专题04 反比例函数与几何图形综合问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题04 反比例函数与几何图形综合问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴专练 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。 解题技巧总结（3点） 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 例1．如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 【变式1-2】如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上顶点坐标为(x, \frac{k}{x})，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。 解题技巧总结（3点） 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 例2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 【变式2-1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）先求出点D的坐标，然后直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是12， ∴，即， ∴，，即， ∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解∶由（1）知：， ∵的纵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴由图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点时，取最大值， 当直线经过点时，取最小值， 将点代入，得：，解得； 将点代入，得：，解得， ∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【变式2-2】如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． (1)求值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【详解】（1）解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； （2）由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，    则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，   ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 解题方法总结（3点） 1. 坐标化顶点：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的矩形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。 2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。 3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。 解题技巧总结（3点） 1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。 2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。 3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、\frac{k}{x}的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。 例3．如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，利用数形结合思想是解题的关键． （1）结合矩形的性质可得点A的坐标为，点E的坐标为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可设点E的坐标为，可得点F的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B坐标为， ∴， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴， ∴，点A的坐标为， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得：； 设经过A、E两点的一次函数的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴经过A、E两点的一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数 的图象经过点E，， ∴可设点E的坐标为， ∴点F的横坐标为， ∵反比例函数 的图象经过点F， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【变式3-1】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上．顶点B的坐标为，反比例函数 的图像分别交边、于 D、E， 交对角线 于 F． (1)若点F 是的中点，则 _______，______． (2)如图2，点B的坐标为，试探寻线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3，， (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的性质，平行线的判定等知识点，解决此题的关键是理解题意，灵活运用所学知识； （1）先求出点F的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据反比例函数的性质分别表示出点D和点E的坐标，再得到线段之比相等即可得到答案； 【详解】（1）解：∵顶点B的坐标为，点F 是的中点， ∴点F的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：3，； （2）解：由题可得：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； 根据“美好点”的定义求出的值，即可得到答案； （）根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； 将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=\frac{k}{x}上的菱形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结（3点） 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 例4．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ，四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 【变式4-2】如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由，，，利用勾股定理可求得，又由D为B点关于的对称点，可得，，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴， ∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3， 代入， 得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：， ∴点的坐标为． 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 解题方法总结（3点） 1.坐标化建模：设反比例函数y=\frac{k}{x}上正方形顶点为(x, \frac{k}{x})，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结（3点） 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为\frac{k}{a}，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与\frac{k}{x}正负，确保k值符号符合图象，避免错解。 例5．如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据、两点坐标，得出，再结合正方形的性质，即可得到点A的坐标； （2）根据正方形性质先求出点D坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解得k值，继而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：点B的坐标为，点C的坐标为， ，， ， 四边形为正方形． ，轴， ； （2）解：四边形为正方形， ，轴， ， 将的代入反比例函数得：， ， 反比例函数的解析式为： 【变式5-1】如图，正方形的边长为 7 ，以所在的直线为 x 轴， 以所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，反比例函数（）的图象与交于 E 点，与 交于 F 点． (1)求点E、F的坐标（用k表示） ； (2)若的面积为20 时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数系数k的几何意义等知识，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键； （1）把和分别代入反比例函数的解析式求出相应的y与x即可； （2）根据，结合k的几何意义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为7， ∴， 当时，，当时，， ∴； （2）解：当的面积为20 时，即， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴反比例函数的解析式是． 【变式5-2】已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 一、解答题 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且． (1)求经过点C的反比例函数的解析式； (2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查勾股定理，反比例函数，菱形的性质等． （1）用勾股定理解求出菱形的边长，进而求出点C的坐标，即可求出反比例函数解析式； （2）设）则，的面积为，计算出的面积，进而求出m的值，代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 在中， ， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴． 设经过点C的反比例函数的解析式为， 则， 解得：． 故所求的反比例函数的解析式为； （2）解：设） ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 故点P的坐标为或． 2．（2025·河南驻马店·二模）如图，正方形的边分别与坐标轴平行，反比例函数 的图象过顶点 ，以点为圆心，长为半径画恰好经过坐标原点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由点坐标可得，即得，利用弧长公式求出的长，进而即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，待定系数法求反比例函数的解析式，弧长公式等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象过顶点 ， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画 恰好经过坐标原点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴阴影部分的周长． 3．（2025·河南南阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． (1)直接写出点、的坐标； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 【答案】(1)， (2)的值为，此时的值为9或45 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质，求出菱形各点的坐标是解题的关键． （1）连接交于点，则轴，推出，，求得，根据菱形的对称性质求解即可； （2）根据平移的性质求得，，，，分两种情况讨论，当，两点和，两点同时落在反比例函数图象上时，利用反比例函数的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点， ∵菱形，且轴， ∴轴， ∵点、的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵点，，，， ∴将菱形向下平移个单位长度后对应点的坐标依次为，，，， ∵轴，轴， ∴，或，不能同时落在反比例函数图象上． 当，两点同时落在反比例函数图象上时，， ∴， ∴， ∴； 当，两点同时落在反比例函数图象上时，． ∴， ∴， ∴． 故的值为，此时的值为9或45． 4．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标． 【详解】（1）解：，、，四边形是平行四边形， ， ， 把点代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）设点， ，， ，， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键． 5．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，梯形的面积的计算，勾股定理，两点间的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ，，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上． ， 反比例函数的表达式为； （2）∵菱形， ∴， 又∵，， ∴，即 设菱形向右平移个单位长度，此时， 在反比例函数的图象上． ， 解得． ，， 平移后的坐标为，， 如图， 扫过的面积梯形的面积． 6．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 8．（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像，在平面直角坐标系中有一矩形如图所示，在x轴与y轴上点坐标．图像并与反比例函数图像相交于点C；将矩形翻转，使与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形图像与反比例函数图像相交于点F，连接并将两端同时延长交于x轴，y轴于点N和点M． (1)求直线和反比例函数图像的表达式； (2)求M，N两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数图像的表达式为；直线的表达式为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，交点坐标的计算等知识是解题的关键． （1）根据题意易得，把点代入反比例函数，即可求出的值；再根据旋转的性质易求，进而得到，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）由（1）知直线的表达式为，分别令，即可解答． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴，则， 解得：， ∴反比例函数图像的表达式为； 由旋转的性质得，四边形是矩形， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）知直线的表达式为， 令，则， 令，则，解得：， ∴． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、坐标的平移以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，解决最值问题；（2）分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 【答案】(1)； (2)或或； (3)是，． 【分析】（1）求解，设，结合，可得，可得，进一步可得答案； （2）如图，当为对角线时，四边形为平行四边形；如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，进一步结合平移性质与平行四边形的性质求解即可； （3）如图，作于，于，证明四边形为正方形，可得，证明，可得，证明矩形为正方形，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴， 设， 又∵， ∴， ∵点，都在双曲线上， ∴， ∴， ∴； ∴反比例函数表达式为：； （2）解：如图，当为对角线时，四边形为平行四边形； ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 综上：或或； （3）解：如图，作于，于，   点是正方形对角线上的点， ∴，， ， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴矩形为正方形， 正方形和正方形， ，，， ， ， ， ∴是定值． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 12．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2)是，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标； （1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：或（答案不唯一）． （2）解：当点时，代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数是正方形的“函数”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04反比例函数与几何图形综合问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x,k/x)),将三角形边长、顶点转化为坐 标关系。 2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。 3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积 为k/2)快速关联。 解题技巧总结(3点) 1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。 2.巧设动点坐标：设横坐标为α，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。 3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。 例1，如图，三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB∥x轴，点C在x轴上，反比例函数y=(x>0)经过 1 AB的中点D,交边BC于点E,己知点C(2,O. (1)点B的坐标为 反比例函数解析式为 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接DE,求BDE的面积. 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的底边BC在x轴上，点B,C的坐标分别为 (-2,01,6,01,反比例函数y=x>0的图象交AC于点4，D. VA (1)求k的值： 2)将ABC沿x轴向左平移1(>0)个单位长度，当反比例函数y=《(x>0)的图象与三角形至少有一个公 共点时，求t的取值范围. 【变式1-2】如图所示，△04B的顶点A在反比例函数y=《(k>0)的图象上，直线4B交y轴于点C,且 1” 点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF,垂足分别为点E、F,且AE=1. E (1)若点E为线段0C的中点，求k的值； (2)若△0AB为等腰直角三角形，∠A0B=90°，其面积小于3. ①求证：△OAE≌△BOF; ②延长AO交双曲线第三象限于点D,连接BD,求三角形ADB的面积. 2/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化建模：设反比例函数y=frac (k)(x}上顶点坐标为(x,ac{kx}),结合平行四边形顶点坐标关 系（如对边平行、中点重合）列等式。 2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函 数关系求k或顶点坐标。 3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关 键参数。 解题技巧总结(3点) 1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。 2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。 3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。 例2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数 y=冬k≠0，X>0)的图象上，已知点C的坐标为5,4)，平行四边形ABCD的面积为12. D (1)求反比例函数的解析式 (2连接BD,点E为边BC与反比例函数y=k≠0，x>O)图象的交点，点P为x轴上一动点，若点E为BC 3 的中点，S.E-2Sao,求P点的坐标 【变式2-1】如图，一次函数y=-4(k*0)的图象与反比例函数y=m-】(m-1≠0)的图象交于点 C,与x轴交于点A,过点C作CB⊥y轴，垂足为B,连接OC,AB,已知四边形ABCO是平行四边形， 且其面积是12， (1)求点A的坐标及m和k的值： 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 (2)若两函数图象另一个交点坐标D的纵坐标为 请结合图象，直接写出不等式m之红-4的解集 (3)若直线y=X+t与口ABC0有交点时，求t的取值范围， 【变式2-2】如图1，已知A(-1,0),B(0,-2),平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点 E、F,且点E(0,2)为AD中点，双曲线y=(k为常数，k≠0)经过C、D两点. 图1 图2 图3 (1)求k值： (②)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=←(k为常数， 3 k≠0)图像于点M,交反比例函数y=- (x<O)的图像于点N,当FM=FN时，求G点坐标： 2x (③)点P在双曲线y-冬上，点Q在y轴上，若以点小B、R、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满 足要求的所有点Q的坐标-· 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 解题方法总结(3点) 1.坐标化顶点：设反比例函数y=frac{k{x}上的矩形顶点为(c,frack}{x),其余顶点结合矩形“边垂直 坐标轴”特征确定坐标。 2.用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长× 宽)建立方程求k。 3.关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于(（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与 k值。 解题技巧总结(3点) 1.优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=秒求k,省去复杂运算。 2.巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a,纵坐标为frac{k}{a},其余顶点坐标顺势推导，简化含参计 算。 3.结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、ac{{x}的正负，确保k值符号与图象一致，避 免错解。 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例3.如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y=二的图象经过 点E,与AB交于点F. 1 A D B C O (1)若点B坐标为(-6,0)，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式： (2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式， 【变式3-1】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上.顶点B的 坐标为4,3)，反比例函数y=《的图像分别交边AB、BC于D、E,交对角线OB于F. B(4,3) H B C D A G 图1 图2 (I)若点F是OB的中点，则k= BD BE (2)如图2，点B的坐标为m,n),试探寻线段DE与AC的位置关系，并说明理由 【变式3-2】定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分 别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等 时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”. 【尝试初探】 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)点C(2,3) “美好点”（填“是”或“不是”）； 若点D(4,b)是第四象限内的一个“美好点”，则b= 【深入探究】 (2)①若“美好点”E(m,10)(m>0)在双曲线y=《(k≠0，且k为常数)上，则k= ②若第一象限内的“美好点”F在直线y=x+3上，求满足条件的F点的坐标. 【拓展延伸】 (3)我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y)是第一象限内的“美好点”. ①求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； ②对于图像上任意一点(x,y),代数式(2-xy-2)是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请 说明理由， 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 解题方法总结(3点) l.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=frac{k{x}上的菱形顶点为(x,fac{kx}),，其余顶点结合 菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。 2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积 (对角线乘积的一半)关联k值。 3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。 解题技巧总结(3点) 1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。 2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k,减少复杂运算 3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。 例4.如图，菱形0ABC的顶点0为原点，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点B的坐标为(4,8)，点 C在y轴正半轴上，点M为OA的中点. (1)求反比例函数的解析式： 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N(保留作图痕迹，不写作法)： (3)求点N的坐标. 【变式41】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与双曲线y=《(x>0)相交于点4，点C在x轴的 正半轴上，点B(2,-3,连接A0,OB,BC,CA,四边形AOBC是菱形 VA (1)求m和k的值： (2)设点P是x轴上的点，且S△4op=S菱形4oc,求点P的坐标. 【变式4-2】如图，已知，A(0,4)，B(-3,0),C(2,0),D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=的 图象经过D点. (I)证明四边形ABCD为菱形； (2)求此反比例函数的解析式： ③)已知在y=的图象(x>0)上一点N,y轴正半轴上一点M,且四边形BMN是平行四边形，求M点 的坐标 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 解题方法总结(3点) l.坐标化建模：设反比例函数y=frac[k)(x}上正方形顶点为x,rac{府x),其余顶点结合正方形“边 垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长2、对角线乘积/2 )关联k值。 3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。 解题技巧总结(3点) 1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=k,直接求k;不平行则用坐标差表边长，简 化运算。 2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a,纵坐标为列fc{{a},利用正方形边的垂直/相等关系推导 其他顶点，减少参数。 3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与raC{k}x}正负，确保k值符号符合图象，避免 错解。 例5.如图，四边形ABCD为正方形.点B的坐标为(0,2，点C的坐标为(0，-4)，反比例函数y=人的图 象经过点D. 1)点A的坐标为 (2)求反比例函数关系式。 【变式5-1】如图，正方形ABCD的边长为7，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立 平面直角坐标系，反比例函数y=(k>0)的图象与CD交于E点，与BC交于F点. D A B (I)求点E、F的坐标（用k表示）； (2)若△AEF的面积为20时，求反比例函数的解析式， 【变式5-2】已知正方形ABCD的三个顶点A(m-3,-4),B(4-m,6),C恰好落在反比例函数y=《的图象上， 如图所示。 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y B 0 (1)求反比例函数的解析式： (2)求直线BC的解析式： (3)连接BO,CO,求△BC0的面积. 压轴专练 一、解答题 1.(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，己知四边形ABCD为菱形，且 A0,4、D(3,0). 0 D B (1)求经过点C的反比例函数的解析式： (2)设P是(1)中所求函数图象上一点，若△POA的面积是△C0B的面积2倍，求点P的坐标. 2.(2025河南驻马店·二模)如图，正方形ABCD的边分别与坐标轴平行，反比例函数y=二(x<0)的图象 过顶点D(-2,-2),以点D为圆心，DA长为半径画AC恰好经过坐标原点O. 9/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式： (2)求图中阴影部分的周长. 3.(2025河南南阳·二模)如图，菱形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BD∥x轴，点A、B的坐 标分别为6,10)、（2,7). (1)直接写出点C、D的坐标； (2)若将菱形ABCD向下平移m(m>O)个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点同时落在反比例函数 y=k依>O)的图象上，求m及此时kk>0)的值. 4.(22-23八年级下·福建泉州期中)如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A、B、D的坐标分别 为(-3,0)、山，0)、(0,4)，顶点C在第一象限，反比例函数y=的图象经过点C. ()求反比例函数的解析式. 2连接OC,若点P是反比例函数y=《的图象上的一点，且以点P、O、D为顶点的三角形面积与△OC 的面积相等，求点P的坐标 10/15