第26章二次函数单元卷-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 单元卷 一、单选题 1．在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（    ） A．2015 B． C． D． 7．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 8．如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线经过点，则_______． 10．已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 11．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为______． 12．已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是__________． 三、解答题 14．已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． (1)求此二次函数解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 15．二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 16．二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 17．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A．，不是二次函数； B．，可能为0，所以不一定是二次函数； C．，，是二次函数； D．，是分式函数，不是整式，不是二次函数； 故选：C． 2．A 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 3．D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．通过二次函数的顶点形式分析顶点位置，判断开口方向，确定最值，以及求解与坐标轴的交点，结合选项进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为， 故选项A不符合题意； 令 ，得 ， 即， 此时无实数解， ∴图象与x轴无交点， 故选项B不符合题意；； ∵二次函数为的， ∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值， 故选项C不符合题意； 令，得， ∴ 与y轴交点为， 故选项D符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数系数与图像的对应关系，从图像中提取核心信息是解题关键． 先根据抛物线的对称轴，可解答①；再分别判断，，的值，可解答②；然后根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得，可判断③；根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，可解答④；根据二次函数的图象与有一个交点，可解答⑤；根据当时，，可得，最后结合，可解答⑥． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 即， 故①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， 即， 故③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 则时，，即， 故④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， 故⑥不正确． 综上，正确的有个． 故选：． 6．D 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，代数式求值．掌握抛物线上点的坐标满足其解析式是解题关键． 由点在抛物线上，可得出，即．再将其代入中即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 9．5 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把点坐标代入即可计算出c的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴ 解得：， 故答案为：5． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足， 解得， 所以或． 又因为图象开口向下，故二次项系数， 即， 故满足， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了旋转的性质、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，过作交延长线于，则，在中，设，则，，得到，，，，，，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接，过作交延长线于，则， 由旋转性质得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则，， ，，， ，， ， ， ∴当时，S最大，最大值为． 12．2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 13． 【分析】本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 14．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． 【详解】（1）解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 15．(1)，； (2)见解析； (3) (4)或； 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， （2）如图： （3）二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； （4）∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 16．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟悉基本知识，数形结合． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，设点的坐标为；推导出是等边三角形，进而得到，可得关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 二次函数的解析式为； （2）证明：设， ， ， 过点作轴的垂线与直线交于点， ，且点在直线上， ， ； （3）解：由题意得：， ， ． ， ， 由（2）知，； ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 解得：， ， 满足条件的点的坐标为或． 17．(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 18．(1)，对称轴为直线 (2) (3)的面积最大值为12 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理． （1）将分别代入，求出，即可求出抛物线的表达式，进而根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，设，根据勾股定理求出，根据列方程求解即可； （3）先求出，根据折叠的性质得到，且抛物线仍然经过，进而求出抛物线的表达式为，过点作轴于点，设点的坐标为，则，即，根据，得到，求出的表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴将分别代入， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设． ∵， ∴． 当时，即， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：当时，解得， 即， ∵将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点 ∴，且抛物线仍然经过， 设的表达式为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 如图，过点作轴于点， 设点的坐标为， 则， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为12， ∵是直线上方抛物线上的一点， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为12． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $