专题03 反比例函数的应用问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 反比例函数的应用问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 类型二、二次函数与反比例函数图象综合判断 类型三、一次函数与反比例函数的交点问题 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 类型五、一次函数与反比例函数的实际应用 类型六、实际问题与反比例函数 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判糊 解题方法总结(3点) 1.定系数符号：根据图象位置判断k值正负（一次函数y=+b看直线升降、截距；反比例函数y=kx看 象限)，快速排除矛盾选项。 2.找关键交点：利用函数交点横纵坐标相等列等式，或结合坐标轴交点（一次函数与xy轴交点）验证数 值合理性。 3.用特殊值验证：取x=1、=-1等简单值，代入函数解析式判断对应y值是否与图象趋势一致，排除错误 选项。 解题技巧总结(3点) 1.先看趋势再看细节：优先通过k值符号判断函数整体走向，再核对截距、象限等细节，避免陷入局部 误区。 2.数形结合互推导：图象特征（如直线过原点、双曲线分布）转化为代数条件(b=0、k正负)，反向验证 是否匹配。 3.排除法高效解题：根据一个明显矛盾点（如k值符号冲突）快速排除错误选项，缩小范围后精准判断。 例1.(25-26九年级上湖南株洲阶段练习)在同一直角坐标系中，函数y=k和y=:-4的图象大致是() 1/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25九年级下广东汕头阶段练习)函数y=与y=-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中 的大致图象是() 【变式1-2】(24-25九年级上全国期末)如图，在同一个平面直角坐标系中，函数y= ,与y=ax+b的图 象可能是( 之众头 【变式1-3】(2425九年级上内蒙古包头阶段练习)函数y=(a≠0)与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角 坐标系中的大致图象是() 类型二、二次函数与反比例函数图象综合判断 解题方法总结(3点) 1.抓系数符号关联：二次函数y=x2+bx+c由开口方向定a,反比例函数y=/x由象限定k,先锁定a、k 正负，排除符号矛盾选项。 2.用特殊点验证：取x=士1等简单值，或二次函数顶点、与坐标轴交点，核对两函数对应y值是否与图象 2/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 致。 3.析图象趋势匹配：二次函数看对称轴、最值，反比例函数看增减性，确保同一区间内两函数变化趋势 不冲突。 解题技巧总结(3点) 1.先定符号再辨细节：优先通过α、k符号快速筛除明显错误项，再聚焦截距、顶点位置等细节验证。 2.数形互译找关联：将图象特征（如二次函数开口向上、双曲线在二四象限）转化为代数条件(>0、k <0)反向核对。 3.矛盾点快速破题：若某选项中α、k符号导致函数分布冲突，直接排除，无需逐一分析所有特征。 例2.(25-26九年级上安徽阜阳阶段练习)二次函数y=k2x2-k与反比例函数y=《k≠0)在同一平面直 角坐标系中的大致图象是() 【变式2-1】(25-26九年级上安徽合肥期中)反比例函数y=-《与二次函数y=kx2-k(k≠0)在同一直 角坐标系中的图象可能是() 【变式2-2】(25-26九年级上重庆阶段练习)已知反比例函数y=二(a≠0的图象如图所示，则函数 y=ax2-a的大致图象为() 【变式23】(24-25九年级上湖南岳阳阶段练习)一次函数y=ax+b与反比例函数y=C在同平面直角坐 3/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 类型三、一次函数与反比例函数的交点问题 解题方法总结(3点) 1.联立方程求解：将一次函数y=a+b与反比例函数y=mx联立，消去y得a+b=mx,整理为一元二次方 程a2+bx-m0,解出x值再代回求y,得交点坐标。 2.判别式定交点个数：通过联立后一元二次方程的判别式△=b2+4m判断，△>0有两个交点，△=0有 个交点，A0无交点。 3.利用图象辅助判断：结合两函数k值符号确定图象分布象限，初步判断交点可能所在象限，辅助验证 计算结果。 解题技巧总结(3点) 1.先判符号再计算：先由k、m符号确定两函数是否可能有交点，避免无效计算。 2.整体代入简化运算：联立后方程可提取公因式或整体代入已知条件，减少复杂计算。 3.借助对称性快速校验：反比例函数图象关于原点对称，若一个交点为(cy),则另一个为(x,y),可快速 校验结果。 例3.(25-26九年级上·安徽蚌埠阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线 y=k≠0)交于点4-2,3)，8(3，-).则满足不等式x+b>的x的取值范围是() A.0<x<3 B.-1<x<0或x>3 C.-2<x<0或x>3 D.x<-2或0<x<3 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式31】(2025九年级安徽专题练习)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=6-2x的图象的一 x 个交点的横坐标为4，则k的值为() A.-6 B.-2 C.-8 D.4 【变式3-2】(25-26九年级上湖南阶段练习)已知直线y=-x+4与双曲线y=(x>0)只有一个交点，将直 线y=-x+4向上平移1个单位后与双曲线y=x>0)相交于A,B两点，如图，则A点的坐标为（） A.1,4 B.(1,5 C.2,3 D.（2,4 2 【变式3-3】(2025九年级·安徽专题练习)如图，一次函数乃=x+1的图象与反比例函数2=二的图象交 于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的有() ①A和点B关于原点对称；②当x<1时，月>y2;③S△4oc=S△BoD;④当x>0时，、y2都随x的增大而 增大 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 解题方法总结(3点) 1.建模转化问题：根据实际场景（如行程、利润）列出一次函数与反比例函数解析式，明确变量含义与 取值范围。 2.结合图象分析：画出两函数图象，通过图象位置、区间增减性，解决取值范围、最值等问题。 3.联立方程求临界：关键节点（如相等、最值）通过联立方程求解，结合定义域验证结果合理性。 5/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧总结(3点) 1.先定函数表达式：利用题干条件（如过定点、数量关系）快速求出解析式，减少后续计算误差。 2.抓区间边界与交点：重点关注两函数交点、自变量取值边界，以此为突破口分析问题。 3.数形结合避陷阱：通过图象直观判断函数增减趋势，避免仅靠代数计算忽略定义域等陷阱。 例4.如图，直线y=2+3与)轴交于A,与双曲线y=冬x>0)交于8(m,4).将直线AB平移，与x轴交于 C,与双曲线交于D. B D (1)求双曲线的解析式， (2)当CD=AB时，求点C,D的坐标. 【变式41】如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=-2与y轴相交于点A,与反比例函数y=8 在第一象限内的图象相交于点B(m,2). B A (I)求直线AB的表达式： (2)将直线AB沿y轴方向向上平移n个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,若S。4c=18,请求 出的值 【变式4-2】已知正比例函数y=x与反比例函数y=←的图象在第一象限交于点M2,a). 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式； 2如图，将直线y=x向上平移b个单位后与y=的图象交于点4，m和点Bm,-), ①求AOB的面积： ②直接写出不等式x+b>的解集， 【变式43】(25-26九年级上广西北海阶段练习)直线y=x+b与反比例函数y=交于点A和点 D(-1,-5),并与x轴交于点B,与y轴交于点C. (1)求直线与反比例函数的表达式： (2)连接OA、0D,求△0AD的面积； ③)若M为反比例函数y=上在第一象限图象上一点，且△0AM的面积为12，若点M在点A的左侧，求点 M的坐标 类型五、 次函数与反比例函数的实际应用 解题方法总结(3点) 1.审题建模：提取实际场景中变量关系（如路程-速度、工作量-效率），判断函数类型，列出一次函数y=a +b或反比例函数y=x解析式。 2.求解析式：利用题干数据（如已知点、数量关系）代入函数，求解k、b值，明确自变量取值范围（需 符合实际意义)。 7/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.代入求解：根据问题需求（如求特定值、比较大小），将条件代入解析式计算，或结合图象分析区间内 的结果。 解题技巧总结(3点) 1.抓关键词定函数：“匀速”“线性增长”对应一次函数，“乘积为定值”（如路程固定）对应反比例函数， 快速锁定模型。 2.优先求参数：先通过己知条件求出k、b,再解决后续问题，避免逻辑混乱。 3.验证实际意义：计算结果需结合定义域（如时间、数量为正）检验，排除不符合实际的解。 例5.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示， 消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段 为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题： y(效力)》 B D 1030 x(时间) (1)第10分钟时消毒效果为 效力； (2)当x≥10时，求y与x之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式5-1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的 含药量y(g)与燃烧时间x(分钟)成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）.现测得药物10分 钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12g.据以上信息解答下列问题： y(mg) 10 分) (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式： (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式： (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【变式5-2】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100C时，停止加热，水 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 温开始下降，此时水温y(C)是通电时间x(m)的反比例函数.若在水温为20C时开始加热，水温y与通 电时间x之间的函数关系如图2所示. A以C 100 x/min 图1 图2 (1)将水从20°C加热到100C需要_min; (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于40C的时间有多长？ 【变式5-3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段 的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(C)与时间x)之间的函数关系，其中线段AB、BC表示 恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段 请根据图中信息解答下列问题： A(℃) 14 10 ) O2510 24 x (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少C; (2)求全天的温度y(C)与时间xh)之间的函数关系式： 3)若大棚内的温度低于12°C时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免 水果生长受到影响？ 类型六、实际问题与反比例函数 解题方法总结(3点) 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.审题定关系：识别实际场景中“乘积为定值”的量（如路程=速度×时间、总价=单价×数量），确定反 比例函数模型y=kx(k≠0)。 2.求函数解析式：利用题干已知数据（如一组对应量）代入，求出比例系数k,明确自变量的实际取值范 围（正数为主）。 3.代入解问题：根据所求目标，将已知量代入解析式计算，或结合实际需求分析函数增减性，得出结果。 解题技巧总结(3点) 1.抓“定值”快速建模：看到“不变”“固定”等关键词，直接锁定反比例函数，避免混淆函数类型。 2.验证k的意义：求出k后，结合实际场景确认其含义（如k为路程、总价），确保解析式正确。 3.结合实际验解：结果需符合实际（如人数、长度为正），同时注意自变量取值边界，排除无效解 例6.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lx),智能玻璃可以通过自动调节其透 明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度y(Lx)是透明度x(%)的反比例函数， 其图象如图所示 y/(Lux) 6000 5000 4000 3000 2000 A(30,2000) 1000 0102030405060x(%) (1)求出y与x之间的函数表达式： (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意.它适宜在照度为2000≤y≤5000的室内生长，那么智能玻璃的 透明度x应控制在什么范围内？请说明理由， 【变式6-1杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、 由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物 体的重量，小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”.如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳 绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木 杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y(单位：N)是x(弹簧秤与中点O的距 离)（单位：cm)的反比例函数，当x=20时，y=30. (1)求y关于x的函数表达式： (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； 10/18 专题03 反比例函数的应用问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 类型二、二次函数与反比例函数图象综合判断 类型三、一次函数与反比例函数的交点问题 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 类型五、一次函数与反比例函数的实际应用 类型六、实际问题与反比例函数 压轴专练 类型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 解题方法总结（3点） 1.定系数符号：根据图象位置判断k值正负（一次函数y=kx+b看直线升降、截距；反比例函数y=k/x看象限），快速排除矛盾选项。 2.找关键交点：利用函数交点横纵坐标相等列等式，或结合坐标轴交点（一次函数与x/y轴交点）验证数值合理性。 3.用特殊值验证：取x=1、x=-1等简单值，代入函数解析式判断对应y值是否与图象趋势一致，排除错误选项。 解题技巧总结（3点） 1.先看趋势再看细节：优先通过k值符号判断函数整体走向，再核对截距、象限等细节，避免陷入局部误区。 2.数形结合互推导：图象特征（如直线过原点、双曲线分布）转化为代数条件（b=0、k正负），反向验证是否匹配。 3.排除法高效解题：根据一个明显矛盾点（如k值符号冲突）快速排除错误选项，缩小范围后精准判断。 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象．根据k的正负讨论反比例函数和一次函数图象的位置即可判断． 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在同一个平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数及一次函数图象的判断，根据a，b的符号判断两个函数图象经过的象限，再判断即可 根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A.由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； B. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，故正确； C. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； D. 由一次函数的图象可知：，；由反比例函数的图象可知：，矛盾，故不正确； 故选B． 【变式1-3】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质、一次函数的图象性质等知识点，熟练掌握反比例、一次函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：B． 类型二、二次函数与反比例函数图象综合判断 解题方法总结（3点） 1.抓系数符号关联：二次函数y=ax²+bx+c由开口方向定a，反比例函数y=k/x由象限定k，先锁定a、k正负，排除符号矛盾选项。 2.用特殊点验证：取x=±1等简单值，或二次函数顶点、与坐标轴交点，核对两函数对应y值是否与图象一致。 3.析图象趋势匹配：二次函数看对称轴、最值，反比例函数看增减性，确保同一区间内两函数变化趋势不冲突。 解题技巧总结（3点） 1.先定符号再辨细节：优先通过a、k符号快速筛除明显错误项，再聚焦截距、顶点位置等细节验证。 2.数形互译找关联：将图象特征（如二次函数开口向上、双曲线在二四象限）转化为代数条件（a>0、k<0）反向核对。 3.矛盾点快速破题：若某选项中a、k符号导致函数分布冲突，直接排除，无需逐一分析所有特征。 例2．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式2-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 类型三、一次函数与反比例函数的交点问题 解题方法总结（3点） 1. 联立方程求解：将一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x联立，消去y得kx+b=m/x，整理为一元二次方程kx²+bx−m=0，解出x值再代回求y，得交点坐标。 2. 判别式定交点个数：通过联立后一元二次方程的判别式Δ=b²+4km判断，Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点。 3. 利用图象辅助判断：结合两函数k值符号确定图象分布象限，初步判断交点可能所在象限，辅助验证计算结果。 解题技巧总结（3点） 1. 先判符号再计算：先由k、m符号确定两函数是否可能有交点，避免无效计算。 2. 整体代入简化运算：联立后方程可提取公因式或整体代入已知条件，减少复杂计算。 3. 借助对称性快速校验：反比例函数图象关于原点对称，若一个交点为(x,y)，则另一个为(−x,−y)，可快速校验结果。 例3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，满足不等式的的取值范围是或， 故选：． 【变式3-1】（2025九年级·安徽·专题练习）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键．将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值． 【详解】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南·阶段练习）已知直线与双曲线只有一个交点，将直线向上平移个单位后与双曲线相交于，两点，如图，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与双曲线的交点问题，直线的平移，了解直线与双曲线只有一个交点，得到关于x的整式方程的判别式等于0求出k值是解题的关键． 解方程，化为整式方程，由于直线与双曲线只有一个交点，有即可求出反比例函数解析式，求出直线向上平移1个单位后解析式，解两解析式，联立成的方程组即可求出A，B的坐标． 【详解】解：解方程， 化为整式方程， 直线与双曲线只有一个交点， ， 解得：， ， 直线向上平移个单位后解析式为， 解方程组， 解得：，， ，， 故选：A． 【变式3-3】（2025九年级·安徽·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，下列说法正确的有(    ) ①A和点B关于原点对称；②当时，；③；④当时，都随x的增大而增大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，求出两函数解析式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断①；根据图象的特点即可判断②；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出两个三角形的面积，即可判断③；根据图形的特点即可判断④． 【详解】解：①联立，解得或， ∴， ∴A、B不关于原点对称，故①错误； ②由图象可知，当或时， ，故②错误； ③∵， ， ∴，故③正确； ④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，故④错误； 故选：A． 类型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 解题方法总结（3点） 1.建模转化问题：根据实际场景（如行程、利润）列出一次函数与反比例函数解析式，明确变量含义与取值范围。 2.结合图象分析：画出两函数图象，通过图象位置、区间增减性，解决取值范围、最值等问题。 3.联立方程求临界：关键节点（如相等、最值）通过联立方程求解，结合定义域验证结果合理性。 解题技巧总结（3点） 1.先定函数表达式：利用题干条件（如过定点、数量关系）快速求出解析式，减少后续计算误差。 2.抓区间边界与交点：重点关注两函数交点、自变量取值边界，以此为突破口分析问题。 3.数形结合避陷阱：通过图象直观判断函数增减趋势，避免仅靠代数计算忽略定义域等陷阱。 例4．如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 【变式4-2】已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西北海·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12，若点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴一次函数表达式为． ∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 解方程组得， 经检验均是方程组的解， ∴， ∴． （3）解：设，连接并延长交y轴于点N， ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 类型五、一次函数与反比例函数的实际应用 解题方法总结（3点） 1.审题建模：提取实际场景中变量关系（如路程-速度、工作量-效率），判断函数类型，列出一次函数y=kx+b或反比例函数y=k/x解析式。 2.求解析式：利用题干数据（如已知点、数量关系）代入函数，求解k、b值，明确自变量取值范围（需符合实际意义）。 3.代入求解：根据问题需求（如求特定值、比较大小），将条件代入解析式计算，或结合图象分析区间内的结果。 解题技巧总结（3点） 1.抓关键词定函数：“匀速”“线性增长”对应一次函数，“乘积为定值”（如路程固定）对应反比例函数，快速锁定模型。 2.优先求参数：先通过已知条件求出k、b，再解决后续问题，避免逻辑混乱。 3.验证实际意义：计算结果需结合定义域（如时间、数量为正）检验，排除不符合实际的解。 例5．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【变式5-1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【变式5-2】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 【变式5-3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 类型六、实际问题与反比例函数 解题方法总结（3点） 1. 审题定关系：识别实际场景中“乘积为定值”的量（如路程=速度×时间、总价=单价×数量），确定反比例函数模型y=k/x（k≠0）。 2. 求函数解析式：利用题干已知数据（如一组对应量）代入，求出比例系数k，明确自变量的实际取值范围（正数为主）。 3. 代入解问题：根据所求目标，将已知量代入解析式计算，或结合实际需求分析函数增减性，得出结果。 解题技巧总结（3点） 1. 抓“定值”快速建模：看到“不变”“固定”等关键词，直接锁定反比例函数，避免混淆函数类型。 2. 验证k的意义：求出k后，结合实际场景确认其含义（如k为路程、总价），确保解析式正确。 3. 结合实际验解：结果需符合实际（如人数、长度为正），同时注意自变量取值边界，排除无效解。 例6．光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【点睛】 【变式6-1】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)弹簧秤的示数的最小值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性和不等式的解法是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，把时，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵弹簧秤的示数是的反比例函数， ∴设关于的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为． （2）解：∵关于的函数表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴弹簧秤的示数的最小值为． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 【变式6-2】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)电阻阻值缩小为原来的，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12，写出函数关系式即可； （2）当时，，结合，即可得出结论． 【详解】（1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12． 设， ∴， ∴． （2）电阻阻值缩小为原来的，理由如下： 当时， ； ∵， ∴ 【变式6-3】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 2．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 4．（2022·广西·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 二、填空题 6．（2025·湖南怀化·一模）兰州牛肉拉面是兰州的特色美食，已知当拉面的体积一定时，拉面的横截面积与拉面的长度成反比例关系，且当时，．则与()的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得出，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：因为与成反比例关系，所以有 ，即 ， 解得．故 ． 故答案为： 7．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键．利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故答案为：或． 9．（2025九年级·全国·专题练习）某公园“水上滑梯”的侧面示意图如图所示，其中段可看成一段双曲线，表示水面．其中，入口，且，出口点距水面的距离为1m，则之间的水平距离的长度为 m． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，设双曲线的解析式为，得到，可求出的长度，通过，即可求出的长度． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点坐标为， 设双曲线的解析式为， ∴， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，识别图形是解题的关键． 10．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，与 轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数和反比例函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据进行解题． 【详解】（1）解：将，代入， 得 ， 解得 ：， ∴一次函数的表达式为：； 将代入， 得：， ∴反比例函数的表达式为 ：； （2）解：∵， ∴， 联立 ， 得 ：， ， ， ， ∴或， 当时，；当时，； ∴点 的坐标为， ∴． 12．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 13．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，时，求x的范围． (3)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题及依据轴对称性质求最短路线问题，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式是解题关键． （1）把代入中，可求得B点坐标为，再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式； （2）根据图象求得反比例函数的图象在直线上方的x的范围即可； （3）先根据反比例函数解析式求出点D的坐标，作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为， ∴把代入中，， ∴点B的坐标为， 又∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：由图象知，当时，时，x的范围为； （3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P， ∴， ∴， ∴最小值为的长， 将点代入，得：， ∴点， 则点关于x轴的对称点为， 设过、的直线解析式为：， 可得，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， 故点P的坐标为． 14．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 15．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标； (3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________． 若满足最小， 则点N的坐标为___________； 若满足最小，则点N的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)M点坐标或 (3) 或 (4)，， 【分析】（1）将A代入反比例函数求出反比例函数解析式，进而求得B点坐标，将点A和点B坐标代入一次函数求解，即可得到一次函数的解析式； （2）利用反比例函数关于原点对称得到点C的坐标，设点M坐标为，根据的面积为12，建立方程求解，即可解题； （3）根据一次函数与反比例函数图像的交点坐标，图形结合分析即可求解； （4）根据三角形三边关系推出，得到当三点共线时，最大，再结合求解，即可得到满足最大， 点N的坐标；根据绝对值性质得到，设点N坐标为，利用勾股定理建立等式求解，即可得到满足最小， 点N的坐标；作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，结合轴对称性质，以及一次函数与轴交点情况，即可得到满足最小，点N的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， ， 则反比例函数解析式为， ， 即B， 将A和B代入中， 得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A， C， 点M在 y轴上， 设点M坐标为， 的面积为12， ， 解得或， M点坐标为或； （3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点， 结合函数图象可知，x为 或 时，； 故答案为： 或 ； （4）解：， 当三点共线时，最大， ， 当时，， 若满足最大， 则点N的坐标为； 设点N坐标为， A，B， ，， 要满足最小，且， 即， 解得， 若满足最小， 则点N的坐标为； 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ， ， 当三点共线时，最小，即满足最小， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 即若满足最小，则N的坐标为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，根据函数图象求不等式解集，线段和差的最值问题，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 16．（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键． （1）根据题意，分别把，代入，即可求解； （2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可； （3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $