第15讲 植树问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第15讲 植树问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰辨别封闭与非封闭植树路线的特点，熟练掌握不同路线下植树问题的计算方法，并能准确应用于生活实际场景。 2.深入理解空心方阵和实心方阵的概念，把握其数量变化规律，能够解决与方阵相关的各类问题。 3.通过对植树问题的学习与练习，显著提升逻辑思维能力，增强分析问题和解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、植树问题 1.不封闭的植树 （1）两端都植树：棵数比段数多1。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 + 1 = 全长÷株距 + 1；全长 = 株距×(棵数 - 1)；株距 = 全长÷(棵数 - 1)。例如，在一条长20米的小路，每隔4米种一棵树（两端都种），则棵数为棵。 （2）一端植树：棵数与段数相等。 全长、棵数、株距之间的关系为：全长 = 株距×棵数；棵数 = 段数 = 全长÷株距；株距 = 全长÷棵数。比如，在周长为15米的圆形花坛的一边，每隔3米种一株花（一端种），棵数就是株。 （3）两端都不植树：棵数比段数少1。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 - 1 = 全长÷株距 - 1；株距 = 全长÷(棵数 + 1)；全长 = 株距×(棵数 + 1)。例如，在一条长30米的街道一侧，每隔5米装一盏路灯（两端不装），棵数为盏。 2.封闭的植树路线：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 = 周长÷株距。比如在周长为40米的圆形池塘周围，每隔4米种一棵树，棵数为棵。 知识点二、解植树问题的三要素 1.三要素内容：总路线长、间距（棵距）长、棵数。这三个要素相互关联，只要知道其中任意两个要素，就可以求出第三个。例如，已知总路线长48米，间距为6米，可求出棵数为棵（两端都植树情况）。 2.应用关键：在解决实际问题时，准确判断题目中给出的信息对应哪两个要素，然后选择合适的公式求出第三个要素。 知识点三、方阵问题 1.概念区分：明确空心方阵和实心方阵的概念。实心方阵是全部由物体组成的正方形阵列；空心方阵是中间空心，四周由物体组成的正方形阵列。 2.相关规律 （1）每边个数与总数关系：每边的个数 = 总数÷4 + 1（方阵为正方形时）。例如，一个实心方阵共有36人，那么每边人数为人。 （2）相邻层每边棋子数变化：每向里一层每边棋子数减少2。比如一个方阵最外层每边有8个棋子，那么里一层每边就有个棋子。 （3）计算方法：掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。 ①层数：若最外层每边有个棋子，向里一层每边少2个棋子，可通过计算相邻两层每边棋子数的差值来确定层数。 ②每层个数：最外层个数 =（每边个数 - 1）×4 。例如最外层每边有7个棋子，最外层个数为个。从外往里第二层每边个数为个，第二层个数为个。 ③总个数：实心方阵总个数 = 每边个数×每边个数；空心方阵总个数 =（最外层每边个数 - 层数）×层数×4 。例如，实心方阵每边有5个棋子，总个数为个；空心方阵最外层每边有6个棋子，层数为2层，总个数为个。 例题讲解 一、不封闭路线两端都植树问题 【例题1】在一条长 35 米的小路一旁种树，每隔 5 米种一棵（两端都种），一共要种多少棵树？ 【答案】8 棵 【分析】这是两端都植树的问题，已知全长和株距，根据棵数 = 全长÷株距 + 1 的公式来计算。 【详解】35÷5 + 1 = 7 + 1 = 8（棵） 【例题2】一条街道长 48 米，在街道一旁每隔 6 米种一棵树（两端都种），一共可以种多少棵树？ 【答案】9 棵 【分析】同样是两端都植树问题，利用棵数 = 全长÷株距 + 1 求解。 【详解】48÷6 + 1 = 8 + 1 = 9（棵） 二、不封闭路线一端植树问题 【例题1】在一个周长为 24 米的圆形池塘边的一条小路上（一端种树），每隔 3 米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 【答案】8 棵 【分析】一端植树，棵数等于全长除以株距。 【详解】24÷3 = 8（棵） 【例题2】一个周长为 36 米的椭圆形花坛的一侧（一端种花），每隔 4 米种一株花，一共能种多少株花？ 【答案】9 株 【分析】根据一端植树时棵数与全长、株距关系求解。 【详解】36÷4 = 9（株） 三、不封闭路线两端都不植树问题 【例题1】在一条长 40 米的街道一侧安装广告牌（两端不装），每隔 8 米装一个，一共要装多少个广告牌？ 【答案】4 个 【分析】两端都不植树，棵数 = 全长÷株距 - 1。 【详解】40÷8 - 1 = 5 - 1 = 4（个） 【例题2】一条长 36 米的小路一旁安装路灯（两端不装），每隔 6 米装一盏，一共要装多少盏路灯？ 【答案】5 盏 【分析】根据两端都不植树的公式计算路灯盏数。 【详解】36÷6 - 1 = 6 - 1 = 5（盏） 四、封闭路线植树问题 【例题1】在周长为 36 米的圆形池塘周围种树，每隔 4 米种一棵，一共要种多少棵树？ 【答案】9 棵 【分析】封闭路线植树，棵数 = 周长÷株距。 【详解】36÷4 = 9（棵） 【例题2】一个周长为 48 米的正方形花坛周围种花，每隔 6 米种一株，一共能种多少株花？ 【答案】8 株 【分析】依据封闭路线植树的公式计算花的株数。 【详解】48÷6 = 8（株） 五、方阵问题 - 实心方阵 【例题1】一个实心方阵共有 49 人，那么每边有多少人？ 【答案】8 人 【分析】根据每边人数 = 总数÷4 + 1 来计算。 【详解】49÷4 = 12......1，12 + 1 = 8（人） 【例题2】实心方阵每边有 6 个棋子，这个方阵一共有多少个棋子？ 【答案】36 个 【分析】实心方阵总个数 = 每边个数×每边个数。 【详解】6×6 = 36（个） 六、方阵问题 - 空心方阵 【例题1】一个空心方阵最外层每边有 8 个棋子，层数为 2 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 【答案】48 个 【分析】根据空心方阵总个数 =（最外层每边个数 - 层数）×层数×4 计算。 【详解】(8 - 2)×2×4 = 6×2×4 = 48（个） 【例题2】空心方阵最外层每边有 7 个棋子，层数为 3 层，总共有多少个棋子？ 【答案】48 个 【分析】运用空心方阵总个数公式计算。 【详解】(7 - 3)×3×4 = 4×3×4 = 48（个） 考点练习 一、不封闭路线两端都植树问题 1.在一条长 56 米的公路一旁安装路灯（两端都装），每隔 8 米装一盏，一共要装多少盏路灯？ 【答案】8 盏 【分析】此题为两端都植树类型，路灯相当于树，根据公式计算。 【详解】56÷8 + 1 = 7 + 1 = 8（盏） 2.一条长 42 米的河堤上，每隔 7 米种一棵树（两端都种），一共要种多少棵树？ 【答案】7 棵 【分析】利用两端都植树时棵数与全长、株距的关系计算。 【详解】42÷7 + 1 = 6 + 1 = 7（棵） 3.公园内一条长 30 米的小径，每隔 3 米放一盆花（两端都放），一共要放多少盆花？ 【答案】11 盆 【分析】属于两端都植树的情况，用相应公式计算盆数。 【详解】30÷3 + 1 = 10 + 1 = 11（盆） 二、不封闭路线一端植树问题 1.一条长 40 米的直线型走廊的一侧（一端摆放花盆），每隔 5 米放一盆花，一共要放多少盆花？ 【答案】8 盆 【分析】此为一端植树问题，直接用全长除以株距得出盆数。 【详解】40÷5 = 8（盆） 2.周长为 50 米的正方形花坛的一边（一端种树苗），每隔 5 米种一棵树苗，一共要种多少棵树苗？ 【答案】10 棵 【分析】运用一端植树公式计算。 【详解】50÷5 = 10（棵） 3.一个周长为 20 米的三角形花坛的一条边上（一端种草），每隔 2 米种一株草，一共要种多少株草？ 【答案】10 株 【分析】利用一端植树时棵数的计算方法。 【详解】20÷2 = 10（株） 4.一条长 32 米的笔直的河边（一端种柳树），每隔 4 米种一棵柳树，一共要种多少棵柳树？ 【答案】8 棵 【分析】按照一端植树问题的公式计算。 【详解】32÷4 = 8（棵） 三、不封闭路线两端都不植树问题 1.学校操场边的一条长 25 米的跑道一旁插彩旗（两端不插），每隔 5 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 【答案】4 面 【分析】运用两端都不植树的数量关系计算。 【详解】25÷5 - 1 = 5 - 1 = 4（面） 2.一条长 50 米的河堤上安装防护栏（两端不装），每隔 10 米装一段，一共要装多少段防护栏？ 【答案】4 段 【分析】属于两端都不植树情况，用公式计算段数。 【详解】50÷10 - 1 = 5 - 1 = 4（段） 3.公园里一条长 42 米的小径一旁摆放垃圾桶（两端不放），每隔 7 米放一个，一共要放多少个垃圾桶？ 【答案】5 个 【分析】利用两端都不植树时棵数与全长、株距的关系求出垃圾桶个数。 【详解】42÷7 - 1 = 6 - 1 = 5（个） 4.一条长 30 米的小巷一侧挂灯笼（两端不挂），每隔 3 米挂一个，一共要挂多少个灯笼？ 【答案】9 个 【分析】按照两端都不植树问题的公式计算灯笼个数。 【详解】30÷3 - 1 = 10 - 1 = 9（个） 四、封闭路线植树问题 1.周长为 56 米的长方形池塘边种树，每隔 7 米种一棵，一共要种多少棵树？ 【答案】8 棵 【分析】利用封闭路线棵数与周长、株距的关系计算。 【详解】56÷7 = 8（棵） 2.在一个周长为 20 米的正六边形花坛周围摆花盆，每隔 2 米摆一盆，一共要摆多少盆花？ 【答案】10 盆 【分析】封闭路线问题，直接用周长除以株距得出盆数。 【详解】20÷2 = 10（盆） 3.一个周长为 30 米的圆形喷泉周围安装彩灯，每隔 3 米装一盏，一共要装多少盏彩灯？ 【答案】10 盏 【分析】按照封闭路线植树的计算方法计算彩灯盏数。 【详解】30÷3 = 10（盏） 4.周长为 40 米的椭圆形溜冰场周围插彩旗，每隔 5 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 【答案】8 面 【分析】利用封闭路线棵数公式计算彩旗面数。 【详解】40÷5 = 8（面） 五、方阵问题 - 实心方阵 1.已知一个实心方阵总共有 81 个物体，每边有多少个物体？ 【答案】10 个 【分析】运用每边个数 = 总数÷4 + 1 公式计算。 【详解】81÷4 = 20......1，20 + 1 = 10（个） 2.一个实心方阵每边有 7 个小朋友，这个方阵一共有多少个小朋友？ 【答案】49 个 【分析】按照实心方阵总个数计算方法求解。 【详解】7×7 = 49（个） 3.若一个实心方阵共有 64 人，每边有多少人？ 【答案】9 人 【分析】根据每边人数与总数关系计算。 【详解】64÷4 = 16，16 + 1 = 9（人） 4.实心方阵每边有 8 个气球，这个方阵一共有多少个气球？ 【答案】64 个 【分析】利用实心方阵总个数公式得出气球个数。 【详解】8×8 = 64（个） 六、方阵问题 - 空心方阵 1.一个空心方阵最外层每边有 9 个棋子，层数为 2 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 【答案】56 个 【分析】根据公式（最外层每边个数 - 层数）×层数×4 求解。 【详解】(9 - 2)×2×4 = 7×2×4 = 56（个） 2.空心方阵最外层每边有 10 个棋子，层数为 3 层，总共有多少个棋子？ 【答案】84 个 【分析】利用空心方阵总个数公式计算。 【详解】(10 - 3)×3×4 = 7×3×4 = 84（个） 3.一个空心方阵最外层每边有 6 个棋子，层数为 4 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 【答案】32 个 【分析】依据空心方阵总个数公式计算。 【详解】(6 - 4)×4×4 = 2×4×4 = 32（个） 4.空心方阵最外层每边有 11 个棋子，层数为 2 层，总共有多少个棋子？ 【答案】72 个 【分析】按照空心方阵总个数公式得出棋子总数。 【详解】(11 - 2)×2×4 = 9×2×4 = 72（个） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 植树问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.清晰辨别封闭与非封闭植树路线的特点，熟练掌握不同路线下植树问题的计算方法，并能准确应用于生活实际场景。 2.深入理解空心方阵和实心方阵的概念，把握其数量变化规律，能够解决与方阵相关的各类问题。 3.通过对植树问题的学习与练习，显著提升逻辑思维能力，增强分析问题和解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、植树问题 1.不封闭的植树 （1）两端都植树：棵数比段数多1。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 + 1 = 全长÷株距 + 1；全长 = 株距×(棵数 - 1)；株距 = 全长÷(棵数 - 1)。例如，在一条长20米的小路，每隔4米种一棵树（两端都种），则棵数为棵。 （2）一端植树：棵数与段数相等。 全长、棵数、株距之间的关系为：全长 = 株距×棵数；棵数 = 段数 = 全长÷株距；株距 = 全长÷棵数。比如，在周长为15米的圆形花坛的一边，每隔3米种一株花（一端种），棵数就是株。 （3）两端都不植树：棵数比段数少1。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 - 1 = 全长÷株距 - 1；株距 = 全长÷(棵数 + 1)；全长 = 株距×(棵数 + 1)。例如，在一条长30米的街道一侧，每隔5米装一盏路灯（两端不装），棵数为盏。 2.封闭的植树路线：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 全长、棵数、株距之间的关系为：棵数 = 段数 = 周长÷株距。比如在周长为40米的圆形池塘周围，每隔4米种一棵树，棵数为棵。 知识点二、解植树问题的三要素 1.三要素内容：总路线长、间距（棵距）长、棵数。这三个要素相互关联，只要知道其中任意两个要素，就可以求出第三个。例如，已知总路线长48米，间距为6米，可求出棵数为棵（两端都植树情况）。 2.应用关键：在解决实际问题时，准确判断题目中给出的信息对应哪两个要素，然后选择合适的公式求出第三个要素。 知识点三、方阵问题 1.概念区分：明确空心方阵和实心方阵的概念。实心方阵是全部由物体组成的正方形阵列；空心方阵是中间空心，四周由物体组成的正方形阵列。 2.相关规律 （1）每边个数与总数关系：每边的个数 = 总数÷4 + 1（方阵为正方形时）。例如，一个实心方阵共有36人，那么每边人数为人。 （2）相邻层每边棋子数变化：每向里一层每边棋子数减少2。比如一个方阵最外层每边有8个棋子，那么里一层每边就有个棋子。 （3）计算方法：掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。 ①层数：若最外层每边有个棋子，向里一层每边少2个棋子，可通过计算相邻两层每边棋子数的差值来确定层数。 ②每层个数：最外层个数 =（每边个数 - 1）×4 。例如最外层每边有7个棋子，最外层个数为个。从外往里第二层每边个数为个，第二层个数为个。 ③总个数：实心方阵总个数 = 每边个数×每边个数；空心方阵总个数 =（最外层每边个数 - 层数）×层数×4 。例如，实心方阵每边有5个棋子，总个数为个；空心方阵最外层每边有6个棋子，层数为2层，总个数为个。 例题讲解 一、不封闭路线两端都植树问题 【例题1】在一条长 35 米的小路一旁种树，每隔 5 米种一棵（两端都种），一共要种多少棵树？ 【例题2】一条街道长 48 米，在街道一旁每隔 6 米种一棵树（两端都种），一共可以种多少棵树？ 二、不封闭路线一端植树问题 【例题1】在一个周长为 24 米的圆形池塘边的一条小路上（一端种树），每隔 3 米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 【例题2】一个周长为 36 米的椭圆形花坛的一侧（一端种花），每隔 4 米种一株花，一共能种多少株花？ 三、不封闭路线两端都不植树问题 【例题1】在一条长 40 米的街道一侧安装广告牌（两端不装），每隔 8 米装一个，一共要装多少个广告牌？ 【例题2】一条长 36 米的小路一旁安装路灯（两端不装），每隔 6 米装一盏，一共要装多少盏路灯？ 四、封闭路线植树问题 【例题1】在周长为 36 米的圆形池塘周围种树，每隔 4 米种一棵，一共要种多少棵树？ 【例题2】一个周长为 48 米的正方形花坛周围种花，每隔 6 米种一株，一共能种多少株花？ 五、方阵问题 - 实心方阵 【例题1】一个实心方阵共有 49 人，那么每边有多少人？ 【例题2】实心方阵每边有 6 个棋子，这个方阵一共有多少个棋子？ 六、方阵问题 - 空心方阵 【例题1】一个空心方阵最外层每边有 8 个棋子，层数为 2 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 【例题2】空心方阵最外层每边有 7 个棋子，层数为 3 层，总共有多少个棋子？ 考点练习 一、不封闭路线两端都植树问题 1.在一条长 56 米的公路一旁安装路灯（两端都装），每隔 8 米装一盏，一共要装多少盏路灯？ 2.一条长 42 米的河堤上，每隔 7 米种一棵树（两端都种），一共要种多少棵树？ 3.公园内一条长 30 米的小径，每隔 3 米放一盆花（两端都放），一共要放多少盆花？ 二、不封闭路线一端植树问题 1.一条长 40 米的直线型走廊的一侧（一端摆放花盆），每隔 5 米放一盆花，一共要放多少盆花？ 2.周长为 50 米的正方形花坛的一边（一端种树苗），每隔 5 米种一棵树苗，一共要种多少棵树苗？ 3.一个周长为 20 米的三角形花坛的一条边上（一端种草），每隔 2 米种一株草，一共要种多少株草？ 4.一条长 32 米的笔直的河边（一端种柳树），每隔 4 米种一棵柳树，一共要种多少棵柳树？ 三、不封闭路线两端都不植树问题 1.学校操场边的一条长 25 米的跑道一旁插彩旗（两端不插），每隔 5 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 2.一条长 50 米的河堤上安装防护栏（两端不装），每隔 10 米装一段，一共要装多少段防护栏？ 3.公园里一条长 42 米的小径一旁摆放垃圾桶（两端不放），每隔 7 米放一个，一共要放多少个垃圾桶？ 4.一条长 30 米的小巷一侧挂灯笼（两端不挂），每隔 3 米挂一个，一共要挂多少个灯笼？ 四、封闭路线植树问题 1.周长为 56 米的长方形池塘边种树，每隔 7 米种一棵，一共要种多少棵树？ 2.在一个周长为 20 米的正六边形花坛周围摆花盆，每隔 2 米摆一盆，一共要摆多少盆花？ 3.一个周长为 30 米的圆形喷泉周围安装彩灯，每隔 3 米装一盏，一共要装多少盏彩灯？ 4.周长为 40 米的椭圆形溜冰场周围插彩旗，每隔 5 米插一面，一共要插多少面彩旗？ 五、方阵问题 - 实心方阵 1.已知一个实心方阵总共有 81 个物体，每边有多少个物体？ 2.一个实心方阵每边有 7 个小朋友，这个方阵一共有多少个小朋友？ 3.若一个实心方阵共有 64 人，每边有多少人？ 4.实心方阵每边有 8 个气球，这个方阵一共有多少个气球？ 六、方阵问题 - 空心方阵 1.一个空心方阵最外层每边有 9 个棋子，层数为 2 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 2.空心方阵最外层每边有 10 个棋子，层数为 3 层，总共有多少个棋子？ 3.一个空心方阵最外层每边有 6 个棋子，层数为 4 层，这个空心方阵一共有多少个棋子？ 4.空心方阵最外层每边有 11 个棋子，层数为 2 层，总共有多少个棋子？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $