专题02 解直角三角形的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02解直角三角形的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、解直角三角形的计算问题 类型二、解非直角三角形的计算问题 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 压轴专练 典例详解 类型一、解直角三角形的计算问题 1.抓已知条件，选对边角关系：先明确直角三角形中已知的边/角，优先用勾股定理（知两边求第三 边)、三角函数定义(si=对边/斜边、cos=邻边/斜边、tan=对边/邻边)，避免复杂换算。 2.遇特殊角，优先简化计算：30°、45°、60°角直接用特殊三角函数值，非特殊角用计算器求近似 值，注意单位统一（角度/弧度）和结果精度要求。 3.复杂图形，拆分直角三角形：通过作高（如梯形、斜三角形）构造直角三角形，利用公共边、等角转 移条件，逐步推导未知量。 例1.(25-26九年级上·广东深圳阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE=AE=AC=10, cosC=3 (I)求BC的长； (2)求sinB的值， 【变式1-1】(25-26九年级上山东东营阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE是BC边上的中 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线，AB=10,AD=6,tan∠ACBA. ED (I)求BE的长： (2)求coS∠DAE的值 【安式1-2】(205九年致全国专题练如图，在ABC中，C10=90owC-4C=8D平分 ∠CBA交AC边于点D. B wy (1)BC= AB= (2)过点D作DE⊥BC于点E,补全图形，并求sin∠ABD的值. 【变式1-3】(25-26九年级上山东济南阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂 足为D,AC=4,BC=3」 (I)求CD的长： (2)求∠ACD的正切值. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、解非直角三角形的计算问题 1.构造直角三角形转化：通过作高（如过顶点向对边作垂线），将非直角三角形拆分为两个直角三角 形，利用公共高建立关联，再用勾股定理或三角函数求解。 2.巧用正弦、余弦定理：己知两角及一边或两边及对角，用正弦定理(a/siA=b/simB=c/sinC);己 知三边或两边及夹角，用余弦定理(c2=a2+b2-2 ab cosC),直接列式计算。 3.注意隐含条件与细节：利用三角形内角和180°补全未知角，统一单位，明确结果精度；遇钝角三角 形，注意余弦值为负的符号问题，避免计算失误。 例2。（2425九年级上：山东淄博阶段练习)在A18C中，46=6：∠B为锐角且0sB-7 -2,tanC=3√5 B (1)求∠B的度数. (2)求BC的长. 【变式2-1】(23-24九年级上·江苏泰州期中)如图，AD是△ABC的中线， tanB=1 cosC=V② C= B D 求： (I)BC的长： (2)∠ADC的正弦值. 【变式2-2】(2025河南郑州一模)(1)【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素--三个角， 三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是 ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角. 3/10 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素--三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元 素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具.如图1，已 知△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=5+5V3,解这个三角形： 3)【延伸应用】如图2，△ABC中，AC=2√5，cos4=3 2,BC=m,在解这个三角形时，若未知元 素都有两解的m的取值范围是 45入 图1 图2 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1.巧作垂线，拆分图形：针对多边形、不规则图形，过顶点作高或垂线，将其拆分为直角三角形和矩形 梯形等规则图形，利用公共边、等角传递条件。 2.利用直角三角形核心工具：拆分后通过勾股定理求未知边长，用三角函数(si、cos、tan)结合已知 角/边算高或底，再套规则图形面积公式（如三角形面积=1/2×底×高）。 3.整合计算，注意细节：汇总各规则图形的边长或面积，求和/差得最终结果；统一单位，明确精度要 求，避免拆分时漏记公共边长度。 ,(24-25九年级下山东济南开学考试)如图，在A4BC中，已知B=3,C=4sin4 3,求 △ABC的面积. 【变式3-】(24-25九年级上湖南张家界期末)如图，在△4BC中，∠A=30,∠B=459,BC=3万 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A30 45>B (①)求AC的值 (2)求△ABC的面积（结果保留根号） 【变式3-2】(2425九年级上山东聊拔阶段练习在△18C中，4C-4W5,8C-6,∠C为锐角且 tanC=1. B (①)求△ABC的面积： (2)求AB的值； (3)求cos∠ABC的值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D, ian4=3 ’CD=6'则BD的长为(). 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.7 B.8 C.9 D.12 ACD∠C=90°，∠A=30°，∠DBC=60° 2.(24-25九年级上江苏苏州期中)如图，在直角三角形 中， AB=50,求CD的长.() D 30 人60°日 B 255米 B.25米 C.25w2米 D.50米 1 3.(2025陕西或阳模拟预测)如图，在AABC中，∠B=45BC=3anC=2,则中线4D的长为() A.5 B.2 c D. 2 4.(2425九年级下·江苏南通阶段练习)如图，在△ABC中，若∠A-∠C=60°，AB=2,BC=5,则 AC的值为() ⊙ C 丙 A.19 1 B.21 C D. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(24-25九年级下·全国单元测试)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高 ⑩=3.cos8=5,则4C B D 6.(2025九年级：全国·专题练习)如图，在△ABC中，AB=AC,anB=3,BC=2V10 则△ABC的面积 为一 7.(24-25九年级上·全国·随堂练习)小丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC中， ∠B-60,MB=65,amC=☐，求8C的长度”.小丽翻看答案后，得知BC=6+35,则☐ 部分为一· 8.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨·开学考试)如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得 m∠B4C=l,m∠BAC-行，am∠B4C=号，，依此规律写出am∠B4C=。,则n的值为 1 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(2025九年级全国专题练习)如图，∠B=60°，AB=4,AC=6.求cosC的值. B D《2025九年级：全国专题练习)如图，在A1BC中，已知BC=4an8月 ,∠BCA=135° 3 求AB的长. A B 11.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)在Rt△ABC中，a是∠A的对边，b是∠B的对边，c是∠C 的对边. (1)若∠C=90°，a=4,c=8,求b和∠A的度数： (2)若∠C=90°，c=10,∠B=45°，求a和∠A的度数. 12.(2025·上海松江·一模)在△ABC中，∠B=60,BC=6,Sc=6N3 (I)求AB的长： (2)在BC边上取一点D,使CD=2,连接AD,求∠CAD的正切值. 18.（24-25九年级上：上海浦东新期中)如图，在△18C中，MB=4C=5BC=8,。 ,D是边MB上一点， 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 且tan∠BCD= 2 A D B (I)试求sinB的值： (2)试求△BCD的面积. 14.(25-26九年级上山东淄博·阶段练习)如图.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中 线，过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH. B (I)求证：AH·AB=AC·BC: (2)求sinB的值； CD= (3)如果 ,求E的值。 15.(25-26九年级上江苏泰州阶段练习)我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量 地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一 确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化.类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系， 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)· 底边BC 如图2，在中，R二4G’顶角A的止对记作、ad4’这时，sa4= 腰AB 容易知道一个角的 大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1 图2 图3 (1)直接写出sad60°的值为： (2)若∠A为钝角，则∠A的正对值sadA的取值范围是_； 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知tan4=4其中∠4为锐角，求sad4的值： (4)在△ABC中，AB=AC,∠A=108°，求sadB的值. 10/10 专题02 解直角三角形的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、解直角三角形的计算问题 类型二、解非直角三角形的计算问题 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 压轴专练 类型一、解直角三角形的计算问题 1.抓已知条件，选对边角关系：先明确直角三角形中已知的边/角，优先用勾股定理（知两边求第三边）、三角函数定义（sin=对边/斜边、cos=邻边/斜边、tan=对边/邻边），避免复杂换算。 2.遇特殊角，优先简化计算：30°、45°、60°角直接用特殊三角函数值，非特殊角用计算器求近似值，注意单位统一（角度/弧度）和结果精度要求。 3.复杂图形，拆分直角三角形：通过作高（如梯形、斜三角形）构造直角三角形，利用公共边、等角转移条件，逐步推导未知量。 例1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的相关计算． （1）证明，根据求出，进一步可得． （2）求解，，进一步即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，平分交边于点． (1)______，______． (2)过点作于点，补全图形，并求的值． 【答案】(1)10；6 (2)见解析， 【分析】（1）利用三角函数的定义和勾股定理，结合已知的和的长度，求出和的长． （2）先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积关系求出的长度，最后在直角三角形中求出的值． 【详解】（1）解：在中，，，则； 由勾股定理得． （2）解：补全图形如图． ． 平分， ． ， ，，． ， 解得：． 在中，， ． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理与角平分线性质的综合应用，掌握利用三角函数和勾股定理求直角三角形边长，结合角平分线性质和面积法求线段长度，进而求三角函数值是解题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 类型二、解非直角三角形的计算问题 1.构造直角三角形转化：通过作高（如过顶点向对边作垂线），将非直角三角形拆分为两个直角三角形，利用公共高建立关联，再用勾股定理或三角函数求解。 2.巧用正弦、余弦定理：已知两角及一边或两边及对角，用正弦定理（a/sinA = b/sinB = c/sinC）；已知三边或两边及夹角，用余弦定理（c²=a²+b²-2ab cosC），直接列式计算。 3.注意隐含条件与细节：利用三角形内角和180°补全未知角，统一单位，明确结果精度；遇钝角三角形，注意余弦值为负的符号问题，避免计算失误。 例2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式2-2】（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1. 巧作垂线，拆分图形：针对多边形、不规则图形，过顶点作高或垂线，将其拆分为直角三角形和矩形/梯形等规则图形，利用公共边、等角传递条件。 2. 利用直角三角形核心工具：拆分后通过勾股定理求未知边长，用三角函数（sin、cos、tan）结合已知角/边算高或底，再套规则图形面积公式（如三角形面积=1/2×底×高）。 3. 整合计算，注意细节：汇总各规则图形的边长或面积，求和/差得最终结果；统一单位，明确精度要求，避免拆分时漏记公共边长度。 例3．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，则中线的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， 中，． 故选：D． 4．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 在上取点，使，过点作于点，过点作于，可证得，，令，则，求得，再通过勾股定理可得，然后求得，，最后在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】解：在上取点，使，过点作于点，过点作于，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， 在中， ∴， 故选：A； 二、填空题 5．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 【答案】 【分析】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】通过作等腰三角形的高，将其转化为直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出高，进而求出面积． 【详解】解：过点作于点． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，解题关键是通过作高将等腰三角形转化为直角三角形，利用三角函数求出高的长度． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）小丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在中，，，，求的长度”．小丽翻看答案后，得知，则部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可以分别求得的长，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：作于点D， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，把个边长为的正方形拼接成一排，求得，，，，依此规律写出，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探索，正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于， 根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出、，根据正切的概念求出，结合已知的，，总结出规律，得到，进而求得，即可求得的值． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由勾股定理得，，， ， 解得， 则， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，．求的值． 【答案】 【分析】过点作于点，先用正弦求值，再利用勾股定理求，最后求的值． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边，正确的运算是解题的关键． 10．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，已知，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点．设，在中，通过得出，通过表示出，从而得到，再利用，列方程求出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． 设 ． 在中， ． 在中，， ． ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质． （1）直接运用勾股定理即可求解，解直角三角形即可求解的度数； （2）先由直角三角形锐角互余求出度数，再直接解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴，， ∴． 12．（2025·上海松江·一模）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，D是边上一点，且   (1)试求的值； (2)试求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键． （1）作，则中，根据勾股定理即可求得的长，即可求得； （2）作，则根据勾股定理可以求得的长，求得，即，求得k的值即可求的面积． 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ 在 中， ∴； （2）解：作，垂足为， 在中，，令，， 则， 又在中，， 则， 于是 ，即， 解得， ∴． 14．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)3 【分析】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了新定义下的三角函数比，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解新定义的三角函数比． （1）根据顶角度数确定是等边三角形，然后求比值即可； （2）取和时的值即可确定取值范围； （3）画出图形，令，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后求的值即可； （4）画出图形，得出相等的边和角，假设出未知数，利用相似三角形的判定和性质，利用对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：1； （2）解：如图3所示， 当时，； 当时，点为线段的中点，此时，接近于2； ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由得，， 令， 则由勾股定理得， 延长至点，使， ∴， 由勾股定理得， ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 令，设， 则， 即， 解得，（负值已舍）， ∴． 1 / 10 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