专题02 反比例函数中k的几何意义的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题02 反比例函数中k的几何意义的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 压轴专练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 反比例函数中求三角形的面积 例1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故答案为：4． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积的计算．根据题意可得，再由反比例函数比例系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为：8 【变式1-3】（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 反比例函数中求等腰三角形的面积 例2．如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【变式2-1】如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【变式2-2】如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 【变式2-3】如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 反比例函数中求平行四边形的面积 例3．如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 【变式3-1】如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， 轴， ， 点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4， ， ∵， ， ， ， ， ∴，即， ， ∵反比例函数的图象边的中点D， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：36．    【变式3-2】如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，作轴，轴，证明，可得，利用的几何意义求出的面积，再求出的面积，从而求出矩形及平行四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：作轴，轴，则，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 反比例函数中求矩形的面积 例4．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 【变式4-2】如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 【变式4-3】如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 反比例函数中求阴影部分的面积 例5．如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，由于同底等高的两个三角形面积相等，，然后根据反比例函数中k的几何意义，知，从而确定k的值． 【详解】解：的面积等于5， ， ， ， ； 又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ． ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 5．（2023九年级上·安徽·竞赛）如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数k的几何意义是解决本题的关键． 延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据平行四边形的性质，易证，根据反比例函数k的几何意义，可知，，即可求出的面积． 【详解】解：如图所示，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， 的面积． 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意得到点的坐标，然后把它代入反比例函数的解析式求解即可； （2）由反比例函数的几何意义得到的值，再通过三角形的面积公式求出的长度，从而求出的值，最后再用即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中， ， ． 点是的中点， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ，即， 故答案为：4； （2）解：根据反比例函数中的几何意义知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出，，，，，所以，，，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 三、解答题 11．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 12．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 14．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 15．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案； 【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出； ②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明； 【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案； 【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案． 【详解】解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与的位置关系为：平行． 故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于，则， ∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形， ∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，， ∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数中k的几何意义的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 反比例函数中求三角形的面积 例1，(2425九年级上安徽六安期末)如图，点A是双曲线y=8的图象上一点，AB1x轴于点B,则 AOB的面积为 【变式1-1】(2425九年级上广东河源阶段练习)如图，点4在反比例函数男=18(x>0)的图象上，过点 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8 A作AB⊥x轴，垂足为B,交反比例函数y,=°(x>O)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA、PC,则 △APC的面积为」 【变式1-2】(2025江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数y=- 的图象上，线段AB经过坐标原点O,AC⊥y轴于点C,则ABC的面积为一 【变式1-3】(24-25九年级上北京平谷期末)如图，点A、B在双曲线y=5上，过点4作AC1x轴于点 C,过点B作BD⊥y轴于点D,连接OA、OB,设△OBD的面积为S,设aOAC的面积为S2,则S, (填>，<，或=”). y=x D B 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 反比例函数中求等腰三角形的面积 2/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 SMOC=k(OA=AC) 例2.如图，反比例函数y=5的图象经过正△PO0的顶点P,则△POQ的面积为. X 【变式2-1】如图，点A在反比例函数y=-4第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若0A=AB, 则△AOB的面积为 【变式2-2】如图，若反比例函数y=3的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则 AOB的面积是， y本 B O 【变式23】如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=(x>0)的图 象上，且它们的底边都相等.若△0A,B,△AA,B2,△A2A,B,,△A02342024B2024的面积分别为S，S2,S,…, S2024,则S2024的值· 3/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B2 B4 A A2 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面移 反比例函数中求平行四边形的面积 B A D SOARCD=kl 例3.如题图，点D在反比例函数y=二的图象上，DA⊥y轴于点A,点B在x轴上，则平行四边形 ABOD的面积为 B 【变式3-1】如图，平面直角坐标系中，口OABC的边OA在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函 数y-24(x>0的图象经过点C和AB边的中点D,点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 【变式3-2】如图，已知口ABCD,边BC在x轴上，点D在y轴上，连接OA交反比例函数y= 2(x<0)的 图象于点P,若AP=20P,则口ABCD的面积为 4/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 0 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，口OABC的边BC与y轴交于点D,且D是BC边的中点，反比 侧函数y三<0与一9 (x>O)的图象分别经过B,C两点，则口OABC的面积为 2x 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 反比例函数中求矩形的面积 S矩形ABOc=k 例4.如图，点A在双曲线y=4上，点B在双曲线y=2上，且4B∥x轴，过AB两点分别作x轴的垂线 交x轴于点D,C,则四边形ABCD的面积为 O D 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系xO中，B是反比例函数y=2(x>0)的图象上的一点，则矩形 OABC的面积为」 【变式42】如图，若点A与点B是反比例函数y=(k≠0)的图象上的两点，过点A作AM1x轴于点M, 1” AW⊥y轴于点N,过点B作BG⊥x轴于点G,BH⊥y轴于点H,设矩形OMAN的面积为S,矩形BHOG 的面积为S, 则S与S的大小关系为：S_S(填“>”，“=”或“<”). G B H 【变式43】如图，过=《(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交=-1的图象于B,D两 点，以B,4D为邻边的矩形ABCD的面积是}，则k的值是。 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 反比例函数中求阴影部分的面积 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B P B D = S=S2 S阴k-k 例5.如图，AB两点在双曲线y=3(x>0)上，分别过4B两点向坐标轴作垂线.若S=1,则图中阴影部 分的面积为 S 0 【变式5-1】(24-25九年级上湖南长沙期末)如图，点M,N在y=4(x>0)的图象上，分别过点M,N 作坐标轴的垂线，若S翻影=2，则S,十S2的值为一 S 【变式52】(2425九年级上湖南阶段练习)如图，两个反比例函数y=8和y=6在第一象限内的图象依 次是C和C,,设点P在C上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形 PAOB的面积为」 A B 【变式53】(2425九年级上山东东营期末)如图，在反比例函数y=3(c>0)的图象上有乃，乃，B,, x P2s等点，它们的横坐标依次为1,2,3，.，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 阴影部分的面积从左到右依次为S,S2,S3,,S224,则S+S2+S;+…+S224=_ P205 0123 2025 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上安徽阶段练习)如图，点A是反比例函数y=《(k≠0，x>0)的图象上一点，过点A作 AB⊥x轴于点B,点P是y轴上任意一点，连接PA,PB,若△ABP的面积等于5，则k的值为() YA A.5 B.10 C.25 D. 2.(25.26九年级上湖南株洲期中)反比例函数y=4和y=8在第一象限的图象如图所示，点A在函数 8 8 y=8图象上，点B在函数y=4图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则ABC的面积为() B A.1 B.2 C.3 D.4 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上·山东淄博·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形O4BC的对角线交于点 D.双曲线y=(x>0)经过C,D两点，双曲线y=8x>0)经过点B,则平行四边形0ABC的面积为() A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2025九年级全国专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知点4，B,C在双曲线y=6上，BD1x轴 于点D,CE⊥y轴于点E,点F在x轴上，且AO=AF,则图中阴影部分的面积之和为() D A.6 B.9 C.12 D.18 5.(2023九年级上安徽竞赛)如图，在反比例函数y=2(x>0)的图象上，有点B,B,B,P,,P… 它们的横坐标依次为1,2,3,4，…，n,.,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分 的面积从左到右依次为S,S2,S,S4,,Sn,,则S,+S2+S+…S24的结果为() S P 3 3 4043 4045 C.4046 4048 A. B. D. 2023 2024 2025 2025 9/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(2025甘肃武威一模)如图，点A是反比例函数y=k(k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于 x 点B,点C是x轴上的一点，连接AC,BC,若ABC的面积为3，则k的值是 7.(2025江西赣州一模)如图，A、B两点在双曲线y=(k>)上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线 段，已知S阴影=1，则S,+S2= (用含k的代数式表示) S B S 8.(2425九年级上陕西西安阶段练习)如图，点0为坐标原点，口04BC的顶点A在反比例函数y-二的 图象上，顶点B在反比例函数y=6的图象上，点C在x轴的正半轴上，则口OABC的面积是 9.(25-26九年级上安徽六安阶段练习)如图，反比例函数y=《(x>0)的图象与矩形0ABC在第一象限相 交于D,E两点，已知0A=2,OC=4,连接0D,0E,DE,记△OAD,△OCE的面积分别为S,S2. B 10/13