1.5三角函数的应用课后培优提升训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5三角函数的应用课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册 一、选择题 1．在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（    ） A．25米 B．米 C．米 D．米 3．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 5．如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙，已知，，则缝隙宽为（   ） A． B． C． D． 6．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（   ） A． B． C． D． 8．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（   ） A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里 二、填空题 9．已知，如图，在中，，若，则 ． 10．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点） 11．如图，某校科技兴趣小组利用金属探测仪进行野外考古挖掘实践，小组成员利用金属探测仪在地面、两个探测点探测到处有金属迹象．已知、两点相距2米，探测线、与地面的夹角分别是和，金属疑是点与地面的距离约 米（精确到0.1米，参考数据：） 12．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 三、解答题 13．如图1，为建设美好公园社区，某社区服务中心在文化活动室外安装遮阳篷，如图2侧面示意图中，遮阳篷离地高记为，遮阳篷长为米，与水平线的夹角为． (1)求点到的距离； (2)当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为米，求遮阳篷离地高的长．（参考数据：）（结果精确到米） 14．如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处．（参考数据：、） (1)求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数．（结果保留根号） 15．如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 16．如图所示的是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，，，，，．（点，，，，，，在同一平面内） (1)______度，______度． (2)求机械臂端点到工作台的距离的长．（） 17．每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）． (1)求、两地间的距离（结果保留根号）； (2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明． 18．在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接， (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长． 参考答案 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 二、填空题 9． 10． 11．1.7 12．75 三、解答题 13．【解】解：（1）过点作于点， ． 在中， 点到墙面的距离约为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ∴， ∵， ． 在中，， ． 在中， ， 遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 14．【解】（1）解：如图一，过点D作，过点A作， 则， 由题意知：，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）． 答：A岛与B岛之间的距离约为8.9海里． （2）解：如图二，假设甲、乙两艘渔船分别行驶到点P和点M时相距10海里，过点M作于点N． 设甲渔船行驶了x海里，则乙渔船行驶了海里． 在中，∵，海里， ∴海里， ∴海里， ∴（海里）， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当两艘渔船行驶到相距10海里时，甲渔船行驶了海里． 15．【解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由， ， 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ， ， ， 在中，． 16．【解】（1）解：，， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ； 故答案为：；； （2）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 17．【解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， 答：、两地间的距离为． （2）解：小庆先到达打卡点，理由如下： 如图，过点作于点， ， 在中，，， ， 在中，， ，， 分钟， ， 分钟， 小庆先到达打卡点． 18．【解】（1）解：四边形是菱形， ， 已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式， 可得， 在中， ． 故答案为：； （2）解：如图：过作交于， 由（1）知， ， 设正方形的边长为，又， ，， 在中， ，， 四边形是正方形， ，又， ， ， 四边形是菱形，， ， 解得： 正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $