专题04 解直角三角形应用之特殊几何图形问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

专题04 解直角三角形应用之特殊几何图形问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、解直角三角形应用之特殊三角形的综合问题 类型二、解直角三角形应用之平行四边形的综合问题 类型三、解直角三角形应用之矩形的综合问题 类型四、解直角三角形应用之菱形的综合问题 类型五、解直角三角形应用之正方形的综合问题 压轴专练 类型一、解直角三角形应用之特殊三角形的综合问题 解题方法总结： 1.建模转化法：将实际场景抽象为直角三角形，含特殊角（30°/45°/60°）或等腰、等边三角形时，优先拆分/构造直角三角形，明确已知边、角与所求量的关系。 2.特殊性质联用：等腰三角形作底边高转化为两全等直角三角形，等边三角形高=√3/2边长，利用这些性质快速得边长、角度，减少计算量。 3.方程思想辅助：未知量较多时，设关键边为x，结合三角函数（sin/cos/tan）或勾股定理列方程，代入特殊角三角函数值求解。 解题技巧总结： 1.优先标特殊条件：解题前标注特殊角、等线段，快速锁定可利用的特殊三角形性质，避免遗漏关键信息。 2.灵活选三角函数：求对边用sin，邻边用cos，斜边未知用tan，直接关联已知与所求，简化运算。 3.检验结果合理性：结合实际场景判断结果（如长度为正），利用特殊三角形边角比例（如30°对边=1/2斜边）验证答案，避免计算错误。 例1．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 【变式1-1】（2025·贵州六盘水·二模）某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构成一个三角形，如图所示，在中，当时，．（参考数据：） (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形是解题的关键： （1）在中，利用正弦进行求解即可； （2）在中，勾股定理求出的长，在中，求出的长，线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）由（1）知：， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式1-2】（2025·辽宁沈阳·二模）图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报． (1)如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是什么? (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供至之间的五个角度挡位． 图3为该手机支架位于角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板和底板形成的，和的长度均为，挡位点位于底板中点处，此时支撑板与底板形成的，求支撑板的长． (3)如图5，当该手机支架位于角度挡位时，支撑板底端卡在点处，手机固定板和支撑板的长度不变，手机固定板和底板形成的，点A和点到的距离分别为， 的长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点的位置，高度差记为，求h的值．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性，可得到结论； （2）利用勾股定理求出长，在中利用三角函数求出，即可得到结果； （3）根据题意，结合图形，在中求出，在中求出，即可得到结果． 【详解】（1）解：三角形具有稳定性． （2）解：由题意可知． 过点O作， ∴． ∵，点为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴支撑板的长约为． （3）解：如图，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 类型二、解直角三角形应用之平行四边形的综合问题 解题方法总结： 1.转化直角模型：利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，作高（如过顶点向对边作垂线）构造直角三角形，将平行四边形问题转化为直角三角形求解。 2.性质联动应用：结合平行四边形对边相等、对角相等的性质，传递已知边、角条件到直角三角形中，搭配三角函数（sin/cos/tan）建立边与角的关联。 3.方程辅助求解：未知边较多时，设平行四边形的边长或高为x，利用直角三角形边角关系或勾股定理列方程，代入已知条件计算。 解题技巧总结： 1.优先作关键高：针对平行四边形的一组对边作高，快速锁定直角三角形的直角边（高）和斜边（平行四边形边长），简化图形。 2.标注等量关系：解题前标注平行四边形的等线段、等角，明确直角三角形中已知量与未知量的对应关系，避免混淆。 3.巧用互补角：平行四边形邻角互补，可通过角度转化得到直角三角形中的特殊角（如30°/60°），直接套用特殊三角函数值简化运算。 例2．（2025·河北邯郸·二模）如图是嘉淇为某公司设计的公司标志示意图，四边形与四边形是两个全等的平行四边形，点、、在同一条直线上，点、分别在边、上，且．已知点到的距离为，，．（注：，，） (1)求点到的距离（结果精确到）； (2)若，试通过计算说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，平行四边形的性质，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，求出，过点作，垂足落在的延长线上，推出，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作于点，根据题意求出，解直角三角形求出，根据平行四边形的性质得到，再推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形与四边形是两个全等的平行四边形， ，， ， ， 过点作，垂足落在的延长线上， ， ， 点到的距离为； （2）解：过点作于点， 点到的距离为， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【变式2-1】（2025九年级下·江西·专题练习）如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 【变式2-2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)求滑动轨道的长度． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)限位器P应装在离A点的位置． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解题意，掌握锐角三角形的计算是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上，得到即可求解； （2）过点C作交于点，依题意得，在中，，，则，，所以限位器P的位置离A点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形始终为平行四边形，， ∴， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上， ∴； （2）解：过点C作交于点， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， 又∵，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴限位器P的位置离A点， 答：限位器P应装在离A点的位置． 类型三、解直角三角形应用之矩形的综合问题 解题方法总结： 1. 依托直角本质：矩形四个角为直角、对边相等，直接利用其直角构造天然直角三角形，明确已知边（边长、对角线）与所求量的关联。 2. 对角线拆分法：连接矩形对角线，将矩形分为两个全等直角三角形，借助勾股定理或三角函数求解边长、角度。 3. 方程思想切入：未知边长或角度时，设关键边为x，结合矩形性质与直角三角形边角关系列方程，代入已知条件计算。 解题技巧总结： 1. 优先用矩形特性：直接调用“对边相等、对角线相等且平分”，快速转化已知条件，减少辅助线绘制。 2. 锁定特殊角关联：若含30°/45°等特殊角，优先套用对应三角函数值，避开复杂运算。 3. 结合图形标注：标注直角、等线段、已知角，清晰梳理直角三角形中“已知-未知”的对应关系，避免思路混乱。 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 【变式3-1】（2025·湖南岳阳·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)______，______． (2)求的长； (3)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，故，，即可作答． （2）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （3）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵矩形是其中一个停车位． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， （3）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，， 压杆，，使用过程中矩形可以绕点E 旋转． (1)订书机不使用时，如图②，，求压杆端点F 到底座的距离； (2)使用过程中，当点B 落在底座上时，如图③，测得，则压杆端点F到底座的高度约为 ．(参考数据：，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，则，再由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）过点作于，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，，，解直角三角形求出，的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ， 在中，，， ∴， ∴， 故压杆端点F 到底座的距离为； （2）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， ， 则， ∴，四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即压杆端点F到底座的高度约为． 类型四、解直角三角形应用之菱形的综合问题 解题方法总结： 1.构造直角模型：利用菱形对角线互相垂直平分的性质，作对角线或边的高，拆分出直角三角形，将菱形问题转化为直角三角形求解。 2.性质联动转化：结合菱形四边相等、对角相等的性质，传递边、角条件到直角三角形中，搭配三角函数或勾股定理建立关系。 3.方程辅助运算：未知量较多时，设对角线分段或边长为x，利用直角三角形边角关系列方程，代入已知条件求解。 解题技巧总结： 1.优先连对角线：对角线垂直平分是菱形核心，连接后直接得四个全等直角三角形，快速锁定边、角关系。 2.标注特殊条件：标记已知角、边长、对角线长度，利用菱形邻角互补转化出直角三角形中的特殊角。 3.巧用边长等量：菱形四边相等，可将所求边转化为直角三角形的斜边或直角边，简化计算逻辑。 例4．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），． (1)当时，求此时的长； (2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？ 【答案】(1) (2) 千斤顶升高了 【分析】本题考查了菱形的性质以及解直角三角形的应用．解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将菱形问题转化为直角三角形问题，再结合三角函数进行计算． （1）连接菱形对角线、交于点利用菱形对角线平分内角的性质，得到的度数，再在中，用正弦函数求出的长，进而得到的长； （2）分别求出为和时的长度，两者相减即为千斤顶升高的高度，计算时需利用菱形性质转化为直角三角形，结合余弦函数求解． 【详解】（1）解：连接，与交于点 ∵四边形是菱形， ∴． 当时，． 在中，， ∵ ∴． ∵ ∴． （2）解：当时，，则， 在中，， ∵， ∴ ∴． 当时，， 在中，， ∵， ∴ ∴． 则千斤顶升高的高度为：．​ 答：这个千斤顶升高了 ．​ 【变式4-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（2025·江苏泰州·一模）图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)最远端点到墙壁的距离为 (2)的长为 【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、、共线，，最后计算即可； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即点、、、共线， ∵， ∴， ∴， 答：最远端点到墙壁的距离为； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等， 当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点到墙壁的距离为， 此时，， ∵， ∴， 连接，过点作于点， ∵ ∴，， 在中，， 当在点处时，此时， 过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 答：的长为． 类型五、解直角三角形应用之正方形的综合问题 解题方法总结： 1.活用天然直角模型：正方形四边相等、四角为直角，直接以边长为直角边、对角线为斜边构造直角三角形，关联已知与所求。 2.对角线拆分法：连接对角线，将正方形分为两个等腰直角三角形，利用对角线=边长×√2的性质，快速转化边与角的关系。 3.方程思想求解：未知边长或线段时，设边长为x，结合勾股定理或特殊角（45°）三角函数值列方程，简化运算。 解题技巧总结： 1.优先用特殊性质：直接调用“四边相等、对角线相等且垂直平分”，省去辅助线，快速传递条件。 2.锁定45°特殊角：正方形对角线平分直角得45°角，直接套用sin45°=cos45°=√2/2，避免复杂计算。 3.标注关键元素：清晰标记直角、等线段、已知角，明确直角三角形中边与角的对应关系，避免思路混乱。 例5．（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 【变式5-1】（2026·江西·模拟预测）如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 【变式5-2】（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，． (1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离． (2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，， 可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， ， ， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， 即点与点之间的距离为； （2）过点作于点，交于点， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是， ， ， 到的最大距离为． 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 2．（2025·广东深圳·二模）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条．则车位锁的底盒长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，由题意构建三角形并正确运用相关三角函数是解决问题的关键． 过点A作作于点，根据等腰三角形的性质可知，再利用三角函数知识表示出，则长可表示． 【详解】解：过点作于点， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：C． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 4．（2025·河北邢台·二模）某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 二、填空题 5．（2025·广西来宾·模拟预测）如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点，，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形性质，先求出，再解求出结论即可． 【详解】解：，若是的中点，， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 6．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·二模）自然状态下人体的脊柱呈“”形，此时各椎间盘所承受的压力较为合理，腰背部肌肉活动度较小，不易感到疲劳．当人体脊柱处于非自然状态时，椎间盘内压力分布不均匀，肌肉活动度就会增加，导致人体腰背部产生酸疼、疲劳等感受，人体工学研究表明，当靠背角度设置在左右时，人体脊柱形态接近于自然弯曲的形态，较为舒适．某人体工学椅（图一）靠背角度为，其抽象示意图（图二），垂直于地面，垂足为，且，当点为中点时，若，．求椅子靠背最高点到地面的距离为 ．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，矩形的判定与性质，过作，交延长线于点，延长交于点，则有，，故四边形是矩形，，然后求出，通过，即，得出，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，延长交于点， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴椅子靠背最高点到地面的距离为， 故答案为：． 8．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 三、解答题 9．（2024·宁夏银川·二模）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可证明，即可证明结论； （2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∴四边形为平行四边形． （2）过点作于， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， ∴． 答：雕塑的高为． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 11．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）图1是“团一大”纪念广场的主雕塑，图2是其正面示意图，主雕塑由独立的两个全等的平行四边形（，）基座和它们上方承托的一面团旗（四边形，）组成，测得，，雕塑总高，基座上的团旗旗柱，点E，N，L，D在同一水平线上． (1)求平行四边形基座的高度； (2)判断团旗旗柱是否与斜面平行，请通过计算说明． （参考数据：，，，结果精确到） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点F作于点P，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出结果即可； （2）过点A作于点Q ，求出，解直角三角形得出．根据平行线的性质证明．根据平行四边形的性质得出，根据平行公理得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点P． ∵基座由两个全等的平行四边形（，）组成， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形基座的高度约为． （2）解：如图，过点A作于点Q． ∵雕塑总高，平行四边形基座的高度为， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴团旗旗柱． ∵基座是平行四边形， ∴， ∴， 即团旗旗柱与斜面平行． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12．（2025·河北唐山·二模）如图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，点在同一条直线上，经测量．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． （2）延长交于点H，如图， ∵碗底是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·江西南昌·二模）如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形是其主视图．如图3所示，四边形可绕点旋转得到四边形，设旋转角为，当，，三点共线时最大．经测量，，． (1)求的长度． (2)①当为何值时，点到边的距离最大，并求出最大距离； ②直接写出当为何值时，点到边的距离等于． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①，最大距离为；②或 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，，证明四边形是矩形，得到，，得到，最后根据勾股定理即可求解； （2）①由旋转可得：，，由（1）知，，，得到，推出，结合当，，三点共线时，点到边的距离最大，即可求解；②当，即点与点重合时，点到边的距离等于；过点作交的延长线于点，则，根据三角函数可推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，， 在矩形中，， ， 四边形是矩形， ，， ， ； （2）由旋转可得：，， ①由（1）知，，， ， ， 当，，三点共线时，点到边的距离最大，此时， 最大距离为； ②， 当，即点与点    重合时，点到边的距离等于； 过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ； 综上所述，当为或时，点到边的距离等于． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某品牌的可伸缩篮球架的侧面抽象图，点可随着伸缩杆的伸缩而转动，从而控制篮球圈离地面的高度．已知，主杆均在主干上，三点共线，，，，，，（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． (1)①________，与的位置关系是________； ②求的长度． (2)在图①的基础上，调节伸缩杆，如图②所示，此时，篮球圈离地面的高度刚好达到国际标准305cm．求绕点顺时针旋转的度数． 【答案】(1)①，垂直，② (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形是平行四边形，可得°；由，，可知； ②过点作，垂足为，可求（cm）．由四边形为平行四边形，可得，即可求解； （2）过点作的平行线，过点作的垂线交于点，由，可求，可得，，即可求绕点顺时针旋转的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，垂直； ②如图①，过点作，垂足为． ， ，即． 又 ， （cm）． ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， ． （2）解：如图②，过点作的平行线，过点作的垂线交于点， 则（cm）． ， ， ， ， 绕点顺时针旋转了． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，及解直角三角形的应用，弄清题意，将问题转化到直角三角形中利用三角函数求解是解题的关键． 15．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 16．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04解直角三角形应用之特殊几何图形问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、解直角三角形应用之特殊三角形的综合问题 类型二、解直角三角形应用之平行四边形的综合问题 类型三、解直角三角形应用之矩形的综合问题 类型四、解直角三角形应用之菱形的综合问题 类型五、解直角三角形应用之正方形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、解直角三角形应用之特殊三角形的综合问题 解题方法总结： 1.建模转化法：将实际场景抽象为直角三角形，含特殊角(30°/45°/60°)或等腰、等边三角形时， 优先拆分/构造直角三角形，明确己知边、角与所求量的关系。 2.特殊性质联用：等腰三角形作底边高转化为两全等直角三角形，等边三角形高=√3/2边长，利用这些 性质快速得边长、角度，减少计算量。 3.方程思想辅助：未知量较多时，设关键边为x,结合三角函数(s/cos/tam)或勾股定理列方程，代入 特殊角三角函数值求解。 解题技巧总结： 1.优先标特殊条件：解题前标注特殊角、等线段，快速锁定可利用的特殊三角形性质，避免遗漏关键信 息。 2.灵活选三角函数：求对边用sn,邻边用cos,斜边未知用tan,直接关联已知与所求，简化运算。 3.检验结果合理性：结合实际场景判断结果（如长度为正），利用特殊三角形边角比例（如30°对边=1/2 斜边)验证答案，避免计算错误。 例1.(2024安徽合肥一模)华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简 单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮 雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像 CD垂直于地面BE,若手机显示AC=1.75m,AD=2.45m,∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.（结果精 确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√2≈1.41) 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ① ② 【变式1-1】(2025·贵州六盘水·二模)某校在海坪千户彝寨进行社会实践活动时，同学们发现彝家建筑的 窗户打开后用窗钩将其固定，窗钩的一个端点固定在窗户底边上，窗钩的另一个端点固定在窗框边上，构 成一个三角形，如图所示，在RtaA0C中，当∠A0B=37°时，OA=20cm,AB=13cm.(参考数据： sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8，tan37°≈0.75) E A AE OB F BC F 图1 图2 (1)求AC的长： (2)求B0的长. 【变式1-2】(2025·辽宁沈阳·二模)图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报. 强力支撑不晃动轻松解决多种角度需求 三角形结构 5档调节 MA成B -B MM H M MG 图1 图2 图3 图4 图5 ()如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是 什么？ (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供30°至75°之间的 五个角度挡位. 图3为该手机支架位于75°角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板OA和底板OB形成的 ∠A0B=75°，OA和OB的长度均为132mm,75°挡位点M1位于底板OB中点处，此时支撑板☑M与底板 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OB形成的∠CM,O=45°，求支撑板☑M的长 (3)如图5，当该手机支架位于30°角度挡位时，支撑板底端卡在点M2处，手机固定板OA和支撑板☑M的长 度不变，手机固定板OA'和底板OB形成的∠A'OB=30°，点A和点A到OB的距离分别为AH,A'G的长， 手机固定板顶端由点A的位置变化到点A的位置，高度差记为hmm,求h的值.（结果精确到0.lmm,参考 数据：√2≈1.41，√6≈2.45，sin75°≈0.97) 类型二、解直角三角形应用之平行四边形的综合问题 解题方法总结： 1.转化直角模型：利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质，作高（如过顶点向对边作垂线） 构造直角三角形，将平行四边形问题转化为直角三角形求解。 2.性质联动应用：结合平行四边形对边相等、对角相等的性质，传递已知边、角条件到直角三角形中， 搭配三角函数(sn/cos/tan)建立边与角的关联。 3.方程辅助求解：未知边较多时，设平行四边形的边长或高为x,利用直角三角形边角关系或勾股定理列 方程，代入己知条件计算。 解题技巧总结： 1.优先作关键高：针对平行四边形的一组对边作高，快速锁定直角三角形的直角边（高）和斜边（平行 四边形边长)，简化图形。 2.标注等量关系：解题前标注平行四边形的等线段、等角，明确直角三角形中己知量与未知量的对应关 系，避免混淆。 3.巧用互补角：平行四边形邻角互补，可通过角度转化得到直角三角形中的特殊角（如30°/60°），直 接套用特殊三角函数值简化运算。 例2.(2025河北邯郸·二模)如图是嘉淇为某公司设计的公司标志示意图，四边形ABCD与四边形FECG是 两个全等的平行四边形，点B、C、E在同一条直线上，点Q、N分别在边AD、GF上，且PM∥BE.已 知点P到BC的距离为9.9cm,EF=5.56cm,∠DCG=30°.（注：sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26， tan75°≈3.73) (1)求点A到BC的距离（结果精确到0.1cm): 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若PQ=4.64cm,试通过计算说明PQ∥CD 【变式2-1】(2025九年级下·江西·专题练习)如图(1)是一座塑像，图(2)是它正面的抽象示意图，它 是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），己知水平地面PQ川BC‖DE‖FG,∠G=115°，FG=3m, GH =6m,CD=EF=-EK,BC=DE=IFG A 图(1) 图(2) (I)求此塑像正面抽象示意图的周长（含AN段）： (2)求此塑像的高.（结果保留1位小数）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) 【变式2-2】(2025·辽宁本溪模拟预测)平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架， 如图是这种平开窗的实物展示图 0 把上述实物图抽象成如示意图.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B, C,D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B 滑动时，四边形0CDE始终为平行四边形，其中OE=8cm,DE=16cm,BC=17cm.窗户打开一定角度 后，OC与AB形成一个角∠COB,出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的 开启角度应该控制在30°以内（即∠C0B≤30°）. F A (1)求滑动轨道AB的长度. (②)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P,控制平开窗的开启角 度，当点O滑动到点P时∠C0B=30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 4/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、解直角三角形应用之矩形的综合问题 解题方法总结： 1.依托直角本质：矩形四个角为直角、对边相等，直接利用其直角构造天然直角三角形，明确已知边（边 长、对角线)与所求量的关联。 2.对角线拆分法：连接矩形对角线，将矩形分为两个全等直角三角形，借助勾股定理或三角函数求解边 长、角度。 3.方程思想切入：未知边长或角度时，设关键边为x,结合矩形性质与直角三角形边角关系列方程，代入 己知条件计算。 解题技巧总结： 1.优先用矩形特性：直接调用“对边相等、对角线相等且平分”，快速转化已知条件，减少辅助线绘制。 2.锁定特殊角关联：若含30°45°等特殊角，优先套用对应三角函数值，避开复杂运算。 3.结合图形标注：标注直角、等线段、已知角，清晰梳理直角三角形中“已知-未知”的对应关系，避免 思路混乱。 例3.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边 形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为O.3米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB、 CD分别绕点A、D转动，且边BC始终与边AD平行. N 图1 图2 (I)如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.3米，求点P到MN的距离 PF的长。 (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米.当道闸打开至∠ADC=35°时，轿车能否驶入小区？请 说明理由.（参考数据：sin35°≈0.5736，c0s35°≈0.8192，tan35°≈0.7002） 【变式3-1K2025·湖南岳阳·一模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为 满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形POMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是 其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽， 所有车位的长宽相同，按图示并列划定 5/16 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B E 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m,参考数据√3≈1.73） (I)DE=，∠DEB= (2)求P2的长： (3)该充电站有20个停车位，求PN的长 【变式3-2】(24-25八年级下·吉林长春·期末)如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体部 分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC=3cm,GE=2cm,压杆CF=7cm, LFCD=150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转. D A E M G B N 图① 图② 图③ (I)订书机不使用时，如图②，AB∥MN,求压杆端点F到底座MN的距离； (2)使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图③，测得∠GBE=15°，则压杆端点F到底座MN的高度约 为_cm.(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm) 类型四、解直角三角形应用之菱形的综合问题 解题方法总结： 1.构造直角模型：利用菱形对角线互相垂直平分的性质，作对角线或边的高，拆分出直角三角形，将菱 形问题转化为直角三角形求解。 2.性质联动转化：结合菱形四边相等、对角相等的性质，传递边、角条件到直角三角形中，搭配三角函 数或勾股定理建立关系。 3.方程辅助运算：未知量较多时，设对角线分段或边长为x,利用直角三角形边角关系列方程，代入己知 条件求解。 解题技巧总结： 1.优先连对角线：对角线垂直平分是菱形核心，连接后直接得四个全等直角三角形，快速锁定边、角关 系。 2.标注特殊条件：标记己知角、边长、对角线长度，利用菱形邻角互补转化出直角三角形中的特殊角。 6/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.巧用边长等量：菱形四边相等，可将所求边转化为直角三角形的斜边或直角边，简化计算逻辑。 例4.(2425九年级下，湖南岳阳·阶段练习)如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形 状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的 高度（即A、C之间的距离）.经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°）， AD=40 cm. D 手柄 (1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长； (2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤J顶升高了多少cm?(sin80°=0.98，cos80°=0.17，tan80°=5.67) 【变式4-1】(24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人 机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线 上，图形关于直线AM对称. 图1 图2 (I)如图1，若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接MF,∠AMF= (2)如图2，若菱形的边长为5cm,∠CAD=53°，求点N到点G的距离，（结果精确到0.1cm,参考数据： 4 03。S9乙ue1‘060≈。S9zso0·s0≈。S9zs名≈。LEem4之≈LESOO2≈SLEUIS 【变式4-2】(2025江苏泰州一模)图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架 AH、DM、MN、HL、NE、LF组成，其中A、B两点是墙面固定点，点D可以在线段BC上自由移动， 活动角LAGD随着D点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动.图2中AG、DG、EF和中间两个全 等的菱形边长都相等（宽度忽略不计). 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B中 图1 图2 (1)若LAGD=120°，AG=18cm,求此时最远端点E到墙壁的距离； (2)若点D从C移动到B,活动角∠AGD变化范围为40°~144°，最远端点E到墙壁的最大距离可达112.8cm. 求AB的长（结果保留整数）.（参考数据：sinl8°≈0.31，cos18°≈0.95，sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34）. 类型五、解直角三角形应用之正方形的综合问题 解题方法总结： 1.活用天然直角模型：正方形四边相等、四角为直角，直接以边长为直角边、对角线为斜边构造直角三 角形，关联已知与所求。 2.对角线拆分法：连接对角线，将正方形分为两个等腰直角三角形，利用对角线边长×√2的性质，快 速转化边与角的关系。 3.方程思想求解：未知边长或线段时，设边长为x,结合勾股定理或特殊角(45°)三角函数值列方程， 简化运算。 解题技巧总结： 1.优先用特殊性质：直接调用“四边相等、对角线相等且垂直平分”，省去辅助线，快速传递条件。 2.锁定45°特殊角：正方形对角线平分直角得45°角，直接套用sm45°=cos45°=√2/2，避免复杂计算 3.标注关键元素：清晰标记直角、等线段、己知角，明确直角三角形中边与角的对应关系，避免思路混 乱。 例5.(2025吉林松原·模拟预测)图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化 为平面图形得到图②，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=I00cm, CD∥EF,∠CDE=140°，∠CGF=25°，求CG的长（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）. D 图① 图② 【变式5-1】(2026江西·模拟预测)如图(1)是一景区的标语牌，将其抽象成如图(2)所示的示意图， AB垂直于地面，点A,B,C,E在一条直线上，四边形CDEF是正方形，MW∥DE,MN⊥BG, 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB 48cm,MN =42cm,BN =56cm G 青青花草 请勿践酷 D 777777777777777777 图(1) 图(2) (I)求LABG的度数. (2)求点M到地面的距离（结果保留整数.参考数据：tan37°≈0.75，sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）. 【变式5-2】(2025江西景德镇一模)小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所 示的正方形ABCD,在打开医药箱的过程中，矩形AEFD(箱盖)可以绕点E逆时针旋转，落在A'EFD'的 位置，且AD=40cm,CF=30cm. D Ar A--------1D 中 B B 图1 图2 备用图 (1)如图2，当旋转角为60°时，求点D与点D之间的距离. (②)若矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°，求点F到BC的最大距离.（参考数据： sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75) 压轴专练 一、单选题 1.(2024安微模拟预测)如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平 行且距离为a,一辆小汽车车门宽A0为b,当车门打开角度∠A0B为a时，车门边缘的点A处与墙的距离 为(). 9/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a-bsina B.a-btana C.a-b sina D.a-b tana 2.(2025广东深圳·二模)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端 的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢 条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量， 钢条AB=AC=acm,∠ABC=0.则车位锁的底盒长BC为() 777777773 图1 图2 A.acos0 B.asin C.2acos0 D.2asin 3.(25-26九年级上·山东济宁阶段练习)光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射 sina 定律如图1所示：折射率n= (代表入射角，B代表折射角).小明为了观察光线的折射现象，设计 sinB 了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块.图3是实 验的示意图，点A,C,B在同一直线上，测得BC=28cm,BF=48cm,DF=64cm.则光线从空气射入 水中的折射率的值为() 入射角aK法线 介质 介质（折射率n) 折射角B 图1 图2 图3 A. B. 5 D. 2-3 4.(2025河北邢台·二模)某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式 10/16