （2）解：由（1）得，米，米， 小义选择路线①，步行速度为每分钟90米， 小义到达用时分钟， 小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景， 小飞到达用时分钟， 小飞先到达． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）． (1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号） (2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？ 【答案】(1) (2)选择②路径不会迟到． 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题；矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，在中，根据可求出的长，进而可得的长，在中，根据可求出的长，最后由可得答案． （2）分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案． 【详解】（1）过点作于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则，，，，， 在中，， ， 在中，， ． 的长度为． （2）解：由（1）知，，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∵①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A； ∴， 则（分）， ∵小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发， ∴， 选择①路径会迟到； ∵②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A． ∴， 则（分）， ∴， 选择②路径不会迟到． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】延长交延长线于点E，过点A作于点F，则，利用正切的概念求出，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为， ∴， ∴设， ∵米， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ，， ∵， ∴是等边三角形， ∵米， ∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 8．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 10．（2025·河南郑州·三模）开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋（如图①）的高度，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据轴对称的性质可得，再利用平行线的性质求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可求解； （2）过点作于点，根据题意得．设，则，在中，利用锐角三角函数定义表示出 ，在中，利用锐角三角函数的定义解得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， 屋顶到横梁的距离为． （2）过点作于点， 由题意得，四边形为矩形， ． 设，则． 在中，， ． 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， ， ， 房屋的高约． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 12．（2025·甘肃张掖·三模）如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】大树比小树约高2m 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长与交于点，与交于点，过点作于点，设，分别解，列出方程求出的值，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长与交于点，与交于点，过点作于点，则四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴，，，， ∴． 设，则， ． 又 ， ． 又， ． ，解得， 大树比小树约高2m． 13．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】(1)斜坡A地到B地的距离为100米 (2)小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； （2）解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 【答案】(1)阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为 (2)这座塔的高度约为 【分析】本题考查了坡度的概念、三角函数的应用以及矩形的判定和性质，解题的关键在于 理解坡度的含义和运用三角函数求解高度． （1）和的延长线相交于点，过点作于M点，如图，先根据坡度的定义得到，则可设则，然后求出x即可； （2）先在中利用正弦计算出，再利用四边形为矩形得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：和的延长线相交于点，过点作于， 阶梯的坡度， ， 设，， ， ， 解得， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为； （2）在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：这座塔的高度约为． 15．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据坡比得出（米） ，（米），在中，，列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图， 的坡度， ， 设，则， ∴， ∵的长为米， ∴， 解得：， ∴（米），（米） 在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $