专题20 一次函数中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题20一次函数中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 1.必须是整式：函数表达式必须是整式，不能有分母含有x的情况。 2.x的最高次数是1：确保x的次数是1，不能是2或其他数字。 3.k的值不为0：x的系数k必须不等于0，这是一次函数的关键条件。 例1.若y=(k-2)x+3是关于x的一次函数，则k的值为 【变式1-1】已知函数y=(m-1)xm+2025是关于x的一次函数，则m的值为】 【变式1-2】若函数y=(a-4)x3+2a+1是一次函数，则a=」 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 1.从图像中读取信息： 观察直线是上升还是下降，确定k的正负 看直线与y轴的交点在正半轴还是负半轴，确定b的正负 例如：图像过一、三、四象限，说明>0且b<0 2.列出不等式并求解： 根据上一步得到的k和b的符号，列出不等式组 解这个不等式组，就能得到参数的取值范围 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例2.若关于x的一次函数y=m-1)x+m-5不经过第二象限，则m的取值范围是 【变式2-1】一次函数y=(3-)x+m-1的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是_ 【变式2-2】已知直线y=（-3m+5)x-1上两点A(x,y),B(x2,y2),当x1<x时，有y1>2,那么m的取 值范围是 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 1.从图像中读取信息： 观察直线是上升还是下降，确定k的正负 看直线与y轴的交点在正半轴还是负半轴，确定b的正负 ·例如：图像过一、三、四象限，说明心0且b<0 2.列出不等式并求解： 根据上一步得到的k和b的符号，列出不等式组 解这个不等式组，就能得到参数的取值范围 例3.下列关于一次函数y=-2x+b的判断，正确的是() A.点A(x,乃)，点B(x2,y2)在该函数的图象上，若x>x2>0,则八<0<y2 B.当b<0时，该函数图象经过一、三、四象限 C.若关于x的方程2x-b=0的解是x=m,则y=-2x+b的图象恒过点(m,0 D.若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则b=-2 【变式3-1】若直线y=x(k为常数且k≠0)经过点(-2,4)，将直线y=x向上平移3个单位长度后得 到直线：y=+b(k,b为常数且k≠O),则下列关于直线：y=x+b的说法正确的是() A.1与y轴的交点坐标是(3,0) B.若Ax,y),B(x2,y2)两点在1上，且x<x2,则y>y2 C.点(-2,1)在1上 D.I经过第一、二、三象限 【变式3-2】已知一次函数y=x+3k-2(k≠0，k是常数)，则下列结论正确的个数有()个 ①若点A(2,8)在一次函数y=x+3k-2的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； ②若3k-2>0,则一次函数y=kx+3k-2图象上任意两点E(a,b,)和F(a2,b)满足：(a1-a2)b,-b2)<0; 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③若一次函数y=+3k-2的图象不经过第四象限，则0<k<行： 2 ④若对于一次函数y=x+7(t≠0)和y=x+3k-2,无论x取任何实数，总有x+7>kx+3k-2,k的取 值范围是0<k<3或k<0. A.1 B.2 C.3 D.4 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 1.判断是否平行： 看两个函数的k值是否相等 =且b1≠b2:两直线平行，没有交点，不共存 =点且b1=b2:两直线重合，有无数个交点，完全共存 2.判断是否相交： ≠：：两直线一定相交，有且只有一个交点 要确定这个交点是否在某个指定范围内（如某象限），需要解方程组 求出交点坐标(x,y),再根据范围列出不等式组 解不等式组得到参数的取值范围 例4.在同一坐标系中，函数y=c与y=3x+k的图象大致是() 【变式4-1】在同一平面直角坐标系中，函数y=x和y=x+k(k≠0，k为常数)的图象可能是() 【变式4-2】两个一次函数y,=mx-n与y2=x+m,它们在同一直角坐标系中的图象可能是( 3/7 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 卡才 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 1.先看k和b,确定大方向： 先分析函数的增减性、与坐标轴的交点等基本性质 这一步是解题的基础，能帮你确定参数的初步范围 2.再看图像关系，列方程或不等式： 如果题目涉及两个函数图像的位置关系，比如平行或相交 平行：则k值相等，b值不等 相交：则k值不等，可联立方程求出交点坐标 3.最后结合限定条件，锁定参数范围： 题目通常会给一些额外条件，如”图像经过某点”或”交点在某象限” 把这些条件转化为关于参数的方程或不等式 最后解出参数的精确范围 例5.已知一次函数y=(k-2)x-3k+12, (1)k为何值时，函数图象经过点(0,9)？ (2)若一次函数y=(k-2)x-3k+12的函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围： (3)直接写出一次函数y=k-2)x-3k+12的图象经过定点坐标. 【变式5-1】一次函数y=ax+b(a≠0)的图象恒过定点(1,0). (1)若一次函数y=ar+b(a≠0)的图象还经过点(2,3)， ①求该一次函数的表达式. ②将点A3,4)向右平移1个单位，再向上平移m(m>0)个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值. (2)当-2≤x≤4时，一次函数y=ax+ba≠0)的最大值和最小值的差是6，求b的值. 【变式5-2】已知y=(m+2)xm++5是一次函数， (1)求m的值： 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点A(2,y),B(-1,y2)均在该一次函数的图象上，试比较y,的大小关系，并说明理由. (3)将点C(a,6)向下平移3个单位长度，得到点D,恰好点D在该一次函数图象上，求一次函数y=x-2的 图象与线段CD有交点时k的取值范围. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下广东惠州阶段练习)若函数y=xm+3是关于x的一次函数，则m的值是() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2024广东·模拟预测)已知一次函数y=kx+2024的图像经过点A,且y随x的增大而减小，则点A的 坐标可以是() A.（-1,2023) B.(1,2019) C.(2,2024) D.(3,2025) 3.(24-25八年级下.青海玉树·期末)已知一次函数y=(1+2k)x-5的图象经过点M(x,y)和点N(x2,y2, 且当x>x时，<2·则k的值可能是() B.0 C.-1 D. 4.(2025八年级上·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，若a>b,一次函数y=a+b与y=bx+a的 图象可能为() 5.(24-25八年级上全国·期末)关于函数y=(k-3x+k,给出下列结论： 5/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当k≠3时，此函数是一次函数： ②无论k取什么值，函数图象必经过点(-1,3)； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0; ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0<k<3. 其中正确结论的序号是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(24-25八年级上·宁夏固原·期末)已知函数y=(m-2)xm-1-3是关于x的一次函数，则m= 7.(24-25八年级下·重庆期末)若点A(-1,y)和B(2,y2)在一次函数y=m2+1x+3的图象上，则% (用“>”、“<”或“=”连接) 8.(25-26八年级上·全国·课后作业)己知一次函数y=(k-3)x-1的图象经过第二、三、四象限，则k的取 值范围是一· 9.(25-26八年级上·全国·周测)已知y关于x的一次函数y=(2m-4)x+1-3m,函数值y随x的增大而减 小，且该函数图象过第三象限，则m的取值范围是一· 10.(24-25八年级下山东日照期末)一次函数y=c+3(k为常数，且k≠0)，当-3≤x≤4时，y的最大 位是子，则的能是 三、解答题 11.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试)己知一次函数y=（2m-1x+m+5. (1)若函数图象经过原点，求m的值： (2)若函数图象平行于直线y=3x-1,求m的值. 12.(25-26八年级上全国课后作业)已知函数y=(m-5)xm-24+m+1. (I)若它是一次函数，求m的值. (②)是否存在m使它是正比例函数？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由， 13.(23-24八年级下·吉林延边期中)已知y关于x的一次函数y=(4-m)x+2m-10, 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若函数值y随着x的增大而增大，则m的取值范围是_ (②)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围. 14.(2024八年级上·安徽阜阳·竞赛)己知一次函数y=(a-1)x-2a+1,其中a为常数，且a≠1. (1)若点(1，-2)在该一次函数的图象上，求a的值： (②)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势： 15.(23-24八年级下湖南株洲期中)定义：直线y=ax+b与直线y=bx+a互为“友好直线”.如：直线 y=2x+1与直线y=x+2互为“友好直线”. (1)点M(m,2)在直线y=-x+4的“友好直线”上，则=_： (2)直线y=4x+3上的一点M(m,m)又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线y=a+b上的任意一点M(m,n),都有点N(2m,m-2n)在它的“友好直线”上，求a、b的值. 16.(25-26七年级上全国课后作业)若两个一次函数y=kx+b,k,≠0)，y=k2x+bk2≠0)，则称函数 y=(k,+k2)x+b,b,为这两个函数的“和谐函数”. (1)求一次函数y=2x+3与y=-4x+4的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与x轴相交于点A,与y轴相 交于点B,求△ABO的面积； (2)若一次函数y=-ax+1,y=x-2b的“和谐函数”为y=4x+3,则a=,b=； (3)已知一次函数y=x+b与y=-kx+5的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数k、b满足的条 件为：k1且b0（用“>”或“<”填空). 7/7 专题20 一次函数中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 类型一、利用一次函数的定义求参数 1.必须是整式：函数表达式必须是整式，不能有分母含有x的情况。 2.x的最高次数是1：确保x的次数是1，不能是2或其他数字。 3.k的值不为0：x的系数k必须不等于0，这是一次函数的关键条件。 例1．若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且，解得． 故答案为：． 【变式1-2】若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， 且， ． 故答案为：． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 1.从图像中读取信息： - 观察直线是上升还是下降，确定k的正负 - 看直线与y轴的交点在正半轴还是负半轴，确定b的正负 - 例如：图像过一、三、四象限，说明k>0且b<0 2.列出不等式并求解： - 根据上一步得到的k和b的符号，列出不等式组 - 解这个不等式组，就能得到参数的取值范围 例2．若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式2-1】一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小．先根据当时，有，得到随的增大而减小，所以的比例系数小于0，那么，解不等式即可求解． 【详解】解：当时，有 随的增大而减小， ， ． 故答案是：． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 1. 从图像中读取信息： - 观察直线是上升还是下降，确定k的正负 - 看直线与y轴的交点在正半轴还是负半轴，确定b的正负 - 例如：图像过一、三、四象限，说明k>0且b<0 2. 列出不等式并求解： - 根据上一步得到的k和b的符号，列出不等式组 - 解这个不等式组，就能得到参数的取值范围 例3．下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，一次函数的性质和一次函数图象的平移问题，根据增减性可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；先根据方程的解的定义得到，则解析式为，据此可判断C；求出平移后的解析式，再利用待定系数法求出b的值即可判断D． 【详解】解；∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，点在该函数的图象上，且， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，该函数图象经过二、三、四象限，故B错误，不符合题意； 若关于x的方程的解是，则，则，则的图象恒过点，故C正确，符合题意； 该函数的图象向右平移2个单位后的解析式为， 把代入中得，解得，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题． 【详解】解：∵直线（为常数且）经过点， ∴， 解得：， ∴ 则直线向上平移3个单位后得到， 当，则与轴的交点坐标是，故A错误，不符合题意； ∵，则随的增大的增大， 那么若两点在上，且，则，故B错误，不符合题意； 当时，，则点不在上，故C错误，不符合题意； 由于，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意， 故选：D． 【变式3-2】已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（　　）个 ①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是； ②若，则一次函数图象上任意两点和满足：； ③若一次函数的图象不经过第四象限，则；     ④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，函数图形经过的象限的判定方法，函数图象与坐标轴交点的计算等知识是解题的关键． 把点代入一次函数可得一次函数的解析式，由此得到一次函与坐标轴的交点，结合面积的计算可判定①；根据一次函数的增减性可判定②；根据函数经过象限的判定方法可得③；根据函数图象的中函数值的大小的判定，一次函数图象平行的性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：若点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴一次函数图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故①错误，不符合题意； 若，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大， ∴图象上任意两点和， 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， 综上所述，，故②错误，不符合题意； ∵一次函数， ∴当时，，即一次函数恒过， 若一次函数的图象不经过第四象限，则， ∴，故③错误，不符合题意； 若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有， ∴一次函数（）和平行， 当时，，则， 当时，，成立， ∴的取值范围是或，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共1个， 故选：A ． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 1.判断是否平行： - 看两个函数的k值是否相等 - k₁= k₂且 b₁≠ b₂：两直线平行，没有交点，不共存 - k₁= k₂且 b₁= b₂：两直线重合，有无数个交点，完全共存 2.判断是否相交： - k₁≠ k₂：两直线一定相交，有且只有一个交点 - 要确定这个交点是否在某个指定范围内（如某象限），需要解方程组 - 求出交点坐标(x, y)，再根据范围列出不等式组 - 解不等式组得到参数的取值范围 例4．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 【变式4-1】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BC； 当时， ∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A不符合题意； 当时， ∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点下方，选项D不符合题意； 故选：D． 【变式4-2】两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 1.先看k和b，确定大方向： - 先分析函数的增减性、与坐标轴的交点等基本性质 - 这一步是解题的基础，能帮你确定参数的初步范围 2.再看图像关系，列方程或不等式： - 如果题目涉及两个函数图像的位置关系，比如平行或相交 - 平行：则k值相等，b值不等 - 相交：则k值不等，可联立方程求出交点坐标 3.最后结合限定条件，锁定参数范围： - 题目通常会给一些额外条件，如"图像经过某点"或"交点在某象限" - 把这些条件转化为关于参数的方程或不等式 - 最后解出参数的精确范围 例5．已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 【变式5-1】一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 【变式5-2】已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． （2）解：根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3）解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的图像，一次函数的图像经过点；当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小．解题的关键是熟练掌握对一次函数图像的影响．根据题意，y随x的增大而减小，则为负值，分别将各选项坐标代入函数，求出值，判断即可得出结论． 【详解】A．把代入，可得，移项可得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．把代入，可得，移项可得，满足y随x的增大而减小，故本选项符合题意； C．把代入，可得，移项可得 ，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D．把代入，可得，移项可得，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且当时，．则的值可能是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先判断出函数的增减性，得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可能是． 故选：C 4．（2025八年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，若，一次函数与的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键，通过分析的正负性确定两个一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于， 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于， 当时，， 一次函数与的图象都经过一、二、三象限，图象大致如图①所示； 当时， 一次函数经过第一、三、四象限，一次函数经过第一、二、四象限，图象大致如图②或图③所示； 当时，， 一次函数与的图象都经过二、三、四象限，图象大致如图④所示； 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）若点和在一次函数的图象上，则 （用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， 又∵点和在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 根据一次函数图象的性质即可列出不等式求出的范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：. 9．（25-26八年级上·全国·周测）已知y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，求不等式组的解集，根据一次函数增减性求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 因为y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限，所以得出，再解出这个不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限， ∴， 由解得；由解得； ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线平行，则比例系数相等的知识是解题的关键． （1）一次函数经过原点，把代入，由此即可求解； （2）两条直线，则比例系数相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 把代入得， 解得：． （2）解：因为函数图象平行于直线， ∴， 解得：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数为一次函数时，的系数，次数； （2）根据函数为正比例函数进行解答即可. 【详解】（1）解：因为是一次函数， 所以， 解得， 所以． （2）不存在． 理由：当是正比例函数时，， 解得， 所以这样的不存在． 13．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 14．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）已知一次函数，其中a为常数，且． (1)若点在该一次函数的图象上，求a的值； (2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 【答案】(1) (2)随着的增大而减小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出a的值即可； （2）求出直线与y轴的交点，进而求出的取值范围，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：； （2）∵， ∴ 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵该函数的图象与y轴的交点位于原点上方， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而减小． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $