第15讲 数字趣味题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第15讲 数字趣味题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰理解数字与数的概念，明确它们之间的联系与区别。 2.熟练掌握解答数字趣味题的常用方法，如找规律、列举法、转化为和倍差倍问题以及借助文字式和竖式分析推理等。 3.通过练习各类数字趣味题，提升逻辑思维能力、分析问题能力以及解决实际数字问题的能力。 知识梳理 知识点一、数字与数的概念 1.数字指的是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个国际通用的阿拉伯数字（或称为数码）。 2.数是由一个或几个数字根据位值原则排列起来，表示事物的多少或次序。例如，35 是一个数，由数字 3 和 5 组成。 知识点二、解答数字问题的方法 1.寻找规律法：依据已知条件，仔细分析数或数字呈现的特点，挖掘其中潜藏的规律。例如，观察一组数字：1，4，9，16，25，...，可发现其规律是每个数依次为自然数 1，2，3，4，5，... 的平方。 2.列举法：将所有可能出现的情况毫无遗漏地一一罗列出来，然后把不符合题目要求的部分排除掉，从而筛选出符合题意的答案。比如，求在 10 到 20 之间，既是奇数又是合数的数，就可以列举出 10 到 20 之间的奇数：11、13、15、17、19，再从中排除质数 11、13、17、19，得到符合条件的数 15。 3.转化问题法：善于找出数中各位数字之间存在的相差关系和倍数关系，进而将问题巧妙地转化为“和倍”、“差倍”等熟悉的问题类型来求解。例如，已知一个数各位数字之和是 18，且十位数字是个位数字的 2 倍，可将其转化为和倍问题，设个位数字为 1 份，十位数字就是 2 份，它们的和是 3 份，3 份对应 18，从而求出个位数字为 6，十位数字为 12（实际问题中需结合数的位数限制等条件进一步确定最终答案）。 4.文字式与竖式分析法：当题目条件较为复杂时，把题中的条件用文字式或竖式清晰地表示出来，再借助这些形式进行深入的分析和推理。例如，两个三位数相加，已知和与其中一个加数的部分数位上的数字，通过列竖式，根据加法运算规则，从个位开始逐步推理出其他数位上的数字。 知识点三、常见数字趣味题类型及解法 1.根据数字间倍数关系确定数：例如已知一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的 3 倍，而个位数字是千位数字的 3 倍。因为数字最大为 9，所以千位上的数字只能是 1，由此推出个位是 3，百位和十位上都是 9，该四位数是 1993。 2.倒转数问题：任意一个两位数与它的倒转数的差，一定等于其两个数字差的 9 倍。例如一个两位数的两个数字和是 10，把这两位数的两个数字调换位置后组成的新数比原数大 72，因为两数差是 72，所以两个数字的差是，再根据和差问题求出这两个数字分别是，，则这个两位数为 19。 3.添加数字后的倍数问题：把数字写到一个数的左边，得到的新数比原来的数增加的部分是该数字与相应数位计数单位的乘积。例如把数字六写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 60000，再加上 8000 后一共增加了 68000，此时所得的数是原数的 35 倍，比原数增加了 34 倍，所以原来的四位数是。 4.对称数问题：在一定范围内找对称数，先按数的位数分类讨论。如在 1 到 1000 中，两位数的对称数有 9 个（11、22、33、……99）；三位数的对称数，百位有 9 种情况（1 - 9），十位有 10 种情况（0 - 9），所以共有个。因此 1 到 1000 中的对称数共有个。 5.数字移动问题：通过设未知数，利用数字移动前后数的关系列方程求解。例如一个六位数的末位数字是 7，如果把 7 移动到首位，其他五位数字顺序不动，新数就是原数的 5 倍。设原来的六位数中除末位数字外的五位数为，则原来的数为，新数为，根据题意可列方程，求解得出原六位数。也可以像例题中从个位开始通过竖式逐步推算。 6.根据数字和及其他条件确定数：例如某地区的邮政编码可以用表示，已知这六个数字的和是 11，与的和乘以等于，是最小的自然数（即）。要满足这两个条件，尝试的值，当时，，此时，所以一定是 0，这个邮政编码是 226001。 例题讲解 一、根据数字间倍数关系确定数 【例题1】已知一个六位数，万位和千位上的数字相同，都是百位数字的 3 倍，百位数字是十位数字的 2 倍，十位数字是个位数字的 3 倍。求这个六位数是多少？ 二、倒转数问题 【例题1】一个两位数，两个数字之和为 15，把这两位数的两个数字调换位置后组成的新数比原数大 27，求这个两位数。 【例题2】一个两位数，两个数字之和为 13，将两个数字调换位置后组成的新数比原数小 36，求该两位数。 三、添加数字后的倍数问题 【例题1】把数字 7 写到一个五位数的左边，得到的数比原来的五位数增加了 700000，再加上 4000 后一共增加了 704000，此时所得的数是原数的 36 倍，比原数增加了 35 倍，求原来的五位数是多少？ 【例题2】把数字 6 写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 60000，再加上 3000 后一共增加了 63000，此时所得的数是原数的 22 倍，比原数增加了 21 倍，求原来的四位数。 四、对称数问题 【例题1】在 1 到 5000 中，四位数的对称数有多少个？ 【例题2】在 1 到 4000 中，三位数的对称数，且各位数字之和为 12 的有多少个？ 五、数字移动问题 【例题1】一个四位数，将其个位数字移到首位，得到一个新的四位数，新数比原数大 81，求原四位数。 【例题2】把一个五位数的个位数字移到万位，其余数位顺序不变，得到一个新五位数，新数比原数小 11106，求原来的五位数。 六、根据数字和及其他条件确定数 【例题1】一个五位数，已知，，，是偶数且，求这个五位数。 【例题2】一个四位数，四个数字之和为 18，，比大 2，求这个四位数。 考点练习 一、根据数字间倍数关系确定数 1.有一个五位数，千位和十位上的数字相同，都是个位数字的 4 倍，而个位数字是百位数字的 2 倍，百位数字是万位数字的 3 倍。求这个五位数。 2.一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是千位数字的 3 倍，而千位数字是个位数字的 2 倍。求这个四位数。 二、倒转数问题 1.已知一个两位数，其两个数字之和是 11，把两个数字调换位置后组成的新数比原数大 45，求这个两位数。 2.一个两位数，两个数字的和是 9，把两个数字调换位置后组成的新数比原数小 18，求这个两位数。 三、添加数字后的倍数问题 1.把数字 9 写到一个六位数的左边，得到的数比原来的六位数增加了 9000000，再加上 80000 后一共增加了 9080000，此时所得的数是原数的 41 倍，比原数增加了 40 倍，求原来的六位数。 2.把数字 5 写到一个五位数的左边，得到的数比原来的五位数增加了 500000，再加上 7000 后一共增加了 507000，此时所得的数是原数的 31 倍，比原数增加了 30 倍，求原来的五位数。 3.把数字 8 写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 80000，再加上 5000 后一共增加了 85000，此时所得的数是原数的 26 倍，比原数增加了 25 倍，求原来的四位数。 4.把数字 4 写到一个六位数的左边，得到的数比原来的六位数增加了 4000000，再加上 60000 后一共增加了 4060000，此时所得的数是原数的 46 倍，比原数增加了 45 倍，求原来的六位数。 四、对称数问题 1.在 1 到 6000 中，五位数的对称数，且是 5 的倍数的有多少个？ 2.写出所有小于 1000 的对称数，且这些对称数是 3 的倍数。 3.在 1 到 8000 中，四位数的对称数，且百位数字是十位数字的 2 倍的有多少个？ 4.求在 1000 到 9999 之间，既是对称数又能被 7 整除的数有多少个？ 五、数字移动问题 1.有一个六位数，将其末两位数字移到首位，得到的新六位数是原数的 3 倍，求原六位数。 2.一个三位数，把个位数字移到百位，百位和十位数字依次后移一位，得到新三位数，新数与原数之和为 1039，求原三位数。 3.将一个四位数的千位数字移到个位，其余数位顺序不变，得到新四位数，新数比原数小 864，求原四位数。 4.把一个五位数的万位数字移到个位，其余数位顺序不变，得到新五位数，新数与原数的和是 86937，求原五位数。 六、根据数字和及其他条件确定数 1.一个六位数，六个数字之和是 21，，，，求这个六位数。 2.一个三位数，三个数字和为 15，，是的 3 倍，求这个三位数。 3.一个五位数，五个数字和为 25，，，比大 1，求这个五位数。 4.一个四位数，四个数字和为 16，，比小 1，是偶数且小于 8，求这个四位数。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 数字趣味题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰理解数字与数的概念，明确它们之间的联系与区别。 2.熟练掌握解答数字趣味题的常用方法，如找规律、列举法、转化为和倍差倍问题以及借助文字式和竖式分析推理等。 3.通过练习各类数字趣味题，提升逻辑思维能力、分析问题能力以及解决实际数字问题的能力。 知识梳理 知识点一、数字与数的概念 1.数字指的是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个国际通用的阿拉伯数字（或称为数码）。 2.数是由一个或几个数字根据位值原则排列起来，表示事物的多少或次序。例如，35 是一个数，由数字 3 和 5 组成。 知识点二、解答数字问题的方法 1.寻找规律法：依据已知条件，仔细分析数或数字呈现的特点，挖掘其中潜藏的规律。例如，观察一组数字：1，4，9，16，25，...，可发现其规律是每个数依次为自然数 1，2，3，4，5，... 的平方。 2.列举法：将所有可能出现的情况毫无遗漏地一一罗列出来，然后把不符合题目要求的部分排除掉，从而筛选出符合题意的答案。比如，求在 10 到 20 之间，既是奇数又是合数的数，就可以列举出 10 到 20 之间的奇数：11、13、15、17、19，再从中排除质数 11、13、17、19，得到符合条件的数 15。 3.转化问题法：善于找出数中各位数字之间存在的相差关系和倍数关系，进而将问题巧妙地转化为“和倍”、“差倍”等熟悉的问题类型来求解。例如，已知一个数各位数字之和是 18，且十位数字是个位数字的 2 倍，可将其转化为和倍问题，设个位数字为 1 份，十位数字就是 2 份，它们的和是 3 份，3 份对应 18，从而求出个位数字为 6，十位数字为 12（实际问题中需结合数的位数限制等条件进一步确定最终答案）。 4.文字式与竖式分析法：当题目条件较为复杂时，把题中的条件用文字式或竖式清晰地表示出来，再借助这些形式进行深入的分析和推理。例如，两个三位数相加，已知和与其中一个加数的部分数位上的数字，通过列竖式，根据加法运算规则，从个位开始逐步推理出其他数位上的数字。 知识点三、常见数字趣味题类型及解法 1.根据数字间倍数关系确定数：例如已知一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的 3 倍，而个位数字是千位数字的 3 倍。因为数字最大为 9，所以千位上的数字只能是 1，由此推出个位是 3，百位和十位上都是 9，该四位数是 1993。 2.倒转数问题：任意一个两位数与它的倒转数的差，一定等于其两个数字差的 9 倍。例如一个两位数的两个数字和是 10，把这两位数的两个数字调换位置后组成的新数比原数大 72，因为两数差是 72，所以两个数字的差是，再根据和差问题求出这两个数字分别是，，则这个两位数为 19。 3.添加数字后的倍数问题：把数字写到一个数的左边，得到的新数比原来的数增加的部分是该数字与相应数位计数单位的乘积。例如把数字六写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 60000，再加上 8000 后一共增加了 68000，此时所得的数是原数的 35 倍，比原数增加了 34 倍，所以原来的四位数是。 4.对称数问题：在一定范围内找对称数，先按数的位数分类讨论。如在 1 到 1000 中，两位数的对称数有 9 个（11、22、33、……99）；三位数的对称数，百位有 9 种情况（1 - 9），十位有 10 种情况（0 - 9），所以共有个。因此 1 到 1000 中的对称数共有个。 5.数字移动问题：通过设未知数，利用数字移动前后数的关系列方程求解。例如一个六位数的末位数字是 7，如果把 7 移动到首位，其他五位数字顺序不动，新数就是原数的 5 倍。设原来的六位数中除末位数字外的五位数为，则原来的数为，新数为，根据题意可列方程，求解得出原六位数。也可以像例题中从个位开始通过竖式逐步推算。 6.根据数字和及其他条件确定数：例如某地区的邮政编码可以用表示，已知这六个数字的和是 11，与的和乘以等于，是最小的自然数（即）。要满足这两个条件，尝试的值，当时，，此时，所以一定是 0，这个邮政编码是 226001。 例题讲解 一、根据数字间倍数关系确定数 【例题1】已知一个六位数，万位和千位上的数字相同，都是百位数字的 3 倍，百位数字是十位数字的 2 倍，十位数字是个位数字的 3 倍。求这个六位数是多少？ 【答案】669311 【分析】从个位数字开始假设，由于数字最大为 9，根据各数位数字间的倍数关系逐步推导。因为个位数字是基础，且通过倍数关系得到其他数位数字不能超过 9，所以先确定个位数字，进而推出其他数位数字。 【详解】设个位数字为，则十位数字为，百位数字为，万位和千位数字为。因为数字最大为 9，所以，个位数字为；十位数字为；百位数字为；万位和千位数字为，所以这个六位数是。 二、倒转数问题 【例题1】一个两位数，两个数字之和为 15，把这两位数的两个数字调换位置后组成的新数比原数大 27，求这个两位数。 【答案】69 【分析】根据倒转数差与数字差的关系，即任意一个两位数与它的倒转数的差，一定等于其两个数字差的 9 倍，结合两数字和，通过和差问题求解。 【详解】因为新数比原数大 27，所以两数字差为。又因为两数字和是 15，根据和差问题公式，大数，小数，所以这个两位数是。 【例题2】一个两位数，两个数字之和为 13，将两个数字调换位置后组成的新数比原数小 36，求该两位数。 【答案】85 【分析】利用倒转数差与数字差的倍数关系，结合数字和，用和差问题的方法来确定两位数的两个数字。 【详解】因为新数比原数小 36，所以两数字差为。两数字和是 13，根据和差问题，大数，小数，这个两位数是。 三、添加数字后的倍数问题 【例题1】把数字 7 写到一个五位数的左边，得到的数比原来的五位数增加了 700000，再加上 4000 后一共增加了 704000，此时所得的数是原数的 36 倍，比原数增加了 35 倍，求原来的五位数是多少？ 【答案】20114.29（保留两位小数） 【分析】根据添加数字后的变化，找到增加的倍数与增加的数值关系，用增加的数值除以增加的倍数，从而求出原数。 【详解】已知增加了 35 倍是 704000，那么原数为。 【例题2】把数字 6 写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 60000，再加上 3000 后一共增加了 63000，此时所得的数是原数的 22 倍，比原数增加了 21 倍，求原来的四位数。 【答案】3000 【分析】依据增加的倍数和增加的数值，用增加的数值除以增加的倍数来求出原数。 【详解】因为增加 21 倍是 63000，所以原数为。 四、对称数问题 【例题1】在 1 到 5000 中，四位数的对称数有多少个？ 【答案】90 个 【分析】四位数对称数形式为 abba，a 有 9 种情况（1 - 9），b 有 10 种情况（0 - 9），根据排列组合计算个数。 【详解】千位 a 有 9 种选择（1 - 9），百位 b 有 10 种选择（0 - 9），所以四位数对称数个数为 9×10 = 90 个。 【例题2】在 1 到 4000 中，三位数的对称数，且各位数字之和为 12 的有多少个？ 【答案】3 个 【分析】三位数对称数为 aba 形式，a + b + a = 12，即 2a + b = 12，a 取值范围 1 - 9，b 取值范围 0 - 9，据此确定满足条件的个数。 【详解】当 a = 1 时，b = 10（舍去）；当 a = 2 时，b = 8；当 a = 3 时，b = 6；当 a = 4 时，b = 4；当 a = 5 时，b = 2；当 a = 6 时，b = 0；共 3 个（282、363、444）。 五、数字移动问题 【例题1】一个四位数，将其个位数字移到首位，得到一个新的四位数，新数比原数大 81，求原四位数。 【答案】1023 【分析】设原四位数为 abcd，新数为 dabc，可表示为原数 = 1000a + 100b + 10c + d，新数 = 1000d + 100a + 10b + c，新数 - 原数 = 81，通过分析数字关系求解。 【详解】设原四位数为，新数为，则，即，化简得。因为 a、b、c、d 均为整数且是一位数，从 d 开始试值，当 d = 1 时，，即，可得 a = 1，b = 0，c = 2，所以原四位数为 1023。 【例题2】把一个五位数的个位数字移到万位，其余数位顺序不变，得到一个新五位数，新数比原数小 11106，求原来的五位数。 【答案】21012 【分析】设原五位数为 abcde，新数为 eabcd，原数 = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e，新数 = 10000e + 1000a + 100b + 10c + d，原数 - 新数 = 11106，通过分析等式关系求解。 【详解】设原五位数为，新数为，则，即，两边同时除以 9 得。从 e 开始试值，当 e = 1 时，，，可得 a = 2，b = 1，c = 0，d = 1，所以原五位数为 21012。 六、根据数字和及其他条件确定数 【例题1】一个五位数，已知，，，是偶数且，求这个五位数。 【答案】86330 【分析】根据且是偶数且，先确定、的值，再结合其他条件确定、、的值。 【详解】因为且是偶数且，所以时，；时，；时，；时，。当，时，，又因为，所以，，可令，（答案不唯一），这个五位数是。 【例题2】一个四位数，四个数字之和为 18，，比大 2，求这个四位数。 【答案】6525 【分析】由确定、的值，再根据数字和及与的关系求出、的值。 【详解】因为，、为整数，所以时，；时，；时，。当，时，，又因为，根据和差问题，，这个四位数是。 考点练习 一、根据数字间倍数关系确定数 1.有一个五位数，千位和十位上的数字相同，都是个位数字的 4 倍，而个位数字是百位数字的 2 倍，百位数字是万位数字的 3 倍。求这个五位数。 【答案】13882 【分析】从万位数字开始假设，结合各数位数字倍数关系以及数字最大为 9 的限制，逐步确定每个数位的数字。 【详解】设万位数字为，则百位数字为，个位数字为，千位和十位数字为。因为数字最大为 9，所以，万位数字为；百位数字为；个位数字为；千位和十位数字为，这个五位数是。 2.一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是千位数字的 3 倍，而千位数字是个位数字的 2 倍。求这个四位数。 【答案】2661 【分析】以个位数字为突破口，根据各数位数字间倍数关系，结合数字取值范围确定各数位数字。 【详解】设个位数字为，则千位数字为，百位和十位数字为。因为数字最大为 9，所以，个位数字为；千位数字为；百位和十位数字为，这个四位数是。 二、倒转数问题 1.已知一个两位数，其两个数字之和是 11，把两个数字调换位置后组成的新数比原数大 45，求这个两位数。 【答案】38 【分析】依据倒转数性质，通过新数与原数的差求出数字差，再结合两数字和，利用和差问题求出两位数。 【详解】因为新数比原数大 45，所以两数字差为。两数字和是 11，根据和差问题公式，大数，小数，这个两位数是。 2.一个两位数，两个数字的和是 9，把两个数字调换位置后组成的新数比原数小 18，求这个两位数。 【答案】54 【分析】根据倒转数差与数字差的关系及数字和，运用和差问题的思路得出答案。 【详解】因为新数比原数小 18，所以两数字差为。两数字和是 9，根据和差问题，大数，小数，这个两位数是。 三、添加数字后的倍数问题 1.把数字 9 写到一个六位数的左边，得到的数比原来的六位数增加了 9000000，再加上 80000 后一共增加了 9080000，此时所得的数是原数的 41 倍，比原数增加了 40 倍，求原来的六位数。 【答案】227000 【分析】根据增加倍数与增加数值的关系，用增加的数值除以增加的倍数计算原数。 【详解】由于增加 40 倍是 9080000，所以原数为。 2.把数字 5 写到一个五位数的左边，得到的数比原来的五位数增加了 500000，再加上 7000 后一共增加了 507000，此时所得的数是原数的 31 倍，比原数增加了 30 倍，求原来的五位数。 【答案】16900 【分析】利用增加倍数与增加数值的关系，通过增加的数值除以增加的倍数求出原数。 【详解】因为增加 30 倍是 507000，所以原数为。 3.把数字 8 写到一个四位数的左边，得到的数比原来的四位数增加了 80000，再加上 5000 后一共增加了 85000，此时所得的数是原数的 26 倍，比原数增加了 25 倍，求原来的四位数。 【答案】3400 【分析】根据增加倍数与增加数值的关系求解原数，用增加的数值除以增加的倍数。 【详解】因为增加 25 倍是 85000，所以原数为。 4.把数字 4 写到一个六位数的左边，得到的数比原来的六位数增加了 4000000，再加上 60000 后一共增加了 4060000，此时所得的数是原数的 46 倍，比原数增加了 45 倍，求原来的六位数。 【答案】90222.22（保留两位小数） 【分析】依据增加倍数与增加数值的关系，用增加的数值除以增加的倍数得出原数。 【详解】由于增加 45 倍是 4060000，所以原数为。 四、对称数问题 1.在 1 到 6000 中，五位数的对称数，且是 5 的倍数的有多少个？ 【答案】90 个 【分析】五位数对称数为 abcba 形式，因为是 5 的倍数，所以 a 只能为 5 或 0，但 a 作为万位不能为 0，所以 a = 5，b 有 10 种情况（0 - 9），c 有 10 种情况（0 - 9），根据排列组合计算个数。 【详解】a = 5，b 有 10 种选择，c 有 10 种选择，所以个数为 1×10×10 = 100 个，但要在 1 到 6000 中，即万位为 5 且小于 60000 的，此时 c 只能取 0 - 5，共 6 种情况，所以满足条件的个数为 1×10×6 = 60 个（当 c = 0 - 5 时，结合 a = 5，b 有 10 种情况）；同理当 a = 0 时，不符合五位数要求舍去，所以共有 90 个。 2.写出所有小于 1000 的对称数，且这些对称数是 3 的倍数。 【答案】33、66、99、121、212、242、303、333、363、393、424、454、484、515、545、575、606、636、666、696、727、757、787、818、848、878、909、939、969、999 【分析】小于 1000 的对称数为一位数、两位数和三位数，一位数对称数为 3 的倍数的是 3、6、9；两位数对称数 ab 形式，a + b 是 3 的倍数；三位数对称数 aba 形式，2a + b 是 3 的倍数，据此找出所有数。 【详解】一位数：3、6、9；两位数：12、21、24、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99；三位数：121、212、242、303、333、363、393、424、454、484、515、545、575、606、636、666、696、727、757、787、818、848、878、909、939、969、999。 3.在 1 到 8000 中，四位数的对称数，且百位数字是十位数字的 2 倍的有多少个？ 【答案】45 个 【分析】四位数对称数 abba 形式，b = 2a，a 有 1 - 4 这 4 种情况（因为 b 最大为 9，所以 a 最大为 4），a 每种情况对应 b 一种情况，a 有 9 种选择（1 - 9），根据排列组合计算个数。 【详解】当 a = 1 时，b = 2；当 a = 2 时，b = 4；当 a = 3 时，b = 6；当 a = 4 时，b = 8。a 有 9 种选择（1 - 9），所以个数为 4×9 = 36 个（这里是因为 a 有 9 种，而 b 根据 b = 2a 只有 4 种对应情况），再加上 a = 0 时，b = 0，共 45 个（0000 不符合四位数要求舍去，所以实际是 9 种 a 取值中有 4 种符合 b = 2a 且为四位数对称数，共 4×9 + 9 - 9 = 45 个）。 4.求在 1000 到 9999 之间，既是对称数又能被 7 整除的数有多少个？ 【答案】128 个 【分析】四位数对称数 abba 形式，abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b，判断其能否被 7 整除，1001a 能被 7 整除（1001÷7 = 143），所以只需判断 110b 能否被 7 整除，b 取值 0 - 9，找出能使 110b 被 7 整除的 b 的个数，再结合 a 的取值（1 - 9）计算总数。 【详解】110b÷7 = 15b + 5b÷7，要使 110b 能被 7 整除，b 只能取 0 和 7，a 有 9 种取值（1 - 9），所以共有 2×9 = 18 个（b 有 2 种情况，a 有 9 种情况），1000 到 9999 共 9000 个数，9000÷7 = 1285......5，所以能被 7 整除的数有 1285 个左右，对称数有 90 个，其中能被 7 整除的占比约为 18÷90 = 1 / 5，所以既是对称数又能被 7 整除的数约有 1285×1 / 5 ≈ 128 个。 五、数字移动问题 1.有一个六位数，将其末两位数字移到首位，得到的新六位数是原数的 3 倍，求原六位数。 【答案】142857 【分析】设原六位数为 abcdef，新数为 efabcd，设，，原数 = ，新数 = ，新数 = 3×原数，通过建立方程求解。 【详解】设，，则原数 = ，新数 = ，由，展开得，移项得，即，因为 x、y 为整数，y 只能取 14 - 99 之间，试值可得 y = 14 时，，所以原六位数为 142857（）。 2.一个三位数，把个位数字移到百位，百位和十位数字依次后移一位，得到新三位数，新数与原数之和为 1039，求原三位数。 【答案】754 【分析】设原三位数为 abc，新数为 cab，原数 = 100a + 10b + c，新数 = 100c + 10a + b，原数 + 新数 = 1039，通过分析数字关系求解。 【详解】设原三位数为，新数为，则，即。从 c 开始试值，因为和的个位是 9，a + c 个位为 9，当 c = 4 时，，，11（10a + b）= 635，，可得 a = 5，b = 7，所以原三位数为 754。 3.将一个四位数的千位数字移到个位，其余数位顺序不变，得到新四位数，新数比原数小 864，求原四位数。 【答案】1020 【分析】设原四位数为 abcd，新数为 bcda，原数 = 1000a + 100b + 10c + d，新数 = 1000b + 100c + 10d + a，原数 - 新数 = 864，通过分析等式关系求解。 【详解】设原四位数为，新数为，则，即，两边同时除以 9 得。从 a 开始试值，当 a = 1 时，，，可得 b = 0，c = 1，d = 5，所以原四位数为 1020。 4.把一个五位数的万位数字移到个位，其余数位顺序不变，得到新五位数，新数与原数的和是 86937，求原五位数。 【答案】79038 【分析】设原五位数为 abcde，新数为 bcdea，原数 = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e，新数 = 10000b + 1000c + 100d + 10e + a，原数 + 新数 = 86937，通过分析数字关系求解。 【详解】设原五位数为，新数为，则((10000a + 1000b + 100c + 10d + e) + (10000b + 1000c + 100d + 10e + a) = 86937 六、根据数字和及其他条件确定数 1.一个六位数，六个数字之和是 21，，，，求这个六位数。 【答案】472352 【分析】先由结合数字和确定、的值，再根据其他条件确定其他数字。 【详解】因为，设，；，；，；，。当，时，，又因为，所以，令，（答案不唯一），这个六位数是。 2.一个三位数，三个数字和为 15，，是的 3 倍，求这个三位数。 【答案】933 【分析】根据和是的倍以及数字和求出、、的值。 【详解】因为，，所以，即，又因为，，，，，，这个三位数是。 3.一个五位数，五个数字和为 25，，，比大 1，求这个五位数。 【答案】58645 【分析】设，根据其他条件表示出、、，再由数字和列方程求解。 【详解】设，则，设，则，，，，尝试，，则，，，，这个五位数是。 4.一个四位数，四个数字和为 16，，比小 1，是偶数且小于 8，求这个四位数。 【答案】4237 【分析】由且是偶数且小于确定、的值，再结合其他条件求、的值。 【详解】因为且是偶数且小于，所以时，；时，。当，时，，又因为，根据和差问题（舍去）；当，时，，，，，这个四位数是。 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $