专题08 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题08 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的等角存在性问题 知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。 解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 例1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 【变式1-3】（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan²α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 例2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； （3）解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点关于的对称点，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 例3．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 【变式3-2】（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （3）解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 一、解答题 1．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）结合已知求得，代入即可解答； （2）由，推出是的平分线，设交x轴于E，过E作于H，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， ∴代入，得：， ， 抛物线解析式为：； （2）存在，理由：， 是的平分线， 设交x轴于E，过E作于H， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ∴设直线的解析式为 ∴，解得 直线的解析式为， 令， 解得或(不合题意舍去)， ， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形等，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 3．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为4或2 (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质． （1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 令，则， ， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则， 则直线， 过点作轴交于，    设，则， ， ， ∴点的横坐标为4或2； （3）解：设直线与轴交于点，      则， ， ∴， ， ， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ． 4．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)4，； (3)或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的平移、运用二次函数求最值、二次函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：作轴交于点Q，结合已知条件可得，进而得到，即，设点．可得，根据二次函数的性质可得当时，的最大值为4，最后确定点P的坐标即可； （3）先求出原抛物线的顶点坐标，平移后的解析式为，然后分点M在直线的下方和上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：作轴交于点Q， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点． ∴， ∴， ∴当时，的最大值为4， ∴当的最大值时，， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∴将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到的解析式为， 当点在直线的下方时，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或2（舍弃）， ∴， ∴； 当点在直线的上方时，作点N关于点C的对称点，则，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍弃）， ∴， ∴． 综上，点M的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案； （3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点P作轴交于点E，    当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ，则， ∵，且 ， 当时，取得最大值， 取得最大值， 此时， 此时； （3）∵， ∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则： ， 当时，，解得或， ∴点的坐标为， 如图，当时，，    ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得到，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或， ∴点的坐标是， 当时，， ∴直线与直线关于轴对称， ∴直线经过点的关于轴对称点， 设直线的解析式为， 把点的坐标为，点代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得，或， ∴点的坐标是， 综上可知，点的坐标为或． 6．已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 7．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)，此时点P的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）∵，由（2）知：为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型 月录 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 知识点：1.二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2.等角的几 何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对 应角相等。 解题技巧：1.构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2.代数化处理， 设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 例1.(25-26九年级上福建福州阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,顶点为D.其中A(-3,0),D(-1,-4). 图1 图2 (1)直接写出该抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,在第三象限内抛物线上找点E,使∠ABE=∠OCB,求点E的坐标. 【变式1-1】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，二次函数y=-x2+(m-1)x+m(m是常数，且 m>0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 1/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求A,B,C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠ABC的度数： (2)若m=4,点P在抛物线上，且∠PAB=∠ABC,求点P的坐标， 【变式1-2】(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴的正半轴交于C点，且0B=0C=30A=3. D B AO (1)求抛物线的表达式： (②)在直线BC下方的抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在， 请说明理由 (3)抛物线的顶点为D,连接BC、BD.抛物线上是否存在一点P,使得∠PCB=∠CBD？若存在，求P点 的坐标；若不存在，说明理由： 【变式1-3】(2025·西藏.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx-4过点A(-1,0),B(m,0),与y轴交于点C.点 B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC,AF,且AF交y轴于点D, 交BC于点E. 图1 图2 (①)当m=3时，求抛物线的解析式； 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，在(1)的条件下，若∠CDE=∠CED,求直线AF的解析式； (3)要使得LDCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）： (4)如图2，∠DCE=∠DEC,当m为何值时，0D的长度等于1？ 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 知识点：1.三角函数倍角公式（如tam2a=2tama/(1-tam2a)),通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1.代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2.几何法：构造含倍角 的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 例2.(2025九年级上浙江·专题练习)二次函数y=Qx2+bx+4a≠0)的图象经过点A(-4,0),B(1,0),与 y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D. A D 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,当∠DPB=2LBC0时，求直线BP的解析式： 【变式2-1】(25-26九年级上·湖北武汉阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A、B两 点，与y轴交于点C,且OC=0B=30A. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标： (3)点9为抛物线第一象限上一点，连AQ、CQ,若∠CQA=2∠QAB,求点Q的坐标. 2 【变式2-2】(25-26九年级上重庆阶段练习)如图，抛物线y=ax2+二x+c过A,B(6,0),C(0,8)三点， 3 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P是抛物线上动点. B (①)试求抛物线的表达式； (2)如图，当P在第一象限时，过点P作PN∥y轴并交BC于点N,作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M, 若PM=PN,求点P的坐标： 3 ③)当点P运动到使∠PAB=】∠ABC时，请直接写出P点的坐标. 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 知识点：1.特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值（如tam45°=1、sn30°=0.5)，用于建立线段比 例关系；2.二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1.几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系： 2.代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 例3.（2025江苏常州三模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于 点C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为4,3). D D E B (备用图) (1)求抛物线与直线1的函数表达式： (②)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大值时点P的坐标及该面积 的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标 【变式3-1】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,OA=OC=4. 4/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分，请 求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N,使得LBC0+∠BN0=45°，若存在，请求出点N,的坐标；若不存在，请说 明理由。 【变式3-2】(2025·江苏无锡·二模)已知平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)与x轴交于点 A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,且AB=4. (I)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上一点，若LPAC=45°，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF1AP,垂足为点F,若 am∠PEF=号，求平移后抛物线的表达式。 压轴专练 一、解答题 1.如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<O)与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)， 与y轴交于点C,0B=0C=3. 5/8 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y A B (I)求该抛物线的函数解析式： (2)在抛物线上是否存在点P,使∠PC0=∠PCB.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A-4,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,4),点P是抛物线上一动点. 0 B (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为(-2,6)时，求四边形AOCP的面积； (3)若∠PBA=45°，求点P的坐标. 3.已知抛物线y=- x2+bx+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴 4 为直线x=2. (I)求AB的长； (2)点D为BC上方抛物线上的一动点，若△BCD的面积是ABC面积的一半，求点D的横坐标； (3)过点C的直线y=x+nm>O)与抛物线的另一个交点为M,若∠MCB=2∠ABC,求点M的坐标. 4.如图，抛物线y=ax+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),点B3,0),交y轴于点C. 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AY B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC,PF⊥y轴于点F,求PF+√2PE的最大 值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到y,点N是原抛物线的顶点，问在平移后 的抛物线上是否存在点M,使得∠MBC+∠NBC=180°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx+3(a≠0)过点(2，-5)，交x轴于点A-3,0)和点B,交 y轴于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PA,PC,求△PAC面积最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y,新抛物线y与x轴的负半轴交于点M，点 N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB,请直接写出所有符合条件的点N的坐标， 6.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,12)和(4，-3). 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的函数表达式： (2)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,如图. ①求ABC的面积： ②点D(2,m)在抛物线上，点E在线段BC上（不与端点B,C重合），若∠DEB=2∠DCB,求点E的坐标. 7.如图，二次函数y=ax2+bx-3与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C.已知点A(-1,0),抛物线 的对称轴为直线x=1. y y B AO 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)连接BC,点P是抛物线上一点，在直线BC下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与BC交于E, F两点，求PE+PF的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线CB的方向平移√2个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若LMBC=15°， 直接写出点M的坐标。 8/8