第04讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 离散型随机变量分布列 3 知识点2 离散型随机变量的均值 4 知识点3 离散型随机变量的方差 4 题型破译 5 题型1 离散型随机变量分布列 5 题型2 离散型随机变量的均值 6 题型3 离散型随机变量的方差 9 04真题溯源·考向感知 12 05课本典例·高考素材 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 求离散型随机变量的分布列及均值 单选题 填空题 解答题 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） / 考情分析： 北京卷中离散型随机变量及其数字特征的题目稳定出现在解答题位置，常作为概率统计大题的第二问或独立设 问，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查离散型随机变量分布列的求解与书写规范性、期望与方差的 计算及其实际意义的解释。试题常与古典概型、相互独立事件、二项分布等知识深度融合，构建有实际背景的概率 模型。聚焦于分布列性质的验证与应用、期望与方差公式的准确运用，以及利用期望与方差进行决策判断，是核心 的得分点与易错点。 复习目标： 1.理解离散型随机变量及其分布列的概念与性质，会求取有限值的离散型随机变量的分布列。 2.理解离散型随机变量的期望（均值）与方差的含义，掌握期望与方差的计算公式。 3.能利用分布列的性质（如概率之和为1）求解待定参数。 4.熟练掌握期望与方差的性质，能进行相关计算。 5.理解并掌握常见的离散型随机变量概率模型（两点分布、二项分布），能识别其适用条件，并计算其期望与方差。 6.能综合运用概率与分布列的知识解决简单的实际问题，并能对计算结果（如期望值）做出合理的解释与判断。 知识点1 离散型随机变量分布列 （1）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，…，，X取每一个值（，2，…，n）的概率，则下表 X … … P … … 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式 表示X的分布列． （2）性质：① ；②． 自主检测设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 知识点2 离散型随机变量的均值 （1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． X … P … 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． （2）均值的性质 设X的分布列为，，2，…，n． ① ． ② ． ③ ． 自主检测袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 知识点3 离散型随机变量的方差 （1）定义 ① 为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为． ②公式：． （2）两个特殊分布的均值与方差 分布 期望 方差 两点分布 超几何分布 （3）方差的性质 ①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差 ，即 ． 而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的 倍，即 ． 一般地，可以证明下面的结论成立： ． ②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的 ，反映了随机变量取值的 ．方差或标准差越小，随机变量的取值越 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越 ． 自主检测甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 题型1 离散型随机变量分布列 例1-1某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 例1-2某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【变式训练1-1】一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【变式训练1-2】投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数．求的分布列（用表示）. 【变式训练1-3】一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 题型2 离散型随机变量的均值 例2-1（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 例2-2（25-26高三上·北京房山·开学考试）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下： 生产方式 工作时间（单位：） 第一种 68  72  76  77  79  82  83  83  84  85  86  87  87  88  89  90  90  91  91  92 第二种 65  65  66  68  69  70  71  72  72  73  74  75  76  76  78  81  84  84  85  93 假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率． (1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率； (2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望； (3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由． 例2-3（25-26高三上·北京·开学考试）某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； (2)从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； (3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京·开学考试）某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）： 女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55 男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立． (1)该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数； (2)从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望： (3)设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【变式训练2-3】（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 【变式训练2-4】（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 题型3 离散型随机变量的方差 例3-1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 例3-2（25-26高三上·北京·开学考试）北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 例3-3（24-25高三上·北京东城·期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率. (1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； (2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系． 【变式训练3-1】甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. 【变式训练3-2】山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【变式训练3-3】第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表： 12月16日 星期六 9:30 单人雪橇第1轮 10:30 单人雪橇第2轮 15:30 双人雪橇第1轮 16:30 双人雪橇第2轮 12月17日 星期日 9:30 单人雪橇第3轮 10:30 单人雪橇第4轮 15:30 团体接力 (1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率； (2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望； (3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系． 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 4．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 一、解答题 1．从8名男生和6名女生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，求． 0 1 2 3 4 5 2．已知15件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，用随机变量X表示取出的3件中的不合格品的件数．求： (1)X的概率分布； (2)X的均值． 3．假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： (1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差． 4．某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．               等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 5．设随机变量X的分布列为． (1)求常数a的值； (2)求和． 6．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 7．同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X． (1)写出X的分布列； (2)求； (3)求“点数和大于9”的概率． 8．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1h免费，超过1h的部分每小时收费10元（不足1h的部分按1h计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩（各租一车次）．设甲、乙不超过1h还车的概率分别为，，1h以上且不超过2h还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过3h． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 9．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 10．A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求： (1)，的分布列； (2)，． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 离散型随机变量分布列 3 知识点2 离散型随机变量的均值 4 知识点3 离散型随机变量的方差 5 题型破译 6 题型1 离散型随机变量分布列 6 题型2 离散型随机变量的均值 9 题型3 离散型随机变量的方差 17 04真题溯源·考向感知 24 05课本典例·高考素材 28 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 求离散型随机变量的分布列及均值 单选题 填空题 解答题 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） / 考情分析： 北京卷中离散型随机变量及其数字特征的题目稳定出现在解答题位置，常作为概率统计大题的第二问或独立设 问，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查离散型随机变量分布列的求解与书写规范性、期望与方差的 计算及其实际意义的解释。试题常与古典概型、相互独立事件、二项分布等知识深度融合，构建有实际背景的概率 模型。聚焦于分布列性质的验证与应用、期望与方差公式的准确运用，以及利用期望与方差进行决策判断，是核心 的得分点与易错点。 复习目标： 1.理解离散型随机变量及其分布列的概念与性质，会求取有限值的离散型随机变量的分布列。 2.理解离散型随机变量的期望（均值）与方差的含义，掌握期望与方差的计算公式。 3.能利用分布列的性质（如概率之和为1）求解待定参数。 4.熟练掌握期望与方差的性质，能进行相关计算。 5.理解并掌握常见的离散型随机变量概率模型（两点分布、二项分布），能识别其适用条件，并计算其期望与方差。 6.能综合运用概率与分布列的知识解决简单的实际问题，并能对计算结果（如期望值）做出合理的解释与判断。 知识点1 离散型随机变量分布列 （1）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，…，，X取每一个值（，2，…，n）的概率，则下表 X … … P … … 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式 ，，2，…，n 表示X的分布列． （2）性质：① （，2，…，n） ；②． 自主检测设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】答案见详解 【分析】由离散型随机变量的性质，可得，再由 的对应关系可得解. 【详解】由离散型随机变量的性质，可得， 依题意知，η的值为0，1，4，9，16. 列表为： X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 从而的分布列为： η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 知识点2 离散型随机变量的均值 （1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． X … P … 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． （2）均值的性质 设X的分布列为，，2，…，n． ① ． ② ． ③ ． 自主检测袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 知识点3 离散型随机变量的方差 （1）定义 ① 为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为． ②公式：． （2）两个特殊分布的均值与方差 分布 期望 方差 两点分布 超几何分布 （3）方差的性质 ①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差 保持不变 ，即 ． 而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的 倍，即 ． 一般地，可以证明下面的结论成立： ． ②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度 ，反映了随机变量取值的 离散程度 ．方差或标准差越小，随机变量的取值越 集中 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越 分散 ． 自主检测甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 【答案】甲、乙技术水平相当，乙更稳定 【分析】计算平均数与方差，即可得出结论． 【详解】，， ，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当， 又， ， ，所以工人乙的技术比较稳定. 所以甲、乙技术水平相当，乙更稳定. 题型1 离散型随机变量分布列 例1-1某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【详解】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 例1-2某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式训练1-1】一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）依题意， （2）X的可能取值为2，3，4， 则，，， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 【变式训练1-2】投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数．求的分布列（用表示）. 【答案】分布列见解析 【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 【变式训练1-3】一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为， 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为， 摸出1个红球和2个绿球的概率为， 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故. 题型2 离散型随机变量的均值 例2-1（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3). 【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （2）用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， . 所以的分布列为 . （3）小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为. 所以. 例2-2（25-26高三上·北京房山·开学考试）为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下： 生产方式 工作时间（单位：） 第一种 68  72  76  77  79  82  83  83  84  85  86  87  87  88  89  90  90  91  91  92 第二种 65  65  66  68  69  70  71  72  72  73  74  75  76  76  78  81  84  84  85  93 假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率． (1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率； (2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望； (3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)应该采用第二种生产方式，理由见解析 【详解】（1）第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为. （2）第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人， 的所有可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. （3）应该采用第二种生产方式，理由如下： ①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少82 min， 用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多78 min，因此应该采用第二种生产方式； ②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min）， 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），因此应该采用第二种生产方式. 例2-3（25-26高三上·北京·开学考试）某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； (2)从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； (3)将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为. (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为， 该校女生喜欢篮球的概率约为. （2）由题意可知：, , , , 故 （3）．理由如下： ，设该校总人数为，，则该校喜欢羽毛球的人数约为， 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为， 所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为， 故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为． 故 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·开学考试）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ． （3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京·开学考试）某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）： 女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55 男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立． (1)该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数； (2)从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望： (3)设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)40 (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）样本中9名男教师中有2人使用人工智能模型时长不足20小时. 所以男教师使用人工智能模型时长不足20小时的职工的概率约为. 故男教师约有需要参加此次专项调研. （2）从女教师中随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为； 从男教师随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为． 由题设，的可能取值为0，1，2，3. 且； 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （3）女教师和男教师的前9个数据的差值都是10， 所以女教师和男教师前9个数据的方差相同， 女教师比男教师多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大， 所以使女教师的数据波动变大，从而方差变大，所以. 【变式训练2-3】（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【详解】（1）根据题中数据，，得． 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为． 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：． （2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人． 所以的取值范围为． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． （3），理由如下： 根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生中，初中生为120名，高中生为80名， 抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 抽到高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中英语口语自主练习次数位于的人数服从二项分布， 即， 所以，， 因为，所以. 【变式训练2-4】（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 题型3 离散型随机变量的方差 例3-1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含但不包含”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为，则 ；；； ；. 所以随机变量的分布列为： 因此，， . 例3-2（25-26高三上·北京·开学考试）北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【详解】（1）在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； （2）由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； （3）因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 例3-3（24-25高三上·北京东城·期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率. (1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； (2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买第一款新品的人数为人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率为. （2）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 . （3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 所以，， 所以， ， 所以. 【变式训练3-1】甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)，. 【详解】（1）由题意可知，的可能取值为， ， ， ， 所以分的分布列为： -1 0 1 0.18 0.54 0.28 （2）由题意可知，的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 -2 -1 0 1 2 0.0324 0.1944 0.3924 0.3024 0.0784 所以， . 【变式训练3-2】山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)32000 (2) (3) 【详解】（1）由题意，随机采访的15位游客中有3人来自A地区， 估计16万游客中来自A地区的游客人数为． （2）从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，其一顿烧烤的人均消费金额大于70元的概率分别约为和． 的可能取值为0，1，2，， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）由题可知：的所有可能结果为：32，68，86，选到的概率均为， 所以的分布列为： 32 68 86 P 所以，； 的所有可能结果为：57，70，78，91，选到的概率均为， 所以的分布列为： 57 70 78 91 P ， 的所有可能结果为：66，77，79，80， 81，83，94， 所以的分布列为： 66 77 79 80 81 83 94 P ，， 所以． 【变式训练3-3】第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表： 12月16日 星期六 9:30 单人雪橇第1轮 10:30 单人雪橇第2轮 15:30 双人雪橇第1轮 16:30 双人雪橇第2轮 12月17日 星期日 9:30 单人雪橇第3轮 10:30 单人雪橇第4轮 15:30 团体接力 (1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率； (2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望； (3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件.   由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法， 其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法． 所以． （2）随机变量的所有可能取值为． 根据题意，， ， ． 随机变量的分布列是： 数学期望． （3）由题意，，， 所以，； 因为，， 所以，； 所以. 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 3．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 4．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）． 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 一、解答题 1．从8名男生和6名女生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，求． 【答案】 【详解】解：依题意表示所选5人中女生的人数，的所有可能的取值为：，，，，，． 则， ，，，， ． 的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 数学期望． 2．已知15件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，用随机变量X表示取出的3件中的不合格品的件数．求： (1)X的概率分布； (2)X的均值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）可以取. ；；. 故X的概率分布为： （2）. 3．假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： (1)X的概率分布； (2)均值； (3)标准差． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：X的可能取值为1，2，3， 因为，，． 所以的分布列为： 1 2 3 （2）解：； （3）解：因为方差， 所以． 4．某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．               等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 【答案】X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 【详解】X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5， “不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”. 根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表所示． X 1 2 3 4 5 P ． 5．设随机变量X的分布列为． (1)求常数a的值； (2)求和． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）知，， 可得， 6．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 【答案】(1) 1 2 3 (2)； 【详解】（1）题意知的可能取值为1，2，3， 当时，有一种情况； 当时，有，，三种情况； 当时，有，，，，五种情况； 则，，， 所以的分布列： 1 2 3 （2）的均值为：， 方差为. 7．同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X． (1)写出X的分布列； (2)求； (3)求“点数和大于9”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)． 【详解】（1）由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表可得 ，， ，， ，， 的分布列如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）； （3）． 8．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1h免费，超过1h的部分每小时收费10元（不足1h的部分按1h计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩（各租一车次）．设甲、乙不超过1h还车的概率分别为，，1h以上且不超过2h还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过3h． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为元． 【详解】（1）由题意得甲、乙在2小时以上且不超过3小时还车概率分别这，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件， 则； （2）的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， ， ， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为： 0 10 20 30 40 ． 9．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 【答案】X的分布列为 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为 【详解】分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． ， ， ， ． X的分布列如表所示． X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为． 10．A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求： (1)，的分布列； (2)，． 【答案】(1)分布列见解析； (2) ， . 【详解】（1）和的取值 分别为0，1，2，3： A队连胜3场的概率为 ， A队连胜2场的概率为 ， A队恰胜1场的概率为 ， A队全输的概率为  ， 由于 ， ， ， ， ； 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 的分布列如下表： 0 1 2 3 P （2）在（1）的基础上，  ， ； 故答案为：分布列见解析， ， . 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $