第15讲 公因数与公倍数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第15讲 公因数与公倍数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.准确理解公因数与公倍数的概念，能清晰分辨两者的区别与联系。 2.熟练掌握求公因数与公倍数的多种方法，包括列举法、分解质因数法、短除法等，并能根据不同题目情境灵活选择合适方法。 3.学会运用公因数与公倍数的性质和相关知识，解决如最大公因数与最小公倍数的实际应用问题、数的整除相关问题等，有效提升数学分析与解题能力。 知识梳理 知识点一、公因数 1.定义：给定若干个整数，如果有一个（些）数是它们共同的因数，那么这个（些）数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个，称为这些整数的最大公因数。例如，对于 12 和 18，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，18 的因数有 1、2、3、6、9、18，它们的公因数有 1、2、3、6，其中最大公因数是 6。 2.求法： （1）列举法：分别列出每个数的因数，然后找出它们共有的因数，再确定最大公因数。如求 24 和 36 的最大公因数，24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24，36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36，它们的公因数有 1、2、3、4、6、12，最大公因数是 12。 （2）分解质因数法：先把每个数分解质因数，再找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。例如，把 48 和 60 分解质因数，48 = 2×2×2×2×3，60 = 2×2×3×5，公有的质因数是 2、2、3，所以最大公因数为 2×2×3 = 12。 （3）短除法：用这几个数公有的质因数从小到大依次去除这几个数，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。比如求 30、45 和 60 的最大公因数，先用 3 去除，得到 10、15、20，再用 5 去除，得到 2、3、4，此时商 2、3、4 互质，除数 3 和 5 相乘，3×5 = 15，即最大公因数是 15。 知识点二、公倍数 1.定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。其中除 0 以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。例如，4 和 6，4 的倍数有 4、8、12、16、20、24……，6 的倍数有 6、12、18、24……，它们的公倍数有 12、24……，最小公倍数是 12。 2.求法： （1）列举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们共有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。如求 3 和 5 的最小公倍数，3 的倍数有 3、6、9、12、15、18……，5 的倍数有 5、10、15、20……，它们的最小公倍数是 15。 （2）分解质因数法：先把每个数分解质因数，再将每个数独有的质因数和公有的质因数相乘，所得的积就是最小公倍数。例如，72 = 2×2×2×3×3，90 = 2×3×3×5，公有的质因数是 2、3、3，72 独有的质因数是 2×2，90 独有的质因数是 5，所以最小公倍数为 2×3×3×2×2×5 = 360。 （3）短除法：用这几个数公有的质因数从小到大依次去除这几个数，一直除到任意两个商之间互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。比如求 18、24 和 30 的最小公倍数，先用 2 去除，得到 9、12、15，再用 3 去除，得到 3、4、5，此时任意两个商 3、4、5 互质，除数 2 和 3 与最后的商 3、4、5 相乘，2×3×3×4×5 = 360，即最小公倍数是 360。 知识点三、公因数与公倍数的性质 1.两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。即对于两个数 a、b，有 a×b = 最大公因数（a，b）×最小公倍数[a，b]。例如，6 和 8，最大公因数是 2，最小公倍数是 24，6×8 = 48，2×24 = 48。 2.如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。比如 3 和 9，3 是最大公因数，9 是最小公倍数。 3.如果两个数互质（公因数只有 1），那么它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如 5 和 7，最大公因数是 1，最小公倍数是 5×7 = 35。 知识点四、公因数与公倍数的应用 1.解决实际分配问题：如将若干个物品分成若干组，每组数量相同，求最多能分成多少组或每组最多有多少个物品，这类问题往往涉及求最大公因数。例如，有 48 本练习本和 36 支铅笔，要平均分给若干个同学，且保证每个同学得到的练习本和铅笔数量相同，最多能分给多少个同学？这就是求 48 和 36 的最大公因数，通过计算可知最大公因数是 12，即最多能分给 12 个同学。 2.解决周期问题：当多个事件按不同周期循环出现，求再次同时出现的时间或次数等问题，常涉及求最小公倍数。比如，甲每 4 天去一次图书馆，乙每 6 天去一次图书馆，他们下一次同时去图书馆是几天后？这就是求 4 和 6 的最小公倍数，4 和 6 的最小公倍数是 12，所以他们 12 天后会再次同时去图书馆。 例题讲解 一、公因数与公倍数 【例题1】A=2×2×3，B=2×C×5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是( )，A、B的最小公倍数是( )． 【答案】 3 60 【详解】A=2×2×3，B=2×C×5， A、B的最大公约数是6，那么2×C=6，所以C=3． A和B的最小公倍数是2×2×3×5=60． 【例题2】已知两个自然数的乘积是2016，这两个数的最小公倍数是168，那么这两个数的最大公因数是( )。 【答案】12 【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的积，两个自然数的乘积则是把两个数公有的质因数乘了两次，再乘各自独有的质因数的积，据此可知：用两个自然数的乘积除以它们的最小公倍数就是这两个数的最大公因数。 【详解】2016÷168＝12 答：这两个数的最大公因数是12。 故答案为：12 【例题3】两个不全为0的数的公共因数称为它们的公因数。求出26019与354的全体公因数( )。 【答案】1，3，59，177 【分析】要求出他们的公因数。需要求出他们的最大公因数，最大公因数的所有约数就是全体的公因数。 【详解】根据辗转相除法26019÷354＝73……177 354÷177＝2（整除） 那么177的约数就是题中所求的。177＝1×177＝3×59 故答案为：1，3，59，177 【例题4】两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，已知其中一个数是42，求另一个数是多少？ 【答案】63 【分析】根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即可知道用两个数的最大公因数乘这两个数的最小公倍数，再除以其中一个数，即可求出另外一个数。由此即可解决。 【详解】21×126÷42 ＝2646÷42 ＝63 答：另一个数是63。 二、公因数与公倍数的应用 【例题1】一个电子装置每60s发出“哗”的一声，另一电子装置每62s发出“哗”的一声，两者在上午10：00同时发出“哗”声，下一次一起发出“哗”声时的时间是上午（     ）。 A．10：30 B．10：31 C．10：59 D．11：00 【答案】B 【分析】根据题意可知，问题转化为求60和62的最小公倍数问题，即1860秒后两个电子装置会同时发出“哗”声。再推算是上午几时几分。 【详解】[60，62]＝1860 即1860秒后两个电子装置会同时发出“哗”声。 1860÷60＝31（分钟） 10时＋31分钟＝10时31分 10时31分＝10：31 则下一次一起发出“哗”声时的时间是上午10：31。 故答案为：B 【例题2】五年级学生排队，每行8人或10人都正好是方阵，学生人数在35~50之间，这个班有( )人。 【答案】40 【分析】题目要求找到一个在35~50之间的数，这个数既是8的倍数，也是10的倍数。那么找出8和10的公倍数在35~50之间的数即为这个班的人数。 【详解】8的倍数有8，16，24，32，40，48… 10的倍数有10，20，30，40，50… 则8和10的公倍数有40，在35~50之间，所以这个班有40人。 【例题3】在长288米的河堤上，每隔4米栽了一棵树。现在要改为每隔6米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？ 【答案】25棵 【分析】4和6的最小公倍数为12，在距离是12米的倍数位置上的树可以不拔出来，用河堤的总长度除以最小公倍数，再加1即等于可以不拔出来的棵数，据此即可解答。 【详解】[4，6]＝12 288÷12＋1 ＝24＋1 ＝25（棵） 答：可以不拔出来的树有25棵。 【例题4】柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有72个齿，乙齿轮有28个齿，其中某一对齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？ 【答案】大齿轮7圈，小齿轮18圈 【分析】由于某个齿从第一次相遇到第二次相遇，则它们转动经过的齿数应是两个齿轮齿数的最小公倍数，72与28的最小公倍数为504，用504分别除以72和28即可解答。 【详解】[72，28]＝504 504÷72＝7（圈） 504÷28＝18（圈） 答：大齿轮转了7圈，小齿轮转了18圈。 【例题5】将一张正方形纸片，横着剪刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。 【答案】平方厘米；见详解 【分析】大正方形纸片被横着裁成5份，竖着裁成7份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为7∶5，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公因数，而 7和5的公因数只有1，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍， 然后可以求出长方形纸片的宽，进而求出原来的大正方形的边长，最后求面积。 【详解】长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍，长方形纸片的长是小正方形纸片的边长的7倍； 2×5＝10（厘米） 所以长方形纸片宽10厘米； 大正方形纸片边长： 10×7=70（厘米） 70×70＝4900（平方厘米） 答：大正方形纸片的面积应为4900平方厘米。 【例题6】汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆．三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？ 【答案】9小时 【分析】只需求出15、27、36的最小公倍数即可． 【详解】15=3×5 27=3×3×3 36=2×2×3×3 所以，15、27、36的最小公倍数是：2×2×3×3×3×5=540 540分钟=9小时 答：至少需要经过9小时，三路汽车才能又在同一时刻发车． 考点练习 一、公因数与公倍数 1．一个自然数被4除余1，被5除余1，被6除余1，这个自然数至少是( )。 【答案】61 【分析】一个自然数被4除余1，被5除余1，被6除余1，则这个自然数最小为4、5、6的最小公倍数多1。由此即可解决。 【详解】[4，5，6]＝60 60＋1＝61 因此这个数最小为61。 2．由1，2，4，6，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是( )。 【答案】874621 【分析】能被11整除的数的特征是：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数（包括0）。要找到由1、2、4、6、7、8组成的能被11整除的最大六位数，要结合数字总和，确定奇数位之和与偶数位数字之和两部分之间的差，再根据条件从大到小排列数字，构造出符合条件的最大数。 【详解】因为要找能被11整除的数，数字从右往左数所有奇数位的数字和与所有偶数位的数字和之间的差为11的倍数（11的0倍、1倍……），而这六个数字总和为1＋2＋4＋6＋7＋8＝28，总和为偶数，即奇数位和＋偶数位和＝28，根据0倍的关系，可以拆成为14＋14＝28，所以：可以分成为8＋4＋2＝14或者7＋6＋1＝14，要使这个数最大，先确定偶数位最高位十万位上的数为8，千位上数字为4，十位上数字为2，奇数位最高位万位上数字为7，百位上数字为6，个位上数字为1，所以得出最大数为874621。 3．有4个不同的正整数，它们的和是12340，它们的最大公因数最大可能是( )。 【答案】1234 【分析】有4个不同的正整数，它们的和是12340，则这四个数的最大公因数必须是12340的因数。12340＝1234×10，10＝1＋2＋3＋4，因此这4个不同的正整数分别为：1234×1、1234×2、1234×3、1234×4，因此它们的最大公因数最大可能是1234。 【详解】12340＝1234×10， 10＝1＋2＋3＋4， 这4个不同的正整数分别为：1234×1、1234×2、1234×3、1234×4， 因此它们的最大公因数最大可能是1234。 4．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，这两个整数分别是( )和( )。 【答案】 175 385 【分析】根据题意这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，则最后的两个商应该是互为质数。 因为1925＝5×5×7×11，由于商的和是16，看约数情况，这里只能是11＋5＝16；所以2个商应该是11和5，所以这两个数应该是5×7×5和5×7×11；这样除以最大公约数5×7就剩下5和11；所以这两个数就是5×7×5＝175和5×7×11＝385。 【详解】1925＝5×5×7×11， 11＋5＝16；所以2个商应该是11和5； 5×7×5＝175 5×7×11＝385 则这两个整数分别是175和385。 5．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是( )。 【答案】17 【分析】2006＝2×17×59，现在要求最大公因数最大，则让整个一百个数的和除以因数后的商尽可能的小，且还应该为2006的一个因数，100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个因数的为2×59＝118。所以，最大公因数的最大可能值为17。 【详解】2006＝2×17 ×59＝2×（17 ×59） ＝2 ×1003 或2006＝2×17 ×59＝17 ×（2 ×59） ＝17 ×118 所以，100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是17。 6．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 【答案】18 【分析】两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值，如，，则、的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为、中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，故。 【详解】对90分解质因数： ，因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5，如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5，因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2，因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3，由于甲、乙两数的最小公倍数是90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲。 7．以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【答案】个；和 【分析】以105为分母的最简真分数，分子小于105，且分子与105互质，105＝3×5×7，那么要求分子既不是3的倍数，也不是5的倍数，也不是7的倍数，根据容斥原理，先求出符合要求的分子的数量，再计算所有最简真分数的和。 【详解】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105＝3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个； 所以105以内与105互质的数有105－35－21－15＋7＋5＋3－1＝48（个） 显然如果n与105互质，那么（105－n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24。 答：以105为分母的最简真分数共有48个；它们的和为24。 二、公因数与公倍数的应用 1．某城市的江堤计划每隔50米装一个景观灯，加上头尾两端一共要装49个景观灯，现在改成每隔60米装一个景观灯，除了头尾两端的两个景观灯不需要移动中间有（    ）个景观灯不需要移动。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据两端植树问题可知，该江堤中间间隔＝景观灯的数量－1，即为有48个，用间隔距离乘间隔数求出江堤总长，再求出两个间隔距离的最小公倍数，用江堤总长除以最小公倍数，减去1即是所求。 【详解】49－1＝48（个） 48×50＝2400（米） [50，60]＝300（米） 2400÷300－1 ＝8－1 ＝7（个） 则除了头尾两端的两个景观灯不需要移动中间有7个景观灯不需要移动。 故答案为：D 2．组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个。加工A零件的甲类工人每人每天可以加工零件72个；加工B零件的乙类工人每人每天可以加工零件32个；加工C零件的丙类工人每人每天可以加工零件24个。如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，那么至少需安排( )名甲类工人，( )名乙类工人，( )名丙类工人加工零件。 【答案】 8 9 12 【分析】如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，即这个玩具需要2个A，1个B，1个C，即找出72、32、24的最小公倍数后，用最小公倍数除以A、B、C零件每人每天加工的个数即可解答本题。 【详解】72＝23×32 32＝25 24＝23×3 [72，32，24]＝25×32＝288 288÷72＝4（名） 288÷32＝9（名） 288÷24＝12（名） 因为组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个， 所以4×2＝8（名） 则至少需安排8名甲类工人，9名乙类工人，12名丙类工人加工零件。 3．少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有( )个小朋友。 【答案】48 【分析】设有如果有[]个人，12个人做12个纸娃，6个泥娃，4个布娃，3个电动娃，共25个，做100要4个12人，即48人。 【详解】根据题意可知：2、3、4的最小公倍数是12， 12个人做12个纸娃，6个泥娃，4个布娃，3个电动娃，共25个， 100÷25×12 ＝4×12 ＝48（个） 所以，手工组共有48个小朋友。 4．2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为( )盏。 【答案】 【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的。这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数。 【详解】我们可以求得被2整除的数有（盏）， 被3整除的数有，共668（盏）， 被5整除的数有，共401（盏）。 其中，同时被2、3整除的数有，共334（盏）； 同时被3、5整除的有，共133（盏）； 同时被2、5整除的数有，共200（盏）； 同时被2、3、5整除的数有，共66（盏），所以，只能同时被2、3、5中2个数整除的数的个数为（盏），不能被2、3、5整除的数的个数为 （盏） 所以，最后亮着的灯一共为（盏） 5．如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯( )个。 【答案】13 【分析】175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按（7＋1＝8）盏灯，BC段应按（5＋1＝6）盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装：8＋6－1＝13（盏）。 【详解】根据分析可得： 175与125的最大公约数为25， 175＝25×7 125＝25×5 7＋1＋5＋1－1＝13（盏） 所以，在这两段路上至少要安装路灯13个。 6．一张长方形纸长45厘米，宽30厘米，要裁成大小一样且面积尽可能大的小正方形，裁完后纸没有剩余，可如何裁？ 【答案】6个 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，要使裁成的小正方形的面积尽可能大且没有剩余，也就是要使裁成的小正方形的边长尽可能大，所以求出45和30的最大公因数，也就求出了每个小正方形的边长的最大值，然后分别求出长可以裁出几排，宽可以裁出几列，并求出可以裁几个这样的小正方形即可。 【详解】（45，30）＝15（厘米） 45÷15＝3（排） 30÷15＝2（列） 3×2＝6（个） 答：裁成6个边长是15厘米的小正方形。 7．一对啮合齿轮，一个有64个齿，一个有160个齿，其中啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接，两个齿轮各要转动多少圈？ 【答案】64个齿的齿轮转5圈；160个齿的齿轮转2圈 【分析】首先求出64和160的最小公倍数，然后用64和160的最小公倍数分别除以两个齿轮的齿数，即可求出两个齿轮各要转动多少圈。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2 160＝2×2×2×2×2×5 64和160的最小公倍数是：2×2×2×2×2×2×5＝320 320÷64＝5（圈） 320÷160＝2（圈） 答：有64个齿的齿轮转5圈，有160个齿的齿轮转2圈。 8．有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？ 【答案】36人 【分析】由题意知这个班人数是6和9的公倍数，可先求两者最小公倍数，结合两种方案的船数之差，利用方程求出人数即可。 【详解】6和9的最小公倍数是18 解：设这个班总人数为18x人。 答：这个班有36人。 9．大雪后的一天，明明和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。明明每步60厘米，爸爸每步80厘米，由于两个人的脚印有重合，所以花圃一周的雪地上只留下144个脚印。这个花圃的周长是多少米？ 【答案】57.6米 【分析】本题考查的是有关两个数的最小公倍数的问题。60和80 的最小公倍数是240，即每240厘米两人的脚印就有1个重合的，将其看成一个周期，求出这个周期内有多少个脚印，然后再看144个脚印相当于多少个周期。据此就可以求出花圃的周长。 【详解】60＝2×2×3×5 80＝2×2×2×2×5 则[60，80]＝2×2×2×2×3×5＝240 240÷60＋240÷80－1 ＝4＋3－1 ＝6（个） 144÷6＝24（个） 24×240＝5760（厘米）＝57.6米 答：这个花圃的周长是57.6米。 10．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序。第一道工序平均每人每小时做30件，第二道工序平均每人每小时做42件，第三道工序平均每人每小时做36件。现有535名工人，问：每道工序各安排多少名工人才合理？ 【答案】第一道工序210名；第二道工序150名；第三道工序175名 【分析】首先根据题意，判断出三道工序上的生产总量应该一致，求出30、42、36的最小公倍数；然后分别用30、42、36的最小公倍数除以每道工序平均每人每小时做的零件的个数，求出每道工序上至少需要安排多少名工人；最后根据乘法的倍数关系求出每道工序各安排多少名工人才合理即可。 【详解】30＝2×3×5，42＝2×3×7，36＝2×2×3×3， 30、42、36的最小公倍数是：2×3×5×7×2×3＝1260 1260÷30＝42（名） 1260÷42＝30（名） 1260÷36＝35（名） 535÷（42＋30＋35） ＝535÷107 ＝5（名） 42×5＝210（名） 30×5＝150（名） 35×5＝175（名） 答：第一道工序安排210名工人，第二道工序安排150名工人，第三道工序安排175名工人才合理。 11．78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1﹣18报数．如果报数一圈一圈地循环下去．问：至少有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？ 【答案】13个   没有 【分析】78和18的最小公倍数为234，234=78×3，即每3圈循环一次．234÷18=13，即1﹣18报数循环了13次．则有13个小朋友报了1．每3圈之后又是之前报数的小朋友报1.78÷18=4…6，则每次报的数都差6，不可能有小朋友又报5又报10；据此解答即可． 本题考查了排列周期问题，关键是求出每几圈循环一次． 【详解】78=2×3×13 18=2×3×3 78和18的最小公倍数为：2×3×3×13=234， 234=78×3，即每3圈循环一次． 234÷18=13，即1﹣18报数循环了13次． 则有13个小朋友报了1．每3圈之后又是之前报数的小朋友报1． 78÷18=4…6， 则每个小朋友报的数都差6， 又因为10﹣5=5，所以不可能有小朋友又报5又报10； 12．甲、乙、丙三人定期去图书馆，甲每8天（中间空7天，下同）去一次，乙每6天、丙每4天各去一次，在2月份的最后一天，三人刚好都去了图书馆。那么从3月1日到12月31日，甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有多少天？ 【答案】102天 【分析】甲每8天去一次，丙每4天各去一次，因此甲去图书馆的日子丙肯定去图书馆，所以直接计算丙去图书馆的日子，不用考虑甲的次数；然后计算乙去图书馆的天数，最后算总天数的时候要注意减去乙、丙共去的天数即可。 【详解】总天数：31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋31＋30＋31＝306（天） 306÷4＝76（天）……2（天） 306÷6＝51（天） [4，6]＝12 306÷12＝25（天）……6（天） 76＋51－25 ＝127－25 ＝102（天） 答：甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有102天。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 公因数与公倍数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.准确理解公因数与公倍数的概念，能清晰分辨两者的区别与联系。 2.熟练掌握求公因数与公倍数的多种方法，包括列举法、分解质因数法、短除法等，并能根据不同题目情境灵活选择合适方法。 3.学会运用公因数与公倍数的性质和相关知识，解决如最大公因数与最小公倍数的实际应用问题、数的整除相关问题等，有效提升数学分析与解题能力。 知识梳理 知识点一、公因数 1.定义：给定若干个整数，如果有一个（些）数是它们共同的因数，那么这个（些）数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个，称为这些整数的最大公因数。例如，对于 12 和 18，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，18 的因数有 1、2、3、6、9、18，它们的公因数有 1、2、3、6，其中最大公因数是 6。 2.求法： （1）列举法：分别列出每个数的因数，然后找出它们共有的因数，再确定最大公因数。如求 24 和 36 的最大公因数，24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24，36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36，它们的公因数有 1、2、3、4、6、12，最大公因数是 12。 （2）分解质因数法：先把每个数分解质因数，再找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。例如，把 48 和 60 分解质因数，48 = 2×2×2×2×3，60 = 2×2×3×5，公有的质因数是 2、2、3，所以最大公因数为 2×2×3 = 12。 （3）短除法：用这几个数公有的质因数从小到大依次去除这几个数，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。比如求 30、45 和 60 的最大公因数，先用 3 去除，得到 10、15、20，再用 5 去除，得到 2、3、4，此时商 2、3、4 互质，除数 3 和 5 相乘，3×5 = 15，即最大公因数是 15。 知识点二、公倍数 1.定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。其中除 0 以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。例如，4 和 6，4 的倍数有 4、8、12、16、20、24……，6 的倍数有 6、12、18、24……，它们的公倍数有 12、24……，最小公倍数是 12。 2.求法： （1）列举法：分别列出每个数的倍数，然后找出它们共有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。如求 3 和 5 的最小公倍数，3 的倍数有 3、6、9、12、15、18……，5 的倍数有 5、10、15、20……，它们的最小公倍数是 15。 （2）分解质因数法：先把每个数分解质因数，再将每个数独有的质因数和公有的质因数相乘，所得的积就是最小公倍数。例如，72 = 2×2×2×3×3，90 = 2×3×3×5，公有的质因数是 2、3、3，72 独有的质因数是 2×2，90 独有的质因数是 5，所以最小公倍数为 2×3×3×2×2×5 = 360。 （3）短除法：用这几个数公有的质因数从小到大依次去除这几个数，一直除到任意两个商之间互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。比如求 18、24 和 30 的最小公倍数，先用 2 去除，得到 9、12、15，再用 3 去除，得到 3、4、5，此时任意两个商 3、4、5 互质，除数 2 和 3 与最后的商 3、4、5 相乘，2×3×3×4×5 = 360，即最小公倍数是 360。 知识点三、公因数与公倍数的性质 1.两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。即对于两个数 a、b，有 a×b = 最大公因数（a，b）×最小公倍数[a，b]。例如，6 和 8，最大公因数是 2，最小公倍数是 24，6×8 = 48，2×24 = 48。 2.如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。比如 3 和 9，3 是最大公因数，9 是最小公倍数。 3.如果两个数互质（公因数只有 1），那么它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如 5 和 7，最大公因数是 1，最小公倍数是 5×7 = 35。 知识点四、公因数与公倍数的应用 1.解决实际分配问题：如将若干个物品分成若干组，每组数量相同，求最多能分成多少组或每组最多有多少个物品，这类问题往往涉及求最大公因数。例如，有 48 本练习本和 36 支铅笔，要平均分给若干个同学，且保证每个同学得到的练习本和铅笔数量相同，最多能分给多少个同学？这就是求 48 和 36 的最大公因数，通过计算可知最大公因数是 12，即最多能分给 12 个同学。 2.解决周期问题：当多个事件按不同周期循环出现，求再次同时出现的时间或次数等问题，常涉及求最小公倍数。比如，甲每 4 天去一次图书馆，乙每 6 天去一次图书馆，他们下一次同时去图书馆是几天后？这就是求 4 和 6 的最小公倍数，4 和 6 的最小公倍数是 12，所以他们 12 天后会再次同时去图书馆。 例题讲解 一、公因数与公倍数 【例题1】A=2×2×3，B=2×C×5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是( )，A、B的最小公倍数是( )． 【例题2】已知两个自然数的乘积是2016，这两个数的最小公倍数是168，那么这两个数的最大公因数是( )。 【例题3】两个不全为0的数的公共因数称为它们的公因数。求出26019与354的全体公因数( )。 【例题4】两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，已知其中一个数是42，求另一个数是多少？ 二、公因数与公倍数的应用 【例题1】一个电子装置每60s发出“哗”的一声，另一电子装置每62s发出“哗”的一声，两者在上午10：00同时发出“哗”声，下一次一起发出“哗”声时的时间是上午（     ）。 A．10：30 B．10：31 C．10：59 D．11：00 【例题2】五年级学生排队，每行8人或10人都正好是方阵，学生人数在35~50之间，这个班有( )人。 【例题3】在长288米的河堤上，每隔4米栽了一棵树。现在要改为每隔6米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？ 【例题4】柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有72个齿，乙齿轮有28个齿，其中某一对齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？ 【例题5】将一张正方形纸片，横着剪刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。 【例题6】汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆．三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？ 考点练习 一、公因数与公倍数 1．一个自然数被4除余1，被5除余1，被6除余1，这个自然数至少是( )。 2．由1，2，4，6，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是( )。 3．有4个不同的正整数，它们的和是12340，它们的最大公因数最大可能是( )。 4．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和是16，这两个整数分别是( )和( )。 5．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是( )。 6．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 7．以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 二、公因数与公倍数的应用 1．某城市的江堤计划每隔50米装一个景观灯，加上头尾两端一共要装49个景观灯，现在改成每隔60米装一个景观灯，除了头尾两端的两个景观灯不需要移动中间有（    ）个景观灯不需要移动。 A．10 B．9 C．8 D．7 2．组装某种玩具需要A零件两个，B零件和C零件各一个。加工A零件的甲类工人每人每天可以加工零件72个；加工B零件的乙类工人每人每天可以加工零件32个；加工C零件的丙类工人每人每天可以加工零件24个。如果每天加工的三种零件都正好匹配，全部组装成玩具，无剩余零件，那么至少需安排( )名甲类工人，( )名乙类工人，( )名丙类工人加工零件。 3．少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有( )个小朋友。 4．2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为( )盏。 5．如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯( )个。 6．一张长方形纸长45厘米，宽30厘米，要裁成大小一样且面积尽可能大的小正方形，裁完后纸没有剩余，可如何裁？ 7．一对啮合齿轮，一个有64个齿，一个有160个齿，其中啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接，两个齿轮各要转动多少圈？ 8．有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？ 9．大雪后的一天，明明和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。明明每步60厘米，爸爸每步80厘米，由于两个人的脚印有重合，所以花圃一周的雪地上只留下144个脚印。这个花圃的周长是多少米？ 10．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序。第一道工序平均每人每小时做30件，第二道工序平均每人每小时做42件，第三道工序平均每人每小时做36件。现有535名工人，问：每道工序各安排多少名工人才合理？ 11．78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1﹣18报数．如果报数一圈一圈地循环下去．问：至少有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？ 12．甲、乙、丙三人定期去图书馆，甲每8天（中间空7天，下同）去一次，乙每6天、丙每4天各去一次，在2月份的最后一天，三人刚好都去了图书馆。那么从3月1日到12月31日，甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有多少天？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $