专题24 一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题24 一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中分段函数探究问题 类型五、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第n项的表达式。 这可能是一个坐标  (n, y) ，也可能是一个函数解析式  y = knx + bn 。 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ．（结果要求最简形式） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 类型二、一次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于已知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的"折线"转化为"直线"。 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与已知直线的交点，完成解答。 例2．平面直角坐标系内，已知点和点，点为轴上一动点，当最小时．点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，一次函数的实际应用； 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，根据轴对称求最短路径的方法可知此时点P即为最小时点的位置，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点的坐标． 【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 则， ∴， ∴与x轴的交点P即为最小时点的位置， ∵， ∴ 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2-1】一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点， 点的坐标为，点的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 此时点的坐标为． 故答案为： ． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在一条直线，上，当的周长最小时，点的坐标是 ，周长的最小值是 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了最短路线问题以及运用待定系数法求函数的解析式，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点，根据题意确定点的位置是解题的关键． 【详解】如图，作点关于轴对称点点，连接，交轴于点， ∵， ∴两点之间线段最短，则点即为所求； ∴， ∵， 则对称点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，，则点， ∵， ∴周长的最小值是， 故答案为：，． 【变式2-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1. 掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 - 向上平移m个单位，解析式变为  y = kx + b + m  - 向下平移m个单位，解析式变为  y = kx + b - m  - 向左平移m个单位，解析式变为  y = k(x + m) + b  - 向右平移m个单位，解析式变为  y = k(x - m) + b  2. 结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3. 求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b'，从而确定平移后直线的完整解析式。 例3．在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键． （1）求得点A、B坐标即可求解； （2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， ∴； 当时，由得， 则， ∴； （2）解：连接， 根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且， ∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为； （3）解：存在．理由如下， 设平移距离为b，则，， 设，由题意，，， ∴， 解得， ∴设， 当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，则； 当M在上方时，如图， 同理可证，， ∴，， 解得，则， 综上，满足条件的点E的坐标为或． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴轴， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 将代入得，，整理得，． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键． 类型四、一次函数中分段函数探究问题 1.理解分段的意义：首先要弄清楚为什么要分段。 - 通常是因为在不同的自变量范围内，变量之间的变化规律不同 - 例如：出租车计价、水电费收取等问题 - 不同区间对应不同的收费标准 2.求出各段解析式：在每个自变量的子区间内，把它当作普通一次函数问题来解。 - 利用待定系数法求出该区间对应的函数解析式 - 注意明确写出每段函数的自变量取值范围 3.综合应用解决问题：根据题目要求，判断需要用到哪一段或几段函数。 - 将数值代入对应的解析式进行计算 - 确保计算时使用的是自变量所在区间的那一段表达式 例4．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 【变式4-1】探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【变式4-2】某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 类型五、一次函数中的新定义型综合问题 1.仔细阅读，理解定义：这是最重要的一步。 - 题目会给出一个全新的概念或运算规则 - 比如"伴随函数"、"等距点"等 - 逐字逐句分析定义，直到完全理解它的数学含义 2.转化定义，建立联系：把新定义翻译成我们熟悉的数学语言。 - 将文字描述转化为坐标、解析式或几何图形 - 建立新定义与一次函数知识的桥梁 - 如"两点关于直线对称"可转化为中点在直线上，且连线与直线垂直 3.运用知识，求解问题：利用转化后的数学模型和已知条件。 - 通过列方程、计算等方式解决问题 - 得出答案后，再用新定义检验一遍，确保符合题意 例5．我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数与的图像都经过轴上的同一个点，所以这两个函数为“交轴一次函数”． (1)一次函数与是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”． (2)已知一次函数，，若与互为“交轴一次函数”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解，一次函数与是“交轴一次函数” (2)与互为“交轴一次函数”时，的值为或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据一次函数以坐标轴的交点坐标的计算方法，“交轴一次函数”的定义即可求解； （2）根据与互为“交轴一次函数”，分类讨论，①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，在中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； 同理，一次函数中，令时，；令时，； ∴一次函数与轴的交点为，与轴的交点为； ∴一次函数与的图像与轴的交点不同，与轴的交点不同， ∴一次函数与不是“交轴一次函数”； 当时，则时，， ∴一次函数中，函数值，即一次函数与的图像都经过轴上的同一个点， ∴一次函数与是“交轴一次函数”． （2）解：∵一次函数，，若与互为“交轴一次函数”， ①当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； ②当与的图像都经过轴上的同一个点时，即， ∴在中，， ∴一次函数，的图像都经过轴上的同一个点， ∴在中，，解得，； 综上所述，与互为“交轴一次函数”时，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义新运算，掌握一次函数图形的性质，一次函数与坐标轴交点的计算方法代入求值是解题的关键． 【变式5-1】定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 【变式5-2】定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）新定义题  规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，先根据“特征数”确定一次函数表达式，利用正比例函数定义求出的值，再计算点的坐标然后即可得出所在象限. 【详解】解：根据题意可得为正比例函数； 解得 可化为，它在第一象限， 故选：A. 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理．如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴周长的最小值是， 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律．本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 6．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·周测）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，则 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法．利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：设直线图象上“5阶和点”为， 则， ∵直线经过一、二、三象限， 当在第一象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 当在第二象限，则， 方程无解， 在第三象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 故答案为：6或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 11．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 12．（24-25八年级下·海南·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________； 当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)，减小，增大 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：3； （2）解：先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求： （3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； （4）解：依题意， 则或， 解得或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）当四边形为为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离． 【详解】（1）解：设，设，则． ∵，，， ∴，， ∴四边形的周长 ． 故答案为：8； （2）解：∵当四边形为正方形时，， 即，解得：， ∴． ∵正方形的面积被直线分成两个部分， ∴两部分的面积分别为1和3． 当时，如图1所示： ∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，由得， ∴，， ∴，又， ∴，则， ∴为等腰直角三角形． ∴． 由． ∴（负值已舍去），即； 当时，如图2所示： ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，解得：． ∴，即． 综上所述，当平移的距离为或时，正方形的面积被直线分成两个部分． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与几何的综合应用，解答本题主要应用了一函数图象的点的坐标与函数解析式的关系、坐标与图形、平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得、是等腰直角三角形是解题的关键． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式，点的坐标为； (2) (3)；，， 【分析】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． （）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将代入关系式，求出，即可得出点的坐标； （）确定点关于x轴的对称点，再根据轴对称说明的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （）①先求出，，再根据得出答案； ②先以为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可； 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，分别把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，如图， 当点，，三点共线，即连接交轴于点，此时存在点使的值最小，的值最小为； （3）解：根据题意可知 ，，， ， 以为直角边作等腰直角，，则为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴轴， ∴， 则点，， ∵， ∴ 轴，， 则点， 综上所述：，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题24一次函数中规律、最值、平移与新定义型问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中分段函数探究问题 类型五、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第项的表达式。 这可能是一个坐标(n,y)，也可能是一个函数解析式y=kx+bn 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1.(24-25八年级上河北保定期中)如图，过点4,0 作x轴的垂线，交直线'=2x于点B:点4与 点0关于直线44对称：过点42,0)作x轴的垂线，交直线=2r于点品；点4与点0关于直线4品对 称；过点作轴的垂线，交直线”=2于点B,按B此规律作下去，则点B的坐标为一 B B3 B. ”的坐标为 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B2 Bv A A2 A3 【变式1-1】(24-25八年级下·河南三门峡·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为 y=X,点4的坐标为5.0)，以0为圆心，04为半径画弧，交直线1于点B,过点B作直线1的垂线交 x轴于点，以0为圆心，0A为半径画弧，交直线'于点品，过点8作直线'的垂线交”轴于点4，以 0为圆心 O 4为半径画弧，交直线'于点8，过点B作直线的垂线交轴于点4，，按照这样的 B3 A 规律进行下去， A,o0的横坐标是一· (结果要求最简形式) B B2 B A3 类型二、一次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于己知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的"折线“转化为”直线”。 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与己知直线的交点，完成解答。 A-3,1 例2.平面直角坐标系内，已知点 和点B(0,2,点P为轴上一动点，当PA+PB最小时.点P的 坐标为一· 【变式2-】一次函数=+b的图象交轴、V轴分别于点14,0，BQ8,点C,D分别是01，B 的中点，若P是OB上一动点.当△DPC周长最小时，P的坐标是一 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为1,4和3,0，点C是》轴上的一个动点， 且A,B,C三点不在一条直线，上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是一，△ABC周长的最小值是 B 【变式2-3】如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C在线段AB上，且到x轴的距离 为1. 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2 (1)点B的坐标为 点C的坐标为 (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，PC+PB的值最小，直接写出 最小值 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1.掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 向上平移m个单位，解析式变为y=x+b+m 向下平移m个单位，解析式变为y=x+b-m 向左平移m个单位，解析式变为y=kx+m)+b -向右平移m个单位，解析式变为y=x-m)+b 2.结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3.求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b,从而确定平移后直线的完整解析式。 3 例3。在平面直角坐标中，直线”= 3+2 分别与x轴、y轴交于点A与点B,过点B作BC⊥AB交x轴于 点C.过点C作y轴的平行线交AB于点D. D (备用图) (1)求线段OA与OB的长度： (2)现将线AB沿A至C向右平移2个单位长度得线段EF(如图)，求线段AB在整个平移过程中扫过图形 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积： (3)试探索在平移过程中，在直线CD上是否存在点M,使△MEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，若存 在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由， 【变式3-1】在平面直角坐标系中，4-5a,B6.5),Cc,川，且+b+2+2c+4作0 A D 图1 图2 (I)直接写出点A,B的坐标及c的值： (2)如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标： (3)如图2，将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE(点A与D对应，点B与E对应)，若直线DE 恰好经过点C,求m,n之间的数量关系. 类型四、一次函数中分段函数探究问题 1.理解分段的意义：首先要弄清楚为什么要分段。 通常是因为在不同的自变量范围内，变量之间的变化规律不同 例如：出租车计价、水电费收取等问题 不同区间对应不同的收费标准 2.求出各段解析式：在每个自变量的子区间内，把它当作普通一次函数问题来解。 利用待定系数法求出该区间对应的函数解析式 注意明确写出每段函数的自变量取值范围 3.综合应用解决问题：根据题目要求，判断需要用到哪一段或几段函数。 将数值代入对应的解析式进行计算 确保计算时使用的是自变量所在区间的那一段表达式 例4。小明根据学习函数的经验，对函数y=2+x的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全 下面的过程 ()函数y=2+的自变量的取值范围是 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)下表是y与x的几组对应值： -3 -2 -1 0 2 3 9 y m 2 3 2 2 写出表中m的值； xOy (3)如图，在平面直角坐标系 中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 6 5 4 3 2 -3-2-10 23456x 3 4 (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： @对于图象上两点P,,若0<<5，则片 (填“>”，“=”或“<： ②当x>2时，若对于x的每一个值，函数y=2+x的值都大于一次函数y=+1的值，则k的取值范 围是 【变式4-1】探究函数y=-x+4的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y=-|x+4的图象与性质进行了探究： (I)在函数y=-x+4中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值. -2 0 4 0 3 432 表格中a的值为 (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象： 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ay 5 4 3 -5-4-3-2-1 345 2 (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为 ②写出该函数的一条性质」 【变式4-2】某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数'=比- 的图象与性质进行了探究，下面 是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： 0 2 … y .B … 其中，b= (2)描点并连线： 在下面平面直角坐标系中画出函数"=水-的图象： 4 2 5-4-3-2-1,o12345 3)根据图象直接写出函数'=一 图象的两条性质。 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、一次函数中的新定义型综合问题 1.仔细阅读，理解定义：这是最重要的一步。 题目会给出一个全新的概念或运算规则 比如"伴随函数”、"等距点”等 逐字逐句分析定义，直到完全理解它的数学含义 2.转化定义，建立联系：把新定义翻译成我们熟悉的数学语言。 将文字描述转化为坐标、解析式或几何图形 建立新定义与一次函数知识的桥梁 如“两点关于直线对称”可转化为中点在直线上，且连线与直线垂直 3.运用知识，求解问题：利用转化后的数学模型和已知条件。 通过列方程、计算等方式解决问题 得出答案后，再用新定义检验一遍，确保符合题意 例5.我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为 “交轴一次函数”，如：一次函数y=2x-3与y=-x-3的图像都经过y轴上的同一个点(0，-3)，所以这 两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数y=-×-2与y=3x+6的图像都经过x轴上的同一个点 （-2,0),所以这两个函数为“交轴一次函数”· 0-次函数=3x+1与=3x- 是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由， 并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数” 2)已知一次函数1=-3x+3片=-7x+3- 6,若”与”互为“交轴一次函数”，求力的值。 y=ax+b(a b P(a,b) 【变式5-1】定义：在平面直角坐标系中，我们称直线 ,为常数)是点 的关联直线，点 P(a,b)是直线y=ar+b的关联点；特别地，当a=0时，直线y=b的关联点为P(O,b). 如图，直线AB:y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B. 【定义辨析】 (1)直线AB的关联点的坐标是() 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,0) (0,4) （-2,4) A ，2.0D. 【定义延伸】 (2)点A的关联直线与直线AB交于点C,求点C的坐标；； 【定义应用】 (3)点K(,m)的关联直线与x轴交于点E,∠ABE=45°，求m的值. L1y=ax+b(ab≠0) 【变式5-2】定义：在平面直角坐标系中，将直线 的点的横坐标和纵坐标都扩大到原 来的k(k>0)倍，得到新的直线L2,则称直线L2为直线L1的“k倍伴随线”. 【定义辨析】 (1)若点P(1,2)在L1上，则下列四个点①(0,0)、②(2,4)、③(-2，-4)、④(3,6)，在L1的“k倍伴随 线”L2上的点有一（填序号）； (2)下列函数图像是直线y=x+1的“2倍伴随线”的是()： 11 A.y=2x+2B.y=x+2C.y=2x+2D.y=4+4 【定义延伸】 LI y1=a+61 zy2=axx+b2 (3)若直线 的“k倍伴随线”记为 现给出两个关系式：①a1=,② kb1=b2.其中正确是是一（填序号）； 【定义应用】 L1y=-x+1 (4)如图，已知直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点 C,能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值. 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.（25-26九年级上河北邯郸开学考试)如图，在等腰直角三角形480中，点B-1,0 将直线 1:y=2x沿y轴向上平移m个单位长度得到直线'，当直线1'经过点A时，m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25,26八年级上全国课后作业)新定义感规定：k0是一次函数=+b(k,b为实数，0 ）的-特征致”。若特征数”是民-网的次函数是正比例医数，则省2-m2+则 所在的象限是 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(24-25八年级上·全国期末)如图，已知 C1,0),直线y=-x+6与两坐标轴分别交于A、B两点， D、E分别是AB、OA上的动点.则△CDE周长的最小值是() A B 10/15