专题19 一次函数的图象和性质的九类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题19一次函数的图象和性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 类型六、根据一次函数的增减性求参数 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 类型八、画一次函数的图象 类型九、一次函数的平移问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数的识别 1.看形式：函数必须能整理成y=x+b的形式。 这里的x是自变量，y是因变量。 2.看系数： x的系数k不能为0 x的最高次数必须是1 -b可以是任意常数 例1，下列函数中，是一次函数的是() 4.y=-1 C.y=1-x D.y=2 【变式1-】下列函数Dy=:(2)=2+1:3)=:4y=-1:(5)y=在k为常 数)中，正比例函数的个数是() 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 【变式1-2】下列函数：①y=-x,②y=2x+1,③y=2+x-1,④P=x+2,其中一次函数为 () ①②③④ ①②④ ②④ ①② A. B. C. D. 类型二、一次函数的图象和性质 1.确定图像：一次函数的图像是一条直线。 b决定起点：直线与y轴的交点是(0，b)。 k决定方向：◇0时，直线从左到右上升；K0时，直线下降。 2.分析性质：函数的性质完全由k和b决定。 增减性：>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。 位置：b>0时，直线与y轴交于正半轴；b<0时，交于负半轴。 例2.关于正比例函数=-天 一4x,下列结论不正确的是() )1 A.点2)在函数= 4的图象上 B.y随x的增大而减小 C.图象经过原点 D.图象经过二、四象限 y=-2x+1 【变式2-1】对于一次函数 ,下列说法正确的是() A.y随x的增大而增大 y=-2x B.图象可由直线 向下平移1个单位得到 C.点 (2,W,B-都在直线y=-2x+1上，则<% D.图象经过第二、三、四象限 :y=-2x-3 【变式2-2】关于直线 下列说法正确的是() A.直线I在轴上的截距是3 B.直线经过第二、三、四象限 C.'随x的增大而增大 D.点2,5在直线1上 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 1.先看k,定方向： k>0,直线从左到右上升 -k<0,直线从左到右下降 2.再看b,定位置： -b>0,直线与y轴交于正半轴 -b<0,直线与y轴交于负半轴 3.组合判断象限： 把k和b的正负组合，就能确定直线经过的象限 例如：>0且b>0,直线经过一、二、三象限 例如：<0且b<0,直线经过二、三、四象限 y=-3x+2 例3.一次函数 的图象不经过第象限. 【变式3-】一次函数'=-1(k≠0) 的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的第象限 y=-4 与直线少2 y=-4 【变式3-2】已知直线 平行，则直线 不经过第_象限. 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 1.根据象限，反推k和b的符号 先看直线是上升还是下降，判断k的正负 再看直线与y轴交点在正半轴还是负半轴，判断b的正负 2.列出关于参数的不等式组 根据上一步得出的k和b的符号，列出不等式 例如：函数过一、三、四象限，意味着k0且b<0 3.解不等式组，得到参数范围 解列出的不等式组 求出参数的取值范围 y=+1 例4.若一次函数 图像经过第四象限，则 的取值范围是 【变式41】如果一次函数y=(m-)x+1 的图象一定经过第二、三象限，那么常数m的值可以是 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (写出一个即可). 【变式4-2】已知一次函数”=k-2x+3 的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 1.第一步，判断增减性： - 看函数解析式中的k值 -k>0:y随x的增大而增大 -k〈0：y随x的增大而减小 2.第二步，比较自变量： 题目会给出两个自变量的值，比如x1和x2 比较它们的大小，得出x1>2或1〈2 3.第三步，得出结论： -k>0:x大的，对应的y也大 x1〉x2→y1>y2 k<0:x大的，对应的y反而小 x1〉x2→y1〈y2 例5。已知点2，m、-3,川都在直线y=石x+1上，则m一m(填“>”、“<或“) 【变式5-1】已知点，5列川6(5，一2引都在函数”=-3x+5的图象上，则本的大小关系为一 (用“<”号连接) 【变式5-2】若点12川，点B-),点C3,1都在一次函数=+10的图象上，则4与少的大小 关系是一 类型六、根据一次函数的增减性求参数 1.第一步，明确性质与k的关系 -这是最核心的知识点，必须记牢 y随x的增大而增大→k>0 y随x的增大而减小→k<0 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.第二步，根据题意列出不等式 -题目会直接告诉你函数是"递增"还是"递减"的 你只需要根据上面的关系，列出关于参数的不等式 例如：函数y=(m-2)x+1是减函数 就直接列出不等式：m-2<0 3.第三步，解不等式，得到参数范围 ,解上一步列出的不等式 ·得出参数的取值范围 例如：解m-2<0,得到m<2 例6，已知-一次函数"=(1-mx+2 若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是一. 【变式6-1】若y关于x的一次函数=(m+4到x+m+2 y随x的增大而增大，则m的范围为一· 当lsrs2 【变式6-2】已知一次函数'=+10， 时，函数的最小值是5，则= 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 1.求与y轴的交点： -y轴上所有点的横坐标都是0 ,把0代入函数解析式 -计算得到y值，通常就是b -交点坐标是(0，b) 2.求与x轴的交点： -x轴上所有点的纵坐标都是0 -把y0代入函数解析式 解关于x的一元一次方程x+b=0 解得x=-b/k ,交点坐标是(b,0) y=-5x+5 例7.直线 与坐标轴围成的三角形的面积为一· y=-2x+b 【变式7-1】若直线 与x轴、y轴围成的三角形面积为9，则b=一 y=-kx+3 【变式7-2】如果直线 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型八、画一次函数的图象 1.首选找坐标轴交点： 这是最常用也最方便的方法 与y轴交点：令x=O,求出y值，得到点A(0,b) 与x轴交点：令y=0,求出x值，得到点B(-b/k,0) 2.利用函数性质快速画： 先确定直线经过的象限 找到与y轴的交点(0，b) 根据k值决定直线的上升或下降趋势 -再找一个容易计算的点，比如x=1时的点，两点连线 3.连线时注意： 用直尺把两个点连成一条直线 直线要画得长一些，超出两个点 最好在直线旁边标上函数解析式 y=2x-4 例8.作出函数 的图象，并根据图象回答问题： y>-4 ()当取何值时， (2)当-1≤x≤2时，求y的取值范围， y=2x+ 【变式8-1】已知一次函数 的图象与轴，'轴分别交于A、8两点。 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yA -6 4 ￥2 5 (1)求A、B两点的坐标： (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象 【变式8-2】已知函数y=-2x-4」 y=-2x-4 0 2 -5-4-3-2-10 2345 -2 -4 ()填表，并画出这个函数的图象： (2)若将函数y=-2x-4的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,求 △ABO的面积. 0 2 y=-2x-4 -4 0 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型九、一次函数的平移问题 1.上下平移：只改变常数项b -向上平移n个单位，解析式变为y=c+(b+m) -向下平移n个单位，解析式变为y=x+(b-m) 2.左右平移：要在x的后面进行加减 向左平移n个单位，解析式变为y=kx+n)+b -向右平移n个单位，解析式变为y=kx-m+b y=2x-1 例9.直线 的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为：一 【变式-】直线”=-向右平移3个单位后过点P2-3),则0=_ 0 y=2x-3 【变式9-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线 向上平移mm>0) )个单位所得 的直线经过点O,则m的值为一 压轴专练 一、单选题 1.(2024广东·模拟预测)一次函数y=-×-2的图象不经过的象限是（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2526八年级上全国单元测试)有下列函数：①y=:②y=8x-6:@-:@y -8x:⑤ y=5x2-4x+ .其中是一次函数的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.(24-25八年级下·上海金山阶段练习)已知 1,小B在直线y=-x+3上若<，下列判 断正确的() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.片<3 B.片=5 C.片>5 D.y≤为 4.（25-26八年级上·全国课后作业)一元一次方程-h= 的解是x=3 y=ax-b ，则函数 的图象与轴 的交点坐标是() 4.3g B.30 C.(a,0 D.(6,0) 5.(25-26八年级上重庆开学考试)对于一次函数”=-2r+1】 下列结论正确的是() ①函数的图象与'轴的交点坐标是L,0) ②函数的图象经过第一、二、四象限 国者小丙点该晒数图上，具 ，,则当>与 ①函数的图象向上平移1个单位长度得”=-2 的图象 A.① B.② C.③ D.④ 6.(25-26九年级上·河北邯郸·开学考试)己知一次函数y=+6,且y随着x的增大而减小，则它的大致 图象是() 6 A 二、填空题 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(a-2,a+1) 7.(24-25八年级上·广东梅州期中)已知点 在一次函数'=2x+的图象上，则a=一 y=2x 8.(2025·天津西青·二模)一次函数”的图象向上平移个单位后的函数表达式为一· 9.(23-24八年级下吉林长春期中)已知一次函数y=-3x+m,点 3,aB(4,b) 为函数图像上两点， 则a与b的大小关系为ab.(填>，=，<) 10.(25-26八年级上全国课后作业)一次函数"=3-- 的图象经过第一、三、四象限，则的取值 范围是 1山.(24-25八年级下山东济宁阶段练习)已知一次函数'=(3-x+长-3，若随x的增大而增大，则 k的取值范围是。 2.(24-25八年级上江西抚州期末)如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A,B,在x轴上 作一点C,使得△ABC是以AB为腰作等腰三角形，则点C的坐标为一· B A 三、解答题 13.(24-25八年级上·安徽毫州阶段练习)已知直线”=c+b过点3，-2和(4,0)。 (I)求直线的函数关系式： (2)判断点 山，-6)是否在此直线上，请简要写出过程。 14。(24-25八年级下吉林白山期末)已知-次函数”=-2x+b, (1,1) 它的图象经过 (I)求y与x的函数关系式： P(1,10 (2)判断点 是否在该函数图象上· 10/13 专题19 一次函数的图象和性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 类型六、根据一次函数的增减性求参数 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 类型八、画一次函数的图象 类型九、一次函数的平移问题 压轴专练 类型一、一次函数的识别 1.看形式：函数必须能整理成 y = kx + b 的形式。 这里的 x 是自变量，y 是因变量。 2.看系数： - x 的系数 k 不能为 0 - x 的最高次数必须是 1 - b 可以是任意常数 例1．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A．函数其形式为（为常数，） ，不符合一次函数（，为常数，）的形式，故该选项不符合题意； B．函数是其自变量的最高次数是 ，不符合一次函数自变量最高次数为的要求，故该选项不符合题意； C．函数可变形为 ，符合一次函数（，，）的形式，故该选项符合题意； D．函数是常数函数，无论取何值，的值恒为 ，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（k为常数）中，正比例函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【详解】解：(1)是正比例函数； (2)，是一次函数，不是正比例函数； (3)不是正比例函数； (4)不是正比例函数； (5)（k是常数），当时，不是函数，当时，是正比例函数； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：A． 【变式1-2】下列函数：，，，，其中一次函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义即可判断求解，解题的关键是正确理解一次函数定义，形如，其中，是常数． 【详解】解：根据一次函数定义可得：是一次函数；是一次函数；不是一次函数；不是一次函数； 综上可得，一次函数为 故选：． 类型二、一次函数的图象和性质 1.确定图像：一次函数的图像是一条直线。 - b决定起点：直线与y轴的交点是(0, b)。 - k决定方向：k>0时，直线从左到右上升；k<0时，直线下降。 2.分析性质：函数的性质完全由k和b决定。 - 增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。 - 位置：b>0时，直线与y轴交于正半轴；b<0时，交于负半轴。 例2．关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式2-1】对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象可由直线向下平移1个单位得到 C．点，都在直线1上，则 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A、，的值随值的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、一次函数可由直线向上平移1个单位得到，原说法错误，不符合题意； C、的值随值的增大而减小，，，则该说法正确，符合题意； D、，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； 故选：D ． 【变式2-2】关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 1. 先看k，定方向： - k > 0，直线从左到右上升 - k < 0，直线从左到右下降 2. 再看b，定位置： - b > 0，直线与y轴交于正半轴 - b < 0，直线与y轴交于负半轴 3. 组合判断象限： - 把k和b的正负组合，就能确定直线经过的象限 - 例如：k>0且b>0，直线经过一、二、三象限 - 例如：k<0且b<0，直线经过二、三、四象限 例3．一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式3-1】一次函数的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的第 象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质、判断一次函数的图象所经过的象限，由一次函数的增减性得出，结合即可得出该函数图象经过第二、三、四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 【变式3-2】已知直线与直线平行，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，根据两直线平行可知两直线解析式的一次项系数相等，则，据此可得直线经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴则直线经过第一、三、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 1.根据象限，反推k和b的符号 - 先看直线是上升还是下降，判断k的正负 - 再看直线与y轴交点在正半轴还是负半轴，判断b的正负 2.列出关于参数的不等式组 - 根据上一步得出的k和b的符号，列出不等式 - 例如：函数过一、三、四象限，意味着k>0且b<0 3.解不等式组，得到参数范围 - 解列出的不等式组 - 求出参数的取值范围 例4．若一次函数图像经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图形经过象限的判定方法是关键． 根据一次函数经过第四象限，一次函数与轴的交点即可判定． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图像与轴交于正半轴， ∵一次函数图象经过第四象限， ∴， 故答案为： ． 【变式4-1】如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象与系数的关系可知，进一步给取值即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象经过第二、三象限，且恒过点， ∴一次函数（为常数）的图象经过第一、二、三象限，     ，即， ∴的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式4-2】已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于k的不等式是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 1.第一步，判断增减性： - 看函数解析式中的 k 值 - k > 0：y 随 x 的增大而增大 - k < 0：y 随 x 的增大而减小 2.第二步，比较自变量： - 题目会给出两个自变量的值，比如 x₁ 和 x₂ - 比较它们的大小，得出 x₁ > x₂ 或 x₁ < x₂ 3.第三步，得出结论： - k > 0：x 大的，对应的 y 也大 - x₁ > x₂ → y₁ > y₂ - k < 0：x 大的，对应的 y 反而小 - x₁ > x₂ → y₁ < y₂ 例5．已知点、都在直线上，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征即可求解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 类型六、根据一次函数的增减性求参数 1. 第一步，明确性质与k的关系 - 这是最核心的知识点，必须记牢 - y随x的增大而增大 → k > 0 - y随x的增大而减小 → k < 0 2. 第二步，根据题意列出不等式 - 题目会直接告诉你函数是"递增"还是"递减"的 - 你只需要根据上面的关系，列出关于参数的不等式 - 例如：函数y = (m-2)x + 1是减函数 - 就直接列出不等式：m - 2 < 0 3. 第三步，解不等式，得到参数范围 - 解上一步列出的不等式 - 得出参数的取值范围 - 例如：解m - 2 < 0，得到m < 2 例6．已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质得出，求解即可． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式6-1】若y关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握系数的意义． 利用一次函数与系数的关系，、决定着函数图象的位置，在一次函数中，当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，即可判断． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式6-2】已知一次函数，当时，函数的最小值是5，则 ． 【答案】5或 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键，注意分情况讨论． 分情况讨论：①时，当时，函数取得最小值5，②时，当时，函数取得最小值5，分别求解即可． 【详解】解：①时， 当时，函数取得最小值5， ， 解得； ②时， 当时，函数取得最小值5， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：5或． 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 1. 求与y轴的交点： - y轴上所有点的横坐标都是0 - 把x=0代入函数解析式 - 计算得到y值，通常就是b - 交点坐标是 (0, b) 2. 求与x轴的交点： - x轴上所有点的纵坐标都是0 - 把y=0代入函数解析式 - 解关于x的一元一次方程  kx + b = 0  - 解得x = -b/k - 交点坐标是 (-b/k, 0) 例7．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：由直线得：当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 【变式7-1】若直线与x轴、y轴围成的三角形面积为9，则b＝ ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先用b表示出直线与x、y轴的交点，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为． ∵直线与x轴、y轴围成的三角形面积为9， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，再根据三角形面积公式得到，然后解方程即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴， 解得：， 故答案为：或． 类型八、画一次函数的图象 1. 首选找坐标轴交点： - 这是最常用也最方便的方法 - 与y轴交点：令x=0，求出y值，得到点A(0, b) - 与x轴交点：令y=0，求出x值，得到点B(-b/k, 0) 2. 利用函数性质快速画： - 先确定直线经过的象限 - 找到与y轴的交点(0, b) - 根据k值决定直线的上升或下降趋势 - 再找一个容易计算的点，比如x=1时的点，两点连线 3. 连线时注意： - 用直尺把两个点连成一条直线 - 直线要画得长一些，超出两个点 - 最好在直线旁边标上函数解析式 例8．作出函数的图象，并根据图象回答问题： (1)当取何值时，？ (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数自变量和函数值的取值范围，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用描点法画出对应的函数图象，再根据函数图象进行求解即可； （2）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示函数图象即为所求， 由函数图象可得，当． （2）解：由函数图象可得，当时，． 【变式8-1】已知一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数图像的画法是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点、坐标即可； （2）根据点、坐标，画出一次函数图象即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴， （2）如图，直线即为所求． 【变式8-2】已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）将代入即可求出y的值，将代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象； （2）先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得：． 填写表格如下， x 0 0 图象见下图： ； （2）解：平移后的直线为， 即， 当时，， 当时，， 解得：， 则点A的坐标为，点B的坐标为． 所以的面积． 类型九、一次函数的平移问题 1. 上下平移：只改变常数项b - 向上平移n个单位，解析式变为  y = kx + (b + n)  - 向下平移n个单位，解析式变为  y = kx + (b - n)  2. 左右平移：要在x的后面进行加减 - 向左平移n个单位，解析式变为  y = k(x + n) + b  - 向右平移n个单位，解析式变为  y = k(x - n) + b  例9．直线的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为： ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟记平移法则“左加右减，上加下减”来直接得到平移后的解析式．根据平移的规则“上加下减”即可得出结论． 【详解】解：直线的图象向下平移4个单位，所得直线的函数解析式为，即， 故答案为：． 【变式9-1】直线向右平移个单位后过点，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据点的平移求得直线向右平移个单位前过点，再利用待定系数法即可求得的值，根据平移规律得到平移前过点是解题的关键． 【详解】解：∵直线向右平移个单位后过点， ∴直线向右平移个单位前过点， 把点代入直线得，， ， 故答案为：． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移个单位所得的直线，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：∵直线向上平移个单位， ∴平移后的直线为， ∵所得的直线经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特点是解题关键．根据一次函数中的即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，一般地，形如（是常数）的函数，叫做一次函数．当时，函数为，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．据此解答即可． 【详解】解：①是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②是一次函数，符合题意； ③中不是整式，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤中x的次数是2，不符合题意； 综上，共有3个一次函数． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐项判断即可． 【详解】一次函数的图象与轴的交点坐标是，故本选项不符合题意； ②一次函数的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意； ③若两点在该函数图象上， ∵，y随x的增大而减小， ∴时，，不正确， 故本选项不符合题意； ④一次函数的图象向上平移1个单位长度得的图象，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先求出该一次函数与轴的交点坐标为，再结合题意可得一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，故该一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数，且随着的增大而减小， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图所示： 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点P坐标代入中求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， 故答案为：4． 8．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，点，为函数图像上两点，则a与b的大小关系为a b．（填） 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，即可求解． 【详解】解：中， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性得到，求出不等式的结果即可． 【详解】解：函数，y随x的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线过点和． (1)求直线的函数关系式； (2)判断点是否在此直线上，请简要写出过程． 【答案】(1) (2)点在此直线上，过程见解析 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴； （2）点在此直线上，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴点在此直线上． 14．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算即可． （2）将点P坐标代入（1）中所得解析式进行验证即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：点P不在该函数图象上， 将代入得，， ∴点P不在该函数图象上． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义可得出关于m的一元一次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值； （2）由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （3）由直线不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过坐标原点， ∴且， 解得：． 故m为时，函数的图象经过坐标原点． （2）解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：． 故时，直线经过第一、二、三象限． （3）解：∵直线不经过第三象限， ∴， 解得， 故时，直线不经过第三象限． 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是（1）利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【详解】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 18．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由图象过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由图象经过第一、三、四象限，则＞，且＜，进而计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）中，，则，从而当时，，且随的增大而减小，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点 ， 解得. （2）一次函数的图象经过第一、三、四象限 解得 （3）由题意，由（1）可得：， ． 当时，，且随的增大而减小． 又， 19．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)，5 (2)见详解 (3)点不在函数图象上,点在函数图象上 【分析】本题考查的是函数图象，判断点是否在图象上，解题的关键是通过描点画出函数图象，从表格中读取相关的信息． （1）利用函数解析式进行求的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）将点的横坐标代入解析式，得到的函数值和纵坐标进行比较即可． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； 故答案为：，5； （2）解：如图所示； （3）解： 当时，，， ∴点不在函数图象上； 当时，，， ∴点在函数图象上； 20．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入直线中，可直接求出的值；再把点的坐标代入中，即可求出的值； （2）先根据得，，进而可求出，的面积，设，由，则，代入数据求解即可； （3）分两种情况：当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点，得到，即点到直线的距离等于4，证得，得到点的坐标，再由待定系数法求得直线解析式即可求解；当在轴上方时，同理即可求解． 【详解】（1）解：把代入直线得，， ∴， ∵直线过点， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上，且， ∴点在轴下方， 如图，设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴到直线的距离等于4， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 如图，当在轴上方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， 同理：，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 综上可知：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $