专题05 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题05 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中求线段最值的问题 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 类型三、二次函数中求周长最值的问题 类型四、二次函数中求面积最值的问题 压轴专练 类型一、二次函数中求线段最值的问题 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 例1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用，解题关键是能够熟练运用数形结合的数学思想解决问题． （1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)为时，的最大值为3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、求二次函数的最值： （1）将A和C的坐标代入二次函数解析式列方程组求解即可； （2）求出直线的解析式，设出P点和H点的坐标，表示出，利用二次函数性质求出其最大值即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线解析式为， 将代入，得，解得， 则直线解析式为． 设，，则， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为3， 当时，， ∴， ∴为时，的最大值为3． 【变式1-3】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)①点P的坐标为或；②最大值为 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式得到点C坐标，然后设点P坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，再设点Q坐标为，则点D坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，点A坐标为，与在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∴． 设点P坐标为， ∵， ． ∴． 当时， ， 当时， ． ∴点P的坐标为或． ②设直线的解析式为， 将代入， 得． 解得． ∴直线的解析式为． 设点Q坐标为， 则点D坐标为． ∴． 当时，有最大值． 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。 例2．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． (1)求出点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1)，，， (2)5 【分析】（1）令，分别求出，，； （2）过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， （2）由（1）知，，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）求解抛物线的对称轴为直线，可得，当共线时，最小，即，求解直线为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：. （2）解：当时，， 解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， . （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当共线时，最小，即， 当时，， ∴， ∵， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法，三角形的面积，轴对称的性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越小，推出时的函数值小于时的函数值，即可得到答案； （3）先求出点D的坐标，进而根据三角形面积计算公式推出点F的纵坐标，进而可求出点F的坐标； （4）连接，由对称性可得，则当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点B的坐标代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时，， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴； ∵的面积为7，且点F在x轴上方， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴点F的坐标为或； （4）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 类型三、二次函数中求周长最值的问题 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 例3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标； （）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 【变式3-1】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为第一象限内抛物线上的动点，于点，轴交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)设点的横坐标为，试用含的式子表示线段的长； (3)求的周长的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)； (3)的周长最大值为． 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数图象的性质以及解直角三角形． （1）先求得，，，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设点的坐标为，点的坐标为，列式计算求得线段的长； （3）判断是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得的周长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， 设点的坐标为， ∵轴交于点， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值， 最大值． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 类型四、二次函数中求面积最值的问题 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 例4．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于D，E两点（点D在点E的右侧），M为直线上的一动点，设点M的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出的长，可得，再根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把和点代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴，, ∵M为直线上的一动点，点M的横坐标为， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴面积的最大值是． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 一、解答题 1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， （2）解：在二次函数中，令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，将代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 轴， ， ， ， 当时，最大值为，此时． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键． 3．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点． (1)求点，，的坐标； (2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标； (3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为： (2) (3)或或或 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 令，则 解得：或3， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，点， ∵，则， ∴，即， 解得：或， 即点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形面积S的最大值为，此时点 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， ∴． （3）解：过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合是解题的关键． 6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 7．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 8．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中求线段最值的问题 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 类型三、二次函数中求周长最值的问题 类型四、二次函数中求面积最值的问题 压轴专练 类型一、二次函数中求线段最值的问题 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 例1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【变式1-3】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。 例2．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． (1)求出点的坐标； (2)求的最小值． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 类型三、二次函数中求周长最值的问题 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 例3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【变式3-1】（2025·甘肃于·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为第一象限内抛物线上的动点，于点，轴交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)设点的横坐标为，试用含的式子表示线段的长； (3)求的周长的最大值． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 类型四、二次函数中求面积最值的问题 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 例4．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于D，E两点（点D在点E的右侧），M为直线上的一动点，设点M的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若，求面积的最大值． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【变式4-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 一、解答题 1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 3．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点． (1)求点，，的坐标； (2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标； (3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 6．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 8．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $