微专题05 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01二次函数中等腰三角形、直角三角形存 在性的三类综合题型 题型1二次函数中直角三角形的存在性问题 二次函数中等腰三角 形、直角三角形存在 题型2二次函数中等腰三角形的存在性问题 性的三类综合题型 题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 00 点烫璃 题型一二次函数中直角三角形的存在性问题 啸方法 妹方 二次函数中直角三角形存在性问题 高新区期 核心：分类讨论直角顶点，结合“勾股定理”或“斜率乘积为1（限学过斜率）”列方程，验证动点是否 在抛物线上。 一、解题核心步骤(4步走) 1.定已知点：明确二次函数上的定点（如与坐标轴交点、顶点），设动点坐标（含单个变量，如抛物线上 动点Px,ax2+bx+c): 2.分情况：按“哪个点为直角顶点”分3类讨论（设三点为A、B、P,即①∠A为直角；②∠B为直角： ③∠P为直角)： 3.列方程： ·勾股定理法（初中通用）：直角顶点对边为斜边，满足“两直角边和=斜边”（如∠A为直角，则AB +AC2=BC2); -斜率法（可选）：两直角边斜率乘积为-1（如PA⊥PB,则kPA×kPB=-1,注意斜率不存在的情况）； 4.验结果：解方程得动点坐标，验证是否在抛物线（或题目限定的区间）上，舍去无效解。 二、关键技巧 1.优先设动点：抛物线上的动点用“x”表示纵坐标（如P区，x2-2x-3),减少变量； 2.简化计算：利用坐标差算线段平方（如AB2=(xA-xB}+yA-yB)2),避免开根号； 3.避漏情况：直角顶点可能是任意一个已知点或动点，三类情况缺一不可； 4.特殊情况：若有边平行于坐标轴，优先用“水平+竖直”边判定直角（计算更简单）。 三、易错提醒 忽略动点定义域：求出的坐标需在抛物线的有效范围内（如题目限定x≥0）： 漏算斜率不存在：当直角边垂直于x轴时（斜率不存在），单独验证； 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·方程无解：部分情况可能无满足条件的动点，需说明“该情况不存在”。 1.(25-26九年级上·河南许昌阶段练习)如图，己知二次函数y=(x+2)的图象与x轴交于点A,与y轴交 于点B,在对称轴上是否存在一点P,使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P 的坐标 2.(2023·内蒙古模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交于点C, 连接AB,AC,BC.抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则 点M的坐标为」 B 3。(2021九年级上广西柳州阶段练习)已知：如图一次函数y+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于 次函数y=)+x+c的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、 点坐标为1,0). 2 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式： (2)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不 存在，请说明理由 4.(2025甘肃酒泉·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(-3,0),B(4,0),C(0,3. B (1)求抛物线关系式 (②)抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以A为直角顶点的直角三角形.若存在请求出点P的坐标，若不 存在请说明理由。 (3)点D,E分别是线段AB,BC上的动点，连接AC,AE,CD,当CE=BD时，求AE+CD的最小值. 5.(2025九年级上全国.专题练习)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0),B两点，交y轴于点 C0,4). (1)求抛物线的函数解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的 坐标；若不存在，请说明理由 6.(2025四川广元模拟预测)如图，直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c 经过点B,C,且与x轴的另一个交点为A. 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 (1)求抛物线的解析式. (②)点G是抛物线上的一点，且满足S.Goc=S.4Bc，求点G的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二二次函数中的等腰三角形的存在性问题 煤方法 二次函数中等腰三角形存在性问题 核心：分类讨论等腰的两边，结合“两点间距离公式列方程，验证动点是否在抛物线上（或限定范围内）。 一、 解题核心步骤(4步搞定) 1.定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B),设动点P(抛物线上：P(&x2+bx+c),直线上： P收，kx+b)),减少变量； 2.分三类情况：设三点为A、B、P,按“哪两边相等”分类（缺一不可）： 情况1：PA=PB(P为顶点，AB为底边)： 情况2：PA=AB(A为顶点，PB为底边)； 情况3：PB=AB(B为顶点，PA为底边)： 3.列方程求解：用“线段平方相等"简化计算（避免根号），即 若PA=PB,，则(XP-XA)2+(yP-yA)2=(XP-XB2+y_P-yB2i -若PA=AB,则(XP-XA2+yP-yA)2=(&A-xBP+yA-yB2(AB长度可先算出)： 4.验证有效解：解方程得×值，代入抛物线表达式求y,验证是否符合题意（如在限定区间内、不与A/B重 合)，舍去无效解。 二、关键技巧 1.优先算定长：先计算已知两点A、B的距离（或距离平方），减少后续重复计算； 2.简化方程：展开“线段平方等式"时，同类项可抵消（如二次项、一次项可能抵消），降低计算难度； 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.特殊情况优先：若AB平行于坐标轴（水平/竖直），可利用坐标特征快速列方程（如AB水平，PA=PB则 P的横坐标为A、B横坐标的中点)： 4.避重不漏：三类情况必须全考虑，哪怕某类方程无解，也要明确说明“该情况不存在”。 三、易错提醒 动点与定点重合：求出的P不能是A或B,需额外验证排除， 忽略定义域：动点x的取值需符合题目限定（如“×在-2≤x≤3之间）： 漏解情况：不要只算“PA=PB,遗漏“PA=AB“"PB=AB"两类； 计算失误：展开平方时注意符号，合并同类项要细心。 1.(24-25九年级上·广西南宁期中)如图，将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线 的顶点为D,并与y轴交于点A,对称轴与函数y=x2的图象的交点为B,若新抛物线存在点P使△DBP以 BD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 D 2.(24-25九年级上·广西梧州阶段练习)如图，二次函数y=-x2+mx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的 负半轴交于点B,点B坐标为-3，O),如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 3.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2+c经过点 P(4,-3),与y轴交于点A(0,1),直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B,C两点. 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA (1)求抛物线的函数解析式. (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标. 4.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习)如图，已知抛物线y=(x-h)+k与x轴的一个交点为 A(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C(0,-3),其顶点为D,对称轴为直线x=1. (1)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积： (3)在y轴上是否存在一点M,使CDM为等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说 明理由。 5.（2022西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a(x-2)2+k 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. (I)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标： (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长. 6.(24-25九年级上：内蒙古通辽·期末)如图，抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C,连接BC. 6/10 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线BC的解析式： (②)点P是BC上方抛物线上一点，当SPMB=SPBc时，求出点P的坐标（不与点A重合）： (3)在抛物线的对称轴上存在点M,使△MAC是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标. 7.(25-26九年级上湖北襄阳·阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C,顶点为点E,己知点B的坐标为1,0)，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为-2，-3)， 连接AD· (1)求抛物线及直线BD的解析式： (②)若点F在x轴上，则当EF+CF的值最小时，求点F的坐标： (3)若点P是y轴上的一点，使得△ACP为等腰三角形，求点P的坐标. 题型三二次函数中的等腰直角三角形的存在性问题 啸方法 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 核心：先定直角顶点（分类），再用“等腰+直角"双重条件列方程，结合坐标运算验证动点有效性，本质是“等 腰三角形”与“直角三角形”存在性的综合应用。 一、解题核心步骤(5步闭环) 1.定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B),设动点P(抛物线上：Pxax2+bx+c)),用单个 变量×表示坐标，减少未知数； 2.分类讨论直角顶点：按“∠A为直角、∠B为直角、∠P为直角”分3类（缺一不可），直角顶点决定“等腰 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的两边”（直角边相等）； 3.列双重条件方程： - 直角条件：勾股定理（直角边2+直角边2=斜边2），或水平/竖直边判定（直角边分别平行于坐标轴，计算 更简) 等腰条件：直角边相等（如∠A为直角，则AB=AP；∠P为直角，则PA=PB): (简化技巧：用“线段平方相等“替代长度相等，避免根号) 4解方程求动点坐标：展开方程后合并同类项，求解×的值，再代入抛物线表达式得y; 5.验证有效解：排除与A、B重合的点，验证是否在题目限定区间内，确保三点能构成三角形（不共线）。 二、关键技巧（降难度、避陷阱） 1.优先用水平+竖直直角边：若直角边平行于×轴和y轴（如P(y),A(X1y1),则x=1且y≠y,或y=y 且X≠x),可快速列方程（如PALAB时，PA竖直、AB水平，则xP=XA,再用PA=AB求yP): 2.先算定长线段：提前算出已知两点A、B的距离（或平方），后续直接代入，减少重复计算： 3.分类时“先特殊后一般：先考虑直角顶点为定点(A或B)的情况（计算简单），再考虑动点为直角顶点(P)》 的情况； 4.利用对称简化：若AB为直角边，可通过轴对称快速找动点（如A为直角，AB水平向右，则P可能在A 正上方或正下方，且PA=AB)。 三、易错提醒 漏算直角顶点：三类直角顶点必须全考虑，不能只算动点P为直角的情况； 忽略“等腰”条件：仅满足直角不够，需确保两条直角边相等（或斜边为腰时的特殊情况）： 共线情况：求出的三点可能在同一直线上，需验证“任意两边之和大于第三边”排除无效解 计算失误：展开平方、合并同类项时注意符号，尤其涉及负数坐标时。 1.(25-26九年级上·辽宁大连阶段练习)若抛物线y=ax2上两点A和B,与原点0点围成等腰直角三角形， 且斜边AB∥x轴，AB=4.则a= 2.(2526九年级上浙江温州期中)如图，抛物线y=x-(x-川与x轴交于点4，B(点B在A的右 侧)，与y轴交于点C,其中m>1,点P在第一象限的抛物线上，若aBCP是以CP为底的等腰直角三角形， 则m的值为 3.(25-26九年级上广东广州阶段练习)如图，点G为抛物线y=-x2+2x+3对称轴上的点，点E(m,), 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F(n,y,)在对称轴右侧抛物线上，若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF=90°，则n-m= 4.(23-24九年级上陕西期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴相交于点 C,连接BC,点P为线段BC上方抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线I,交BC于 点G,交x轴于点E. (1)求抛物线的函数解析式； (②)过点C作CF⊥直线I,F为垂足，当点P运动到何处时，以P,C,F为顶点的三角形是等腰直角三角 形？并求出此时点P的坐标. 5.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线经过点A(-1,0),B(3,0)和C(2,3),顶点为D. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式； (②)连接AD,CD,判断△ACD的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E,使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 9/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(2025四川达州模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点 C(O,-6),连接BC.若点P在线段BC上运动（点P不与点BC重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点 E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m. 备用图 (1)求拋物线的函数表达式. (2)若PF=3PE,求m的值. (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存 在请说明理由。 7.(2025陕西西安·三模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,作直线 BC,其中点A-1,0),点C(0,-4. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点 F,是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 10/10 微专题01 二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性的三类综合题型 题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题 二次函数中直角三角形存在性问题 核心：分类讨论直角顶点，结合“勾股定理”或“斜率乘积为-1（限学过斜率）”列方程，验证动点是否在抛物线上。 一、解题核心步骤（4步走） 1. 定已知点：明确二次函数上的定点（如与坐标轴交点、顶点），设动点坐标（含单个变量，如抛物线上动点P(x, ax²+bx+c)）； 2. 分情况：按“哪个点为直角顶点”分3类讨论（设三点为A、B、P，即①∠A为直角；②∠B为直角；③∠P为直角）； 3. 列方程： - 勾股定理法（初中通用）：直角顶点对边为斜边，满足“两直角边²和=斜边²”（如∠A为直角，则AB²+AC²=BC²）； - 斜率法（可选）：两直角边斜率乘积为-1（如PA⊥PB，则k_PA×k_PB=-1，注意斜率不存在的情况）； 4. 验结果：解方程得动点坐标，验证是否在抛物线（或题目限定的区间）上，舍去无效解。 二、关键技巧 1. 优先设动点：抛物线上的动点用“x”表示纵坐标（如P(x, x²-2x-3)），减少变量； 2. 简化计算：利用坐标差算线段平方（如AB²=(x_A-x_B)²+(y_A-y_B)²），避免开根号； 3. 避漏情况：直角顶点可能是任意一个已知点或动点，三类情况缺一不可； 4. 特殊情况：若有边平行于坐标轴，优先用“水平+竖直”边判定直角（计算更简单）。 三、易错提醒 - 忽略动点定义域：求出的坐标需在抛物线的有效范围内（如题目限定x≥0）； - 漏算斜率不存在：当直角边垂直于x轴时（斜率不存在），单独验证； - 方程无解：部分情况可能无满足条件的动点，需说明“该情况不存在”。 高新区期 1．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 2．（2023·内蒙古·模拟预测）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接，，．抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、锐角三角函数的应用，解题关键是利用正切函数的定义求点的纵坐标． 先根据题意求出抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论：、，结合正切函数即可求解． 【详解】解：依题得：当时，，、 ， 又， 则函数的对称轴为：， 设点的坐标为：， 当为直角时，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交的延长线于点，     ， 又， ， ， 在和中， ，，，， ， ，即， 解得， 故点； 当为直角时，同理可得点的坐标为：； 故答案为：或． 3．（20-21九年级上·广西柳州·阶段练习）已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入，求出，然后将，的坐标代入求解即可； （2）假设存在符合条件的P点，连接、，过C作轴于F，若，则，可设出点P的坐标，分别表示出、的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，可得， ∴， 将，的坐标代入， 得：， 解得， ∴解析式为：； （2）解：设符合条件的点P存在，令， 如图所示，当P为直角顶点时，连接、，过C作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得或， ∴所求的点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合，待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，． (1)求抛物线关系式． (2)抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、两点间的距离公式以及勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）求出，得，得出直线交y轴与，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立方程组，求解即可； （3）过点C作平行于x轴，且，连接EF，AF．证明，得，得出，即的最小值为的长，过点F作轴，交x轴于点G．在中由勾股定理得，从而可得结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，代入，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在． ∵，， ∴， ∵是以A为直角顶点的直角三角形． ∴， ∴直线交y轴与， 设直线的关系式为：， 把代入求得． ∴， ∴ 解得    （舍） ∴； （3）解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，过点C作平行于x轴，且，连接，． ∵平行于x轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． 过点F作轴，交x轴于点G． 在中，， ∴， 即的最小值为． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 6．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 题型二 二次函数中的等腰三角形的存在性问题 二次函数中等腰三角形存在性问题 核心：分类讨论等腰的两边，结合“两点间距离公式”列方程，验证动点是否在抛物线上（或限定范围内）。 一、解题核心步骤（4步搞定） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B），设动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ，直线上： P(x, kx+b) ），减少变量； 2. 分三类情况：设三点为A、B、P，按“哪两边相等”分类（缺一不可）： - 情况1： PA = PB （P为顶点，AB为底边）； - 情况2： PA = AB （A为顶点，PB为底边）； - 情况3： PB = AB （B为顶点，PA为底边）； 3. 列方程求解：用“线段平方相等”简化计算（避免根号），即： - 若 PA = PB ，则 (x_P - x_A)² + (y_P - y_A)² = (x_P - x_B)² + (y_P - y_B)² ； - 若 PA = AB ，则 (x_P - x_A)² + (y_P - y_A)² = (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² （AB长度可先算出）； 4. 验证有效解：解方程得x值，代入抛物线表达式求y，验证是否符合题意（如在限定区间内、不与A/B重合），舍去无效解。 二、关键技巧 1. 优先算定长：先计算已知两点A、B的距离（或距离平方），减少后续重复计算； 2. 简化方程：展开“线段平方等式”时，同类项可抵消（如二次项、一次项可能抵消），降低计算难度； 3. 特殊情况优先：若AB平行于坐标轴（水平/竖直），可利用坐标特征快速列方程（如AB水平， PA = PB 则P的横坐标为A、B横坐标的中点）； 4. 避重不漏：三类情况必须全考虑，哪怕某类方程无解，也要明确说明“该情况不存在”。 三、易错提醒 - 动点与定点重合：求出的P不能是A或B，需额外验证排除； - 忽略定义域：动点x的取值需符合题目限定（如“x在-2≤x≤3之间”）； - 漏解情况：不要只算“PA=PB”，遗漏“PA=AB”“PB=AB”两类； - 计算失误：展开平方时注意符号，合并同类项要细心。 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 5．（2022·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 6．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接． (1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式； (2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）； (3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或()或()或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质及解析式的确定，三角形的面积，两点间的距离公式以及等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． （1）令，则，解方程得到，令，则，得到，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q，得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）设M的坐标为，根据勾股定理得到，，，①当时，②当时，③当时，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q， ∴， ∵， ∴， 解得或(不合题意舍去)， 当时， ∴点P的坐标为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴设M的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵是等腰三角形， ∴①当时，即， ∴， ∴或； ②当时，即， 解得， ∴()或()； ③当时，即， 解得， ∴， 综上所述，点M的坐标为或或()或()或． 7．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型三 二次函数中的等腰直角三角形的存在性问题 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 核心：先定直角顶点（分类），再用“等腰+直角”双重条件列方程，结合坐标运算验证动点有效性，本质是“等腰三角形”与“直角三角形”存在性的综合应用。 一、解题核心步骤（5步闭环） 1. 定已知点，设动点：明确抛物线上的定点（如A、B），设动点P（抛物线上： P(x, ax²+bx+c) ），用单个变量x表示坐标，减少未知数； 2. 分类讨论直角顶点：按“∠A为直角、∠B为直角、∠P为直角”分3类（缺一不可），直角顶点决定“等腰的两边”（直角边相等）； 3. 列双重条件方程： - 直角条件：勾股定理（直角边²+直角边²=斜边²），或水平/竖直边判定（直角边分别平行于坐标轴，计算更简）； - 等腰条件：直角边相等（如∠A为直角，则AB=AP；∠P为直角，则PA=PB）； （简化技巧：用“线段平方相等”替代长度相等，避免根号） 4. 解方程求动点坐标：展开方程后合并同类项，求解x的值，再代入抛物线表达式得y； 5. 验证有效解：排除与A、B重合的点，验证是否在题目限定区间内，确保三点能构成三角形（不共线）。 二、关键技巧（降难度、避陷阱） 1. 优先用“水平+竖直直角边”：若直角边平行于x轴和y轴（如P(x,y)，A(x₁,y₁)，则x=x₁且y≠y₁，或y=y₁且x≠x₁），可快速列方程（如PA⊥AB时，PA竖直、AB水平，则x_P=x_A，再用PA=AB求y_P）； 2. 先算定长线段：提前算出已知两点A、B的距离（或平方），后续直接代入，减少重复计算； 3. 分类时“先特殊后一般”：先考虑直角顶点为定点（A或B）的情况（计算简单），再考虑动点为直角顶点（P）的情况； 4. 利用对称简化：若AB为直角边，可通过轴对称快速找动点（如A为直角，AB水平向右，则P可能在A正上方或正下方，且PA=AB）。 三、易错提醒 - 漏算直角顶点：三类直角顶点必须全考虑，不能只算动点P为直角的情况； - 忽略“等腰”条件：仅满足直角不够，需确保两条直角边相等（或斜边为腰时的特殊情况）； - 共线情况：求出的三点可能在同一直线上，需验证“任意两边之和大于第三边”，排除无效解； - 计算失误：展开平方、合并同类项时注意符号，尤其涉及负数坐标时。 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式．由题意得到两点关于轴对称的解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质，且斜边轴，即可得到两点关于轴对称，再由的长度即可求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出的值． 【详解】解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·陕西·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形 (3)存在，E的坐标为或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式；直线的解析式； （2）由二次函数表达式求出顶点，即可得，故是直角三角形； （3）设，可得，分三种情况：①若为斜边，则，此时，不符合题意；②若为斜边，，此时，为等腰直角三角形，；③若为斜边，可得或，即知． 【详解】（1）解：由抛物线经过点设解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴顶点， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即是直角三角形； （3）存在一点E，使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， ∵， ∴， ①若为斜边，则， 解得， 此时，不符合题意； ②若为斜边，， 解得， 此时， ∴为等腰直角三角形， 即满足条件，； ③若为斜边，则， 解得或， 当时，，此时为等腰直角三角形， ∴满足条件，， 当时，不符合题意； 综上所述，E的坐标为或． 6．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 7．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $