专题1.3 绝对值（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题1.3 绝对值 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：绝对值的几何意义 2 考点2：求一个数的绝对值 3 考点3：绝对值非负性 4 考点4：绝对值的其他应用 5 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 17 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 考点1：绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·北京昌平·期中）若，且这2025个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义．每个项 的值仅取决于 的符号：正数为 1，负数为 -1。已知有 个正数，则负数的个数为 ．求和即可得出结果． 【规范解答】解：∵ 对于任意非零实数 ，有 （），（）， 且正数个数为 ，负数个数为 ， ∴ 原式 = ． 故选 C． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）将下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，绝对值越小的数离原点越近，比较各数的绝对值即可得出答案． 【规范解答】解：∵ ，，，，且， ∴与原点距离最近的点表示的数是-0.7， 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）已知a的绝对值是3，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【规范解答】解：∵a的绝对值是3， ∴， ∴， 故答案为：． 考点2：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）的绝对值是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数. 【规范解答】解：∵表示a的绝对值，且当时，； ∴． 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西大同·阶段练习）的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查求绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质，根据绝对值的性质直接求解即可． 【规范解答】解：的绝对值是3， 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）的相反数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值与相反数，掌握这两个基本概念是关键；先计算出绝对值，再求相反数即可． 【规范解答】解：，而的相反数是， 则的相反数是， 故答案为：． 考点3：绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，， 求出、的值，进而得解． 【规范解答】解：， ，， ，， ． 故选：A ． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 2 【思路点拨】本题考查了非负性，掌握绝对值和平方的非负性是解决本题的关键． 根据绝对值和平方的非负性求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，． 考点4：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【思路点拨】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【规范解答】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 【变式训练1】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段练习）一批零件超过规定长度的部分记为正数，短于规定长度的部分记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正数和负数以及绝对值的应用，熟练掌握概念是做题的关键．根据绝对值最小的是质量最好的可得答案． 【规范解答】解：，，，， 且， 第四个误差最小，质量最好． 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·吉林松原·阶段练习）正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球检查结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）：，，，，，．指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明． 【答案】质量为克的足球质量好些，说明见详解 【思路点拨】本题考查了绝对值的应用， 先计算各偏差的绝对值，再比较绝对值的大小后确定质量好的足球． 【规范解答】解：，，，，，， ∵， ∴质量为克的足球质量好些． 1．（2024·甘肃定西·中考真题）综合与探究 【问题情境】数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段． 如图是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是_______； （2）点B在数轴上表示的数为2，则A，B两点间的距离是______； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为3，则点C表示的数为_______； 【类比探究】 （4）如图，小敏也画了一条数轴（不完整），数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6．若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3．则点G起始位置表示的数为______． 【答案】（1）；（2）4；（3）1或；（4）0或6． 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．掌握数形结合思想，熟练构建方程式解题的关键． （1）观察数轴直接得到答案； （2）列式计算即可； （3）设点表示表示的数为，列方程求解即可； （4）先求出点M表示的数为，N表示的数为3，设点表示的数是，则点M向右运动2秒后表示的数为，点G向左运动2秒后表示的数为，列出方程，求出g的值即可． 【规范解答】解：（1）由数轴，可知点A表示的数是； 故答案为：． （2）∵点A表示的数是，点B在数轴上表示的数为2， ∴A，B两点间的距离是． 故答案为：4； （3）设点表示的数是，列方程得， ， 即或， 解得或； （4）∵M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6， ∴，即M表示的数为，N表示的数为3， 设点表示的数是，则点M向右运动2秒后表示的数为，点G向左运动2秒后表示的数为， ∵M，G两点间的距离为3， ∴， ， 即或， 解得或． 2．（2024·江西南昌·中考真题）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1)8 (2)3或 (3)7 (4)11 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用距离公式和绝对值的性质进行计算． （1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； （2）根据题意可得表示x与1两点间的距离为2，据此解答可得； （3）根据题意可知：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和，再由，解答可得； （4）根据题意可得表示x到3，，间的距离之和，据此解答可得． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和6两点之间的距离为； 故答案为：8 （2）解：根据题意得：表示x与1两点间的距离为2， ∴x的值为3或； 故答案为：3或 （3）解：根据题意得：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和， ∵， ∴x在3与之间， ∴的值为； 故答案为：7 （4）解：根据题意得：表示x到3，，间的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值是． 故答案为：11 3．（2024·陕西西安·中考真题）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【思路点拨】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 4．（2024·山西临汾·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若，求的值； (3)试用数轴探究：的最小值为_________． 【答案】(1)4；4 (2)或 (3)10 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离），解题的关键是利用表示数轴上、对应点的距离分析问题． （1）利用数轴上两点间距离公式计算； （2）根据绝对值几何意义，分析到的距离为5的两种情况； （3）探究到和6的距离之和的最小值（在两数之间时距离和最小）． 【规范解答】（1）解：根据数轴上两点间的距离为： 表示2和6两点之间的距离：， 表示3和两点之间的距离：； （2）解：的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离为5”， 因此，的位置有两种可能： 在左侧5个单位：； 在右侧5个单位：． 故的值为或4． （3）解：的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点的距离，加上所对应的点与6所对应的点的距离之和． 当在和6之间（包括和6）时，距离之和最小， 最小值为到6的距离：． 5．（2024·全国·中考真题）在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查负数的判定，绝对值，相反数的化简．对各数进行化简，再判断是否为负数即可解答． 【规范解答】解：∵，，，， ∴负数有，，，共3个． 故选：C 基础夯实 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】本题考查了化简多重符号，化简绝对值；先化简，再根据相反数的定义判断． 【规范解答】解：A. 与，相等，不合题意； B. 与，互为相反数，符合题意 C. 与，相等，不合题意；     D. 与 ，相等，不合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求一个数的绝对值．“正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数”，据此即可求解． 【规范解答】解：． 故选：C． 3．（25-26七年级上·北京昌平·期中）在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数的相关概念，明确非负有理数是大于或等于零的有理数是正确解答此题的关键． 逐一判断给定数是否满足条件． 【规范解答】解：∵ 非负有理数要求数 且为有理数， ∴ 检查各数： ，不符合； ，且为有理数，符合； ，且为有理数，符合； ，不符合； ，且为有理数，符合． ∴ 符合的数有 3 个：、0、． 故选 C． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）的绝对值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的绝对值．根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示该数在数轴上到原点的距离，总是非负的．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【规范解答】解：∵是负数， ∴根据绝对值的性质，有． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查绝对值与相反数的定义，熟练掌握绝对值与相反数的定义是解题的关键．根据绝对值与相反数的定义即可得到答案． 【规范解答】解：的绝对值是；的相反数是． 故答案为：；． 6．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）化简： ； ． 【答案】 3 3 【思路点拨】本题考查相反数和绝对值的概念，解题的关键是熟练掌握相反数和绝对值的概念． 第一个表达式利用“负负得正”的法则化简；第二个表达式先计算括号内的值，再求绝对值． 【规范解答】解：，， 故答案为：3，3． 7．（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： ． 【答案】2025 【思路点拨】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【规范解答】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 【答案】(1)小江距上午出发点千米，在出发点西侧； (2)这天上午小江共耗油升． 【思路点拨】本题主要考查了正负数的应用，绝对值的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）令所有的数相加，即可根据结果的符号和数值得出结果． （2）把所有的行车里程的绝对值相加，计算出的和为，再根据即为所求． 【规范解答】（1）解：根据题意可得： （千米）， 答：小江距上午出发点千米，在出发点西侧． （2）解：根据题意可得： （千米）， ∴耗油量为：（升）， 答：这天上午小江共耗油升． 9．（25-26七年级上·吉林·期中）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，0，，，，，，…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）． 负整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】 ，；，；，． 【思路点拨】本题考查了有理数的分类问题，正确记忆相关知识点是解题的关键． 根据有理数的定义以及分类对各数进行分类即可． 【规范解答】解：负整数集合：，； 正分数集合：，； 非负整数集合：，． 10．（25-26七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，，4，， (1)整数集合：｛               ｝ (2)分数集合：｛                 ｝ (3)非负有理数集合：｛                 ｝ 【答案】(1)0，，，4 (2)，，，， (3)，0，，4， 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．根据有理数的分类求解即可． 【规范解答】（1）解：， 整数集合：｛0，，，4｝； （2）解：分数集合：｛，，，，｝； （3）解：非负有理数集合：｛，0，，4，｝． 培优拔高 11．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查数轴上两点距离公式的几何意义，利用绝对值的几何意义可简化计算． 表示到的距离，表示到2的距离；当在和2之间时，距离之和最小，为固定值3． 【规范解答】解：由于，表示到的距离， 则表示到2的距离， 所以表示到和到2的距离之和。 当在和2之间时，距离之和最小，即为与2之间的距离， ∴的取值范围是． 故选：B． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）学校（记为点3）、图书馆（记为点8）在数轴上对应的位置分别是3和8，小明（对应的点为）在数轴上任意位置活动，则小明到学校和图书馆的距离之和的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离公式，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 由题意得，小明到学校和图书馆的距离之和为，然后利用绝对值的几何意义即可求解． 【规范解答】解：由题意得，小明到学校和图书馆的距离之和为， 当时，由绝对值的几何意义可得； 当时，由绝对值的几何意义可得； 当时，由绝对值的几何意义可得， ∴小明到学校和图书馆的距离之和的最小值为5， 故选：B． 13．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 【答案】D 【思路点拨】本题考查了绝对值的意义．根据“绝对值表示数轴上一个点与原点的距离”判断即可． 【规范解答】解：A、原点在点的左边时，此时，不符合题意； B、原点在点与点之间时，，，因为，所以，不符合题意； C、若原点在线段中点的左边，则，，此时，不符合题意； D、原点在点的右边时，，则，符合题意； 故选：D． 14．（25-26七年级上·天津河西·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，由绝对值的几何意义可知式子表示分别到的距离之和，设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为，可知当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为，再利用数轴上两点间距离公式计算即可求解，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴式子表示分别到的距离之和， 设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为， 如图，当点与点重合时，点到各点的距离之和为： ； 如图，当点与点不重合时，点到各点的距离之和为： ； ∵， ∴当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为， ∴式子的最小值为：， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）a、b是整数，且满足，则 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，首先根据分情况讨论，可以分成三种情况；（1）；（2）；（3），再根据条件a、b是整数分别讨论即可． 【规范解答】解：∵a、b是整数， ∴均为整数， ∵，，且， ∴①，则：或；满足题意； ②，不存在两个整数满足题意； ③，则，此时也不存在两个整数满足题意； 综上：； 故答案为：0． 16．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）同学们都知道，表示与的差的对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）可理解为与 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）使得，则 ． 【答案】 或/或2 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离，解决本题的关键是根据绝对值的几何意义分段求解． （1）因为，可知可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）根据绝对值的几何意义分当、、三种情况求解． 【规范解答】（1）解：根据表示数轴上与两点之间的距离， ， 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：； （2）解：表示数轴上所对应的点到和所对应的点的距离之和， 当时， 可得：， ， 解得：； 当时， 可得：， 不成立； 当时， 可得：， ， ， 解得：； 故答案为：或． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为 ． 【答案】5或9 【思路点拨】本题考查绝对值的应用，数轴，掌握知识点是解题的关键． 由，，得到b是a和c的中点，，，由，得到，即，设x表示点E的数，当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，分类进行分析计算；当点D在点A的左侧时，分类进行分析计算，即可解答． 【规范解答】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 18．（2025七年级上·北京·专题练习）数轴上点A、B、C分别表示数．当x满足什么条件时， 的值最小？最小值是多少？ 【答案】当时，的值最小．最小值为3 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，分情况讨论是解题的关键．讨论：点C在点A左侧；点C在点B右侧；点C在线段AB上三种情况即可求解． 【规范解答】解:表示点C与点A之间的距离， 表示点C与点B之间的距离， 的几何意义是：数轴上一点C到点A和点B的距离之和，即， 点A和点B将数轴分为三个区域：， 情况一：当点C在点A左侧（）时，点C到点A和点B的距离之和，且， 情况二：当点C在点B右侧（）时，同理，， 情况三：当点C在线段AB上（）时，点C到点A和点B的距离之和，此时达到最小值， 最小值即为点A与点B之间的距离：， 当点C在点A和点B之间（即）时，的值最小，最小值为3 19．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上有两个点，分别表示有理数． (1)数轴上点到点的距离为 ；数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为（）秒，用含的式子分别表示点到点和点的距离； (3)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)，当时，，当时， (3) 【思路点拨】（）利用数轴上两点间的距离公式计算即可得出数轴上点到点的距离，再利用数轴上两点的中点的求法可求出到点距离相等的点表示的有理数； （）由题意可得，秒时，点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （）根据绝对值几何意义可得式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和，进而由可得在数之间（含和），据此即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点距离，绝对值的几何意义等，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵两个点分别表示有理数， ∴点到点的距离为； 数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为； 故答案为：，； （2）解：由题意可得，秒时，点表示的数为， ∴，， 当时，；当时，， 综上，，当时，，当时，； （3）解：∵， ∴式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和， ∵， ∴在数之间（含和）， 即， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)5 (4)见解析，或 【思路点拨】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为6， ∴， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和3两点之间的距离是， 数轴上表示和3两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和3之间时，它的最小值为5； （4）由（3）得， 在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， 如图所示， 当时，表示的点到及到3距离之和为； 当时，表示4点到及到3距离之和为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 绝对值 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：绝对值的几何意义 2 考点2：求一个数的绝对值 2 考点3：绝对值非负性 2 考点4：绝对值的其他应用 2 中考真题 实战演练 3 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 6 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 考点1：绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·北京昌平·期中）若，且这2025个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）将下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）已知a的绝对值是3，则 ． 考点2：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）的绝对值是（  ） A． B．3 C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西大同·阶段练习）的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）的相反数是 ． 考点3：绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）若，则 ， ． 考点4：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【变式训练1】（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段练习）一批零件超过规定长度的部分记为正数，短于规定长度的部分记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式训练2】（25-26七年级上·吉林松原·阶段练习）正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球检查结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）：，，，，，．指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明． 1．（2024·甘肃定西·中考真题）综合与探究 【问题情境】数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段． 如图是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是_______； （2）点B在数轴上表示的数为2，则A，B两点间的距离是______； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为3，则点C表示的数为_______； 【类比探究】 （4）如图，小敏也画了一条数轴（不完整），数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6．若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3．则点G起始位置表示的数为______． 2．（2024·江西南昌·中考真题）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 3．（2024·陕西西安·中考真题）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 4．（2024·山西临汾·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； (2)若，求的值； (3)试用数轴探究：的最小值为_________． 5．（2024·全国·中考真题）在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 基础夯实 1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京昌平·期中）在中，非负有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）的绝对值为 ． 5．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）的绝对值是 ；的相反数是 ． 6．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段练习）化简： ； ． 7．（25-26七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： ． 8．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 9．（25-26七年级上·吉林·期中）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，0，，，，，，…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）． 负整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 10．（25-26七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，，4，， (1)整数集合：｛               ｝ (2)分数集合：｛                 ｝ (3)非负有理数集合：｛                 ｝ 培优拔高 11．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）学校（记为点3）、图书馆（记为点8）在数轴上对应的位置分别是3和8，小明（对应的点为）在数轴上任意位置活动，则小明到学校和图书馆的距离之和的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 13．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 14．（25-26七年级上·天津河西·阶段练习）式子的最小值是 ． 15．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）a、b是整数，且满足，则 ． 16．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）同学们都知道，表示与的差的对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）可理解为与 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）使得，则 ． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为 ． 18．（2025七年级上·北京·专题练习）数轴上点A、B、C分别表示数．当x满足什么条件时， 的值最小？最小值是多少？ 19．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上有两个点，分别表示有理数． (1)数轴上点到点的距离为 ；数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为（）秒，用含的式子分别表示点到点和点的距离； (3)若，则的取值范围是 ． 20．（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $