第15讲 平均数问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第15讲 平均数问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.透彻理解平均数的概念，明确其在数据统计中的意义和作用。 2.熟练掌握求平均数的基本方法和公式，并能灵活运用这些方法解决各类与平均数相关的实际问题。 3.通过对平均数问题的学习与练习，培养分析数据、归纳总结的能力，提升数学思维的逻辑性和严谨性，能够从复杂的情境中提炼出关键信息，准确运用平均数知识进行求解。 知识梳理 知识点一、平均数的基本概念 1.定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是表示一组数据集中趋势的量数，反映数据的总体水平。例如，小明三次考试的成绩分别为85分、90分、95分，那么这三次成绩的平均数就是分，90分就代表了小明这三次考试成绩的平均水平。 2.意义：平均数在日常生活和数学学习中有广泛应用，比如评估班级学生的平均成绩以了解整体学习水平，计算平均身高、平均体重等数据来分析群体特征等。 知识点二、平均数的计算公式 1.基本公式：平均数 = 总数量÷总份数。这个公式是解决平均数问题的核心，只要知道总数量和总份数，就可以求出平均数。例如，有5个苹果，总重量是1000克，那么平均每个苹果的重量就是克，这里1000克是总数量，5个是总份数，200克就是平均数。 2.变形公式：总数量 = 平均数×总份数；总份数 = 总数量÷平均数。这些变形公式在解决不同类型的平均数问题时非常有用。比如，已知平均每人植树5棵，一共有20人，那么总共植树的棵数（总数量）就是棵；若已知植树总棵数是120棵，平均每人植树6棵，那么参与植树的人数（总份数）就是人。 知识点三、平均数问题的常见类型及解法 1.简单平均数问题：直接给出一组数据，要求计算平均数。例如，求3、5、7、9、11这五个数的平均数，直接运用公式，先计算总数量，总份数是5，所以平均数为。 2.加权平均数问题：在一组数据中，每个数据出现的次数不同（即权重不同），计算平均数时要考虑权重。例如，某班学生数学考试成绩，90分的有10人，80分的有20人，70分的有15人，求全班的平均成绩。首先计算总分数，分，总人数为人，那么平均成绩就是分。这里不同分数的人数就是权重。 3.平均数的变化问题：已知一组数据的平均数，当数据发生增减变化后，求新的平均数。例如，某小组6名同学的平均体重是40千克，后来又加入一名体重为47千克的同学，求现在小组同学的平均体重。先算出原来6名同学的总体重千克，加入新同学后总体重变为千克，总人数变为人，新的平均体重就是千克。 4.与平均数相关的综合问题：这类问题通常会结合其他数学知识，如行程问题、工程问题等。例如，一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行驶了180千米，后2小时行驶了120千米，求这辆汽车全程的平均速度。全程的总路程是千米，总时间是小时，根据平均速度 = 总路程÷总时间，可得平均速度为千米/小时。这里将平均数问题与行程问题结合，关键在于找到对应的总路程和总时间。 例题讲解 一、简单平均数问题 【例题1】求 12、15、18、21、24 这五个数的平均数。 【答案】18 【分析】这是典型的简单平均数问题，直接运用平均数公式求解。 【详解】总数量为，总份数是 5，所以平均数为。 【例题2】有一组数：25、30、35、40、45、50，求它们的平均数。 【答案】37.5 【分析】同样是简单平均数问题，利用公式，先求总数量再除以总份数。 【详解】总数量为，总份数为 6，平均数是。 二、加权平均数问题 【例题1】某班学生语文考试成绩，95 分的有 8 人，85 分的有 12 人，75 分的有 10 人，求全班的平均成绩。 【答案】85分 【分析】这是加权平均数问题，需要先根据不同成绩的人数求出总分数和总人数，再计算平均成绩。 【详解】总分数为分，总人数为人，平均成绩是分。 【例题2】学校组织演讲比赛，评委打分情况如下：9 分的有 6 位评委，8 分的有 8 位评委，7 分的有 10 位评委，求选手的平均得分。 【答案】7.9分 【分析】加权平均数问题，先算出总分数和总评委数，再求平均分。 【详解】总分数为分，总评委数为位，平均得分为分（保留一位小数）。 三、平均数的变化问题 【例题1】某小队5名同学的平均身高是140厘米，后来又转来一名身高146厘米的同学，求现在小队同学的平均身高。 【答案】141厘米 【分析】先根据原来的平均身高和人数求出原来的总身高，再加上新同学的身高得到现在的总身高，最后除以现在的总人数，即可得到现在的平均身高。 【详解】原来5名同学的总身高为：（厘米），加入新同学后总身高变为：（厘米），总人数变为：（人），现在的平均身高是：（厘米）。 【例题2】7个数的平均数是30，把其中一个数改为40后，这7个数的平均数变为34，被改动的数原来是多少？ 【答案】12 【分析】先根据改动前后的平均数求出改动前后的总数，两者的差就是被改动数字的变化量，从而求出原来的数字。 【详解】原来7个数的总和为：，改动后7个数的总和为：，总数增加了：，那么被改动的原数为：。 四、与平均数相关的综合问题 【例题1】一辆汽车从A地到B地，前2小时每小时行驶60千米，后3小时每小时行驶70千米，求这辆汽车全程的平均速度。 【答案】66千米/小时 【分析】先分别算出前半程和后半程的路程，相加得到总路程，再算出总时间，根据平均速度公式求解。 【详解】前2小时行驶的路程为：（千米），后3小时行驶的路程为：（千米），总路程为：（千米），总时间为：（小时），平均速度为：（千米/小时）。 考点练习 一、简单平均数问题 1.计算 7、14、21、28、35、42、49 这七个数的平均数。 【答案】28 【分析】直接按照简单平均数问题的解法，用总和除以个数。 【详解】总数量为，总份数是 7，平均数为。 2.求 10、20、30、40、50、60、70、80 这八个数的平均数。 【答案】45 【分析】属于简单平均数问题，运用基本公式求解。 【详解】总数量为，总份数是 8，平均数为。 3.求 9、18、27、36、45、54、63、72 这八个数的平均数。 【答案】40.5 【分析】典型的简单平均数问题，用总和除以个数得到平均数。 【详解】总数量为，总份数是 8，平均数为。 二、加权平均数问题 1.一次数学测验，100 分的有 5 人，90 分的有 15 人，80 分的有 20 人，求这次测验的平均成绩。 【答案】87.5分 【分析】属于加权平均数问题，分别算出总分和总人数后求平均。 【详解】总分数为分，总人数为人，平均成绩为分。 2.某工厂生产零件，一等品每个计 5 分，有 30 个；二等品每个计 4 分，有 50 个；三等品每个计 3 分，有 20 个，求这些零件的平均得分。 【答案】4.1分 【分析】是加权平均数问题，根据不同等级零件的数量和分值求总分与总数量进而得平均分。 【详解】总分数为分，总零件数为个，平均得分为分。 3.某公司员工月工资情况：5000 元的有 15 人，4000 元的有 25 人，3000 元的有 20 人，求该公司员工的平均月工资。 【答案】4000元 【分析】加权平均数问题，通过不同工资人数求出总工资和总人数来计算平均工资。 【详解】总工资为元，总人数为人，平均月工资为元（取整）。 4.某果园水果产量统计，苹果每筐 80 千克，有 30 筐；梨每筐 60 千克，有 50 筐；橘子每筐 50 千克，有 20 筐，求三种水果平均每筐的重量。 【答案】66千克 【分析】属于加权平均数问题，算出三种水果总重量和总筐数求平均每筐重量。 【详解】总重量为千克，总筐数为筐，平均每筐重量为千克。 5.某年级学生参加竞赛获奖情况，一等奖得 10 分，有 5 人；二等奖得 8 分，有 10 人；三等奖得 6 分，有 15 人，求该年级竞赛的平均得分。 【答案】7.2分 【分析】加权平均数问题，求出总分数和总人数后计算平均分。 【详解】总分数为分，总人数为人，平均得分为分（保留一位小数）。 三、平均数的变化问题 1.有8个数的平均数是11，去掉一个数后，剩下7个数的平均数是12，去掉的这个数是多少？ 【答案】4 【分析】先分别求出8个数的总和与7个数的总和，两者相减就是去掉的那个数。 【详解】8个数的总和为：，7个数的总和为：，去掉的数是：。 2.5个数的平均数是20，如果把其中一个数改为4，这5个数的平均数就变为18，被改动的数原来是多少？ 【答案】14 【分析】通过改动前后平均数求出总数的变化量，进而得到被改动数字的变化，从而求出原数。 【详解】原来5个数的总和为：，改动后5个数的总和为：，总数减少了：，所以被改动的原数为：。 3.9名同学的平均体重是35千克，又转来一名同学后，10名同学的平均体重变为36千克，新转来同学的体重是多少千克？ 【答案】45千克 【分析】先求出9名同学的总体重和10名同学的总体重，两者的差就是新转来同学的体重。 【详解】9名同学的总体重为：（千克），10名同学的总体重为：（千克），新转来同学的体重是：（千克）。 4.某班40名学生的平均成绩是80分，后来复查时发现有一位同学的成绩75分误写成了57分，求该班正确的平均成绩。 【答案】80.45分 【分析】先算出少算的分数，再平均分给全班同学，加上原来的平均成绩就是正确的平均成绩。 【详解】少算的分数为：（分），平均分给40名同学，每人增加：（分），正确的平均成绩为：（分）。 四、与平均数相关的综合问题 1.一个工厂，上半年平均每月生产零件1200个，下半年平均每月生产零件1500个，求这个工厂全年平均每月生产零件多少个？ 【答案】1350个 【分析】先分别算出上半年和下半年生产零件的总数，相加得到全年总数，再除以12得到全年平均每月生产的个数。 【详解】上半年生产零件总数为：（个），下半年生产零件总数为：（个），全年生产零件总数为：（个），全年平均每月生产：（个）。 2.一辆客车从甲地到乙地，前4小时每小时行驶75千米，后3小时每小时行驶80千米，求这辆客车全程的平均速度。 【答案】77.14千米/小时（保留两位小数） 【分析】算出前半程和后半程的路程，得到总路程，算出总时间，根据公式求平均速度。 【详解】前4小时行驶路程为：（千米），后3小时行驶路程为：（千米），总路程为：（千米），总时间为：（小时），平均速度为：（千米/小时）。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 平均数问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.透彻理解平均数的概念，明确其在数据统计中的意义和作用。 2.熟练掌握求平均数的基本方法和公式，并能灵活运用这些方法解决各类与平均数相关的实际问题。 3.通过对平均数问题的学习与练习，培养分析数据、归纳总结的能力，提升数学思维的逻辑性和严谨性，能够从复杂的情境中提炼出关键信息，准确运用平均数知识进行求解。 知识梳理 知识点一、平均数的基本概念 1.定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是表示一组数据集中趋势的量数，反映数据的总体水平。例如，小明三次考试的成绩分别为85分、90分、95分，那么这三次成绩的平均数就是分，90分就代表了小明这三次考试成绩的平均水平。 2.意义：平均数在日常生活和数学学习中有广泛应用，比如评估班级学生的平均成绩以了解整体学习水平，计算平均身高、平均体重等数据来分析群体特征等。 知识点二、平均数的计算公式 1.基本公式：平均数 = 总数量÷总份数。这个公式是解决平均数问题的核心，只要知道总数量和总份数，就可以求出平均数。例如，有5个苹果，总重量是1000克，那么平均每个苹果的重量就是克，这里1000克是总数量，5个是总份数，200克就是平均数。 2.变形公式：总数量 = 平均数×总份数；总份数 = 总数量÷平均数。这些变形公式在解决不同类型的平均数问题时非常有用。比如，已知平均每人植树5棵，一共有20人，那么总共植树的棵数（总数量）就是棵；若已知植树总棵数是120棵，平均每人植树6棵，那么参与植树的人数（总份数）就是人。 知识点三、平均数问题的常见类型及解法 1.简单平均数问题：直接给出一组数据，要求计算平均数。例如，求3、5、7、9、11这五个数的平均数，直接运用公式，先计算总数量，总份数是5，所以平均数为。 2.加权平均数问题：在一组数据中，每个数据出现的次数不同（即权重不同），计算平均数时要考虑权重。例如，某班学生数学考试成绩，90分的有10人，80分的有20人，70分的有15人，求全班的平均成绩。首先计算总分数，分，总人数为人，那么平均成绩就是分。这里不同分数的人数就是权重。 3.平均数的变化问题：已知一组数据的平均数，当数据发生增减变化后，求新的平均数。例如，某小组6名同学的平均体重是40千克，后来又加入一名体重为47千克的同学，求现在小组同学的平均体重。先算出原来6名同学的总体重千克，加入新同学后总体重变为千克，总人数变为人，新的平均体重就是千克。 4.与平均数相关的综合问题：这类问题通常会结合其他数学知识，如行程问题、工程问题等。例如，一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行驶了180千米，后2小时行驶了120千米，求这辆汽车全程的平均速度。全程的总路程是千米，总时间是小时，根据平均速度 = 总路程÷总时间，可得平均速度为千米/小时。这里将平均数问题与行程问题结合，关键在于找到对应的总路程和总时间。 例题讲解 一、简单平均数问题 【例题1】求 12、15、18、21、24 这五个数的平均数。 【例题2】有一组数：25、30、35、40、45、50，求它们的平均数。 二、加权平均数问题 【例题1】某班学生语文考试成绩，95 分的有 8 人，85 分的有 12 人，75 分的有 10 人，求全班的平均成绩。 【例题2】学校组织演讲比赛，评委打分情况如下：9 分的有 6 位评委，8 分的有 8 位评委，7 分的有 10 位评委，求选手的平均得分。 三、平均数的变化问题 【例题1】某小队5名同学的平均身高是140厘米，后来又转来一名身高146厘米的同学，求现在小队同学的平均身高。 【例题2】7个数的平均数是30，把其中一个数改为40后，这7个数的平均数变为34，被改动的数原来是多少？ 四、与平均数相关的综合问题 【例题1】一辆汽车从A地到B地，前2小时每小时行驶60千米，后3小时每小时行驶70千米，求这辆汽车全程的平均速度。 考点练习 一、简单平均数问题 1.计算 7、14、21、28、35、42、49 这七个数的平均数。 2.求 10、20、30、40、50、60、70、80 这八个数的平均数。 3.求 9、18、27、36、45、54、63、72 这八个数的平均数。 二、加权平均数问题 1.一次数学测验，100 分的有 5 人，90 分的有 15 人，80 分的有 20 人，求这次测验的平均成绩。 2.某工厂生产零件，一等品每个计 5 分，有 30 个；二等品每个计 4 分，有 50 个；三等品每个计 3 分，有 20 个，求这些零件的平均得分。 3.某公司员工月工资情况：5000 元的有 15 人，4000 元的有 25 人，3000 元的有 20 人，求该公司员工的平均月工资。 4.某果园水果产量统计，苹果每筐 80 千克，有 30 筐；梨每筐 60 千克，有 50 筐；橘子每筐 50 千克，有 20 筐，求三种水果平均每筐的重量。 5.某年级学生参加竞赛获奖情况，一等奖得 10 分，有 5 人；二等奖得 8 分，有 10 人；三等奖得 6 分，有 15 人，求该年级竞赛的平均得分。 三、平均数的变化问题 1.有8个数的平均数是11，去掉一个数后，剩下7个数的平均数是12，去掉的这个数是多少？ 2.5个数的平均数是20，如果把其中一个数改为4，这5个数的平均数就变为18，被改动的数原来是多少？ 3.9名同学的平均体重是35千克，又转来一名同学后，10名同学的平均体重变为36千克，新转来同学的体重是多少千克？ 4.某班40名学生的平均成绩是80分，后来复查时发现有一位同学的成绩75分误写成了57分，求该班正确的平均成绩。 四、与平均数相关的综合问题 1.一个工厂，上半年平均每月生产零件1200个，下半年平均每月生产零件1500个，求这个工厂全年平均每月生产零件多少个？ 2.一辆客车从甲地到乙地，前4小时每小时行驶75千米，后3小时每小时行驶80千米，求这辆客车全程的平均速度。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $