第26章二次函数单元检测卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 单元检测卷 一、单选题 1．在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 4．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 6．下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度 8．如图所示，在中，，动点在折线段上沿方向以每秒个单位的速度运动，过垂直于的直线交边于点如果，，点运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线经过点，则_______． 10．已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 11．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为______． 12．已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 13．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是_____． 三、解答题 14．已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． (1)求此二次函数解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 15．二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 16．如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 17．已知二次函数的图象经过点和且对称轴为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点C，使的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 二次函数 单元检测卷》参考答案 1．C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A．，不是二次函数； B．，可能为0，所以不一定是二次函数； C．，，是二次函数； D．，是分式函数，不是整式，不是二次函数； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值． 【详解】解：当时，， ∴ 交点坐标为． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．通过二次函数的顶点形式分析顶点位置，判断开口方向，确定最值，以及求解与坐标轴的交点，结合选项进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为， 故选项A不符合题意； 令 ，得 ， 即， 此时无实数解， ∴图象与x轴无交点， 故选项B不符合题意；； ∵二次函数为的， ∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值， 故选项C不符合题意； 令，得， ∴ 与y轴交点为， 故选项D符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可 【详解】∵点和在函数的图象上，   ∴，即，   同理，   ∴a, b是方程的两个根，   由根与系数关系得：，   由，得，   ∴，   代入，   ∴原式   故选C 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数系数与图像的对应关系，从图像中提取核心信息是解题关键． 先根据抛物线的对称轴，可解答①；再分别判断，，的值，可解答②；然后根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得，可判断③；根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，可解答④；根据二次函数的图象与有一个交点，可解答⑤；根据当时，，可得，最后结合，可解答⑥． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 即， 故①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， 即， 故③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 则时，，即， 故④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， 故⑥不正确． 综上，正确的有个． 故选：． 6．A 【详解】本题考查了二次函数 (a，b，c为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，a和b决定对称轴位置，c决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质判断即可． 【分析】解：∵抛物线， ∴，开口向上， ∴与其开口方向相同、形状相同，位置不同． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 分点D在上、点D在上运动时两种情况，分别求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，． 当点D在上，即时，， ∴在中，， ， ∴， 即，该函数为开口向上的抛物线； 当点D在上，即时，，   ， ∴， ∴，， ∴在中，， ， ∴， ∴， 即，该函数为开口向下的抛物线 综上所述，B选项的图象符合题意． 故选：B． 9．5 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把点坐标代入即可计算出c的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴ 解得：， 故答案为：5． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足， 解得， 所以或． 又因为图象开口向下，故二次项系数， 即， 故满足， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了旋转的性质、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，过作交延长线于，则，在中，设，则，，得到，，，，，，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接，过作交延长线于，则， 由旋转性质得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则，， ，，， ，， ， ， ∴当时，S最大，最大值为． 12．2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 13．9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 14．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． 【详解】（1）解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 15．(1)，； (2)见解析； (3) (4)或； 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， （2）如图： （3）二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； （4）∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 16． 【分析】本题考查二次函数的几何应用，二次函数的最值问题，三角形的面积，熟练根据题意列出四边形的面积关于的函数关系式是解题的关键．设，则，利用得出，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 17．(1) (2)存在，C点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把、和对称轴代入解析式组成方程组求解即可； （2）根据抛物线解析式设，根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 把、和对称轴代入解析式得， ，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点C在抛物线上， ∴设， ∵的面积等于2， ∴， 解得， 当时，， 当时，， ∴C点坐标为或． 18．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟悉基本知识，数形结合． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，设点的坐标为；推导出是等边三角形，进而得到，可得关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 二次函数的解析式为； （2）证明：设， ， ， 过点作轴的垂线与直线交于点， ，且点在直线上， ， ； （3）解：由题意得：， ， ． ， ， 由（2）知，； ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 解得：， ， 满足条件的点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $