第14讲 质数与合数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第14讲 质数与合数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.准确理解质数与合数的定义，能够清晰区分两者概念。 2.熟练掌握 100 以内的质数，快速判断一个数是否为质数。 3.学会运用质数与合数的性质，解决相关的奥数问题，如分解质因数在实际问题中的应用等。 知识梳理 知识点一、质数的定义 1.一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。例如，2、3、5、7 等，2 只能被 1 和 2 整除，3 只能被 1 和 3 整除，所以 2 和 3 是质数。 2.特殊质数：2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 知识点二、合数的定义 1.一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。比如 4，除了能被 1 和 4 整除外，还能被 2 整除；6 除了 1 和 6 外，还能被 2 和 3 整除，所以 4 和 6 是合数。 2.特殊合数：4 是最小的合数。 知识点三、1 的特殊性 1 既不是质数也不是合数。因为质数有两个约数，合数至少有三个约数，而 1 只有 1 这一个约数，不符合质数与合数的定义。 知识点四、100 以内的质数表 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25 个。记忆方法：可以按一定规律分组记忆，比如 2、3、5、7 一组，11 - 19 之间有 4 个质数（11、13、17、19），20 - 29 有 23、29，30 - 39 有 31、37 等。 知识点五、质数与合数的判断方法 1.试除法：判断一个数是不是质数，从 2 开始，依次用小于的质数去除，如果都不能整除，则是质数；若存在能整除的情况，则是合数。例如判断 53 是否为质数，从 2 开始试除，2 不能整除 53，3 不能整除 53，5 不能整除 53，7 也不能整除 53，因为，，所以不用再往后试除，53 是质数。 知识点六、分解质因数 1.定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，，这里 2 和 3 是 12 的质因数。 2.方法（短除法）：是分解质因数常用的方法。例如分解 48，先用最小的质数 2 去除 48，得到 24，再用 2 除 24 得 12，继续用 2 除 12 得 6，再用 2 除 6 得 3，此时 3 是质数，分解结束，所以。 知识点七、质数与合数的应用 1.解决数字谜题：在一些数字谜题中，会利用质数与合数的性质来确定某些数字。例如，已知两个质数的和是 10，求这两个质数。因为 10 以内的质数有 2、3、5、7，其中，所以这两个质数是 3 和 7。 2.实际生活问题：如在将一些物品分组的问题中，如果每组数量相同且组数和每组数量都要是质数，就需要运用质数的知识来解决。比如有 35 个苹果，要分成若干组，每组个数相同且组数和每组个数都是质数，因为，所以可以分成 5 组，每组 7 个，这里 5 和 7 都是质数。 例题讲解 一、质数与合数 【例题1】在120的因数中，合数有（ ）个。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】先将120分解质因数，120＝23×3×5，因此因数个数一共有（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝16个，其中1、2、3、5这4个因数不是合数，由此即可求出120的因数中，合数有多少个。 【详解】120＝23×3×5 因数个数：（3＋1）×（1＋1）×（1＋1） ＝4×2×2 ＝8×2 ＝16（个） 不是合数的因数：1、2、3、5 16－4＝12（个） 故答案为：C 【例题2】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不再有其它因数的自然数，质数也叫素数。现有两个不同的质数，它们的和是16，那它们的积可能是（ ）。 A．28 B．35 C．39 D．63 【答案】C 【分析】质数只有一个偶质数2，其他都是奇数，两数和是偶数，则两个质数都是奇数，根据16＝3＋13＝5＋11，即可解答本题。 【详解】16＝3＋13＝5＋11 3×13＝39 5×11＝55 即两个不同的质数，它们的和是16，那它们的积可能是39或55。 故答案为：C 【例题3】200多年前，德国数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，如6＝3＋3，12＝5＋7，自然数100可以表示为（ ）对不同的两个质数的和。 【答案】6 【分析】100以内一共有25个质数，分别为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，然后一一列出相加等于100的式子即可解答。 【详解】100＝3＋97＝11＋89＝17＋83＝29＋71＝41＋59＝47＋53； 因此自然数100可以表示为6对不同的两个质数的和。 【例题4】如果三个质数相加等于52，那么这三个质数可能是（ ）。 【答案】2、3、47/2、7、43/2、13、37/2、19、31 【分析】三个质数相加等于52，因为52是偶数，因此只能是偶数＋偶数＋偶数＝52或者偶数＋奇数＋奇数＝52。考虑到2是唯一的偶质数，因此这三个质数一定有一个质数是2。另外两个质数的和为：52－2＝50。由此即可解决。 【详解】2是唯一的偶质数，因此这三个质数一定有一个质数是2。 52－2＝50 50＝3＋47＝7＋43＝13＋37＝19＋31 因此那么这三个质数可能是2、3、47或2、7、43或2、13、37或2、19、31。 【例题5】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组。 【答案】101，103，107，109是4个质数 【分析】这9个连续自然数如果是4个偶数，5个奇数，一定有一个是5的倍数，同时有4个是2的倍数；如果是5个偶数，4个奇数，有5个是2的倍数；所以至少有5个数是合数，也就是最多有4个质数。 【详解】要求每个数都大于80，可以取101~109这9个数，其中101，103，107，109是4个质数。 二、分解质因数 【例题1】连续三个自然数的乘积是17550，那么，这三个自然数的和是（ ）。 A．72 B．75 C．78 D．84 【答案】C 【分析】先把17550分解质因数，再找出这三个连续的自然数，最后求和即可。 【详解】17550＝2×5×5×3×3×3×13＝25×26×27 25＋26＋27＝78 则这三个自然数的和是78 故答案为：C 【例题2】这25个数相乘，积的末尾有（ ）个连续的“0”。 【答案】6 【分析】1×2×3×……×23×24×25的积的末尾“0”的个数是由质因数2和质因数5的个数确定的，由于质因数2的个数明显多余质因数5的个数，因此要确定乘积末尾“0”的个数，必须要先确定质因数5的个数。式子中含有质因数5的乘数有5、10、15、20、25这5个数，其中25包含了2个5，故式子中共含有质因数5的个数为：5＋1＝6（个），据此即可知道乘积末尾0的个数。 【详解】含有质因数5的乘数有：5、10、15、20、25 5＝1×5， 10＝2×5， 15＝3×5， 20＝2×2×5， 25＝5×5， 质因数5的个数为：5＋1＝6（个） 因此乘积末尾有6个连续的“0”。 【例题3】有5个小朋友，他们年龄都不到12岁，且都是整数，他们的年龄乘积是13860.这5个小朋友中的年龄最大是（ ）岁。 【答案】11 【分析】将13860分解质因数得到2²×3²×5×7×11。由于每个小朋友的年龄都不超过12岁且为整数，因此可以将这些质因数重新组合成5个数相乘，且11不需要组合。列举出所有可能的组合，据此即可知道这5个小朋友中的年龄最大是多少岁。 【详解】13860＝2²×3²×5×7×11 组合一：13860＝4×5×7×9×11 组合二：13860＝5×6×6×7×11 组合三：13860＝2×7×9×10×11 因此所有组合中最大年龄均为11岁。 【例题4】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？ 【答案】17人 【分析】题中的数量关系是弹珠总数＝人数×人均弹珠数，人数及弹珠总数的变化导致人均弹珠数的变化。先将两次弹珠总数分别进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均弹珠数；同理再变形多次，类比两种变形的结果，能满足人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况即可。 【详解】2006＋10＝2016（个） 2006＝2×17×59，2016＝2×2×2×2×2×7×9 经过组合可得：2006＝17×118，2016＝16×126， 17－1＝16，118＋8＝126符合人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况，因此原来有17人。 答：原来有17人。 【例题5】将21、30、65、126、143、169、275这7个数分成两组，使这两组数的积相等。 【答案】21、30、65、143为一组；126、169、275为一组 【分析】先通过分解质因数，然后观察每个质因数出现的次数，最后平均分配，确保两组中质因数的个数和种类都完全相同，这样才能使这两组数的乘积相等，据此得到符合条件的分组。 【详解】21＝3×7，30＝2×3×5，65＝5×13，126＝2×3×3×7，143＝11×13，169＝13×13，275＝5×5×11； 2、7、11各出现2次，3、5、13各出现4次； 因此每组数必须满足：2、7、11各出现1次，3、5、13各出现2次； 所以可以将3×7、2×3×5、5×13、11×13分为一组，2×3×3×7、13×13、5×5×11分为一组； 即21、30、65、143为一组，126、169、275为一组。 答：21、30、65、143为一组，126、169、275为一组。 考点练习 一、质数与合数 1．在300的因数中，合数有（ ）个。 A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】先求出300的因数的总个数，然后找到其中不是合数的因数的个数，相减即可求出合数因数的个数是多少个。 【详解】 因数个数： （个） 不是合数的因数有：1、2、3、5 18－4＝14（个） 故答案为：A 2．七个连续质数从大到小排列为a，b，c，d，e，f，g，它们的和是偶数，那么b是（ ）。 A．3 B．5 C．13 D．17 【答案】C 【分析】质数中只有一个偶质数是2，7个质数中奇数不少于6个，根据奇数＋奇数＝偶数可知7个质数一定有一个偶质数，即2，据此求出g＝2。然后根据100以内的25个质数即可解答本题。 【详解】因为7个质数的和是偶数，则7个质数中一定有一个偶质数2，即g＝2。 又该连续质数是从大到小排列的，所以该列质数为17、13、11、7、5、3、2。 所以b＝13。 故答案选：C 3．三个连续自然数，其中一个数是质数，一个是完全平方数，在质数和完全平方数之间的自然数称为“完美数”。例如，10在9和11之间，是一个“完美数”。包括10在内的两位数中有（ ）个“完美数”。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由题可知，因为“完美数”在三个连续自然数的质数和完全平方数的中间所以需要看完全平方数左右两侧隔一个数的数是否是质数，要想找出两位数中的“完美数”，涉及到的完全平方数有9、16、25、36、49、64、81、100，据此逐步分析即可求解。 【详解】因为“完美数”在三个连续自然数的质数和完全平方数的中间所以需要看完全平方数左右两侧隔一个数的数是否是质数，要想找出两位数中的“完美数”，涉及到的完全平方数有9、16、25、36、49、64、81、100； 9右侧隔一个数的数为11，11是质数，10是“完美数”； 16左右两侧隔一个数的数为14、18，都不是质数，故16两侧没有“完美数”； 25左右两侧隔一个数的数为23、27，23是质数，24是“完美数”； 36左右两侧隔一个数的数为34、38，都不是质数，故36两侧没有“完美数”； 49左右两侧隔一个数的数为47、51，47是质数，故48是“完美数”； 64左右两侧隔一个数的数为62、66，都不是质数，故64两侧没有“完美数”； 81左右两侧隔一个数的数为79、83，都是质数，故80和82都是“完美数”； 100左侧隔一个数的数为98，不是质数，故100左侧没有“完美数”； 包括10在内的两位数中的“完美数”有10、24、48、80、82，共有5个。 故答案选：C 4．哆啦A梦的笔记本电脑密码是一个五位数，恰好是和为200的三个质数的最大乘积。那么哆啦A梦的笔记本电脑密码是（ ）。 【答案】19594 【分析】2是唯一的偶质数，当三个质数的和为200时，这三个质数不可能都是奇数，所以其中一定有一个质数为2，另外两个质数的和为：200－2＝198。当两个数的和一定是，这两个数越接近，则这两个数的乘积就越大，198÷2＝99，因此这两个质数要尽可能的接近99，即为97和101。最后计算出2、97、101的乘积即可解决。 【详解】当三个质数的和为200时，其中一定有一个质数为2。 （200－2）÷2 ＝198÷2 ＝99 因此这两个质数为97和101。 2×97×101 ＝194×101 ＝19594 哆啦A梦的笔记本电脑密码是19594。 5．如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为( )。 【答案】89 【分析】对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数，求出小于21的所有质数之和，然后确定最大的偶数是多少。 【详解】 ，小于93的最大的质数是89； 当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件。 6．已知a，b，c都是质数，并且a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＝133，则abc＝( )。 【答案】154 【分析】如果a、b、c这三个数都是奇数的话，那么a＋b＋c＋ab＋bc＋ac就是六个奇数相加，和就一定是偶数，而133是奇数，所以矛盾，这就说明这三个质数中必有一个是偶数，而既是偶数又是质数的数只能是2.根据这个再推算出b和c各代表多少。 【详解】假设a＜b＜c 因为133是奇数，所以a＝2 将a＝2代入算式得：2＋b＋c＋2b＋bc＋2c＝133 3b＋3c＋bc＝131 通过尝试，不难得出b＝7，c＝11 所以abc＝2×7×11＝154 故答案为：154 7．和都是大于1的自然数，且、、、、都是质数，则的最小值是( )。 【答案】22 【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，则这样的数叫做质数，据此分析。 【详解】解：要使A＋B值最小，则A和要尽可能的小。据此分析讨论如下： 要使、、、、都是质数，且A和都是大于1的自然数，则： A≠２，否则就是偶数； A≠３，否则就会被3整除； A≠４，否则就会被4整除； A≠５，否则A＋10B就会被5整除； A≠６，否则就会被3、6整除； A＝７，是可以满足题意的数； 现在讨论B的取值：当A＝７时， B≠２，否则＝15，15不是质数； B≠３，否则A＋6B＝25，25不是质数； B≠4，否则A＋2B＝15，15不是质数； B≠5，否则A＋4B＝27，27不是质数； B≠6，否则A＋8B＝55，55不是质数； B≠7，否则A＋4B＝35，35不是质数； B≠8，否则A＋6B＝55，55不是质数； B≠9，否则A＋2B＝25，25不是质数； B≠10，否则A＋2B＝27，27不是质数； B≠11，否则A＋8B＝95，95不是质数； B≠12，否则A＋4B＝55，55不是质数； B≠13，否则A＋6B＝85，85不是质数； B≠14，否则A＋2B＝35，35不是质数； ＝15，是可以满足题意的数； 故＝7＋15＝22为最小值。 8．在下面算式的3个“□”内各填入一个运算符号，使计算结果为质数，共有 种不同的填法。（不允许添加括号） 【答案】8 【分析】首先分析本题不能添除号，考虑添加一个减号时，再考虑都是加号，然后再考虑1个乘号两个乘号的情况，枚举即可。 【详解】通过枚举法一一列举，考虑全部是加号的运算，计算结果为质数的情况如下， ① ， 考虑1个减号，其余都是加号时，计算结果为质数的情况如下， ②， ③， ④， 因为数据从左到右依次增大，所以不能有2个减号， 再考虑1个乘号的情况，计算结果无质数， 再考虑2个乘号的情况， 计算结果为质数的情况如下， ⑤， ⑥， ⑦， ⑧， 所以，共有8种不同的填法。 9．将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数1719；由19，17也可得到一个四位数1917。已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数( )。 【答案】1353，5313，1947，4719，2343，4323，2937，3729。 【分析】此题可设、是符合题意的两个两位质数，根据题意，k为正整数，得＝，然后进行推理论证，解决问题。 【详解】解：设、是符合题意的两个两位质数，按题意有（k为正整数）： ＝ ＝ ＝ 因为是质数，且不能整除，所以（k﹣2）含有因数，198含有因数 因为是偶数，且在（11＋13＝24）24与（89＋97＝186）186之间，而198在24与186之间的偶数约数只有66 所以 66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋57 因此，所求数有8个，分别是：1353，5313，1947，4719，2343，4323.2937，3729． 10．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3＋3，12＝5＋7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100＝3＋97和100＝97＋3算作同一种形式）。 【答案】可知：为所有符合条件的情况，所以共种。 【分析】100以内有25个质数，找出其中和为100的两个质数即可。 【详解】100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； 所以一共有6种。 11．如果一个数，将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”，例如22、464、25752等都是“回数”；“1991”这个数具有如下两个性质： （1）1991是一个“回数”； （2）1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即1991＝11×181，其中11、181既是回数又是素数。 在1000到2000这1001个数中，除1991外，同时具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？ 【答案】还有三个：1111，1441，1661 【分析】根据回数的定义，可知在1000年到2000之间的1001个数中，除了1991外，还有1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881共9个回数；由于要分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，20×100＝2000，故这个两位素数回数必须小于20，即这个两位素数回数只能是11；而11×181＝1991＜2000，故这个三位素数回数必须小于181。据此即可确定符合条件的三位素数回数可能是哪些数，从而确定同时具有性质（1）和（2）的整数还有哪些。 【详解】在1000年到2000之间的1001个数中，除了1991外，还有1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881共9个回数。 20×100＝2000，因此这个两位素数回数必须小于20， 即这个两位素数回数只能是11。 11×181＝1991＜2000，故这个三位素数回数必须小于181， 即符合要求的三位素数回数可能是：101、131、151； 11×101＝1111； 11×131＝1441； 11×151＝1661； 答：同时具有性质（1）和（2）的整数还有三个，分别为1111、1441、1661。 二、分解质因数 1．A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，已知他们的年龄之积为210，则他们的年龄之和可能为（ ）。 ①25 ②23 ③21 ④19 A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】先把210分解质因数，根据A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，确定A，B，C，D四个小朋友各自的年龄都，然后求和即可。 【详解】210＝2×3×5×7 A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是2、3、7、5，和是：2＋3＋5＋7＝17（岁） A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、6、5、7，和是：1＋6＋5＋7＝19（岁） A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、3、10、7，和是：1＋3＋10＋7＝21（岁） A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、3、5、14，和是：1＋3＋5＋14＝23（岁） 所以他们的年龄之和可能为17、19、21、23 故答案为：D 2．某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低于95分。当小记者采访他们时，小明说：”我的名次、年龄和分数的乘积等于1261”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于 3135“。那么小明和小光两人的平均分是（ ）分。 A．94 B．98 C．96 D．97 【答案】C 【分析】将1261和3135分解后，根据得分、名次及年龄的特点进行确定；据此解答即可。 【详解】1261＝13×97＝1×13×97 所以小明的名次、年龄和分数为1、13、97； 3135＝3×5×11×19＝3×11×95 所以小光的名次、年龄和分数为3、11、95； （97＋95）÷2 ＝192÷2 ＝96（分） 所以小明和小光两人的平均分是96分。 故答案选：C 3．1×2×3×…×198×199×200这200个数相乘，积的末尾有（ ）个连续的“0”。 【答案】49 【分析】1×2×3×……×198×199×200的积的末尾“0”的个数是由质因数2和质因数5的个数确定的，由于质因数2的个数明显多余质因数5的个数，因此要确定乘积末尾“0”的个数，必须要先确定质因数5的个数，因此进行列举计算即可解决。 【详解】5的倍数有：200÷5＝40（个） 5×5＝25，25的倍数有：200÷25＝8（个） 5×5×5＝125，125的倍数有：200÷125＝1（个）……75（个） 总共含有质因数5的个数为：40＋8＋1＝49（个） 因此积的末尾有49个连续的“0”。 4．有4个自然数，计算其中任意2个数的积，得到了6个不同的自然数，它们是：56，84，96，105，120，180，那么这4个自然数的和是（ ）。 【答案】42 【分析】四个自然数两两相乘得到6个不同的积：56，84，96，105，120，180。通过分解质因数发现，56＝7×8，84＝7×12，105＝7×15，96＝8×12，120＝8×15，180＝12×15，由此推断四个数为7、8、12、15，求和即可。 【详解】56＝7×8， 84＝7×12， 105＝7×15， 96＝8×12， 120＝8×15， 180＝12×15， 因此这四个数分别为：7、8、12、15， 7＋8＋12＋15 ＝15＋12＋15 ＝27＋15 ＝42 因此这4个自然数的和是42。 5．将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成（ ）组。 【答案】3 【分析】先将14，20，33，117，143，175分解质因数，有相同质因数的两个数不能分在一组，根据质因数的种类分组即可。 【详解】先将所有数都分解质因数得： 14＝2×7 20＝2×2×5 33＝3×11 117＝3×3×13 143＝11×13 175＝5×5×7 注意到33，117，143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14，20，175也必须分为3组，互相配合就行。 6．A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是( )。 【答案】1781 【分析】把2007拆成5个自然数的乘积，是可以有1的，同理把2007拆成4个自然数的乘积，也是可以有1的，先找出所有可能的情况，然后分别计算A、B的结果，再找出相差最大的情况。 【详解】2007＝1×1×3×3×223＝1×1×1×9×223＝1×1×1×3×669＝1×1×1×1×2007，所以A的可能值是231或235或675或2011，又2007＝1×3×3×223＝1×1×9×223＝1×1×3×669＝1×1×1×2007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为2011－230＝1781。 7．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 【答案】14位 【分析】题中的数量关系是苹果总数＝人数×人均苹果数，人数变化则导致人均苹果数变化，但是总的苹果数量不会发生变化。因此可以先将苹果总数进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均苹果数；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足人数增加1，人均苹果数则减2的情况即可。 【详解】420＝2×2×3×5×7 420＝14×30，420＝15×28 15－14＝1，30－28＝2，符合人数增加1，人均苹果数减少2的情况。 故原来有14位小朋友，每位小朋友分30个苹果。 答：原来有14位小朋友。 8．学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？ 【答案】24支 【分析】题中的数量关系是总价＝单价×数量，单价变化则导致数量变化，但是总价不变。先将总价进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为单价，另一个乘数则为数量；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足单价少1，数量增加3的情况即可。 【详解】216＝2×2×2×3×3×3 重新组合可得：216＝9×24，216＝8×27， 9－8＝1，27－24＝3，符合单价少1，数量增加3的情况。 因此实际每支毛笔9元，一共可以买24支。 答：实际购买了24支毛笔。 9．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？ 【答案】9699690 【分析】由题意可知这个积的末四位数是前三位数的10倍，因此可以设这个数的前三位为，则末四位为10×，整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×，其中为三位数（100≤≤999）；又因为整个号码是几个连续质数的乘积，而10010＝2×5×7×11×13，这些质数并非完全连续，需要进行补充，从而形成连续的质数序列，如2，3，5，7，11，13，17，19，……，因此需要补充质数3、17、19……。最后根据100≤≤999即可确定补充哪几个质数，从而确定小明家的电话号码是多少。 【详解】解：设这个数的前三位为，则末四位为10×。 整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×， 因为10010＝2×5×7×11×13，整个号码是几个连续质数的乘积， 所以分解质因数后一定要含有质数3。 又因为100≤≤999， 所以分解质因数后还需要有别的质数，即17、19……。 3×17＝51，不符合的取值范围； 3×17×19＝969，符合的取值范围。 因此。 整个号码为： 答：小明家的电话号码是9699690。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 质数与合数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.准确理解质数与合数的定义，能够清晰区分两者概念。 2.熟练掌握 100 以内的质数，快速判断一个数是否为质数。 3.学会运用质数与合数的性质，解决相关的奥数问题，如分解质因数在实际问题中的应用等。 知识梳理 知识点一、质数的定义 1.一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。例如，2、3、5、7 等，2 只能被 1 和 2 整除，3 只能被 1 和 3 整除，所以 2 和 3 是质数。 2.特殊质数：2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 知识点二、合数的定义 1.一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。比如 4，除了能被 1 和 4 整除外，还能被 2 整除；6 除了 1 和 6 外，还能被 2 和 3 整除，所以 4 和 6 是合数。 2.特殊合数：4 是最小的合数。 知识点三、1 的特殊性 1 既不是质数也不是合数。因为质数有两个约数，合数至少有三个约数，而 1 只有 1 这一个约数，不符合质数与合数的定义。 知识点四、100 以内的质数表 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共 25 个。记忆方法：可以按一定规律分组记忆，比如 2、3、5、7 一组，11 - 19 之间有 4 个质数（11、13、17、19），20 - 29 有 23、29，30 - 39 有 31、37 等。 知识点五、质数与合数的判断方法 1.试除法：判断一个数是不是质数，从 2 开始，依次用小于的质数去除，如果都不能整除，则是质数；若存在能整除的情况，则是合数。例如判断 53 是否为质数，从 2 开始试除，2 不能整除 53，3 不能整除 53，5 不能整除 53，7 也不能整除 53，因为，，所以不用再往后试除，53 是质数。 知识点六、分解质因数 1.定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，，这里 2 和 3 是 12 的质因数。 2.方法（短除法）：是分解质因数常用的方法。例如分解 48，先用最小的质数 2 去除 48，得到 24，再用 2 除 24 得 12，继续用 2 除 12 得 6，再用 2 除 6 得 3，此时 3 是质数，分解结束，所以。 知识点七、质数与合数的应用 1.解决数字谜题：在一些数字谜题中，会利用质数与合数的性质来确定某些数字。例如，已知两个质数的和是 10，求这两个质数。因为 10 以内的质数有 2、3、5、7，其中，所以这两个质数是 3 和 7。 2.实际生活问题：如在将一些物品分组的问题中，如果每组数量相同且组数和每组数量都要是质数，就需要运用质数的知识来解决。比如有 35 个苹果，要分成若干组，每组个数相同且组数和每组个数都是质数，因为，所以可以分成 5 组，每组 7 个，这里 5 和 7 都是质数。 例题讲解 一、质数与合数 【例题1】在120的因数中，合数有（ ）个。 A．10 B．11 C．12 D．13 【例题2】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不再有其它因数的自然数，质数也叫素数。现有两个不同的质数，它们的和是16，那它们的积可能是（ ）。 A．28 B．35 C．39 D．63 【例题3】200多年前，德国数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，如6＝3＋3，12＝5＋7，自然数100可以表示为（ ）对不同的两个质数的和。 【例题4】如果三个质数相加等于52，那么这三个质数可能是（ ）。 【例题5】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组。 二、分解质因数 【例题1】连续三个自然数的乘积是17550，那么，这三个自然数的和是（ ）。 A．72 B．75 C．78 D．84 【例题2】这25个数相乘，积的末尾有（ ）个连续的“0”。 【例题3】有5个小朋友，他们年龄都不到12岁，且都是整数，他们的年龄乘积是13860.这5个小朋友中的年龄最大是（ ）岁。 【例题4】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？ 【例题5】将21、30、65、126、143、169、275这7个数分成两组，使这两组数的积相等。 考点练习 一、质数与合数 1．在300的因数中，合数有（ ）个。 A．14 B．15 C．16 D．18 2．七个连续质数从大到小排列为a，b，c，d，e，f，g，它们的和是偶数，那么b是（ ）。 A．3 B．5 C．13 D．17 3．三个连续自然数，其中一个数是质数，一个是完全平方数，在质数和完全平方数之间的自然数称为“完美数”。例如，10在9和11之间，是一个“完美数”。包括10在内的两位数中有（ ）个“完美数”。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．哆啦A梦的笔记本电脑密码是一个五位数，恰好是和为200的三个质数的最大乘积。那么哆啦A梦的笔记本电脑密码是（ ）。 5．如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为( )。 6．已知a，b，c都是质数，并且a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＝133，则abc＝( )。 7．和都是大于1的自然数，且、、、、都是质数，则的最小值是( )。 8．在下面算式的3个“□”内各填入一个运算符号，使计算结果为质数，共有 种不同的填法。（不允许添加括号） 9．将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数1719；由19，17也可得到一个四位数1917。已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数( )。 10．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6＝3＋3，12＝5＋7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100＝3＋97和100＝97＋3算作同一种形式）。 11．如果一个数，将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”，例如22、464、25752等都是“回数”；“1991”这个数具有如下两个性质： （1）1991是一个“回数”； （2）1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即1991＝11×181，其中11、181既是回数又是素数。 在1000到2000这1001个数中，除1991外，同时具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？ 二、分解质因数 1．A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，已知他们的年龄之积为210，则他们的年龄之和可能为（ ）。 ①25 ②23 ③21 ④19 A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 2．某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低于95分。当小记者采访他们时，小明说：”我的名次、年龄和分数的乘积等于1261”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于 3135“。那么小明和小光两人的平均分是（ ）分。 A．94 B．98 C．96 D．97 3．1×2×3×…×198×199×200这200个数相乘，积的末尾有（ ）个连续的“0”。 4．有4个自然数，计算其中任意2个数的积，得到了6个不同的自然数，它们是：56，84，96，105，120，180，那么这4个自然数的和是（ ）。 5．将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成（ ）组。 6．A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是( )。 7．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？ 8．学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？ 9．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $