专题07 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题07 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 例1．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先判断出点是直线与对称轴的交点，即可得出结论； （3）设出点坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ， ， 是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点，关于抛物线对称轴对称，且的值最小． 直线与对称轴的交点即为点， 当时，， ； （3）解：设， ，，， 当为对角线时，与互相平分， ，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ， 即：满足条件的点的坐标为或或． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 例2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 【变式2-1】（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 例3．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 【变式3-2】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 例4．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 【变式4-1】（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的纵坐标为，由可得，求出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为正方形的对角线时，当为正方形的边时，即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2），， ， 在抛物线中，令，则， ， 设点的纵坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，，解得：或， 点的坐标为 或， 当时，，方程无实数根， 综上所述，点的坐标为 或； （3），， ， 是等腰直角三角形， ， 若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，则为等腰直角三角形， 当为正方形的对角线时，即为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点与重合， ； 当为正方形的边时，， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 2．已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将点代入解析式得到，再将点代入解析式，结合对称轴公式可得到，，即可得到答案； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，设，则点，得到，连接，设与交于点，根据正方形的性质推出，从而得到，代入抛物线解析式即可到答案． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过点 对称轴为直线，且经过点 解得： 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ， 解得： 直线的解析式为 设， 轴于点 点坐标为 连接，设与交于点，如图 四边形是正方形 ，， 轴， ， 点的横坐标为 点在抛物线上 解得： （舍去）， 当时， 点的坐标为 3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 4．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由； (3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，最大面积是16 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）分为以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边或对角线两种情况，画出示意图讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 将代入，则， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示． ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积是16． ， 存在点，使的面积最大，最大面积是16． （3）解：如图， 当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4， ∴或， 解得：， 当时，则有， ∴， ∴， 同理可得当，， 得，， 当为对角线时，则有， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． (3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时P点的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）中，分别令，，解方程求得点A、B、C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设点P的横坐标为p，则，，进而表示出与p的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线，设，，进而分3种情况讨论，①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得，， 点A在点B的左侧， ，． 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设点P的横坐标为p，则，， ，， ， ， 当时，取最大值，最大值为， ， 此时P点的坐标为． （3）解：， 把抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（H与Q重合，舍去） ； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； 综上，点M的坐标为或或或． 7．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 8．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）分、为边；、为边；、为边讨论，通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即原函数向右平移2个单位，向上平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得， ∴ ∴两条抛物线交点M的坐标为， 设，，连接， ，，， ①如图，以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ②以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ③如图，以为对角线，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴或， 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 物 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形 对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差 相等)简化关系，注意动点范围。 3解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及 图形合理性 例1.（25-26九年级上·黑龙江阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴 4 分别交于点A、B、C，直线y=-5x+4经过点B,与y轴交点为D,M(3,-4)是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式. (2)己知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小.求点N的坐标. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【变式1-1】(25-26九年级上：广东·阶段练习)如图，直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物 线y=ax-h的顶点为A,且经过点B, (1)求该抛物线对应的函数解析式。 2)若点Cm,-2 在该抛物线上，求m的值. (3)若点D(-4,n)在抛物线上，求S。D· (④在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1-2】(25-26九年级上山东东营阶段练习)二次函数y=x2+bx+c的图象过A-1,0),B(3,0)两点， 与y轴相交于点C. VA VA 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式； (②)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； (3)若点M是平面内一点，是否存在以A,C,B,M为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若 不存在，请说明理由， 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互 相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消 元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理 性。 例2.(2025青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ax2-4ax(a<0),点A的坐标是(-1,0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A. (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点4，P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式2-1】(2025江苏二模)如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3(m是常数，m>0)的图象与x轴分别 相交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线1.点C关于1的对称点为D,连 接AD.点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE. (1)①线段AB的长为 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (②)设M是该函数图象上一点，点N在1上.探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由 【变式2-2】(2025湖北模拟预测)如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M,对称轴1与x 轴交于点D,与直线AC交于点E. (I)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为C,求点C的坐标，判断 四边形AA'CC'的形状，并说明理由 (②)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时.求点G的坐标 (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G,使得以A、C、G、K为顶点的 四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线 垂直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直） 列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结 合图形验合理性。 例3.(2025湖北二模)如图.二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐 标为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M.交抛物线于点N 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M (①)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A,点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值.并求出此时点P的 坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形.请直接写出 所有满足条件的点Q的坐标. 【变式3-1】(25-26九年级上·广东·阶段练习)如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为 B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点. B AO B 备用图 (1)求m的值及C点坐标. (②)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标. (3)连接BC，在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大，若存在，求出此 时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 【变式3-2】(24-25九年级下·甘肃武威阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点 C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. 5/11 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA (1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式： (②)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形，请求出此时点 P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对 角线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元， 结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程：先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理 性。 例4.(24-25九年级上·福建莆田·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4在抛物线y=ax2上， 过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛 物线于E,F两点. ()求抛物线对应的函数解析式： (②)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长. 【变式4-1】(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 y=a(x-2)2+k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标： (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长. 【变式4-2】(24-25九年级上·安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点A0,2,C(-1,0),以AC为 直角边，在第二象限作等腰直角三角形ABC,LACB=90°，抛物线y=a2+ax-2经过点B. (①)求抛物线的解析式. (②)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD,求aBDC的面积. (3)在抛物线上是否还存在两点G,H,使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标；若不存 在，请说明理由。 压轴专练 一、解答题 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b、C为常数)与x轴交于A-3,0)、B(1,0)两点， 与y轴交于点C,点P是抛物线上一个动点 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求该抛物线的解析式： (2)若SP4B=2S4BC,请求出点P的坐标； (3)连接AC,直线AC上有一动点F,点M为坐标平面上一个动点，若以A、P、M、F四点为顶点的四 边形为正方形时，请直接写出点P的坐标. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A-4,0),B(0,8).其对称轴为直线x=-1,与x轴的另一交点 为C. B M (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N,以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)， 当点P在抛物线上时，求点M的坐标. 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左侧) (1)求抛物线的解析式： 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形： (3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 4.如图，己知抛物线y=ax2+bx+4经过A-2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于C点. (1)求抛物线表达式： (2)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P,使△PBC的面积最大.若 存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由； (3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标. 5.综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称 轴为直线1. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)图2中，对称轴直线1与x轴交于点H,连接AC,CD,BD,求四边形ACDB的面积； (3)点F是直线I上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若存 在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C, 点A在点B的左侧，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求A、B、C三点的坐标， (2)过点P作x轴的垂线，交BC于点E,过点E作y轴的垂线，交y轴于点F,求PE+2EF的最大值以及 此时P点的坐标 (3)将抛物线沿CB方向平移√2个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点 M是平面内一点，若以A,Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标. 7.如图，抛物线与x轴交于A(-1,0以B(3,0八C(0,-3),顶点为D. (1)求抛物线的解析式： (2)M为抛物线上一点，当∠CAM=45°时，求M点坐标； (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E、F,使得以 B、D、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出E、F的坐标；若不存在说明理由 8.如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-3,0)和B1,0)两点，与y轴交于点C. 2 B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式； (②)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D,过点P作PE⊥AC于点 10/11