第14讲 速算巧算（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第14讲 速算巧算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解并熟练运用各种运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）和运算性质（商不变性质、乘除法混合运算的性质等），实现快速且准确的简便运算。 2.培养敏锐的观察力，能够迅速发现算式中数字的特点和规律，建立简算意识，提升数感以及心算和运算速度。 3.通过对速算巧算方法的学习与实践，增强解决复杂计算问题的能力，提高数学思维的灵活性和敏捷性。 知识梳理 知识点一、加减巧算 1.核心方法 - “凑整”：在进行加减法运算时，把接近整十、整百、整千的数看作所接近的数进行简算。例如，计算 98 + 103，可将 98 看作 100 - 2，103 看作 100 + 3，原式变为 (100 - 2) + (100 + 3) = 100 - 2 + 100 + 3 = 201。 2.调整原则：凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要依据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则处理。比如，计算 199 + 35，把 199 看作 200 - 1，式子为 200 - 1 + 35 = 200 + 35 - 1 = 234；计算 356 - 198，把 198 看作 200 - 2，式子为 356 - (200 - 2) = 356 - 200 + 2 = 158。 3.运算律辅助：结合加法交换律（a + b = b + a）、结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）以及减法的性质（a - b - c = a - (b + c)）进行凑整，实现简算。例如，计算 23 + 56 + 77 + 44，利用加法交换律和结合律可得 (23 + 77) + (56 + 44) = 100 + 100 = 200；计算 567 - 123 - 77 = 567 - (123 + 77) = 567 - 200 = 367。 知识点二、乘除巧算 1.乘法凑整 （1）思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使运算简便。例如：2×5 = 10，4×25 = 100，8×125 = 1000（去 8 数，重点记忆），7×11×13 = 1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）。 （2）理论依据： ①乘法交换律：a×b = b×a，如 3×5 = 5×3。 ②乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)，例如 (2×3)×4 = 2×(3×4)。 ③乘法分配律：(a + b)×c = a×c + b×c，比如 (2 + 3)×4 = 2×4 + 3×4。 ④积不变规律：a×b = (a×c)×(b÷c) = (a÷c)×(b×c)（c≠0），例如 4×6 = (4×2)×(6÷2) = 8×3。 2.乘、除法混合运算的性质 （1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。即：a÷b = (a×n)÷(b×n) = (a÷n)÷(b÷n)（n≠0），例如 100÷25 = (100×4)÷(25×4) = 400÷100 = 4。 （2）连除交换律：在连除时，可以交换除数的位置，商不变。即：a÷b÷c = a÷c÷b，比如 100÷5÷2 = 100÷2÷5 = 10。 （3）带着符号搬家：在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如：a×b÷c = a÷c×b，如 2×3÷6 = 2÷6×3 = 1。 （4）去括号与添括号规则： ①去括号情形： 括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即 a×(b×c) = a×b×c，a×(b÷c) = a×b÷c。例如 2×(3×4) = 2×3×4 = 24，2×(6÷3) = 2×6÷3 = 4。 括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 a÷(b×c) = a÷b÷c，a÷(b÷c) = a÷b×c。例如 10÷(2×5) = 10÷2÷5 = 1，10÷(2÷5) = 10÷2×5 = 25。 ②添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 a×b×c = a×(b×c)，a×b÷c = a×(b÷c)；a÷b÷c = a÷(b×c)，a÷b×c = a÷(b÷c)。 ③分别相除再相乘：两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即 (a×b)÷(c×d) = (a÷c)×(b÷d)（c≠0，d≠0），例如 (4×6)÷(2×3) = (4÷2)×(6÷3) = 2×2 = 4。 例题讲解 一、加减巧算 【例题1】计算： 【例题2】计算： 【例题3】计算： 【例题4】计算：999995＋99995＋9995＋995＋95 二、乘除巧算 【例题1】计算： 【例题2】计算： 【例题3】计算： 【例题4】计算： 考点练习 一、加减巧算 1.计算： 2.计算： 3.计算： 4.计算： 5.计算： 6.计算： 7.计算： 8．计算：100﹣99+98﹣97+96﹣95+…+12﹣11+10 9.计算：99999＋9999＋999＋99＋9 二、乘除巧算 1.计算： 2.计算： 3.计算： 4.计算： 5.计算： 6.计算： 7．计算： 8．计算： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 速算巧算 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解并熟练运用各种运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）和运算性质（商不变性质、乘除法混合运算的性质等），实现快速且准确的简便运算。 2.培养敏锐的观察力，能够迅速发现算式中数字的特点和规律，建立简算意识，提升数感以及心算和运算速度。 3.通过对速算巧算方法的学习与实践，增强解决复杂计算问题的能力，提高数学思维的灵活性和敏捷性。 知识梳理 知识点一、加减巧算 1.核心方法 - “凑整”：在进行加减法运算时，把接近整十、整百、整千的数看作所接近的数进行简算。例如，计算 98 + 103，可将 98 看作 100 - 2，103 看作 100 + 3，原式变为 (100 - 2) + (100 + 3) = 100 - 2 + 100 + 3 = 201。 2.调整原则：凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要依据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则处理。比如，计算 199 + 35，把 199 看作 200 - 1，式子为 200 - 1 + 35 = 200 + 35 - 1 = 234；计算 356 - 198，把 198 看作 200 - 2，式子为 356 - (200 - 2) = 356 - 200 + 2 = 158。 3.运算律辅助：结合加法交换律（a + b = b + a）、结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）以及减法的性质（a - b - c = a - (b + c)）进行凑整，实现简算。例如，计算 23 + 56 + 77 + 44，利用加法交换律和结合律可得 (23 + 77) + (56 + 44) = 100 + 100 = 200；计算 567 - 123 - 77 = 567 - (123 + 77) = 567 - 200 = 367。 知识点二、乘除巧算 1.乘法凑整 （1）思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使运算简便。例如：2×5 = 10，4×25 = 100，8×125 = 1000（去 8 数，重点记忆），7×11×13 = 1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）。 （2）理论依据： ①乘法交换律：a×b = b×a，如 3×5 = 5×3。 ②乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)，例如 (2×3)×4 = 2×(3×4)。 ③乘法分配律：(a + b)×c = a×c + b×c，比如 (2 + 3)×4 = 2×4 + 3×4。 ④积不变规律：a×b = (a×c)×(b÷c) = (a÷c)×(b×c)（c≠0），例如 4×6 = (4×2)×(6÷2) = 8×3。 2.乘、除法混合运算的性质 （1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。即：a÷b = (a×n)÷(b×n) = (a÷n)÷(b÷n)（n≠0），例如 100÷25 = (100×4)÷(25×4) = 400÷100 = 4。 （2）连除交换律：在连除时，可以交换除数的位置，商不变。即：a÷b÷c = a÷c÷b，比如 100÷5÷2 = 100÷2÷5 = 10。 （3）带着符号搬家：在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如：a×b÷c = a÷c×b，如 2×3÷6 = 2÷6×3 = 1。 （4）去括号与添括号规则： ①去括号情形： 括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即 a×(b×c) = a×b×c，a×(b÷c) = a×b÷c。例如 2×(3×4) = 2×3×4 = 24，2×(6÷3) = 2×6÷3 = 4。 括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 a÷(b×c) = a÷b÷c，a÷(b÷c) = a÷b×c。例如 10÷(2×5) = 10÷2÷5 = 1，10÷(2÷5) = 10÷2×5 = 25。 ②添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即 a×b×c = a×(b×c)，a×b÷c = a×(b÷c)；a÷b÷c = a÷(b×c)，a÷b×c = a÷(b÷c)。 ③分别相除再相乘：两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即 (a×b)÷(c×d) = (a÷c)×(b÷d)（c≠0，d≠0），例如 (4×6)÷(2×3) = (4÷2)×(6÷3) = 2×2 = 4。 例题讲解 一、加减巧算 【例题1】计算： 【答案】 【分析】这几个数都非常接近，可通过凑整法以及加法交换律和结合律来简化计算。 【详解】把看作，看作，看作，看作，原式。 【例题2】计算： 【答案】 【分析】与可凑成整万数，看作，运用凑整法和加减法运算性质求解。 【详解】原式。 【例题3】计算： 【答案】 【分析】与相减为整千数，看作，看作，利用加减法运算性质和凑整法计算。 【详解】原式。 【例题4】计算：999995＋99995＋9995＋995＋95 【答案】1111075 【分析】观察各加数都接近整十万、整万等，且每个数都比对应的整十万、整万等数少5，因此可以将每个数转化为对应的整数减去5，再求和。 【详解】999995＋99995＋9995＋995＋95 ＝（1000000－5）＋（100000－5）＋（10000－5）＋（1000－5）＋（100－5） ＝1000000＋100000＋10000＋1000＋100－5×5 ＝1111100－25 ＝1111075 二、乘除巧算 【例题1】计算： 【答案】 【分析】把拆分为，然后利用乘法交换律和结合律，与相乘，与相乘，最后再与相乘。 【详解】原式 【例题2】计算： 【答案】 【分析】利用去括号规则，括号前是“÷”，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，再依次计算。 【详解】原式。 【例题3】计算： 【答案】 【分析】将拆分为，利用，再与相乘后乘以，把看作，利用乘法分配律计算。 【详解】原式。 【例题4】计算： 【答案】 【分析】根据连除的性质，先将与相乘，再用除以它们的积，最后除以。 【详解】原式。 考点练习 一、加减巧算 1.计算： 【答案】 【分析】每个数都接近整千数，利用凑整法，将每个数转化为整千数与一个较小数的差或和进行计算。 【详解】看作，看作，看作，看作，看作，原式。 2.计算： 【答案】 【分析】与相减可得整千数，看作，利用减法性质和凑整法计算。 【详解】原式。 3.计算： 【答案】 【分析】与凑整，看作，看作，利用加法交换律、结合律及加减法运算性质计算。 【详解】原式。 4.计算： 【答案】 【分析】与凑整，看作，看作，利用加法交换律、结合律及减法性质计算。 【详解】原式。 5.计算： 【答案】 【分析】把拆分为，分别与、、、凑整。 【详解】原式。 6.计算： 【答案】 【分析】利用减法性质，将减数凑整后计算。 【详解】原式。 7.计算： 【答案】 【分析】观察发现数与数之间有一定的倍数关系或凑整关系，利用加减法运算性质进行计算。 【详解】原式。 8．计算：100﹣99+98﹣97+96﹣95+…+12﹣11+10 【答案】55 【详解】试题分析：通过观察，相邻两个数字相差1，因此原式变为（100﹣99）+（98﹣97）+（96﹣95）+…+（12﹣11）+10，共有（100﹣12）÷2+1=45个1，然后加上10即可． 解：100﹣99+98﹣97+96﹣95+…+12﹣11+10 =（100﹣99）+（98﹣97）+（96﹣95）+…+（12﹣11）+10 =1+1+1+…+1+10 =45+10 =55 9.计算：99999＋9999＋999＋99＋9 【答案】111105 【分析】先将99999转化为100000－1，同理将9999也转化为10000－1，999转化为1000－1，99转化为100－1，9转化为10－1，将转化为的数相加，利用乘法交换律先算出100000＋10000＋1000＋100＋10，最后将剩下的1相加。 【详解】99999＋9999＋999＋99＋9 ＝（100000－1）＋（10000－1）＋（1000－1）＋（100－1）＋（10－1） ＝100000－1＋10000－1＋1000－1＋100－1＋10－1 ＝100000＋10000＋1000＋100＋10－（1＋1＋1＋1＋1） ＝111110－5 ＝111105 99999＋9999＋999＋99＋9＝111105 二、乘除巧算 1.计算： 【答案】 【分析】把拆分为，利用，再与相乘后乘以。 【详解】原式。 2.计算： 【答案】 【分析】先利用乘法分配律计算括号内与的乘积，再分别与相乘后相加。 【详解】原式。 3.计算： 【答案】 【分析】利用两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘的性质。 【详解】原式。 4.计算： 【答案】 【分析】把后面的看作，然后利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】原式。 5.计算： 【答案】 【分析】把看作，利用乘法分配律计算。 【详解】原式。 6.计算： 【答案】 【分析】利用乘法分配律，提取公因式进行计算。 【详解】原式。 7．计算： 【答案】3003 【分析】观察数据后发现，括号中6个加数的每一个数位上的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此可以将123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345改写成：111111＋222222＋333333＋444444＋555555＋666666，然后继续变形为：（1＋2＋3＋4＋5＋6）×111111，据此即可进行简便计算。 【详解】（123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345）÷777 ＝（111111＋222222＋333333＋444444＋555555＋666666）÷777 ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）×111111÷777 ＝21×111111÷777 ＝3×7×111×1001÷777 ＝3×777×1001÷777 ＝3×1001 ＝3003 8．计算： 【答案】20020 【分析】观察数据后发现，可以将77×39＋143×56＋91×99改写成：7×11×3×13＋11×13×7×8＋7×13×9×11，然后利用乘法分配律将7×11×13提取出来，据此即可进行简便计算。 【详解】77×39＋143×56＋91×99 ＝7×11×3×13＋11×13×7×8＋7×13×9×11 ＝7×11×13×（3＋8＋9） ＝7×11×13×20 ＝77×13×20 ＝1001×20 ＝20020 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $