专题03 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题03 二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图象和性质 类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题 压轴专练 类型一、二次函数中含参数的图象和性质 知识点：1.含参数二次函数的基本形式（y=ax²+bx+c，a≠0）中，参数a、b、c对图象开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式Δ=b²-4ac与参数的关系，决定图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。 解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析单调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特征，解决零点分布、最值范围等问题。 例1．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意； ∵的对称轴为直线， 当时，， ∴时，， ∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增小， ∵时，，时，， 故直线与抛物线的交点在轴的上方， ∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的错误结论的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．当时， D．函数的最小值小于 【答案】D 【分析】 由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 【详解】 解：由题意可得， ∵方程的两根异号， ∴， 解得：， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故C不符合题意； 由题意得：， ∵当时， ∴最小值为，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数图象的顶点始终在直线上； ②存在一个m的值，使得函数图像的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点与点在函数图象上，若，，则； ④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的顶点、对称轴以及二次函数的增减性，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ①将二次函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可判断是否在直线上； ②先假设存在，建立方程求解，若有解，则存在，否则不存在； ③根据两点与对称轴距离的远近判断函数值大小； ④根据二次函数增减性确定对称轴位置． 【详解】①化为顶点式为， 顶点坐标为， 当时，， 顶点始终在直线上，故①正确； ②假设存在一个m的值，使得函数图像的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令，则， 解得，（其中）， 顶点为，且与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， ， 解得或（不符合题意舍去）， ， 存在一个m的值，使得函数图像的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，故②正确； ③， ， 二次函数的对称轴为直线， ， 点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离， ∵， ，故③正确； ④， ， 当时，y随x的增大而增大， 又，开口向下， 此时的值应在对称轴的左侧（含顶点）， ，故④错； 综上，结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题 知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则相反。2.含参数时，对称轴位置（x=-b/(2a)）随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶点）。 解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应的点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免漏解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。 例2．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 【变式2-2】（25-26八年级上·北京·阶段练习）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，即，则最小值为，最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， ②当时，即， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）或， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（舍）， ③当时，即，则最大值为，最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数(为常数)的图象经过点，当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；把已知坐标代入解析式计算出m的值，再根据二次函数的性质，分类讨论计算． 【详解】解：把代入， 得， ， ， 当时，y有最大值为 ①当时， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ， 或舍去 ②当时， 当时，y有最大值为6， 的最大值与最小值之和为2， 最小值为， ， 或舍去 综上所述，或 故答案为：或 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 知识点：1.二次项系数a：决定开口方向（a>0向上，a<0向下）及开口宽窄（|a|越大越窄）。2.一次项系数b与常数项c：b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置（x=-b/(2a)），c为图象与y轴交点纵坐标（c>0交正半轴，c<0交负半轴）；判别式Δ=b²-4ac反映与x轴交点个数。 解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a，y轴交点定c，对称轴位置结合a定b，交点个数定Δ。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正），x=-1时y=a-b+c的符号，增强判断依据。 例3．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质. 根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确，符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数各项系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数图象与x轴的交点等知识．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故①正确； ②抛物线开口向下得：， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故②正确； ③抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故③正确； ④∵抛物线的解析式化为 由函数的图象知：当时，， ∴令得， ∵， ∴， 即， 故④正确； ⑤由函数的图象知：当时，， ∴令得， 故⑤正确； ∴这些结论正确的有①②③④⑤． 故选：D. 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（   ） A．③④⑤ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据图象可得到且同号，故①正确；由于抛物线与轴有两个不同的交点，所以，故②正确；当时，，又因为，所以，故③错误；由图知：时，，可得，可得到，代入即可得到④正确；由于对称轴，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，故⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴①正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴ ∴②正确； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴③错误； 由图知：时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴④正确； ∵对称轴 ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴⑤正确； 综上所述：①②④⑤正确， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·北京·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k定象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、a、b）在不同函数中需保持一致，可通过图象特征交叉验证。 解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定a，双曲线象限定k），再代入其他函数验证系数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数图象逻辑的答案。. 例4．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质；根据二次函数的图象知：，，求得，，据此判断即可． 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由二次函数图象可得到，由此可判断反比例函数和一次函数的图象所过象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与轴交于， 由二次函数图象知抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． 类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题 知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向（a的符号）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、最值与参数的关系，以及判别式Δ与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函数图象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。 解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。 例5．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数，该二次函数的图象经过点． (1)求式子的值； (2)当时，函数的最大值比最小值大2，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）将点代入函数，根据代入后的等式变形解得的值； （2）通过对称轴分析函数在区间上的最值分布，分情况讨论最大值和最小值的位置并建立方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入函数化简为， 其对称轴为，因开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ①当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； ②当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）； ③当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； 综上，． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数（是常数）的图象是抛物线． (1)求证：该抛物线的顶点在函数的图象上； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）求出顶点坐标，代入，即可得证； （2）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】（1）证明：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，， ∴该抛物线的顶点在函数的图象上； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，即或， 解得； 故． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 【答案】(1)； (2)，顶点在直线上； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可； （2）把二次函数化为顶点式，再把顶点坐标代入直线即可； （3）根据自变量的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 顶点坐标为． 故答案为：． （2）解：， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． （3）解：， 对称轴为直线且开口向上， 当时， ， ， ． 解得； 当时， ， ， ， 解得， ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． 综上， 或． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为___________； (2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________； (3)当时，的取值范围是___________； (4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴列方程求出，再代入原抛物线解析式即可； （2）联立抛物线与直线方程，消去后得到一元二次方程，再结合抛物线与直线恰好只有一个交点，可知其判别式，进而求解即可； （3）先对抛物线解析式因式分解，求出与轴的交点坐标，再结合函数图像分析即可； （4）抛物线开口向上，对称轴是最小值点，因此需包含对称轴，又因为时取最大值，根据二次函数对称性，的对称点为，所以不能超过3，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 将代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：将代入， 得到， 整理得， 抛物线与直线恰好只有一个交点， ， 解得． （3）解：当时，即， ， 二次函数开口向上，与轴交点为和， 当时，在两个交点之间，即． （4）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，取最小值， ， 又时，取最大值， 根据二次函数对称性，关于对称轴得对称点为， ， ． 一、单选题 1．如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故A正确． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故B正确． ∵抛物线的顶点横坐标为， ∴，故C错误． 抛物线向下平移个单位后，解析式为． 当时，． 由可得， ∴， ∴抛物线向下平移个单位后一定经过，故D正确． 故选：C． 2．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 3．关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 二、填空题 5．当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 6．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 7．已知二次函数（b，c是常数）． （1）若该抛物线的顶点坐标是，则 ． （2）若当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性； （1）根据顶点坐标求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入计算解题； （2）由题可得对称轴为直线，然后根据最值得到时，；抛物线顶点的纵坐标是3，然后求出的值解题即可． 【详解】解：（1）由题意得该二次函数的表达式为， ∴，，∴． 故答案为： （2）由题意，得抛物线的对称轴是直线． ∵当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下， ∴当时，，∴； 当时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3， ∴，∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的对称轴为直线． 故答案为： 8．抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可． 【详解】解：（1）把代入中，得，解得． 故答案为：1． （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立，解得，， 抛物线与直线的交点坐标为，． 设，，由函数图象可得，当时，在的上方， 当时，， 当时，PQ的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)填空： （用含a的代数式表示）； (2)当时，y随x的增大而减小． ①求a的取值范围； ②求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2); 【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解方程组求出b的值。 （2）①根据抛物线的对称轴在轴的右侧确定的范围；②根据自变量端点的函数值，及函数随的增大而减小即可求解． 【详解】解：（1）抛物线经过点 ，代入方程得： ， 再代入点 得， 整理，得， 故答案为：． （2）①抛物线的对称轴为，代入，得：， ，当时，y随x的增大而减小， ，即， 解得，， ②由（1）知，， 当时，， 当时， 当时，y随x的增大而减小， ． 10．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 11．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 12．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． (1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式； (2)设的顶点为，若，求点的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的值为或 【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为，，解得． 的解析式为； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ，当时， 的顶点的坐标为，点， 过点作轴于点，连接． ，，， ， ，即． 解得． 点的坐标为； （3）的解析式为， 当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03二次函数中含字母参数的图象和性质问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图象和性质 类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 类型四、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图象和性质 知识点：1.含参数二次函数的基本形式(y=a2+bx+c,a≠0)中，参数a、b、c对图象开口方向(a的符 号)、对称轴(x=-b/(2a))、顶点坐标及与坐标轴交点的影响。2.判别式△=b2-4ac与参数的关系，决定 图象与x轴交点个数，以及函数最值（顶点纵坐标）的表达式。 解题技巧：1.对参数分类讨论，如按a的符号分开口向上/向下，按对称轴与给定区间的位置关系分析单 调性。2.结合数形结合，画出动态图象草图，标注顶点、交点等关键点，根据参数范围锁定图象特征， 解决零点分布、最值范围等问题。 例1.(2025山东济南模拟预测)若二次函数y=ax2+2ax-4a≠0)的图象与x轴交于Ax,0),B(x20)两 点，且满足：<x2,x·2<0,则下列说法错误的是() A.x1+x2=-2 B.抛物线开口向上 C.当y>4时，x的取值范围为-2<x<0 D.关于x的方程ax2+2ax=5的一个解小于x 【变式1-1】(25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习)已知二次函数y=x2-bx-1(b>1),则下列说法错误的 是() A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点(m,n在该二次函数的图象上，则n≥-1 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.若点(-3，y),(2,y2)都在y=x2-bx-1的图象上，则y>y2 【变式1-2】(25-26九年级上·安微安庆阶段练习)在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数 的错误结论的是() A.图象的开口向上 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.当x=2时，y<0 D.函数的最小值小于-3 【变式1-3】(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)下列关于二次函数y=-x2+2mx-m2-m+1(m为常数) 的结论： ①该函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上： ②存在一个m的值，使得函数图像的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点Ax,乃)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x<x2,x+x2>2m,则y>y2; ④当-1<-x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≤2. 其中正确的是一（填写序号）. 类型二、利用二次函数的增减性求最值问题中的参数的值多解问题 知识点：1.二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时则 相反。2.含参数时，对称轴位置(x=-b/(2a))随参数变化，影响给定区间内的最值点（端点或顶点）。 解题技巧：1.分情况讨论对称轴与区间的位置关系（在区间左、内、右侧），结合增减性确定最值对应的 点，列方程求解参数。2.验证解的合理性：将求得的参数代入对称轴，检查是否符合分类前提，避免漏 解或增解，确保多解均满足区间内最值条件。 例2.(25-26九年级上湖北黄冈阶段练习)函数y=(x-a)2-a2-2在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值 是 【变式2-1】(25-26九年级上湖北荆州阶段练习)已知抛物线y=a(x-1)-2(a≠0)，当-1≤x≤2时，y 的最大值与最小值的差为3，则a的值为 【变式2-2】(25-26八年级上北京阶段练习)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax-3的最大值与最小 值的差为}，则实数：的值为 【变式2-3】(25-26九年级上·四川泸州阶段练习)已知函数y=-x2+bx-3(b为常数)的图象经过点 (-6,-3),当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为_ 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 知识点：1.二次项系数a:决定开口方向(a>0向上，a<0向下)及开口宽窄(a越大越窄)。2.一次项系 数b与常数项c:b与x轴交点个数。结合a决定对称轴位置(x=b/(2)),c为图象与y轴交点纵坐标(c >0交正半轴，c<0交负半轴)；判别式△=b2-4ac反映与x轴交点个数。 解题技巧：1.从图象特征逆向推系数符号：开口方向定a,y轴交点定c,对称轴位置结合a定b,交点个 数定△。2.利用特殊点辅助判断：如x=1时y=a+b+c的符号（对应点在x轴上方则为正)，x=-1时y=a-b +c的符号，增强判断依据。 例3.(25-26九年级上·甘肃定西期中)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线 x=2,且图象经过点(6,0)，则下列结论正确的是() 6￥ A.ac>0 B.4a+b=1 C.若ax+bx1=ax+bx2且x≠x2,则x+x2=4 D.若(-2，)，(3，y2)两点都在抛物线y=ax2+bx+c上，则y2< 【变式3-1】(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 给出以下结论：①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的有 ()个. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式3-2】(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示， 对称轴是x=-1,下列结论：①ab>0;②b2>4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0;⑤若图象上有两点 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (-1.4,m、（-0.5,n,则有m>n;其中正确的是() A.③④⑤ B.①②⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 【变式33】(25-26九年级上·北京·阶段练习)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数， 且a≠0)如图，小明同学得出了以下结论：①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤ a+b≤mam+b)(m为任意实数)；⑥当x<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的为(). A.①②④ B.②③④ C.②④⑤ D.②④⑥ 类型四、一 次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 知识点：1.三类函数图象基本特征：一次函数y=+b(≠0)是直线，k定倾斜方向，b定与y轴交点； 反比例函数y=k/x(k≠0)是双曲线，k定象限；二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是抛物线，a定开口，对 称轴和顶点影响形状。2.系数符号关联性：同一题中参数（如k、α、b)在不同函数中需保持一致，可通 过图象特征交叉验证。 解题技巧：1.先从特征明显的函数突破（如抛物线开口定α，双曲线象限定k),再代入其他函数验证系 数符号是否矛盾。2.利用特殊点或对称性质辅助判断，排除系数符号冲突的选项，锁定符合所有函数图 象逻辑的答案。 例4.(2025山东青岛模拟预测)已知一次函数y=-bx+a的图象如图所示，则反比例函数y=C和二次函 数y=ax2+bx-c在同一坐标系中的图象可能是() 4/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-1】(25-26九年级上山东济宁阶段练习)在同一坐标中，一次函数y=-x+b与二次函数 y=-bx2+k的图象可能是() 【变式4-2】(25-26九年级上安徽合肥期中)反比例函数y=-《与二次函数y=kx'-k(k≠0)在同一直 角坐标系中的图象可能是() 【变式4-3】(25-26九年级上·安徽阶段练习)根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比 例函数y=2与一次函数y=bx-c的图象大致是(） 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型五、二次函数的图象和性质解决含参数的综合问题 知识点：1.含参数二次函数的核心性质：开口方向(a的符号)、对称轴(x=-b/(2))、顶点坐标、最值 与参数的关系，以及判别式△与零点个数的关联。2.函数与方程、不等式的转化：参数影响下，函数图 象与坐标轴交点分布对应方程根的情况，区间内函数值符号对应不等式解集。 解题技巧：1.分类讨论参数对关键特征的影响，如对称轴与给定区间的位置关系，分情况分析单调性与 最值，建立参数方程。2.数形结合动态分析：绘制含参数的函数草图，标注顶点、端点等关键点，结合 参数范围锁定图象形态，通过交点、最值条件列关系式求解，验证解的合理性。 例5.(2025云南·模拟预测)已知二次函数y=x2-2ax+a+b,该二次函数的图象经过点A1,0) (1)求式子b-a的值： (2)当2a≤x≤2a+2时，函数的最大值比最小值大2，求a的值， 【变式5-1】(25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习)已知二次函数y=x2-4mx+2m+3(m是常数)的图象 是抛物线， (①)求证：该抛物线的顶点在函数y=-x2+x+3的图象上： (2)若点B(3,a,C(4,b)在抛物线上，且a<b,求m的取值范围. 【变式5-2】(25-26九年级上河南周口阶段练习)关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m+1. (1)若m=1,二次函数图像的顶点坐标为 (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含m的式子表示），判断顶点是否在直线y=x+1上； (3)在-1≤x≤2时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求m的值. 【变式5-3】(25-26九年级上湖北荆州阶段练习)已知抛物线y=x2+m-1)x+m-2的对称轴是直线x=1 ,请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为 (2)此抛物线与直线y=x+b恰好只有一个交点，则b的值为 (3)当y<0时，x的取值范围是 (4若自变量取值范围为-1≤x≤t,且x=-1时，y取最大值；x=1时，y取最小值.则t的取值范围是 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为-1,3)，下列说法错误的是() A.a<0 B.b2-4ac>0 C.2a b =-1 D.抛物线向下平移C个单位后，一定经过(-2,0) 2.己知二次函数y=x2-bx+1在-1≤x≤2时最小值为-3，则b的值为() A.4 B.4或-5 C.-5 D.±4或-5 3.关于x的二次函数y=ax2-2ax+c,下列说法错误的是() A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.函数图象一定经过点(0，c D.当c=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=cx+ab的大致图象可能是() 7/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 二、填空题 5.当-3≤x≤1时，函数y=ax2-4ax+2(a≠0)的最大值是8，则a= 6.如图，二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴是直线x=-1,下列结论：①abc<0;②3a+c>0;③ am2+b(m+1)≥a(m为常数)；④若关于x的方程ax2+bx+c-k=0恰有三个解，则a-c=k,其中正确的 是（填序号）. x=-1 7.已知二次函数y=-x2+2bx+c(b,c是常数). (1)若该抛物线的顶点坐标是(-2,5)，则bc=_一 (2)若当x≤0时，y的最大值为一1，当x>0时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 8.抛物线y=ax2-4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A,顶点C的坐标为2，-4) (1)a的值为 (2)若P为抛物线上一动点，其横坐标为t,作PQ⊥x轴，且点Q在一次函数y=x-4的图象上.当 1<t<4时，PQ的最大值是 三、解答题 9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca>0)经过点A(0,4),B2,6, (1)填空：b=_(用含a的代数式表示)： (2)当-2<x<0时，y随x的增大而减小. ①求a的取值范围： ②求函数值y的取值范围. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数). (1)若函数图象经过点(2,3)，求函数图象的顶点坐标. (2)若函数图象经过点(-1，p)1,9),求证：p9≤12. 3)己知函数图象经过点(-3，y),m-1,y2),n,y3).若对于任意的3≤n≤5，都有y>y3>y2成立，直接写 出m的取值范围. 11.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点Am,0,B(n,0)且m≠n. (1)当m=-4,且n=2时， ①求b,c的值； ②当t≤x≤2时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若m=4n,求2b+c的最小值. 12.定义：把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”，例如，抛物 线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1.己知抛物线C,:y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“关联抛物 线”为C,,C与y轴交于点E. (1)若点E的坐标为(0，-1)，求抛物线C的解析式： (2)设C,的顶点为F,若OE=EF,求点E的坐标； (3)当a-4≤x≤a-2时，C,的最大值与最小值的差为2a,求a的值. 9/9