专题06 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题06 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 例1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求出，，点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、； (2)或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 【变式1-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【变式2-2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 例3．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 【变式3-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【变式3-3】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 一、解答题 1．如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． (1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； (2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵轴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：或， ∵点E在抛物线对称轴的左侧， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意求出，用待定系数法求函数解析式即可 （2）先求出直线的解析式，分两种情况讨论当时，当时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴，， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：将代入得， ， 直线的解析式为， 抛物线对称轴与轴交于点， 当时，， ， 设，则，，， 当时，由， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为； 当时，， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 4．如图1，抛物线经过点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点的坐标为时，求的面积． (3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是以为直角边的直角三角形， ∴分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点， ①过点作交抛物线于点，交轴于点，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， ②过点作交抛物线于点，连接，如图： ∵，， ∴， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点的坐标为或． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在，m的值为3或2 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可； （2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P的横坐标为m，且， ∴点P的坐标为， ∴，， ∴， ， ； ∵，， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴，即， 解得或（舍）或（舍）； 当时，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 6．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)存在；或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， 解得：，， ，                            当时，， ，                      ， ； （2）解：设直线解析式为， 由得， 解得， 直线的解析式为，                     轴， 、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上， 设， 在第二象限， ， ，                     ，抛物线开口向下， 时，长度最大，最大值为； （3）解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下： 假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： 当时，设与轴交于，如图2， ，， ， ， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时， 为等腰直角三角形， ， 又， 在上， 过作于，如图， 则， ， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时，，如图， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为，， ， 综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性 问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 1解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情 况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分 类，结合图形范围验根防漏解。 3解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速 定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 例1.(2425九年级上广东广州期中)如图，抛物线”=+2+ 与轴交于，B两点，与》轴交于 C点. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求出A,B,C点的坐标； Q.△BCQ (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐 标；若不存在，请说明理由， 【变式1-1】(25-26九年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，已知抛物线'=ax-A+k与x轴的一个 交点为1-1,0，另一个交点为B,与》轴的交点为C0,-3引，其顶点为D,对称轴为直线x=1 (I)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积： (3)在y轴上是否存在一点M,使△CDM为等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说 明理由. 【变式1-2】(25-26九年级上湖北：阶段练习)如图，在直角坐标系中，抛物线"=r+br-3 x轴交于 点4-L0和点3,0，与y轴交于点C 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()求抛物线对应的二次函数表达式： (2)点P在抛物线对称轴上，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标： (3)在抛物线上存在点Q,使得S.scQ=2Sc,直接写出Q的坐标 【变式1-3】(2526九年级上湖北襄阳阶段练习》如图，已知抛物线”=×+r+C与轴交于A、B两点， 1,0 与y轴交于点C,顶点为点E,己知点B的坐标为 ,经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为 (-2,-3,连接4D (1)求抛物线及直线BD的解析式： (2)若点F在x轴上，则当EF+CF的值最小时，求点F的坐标： (3)若点P是y轴上的一点，使得△ACP为等腰三角形，求点P的坐标， 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B),设抛物线上动点Px,),分 ∠A-90°、∠B-90°、∠P-90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理(PA+PB2=AB2等)或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y,结 合x范围验根。 3解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P),结合图形验 证直角合理性。 例2.(25-26九年级上湖北襄阳阶段练习)如图，顶点为M的抛物线y=(x+-4 别与x轴相交于 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A,B(点A在点B的右侧)与'轴相交于点 (0,-3) B (1)求抛物线的解析式： (2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形ABMC的面积. 【变式2-1】(25-26九年级上·安徽阶段练习)如图，抛物线的顶点为D,其坐标为 1,4) ,抛物线交x轴 于A,B两点，交y轴于点C,已知OC=3. D A B (1)求抛物线的表达式： (②)连接CD,BD,判断△BCD的形状： (3)若点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值. 【变式2-2】(2425九年级上广西梧州期末)如图，已知抛物线”=+r+5 x轴相交于 A-1,0,B(5,0) 两点，与y轴相交于点C. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V (1)求抛物线的表达式： (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值： (3)点E是线段BC上异于B,C的动点，过点E的直线EW⊥x轴于点N,交抛物线于点M.当△ECM为直 角三角形时，求点M的坐标. 【变式2-3】(2526九年级上·天津武清阶段练习)如图，已知抛物线”=-+r+(与一条直线相交于 A-山，0，C2,3)两点，与'轴交于点N,其顶点为D (1)求抛物线及直线AC的函数表达式： (2)点P为对称轴上一动点，求当PA+PN最小时点P坐标，并求出最小值 (3)在抛物线对称轴上是否存在一点M,使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写 出M点的坐标.若不存在，请说明理由. 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P,分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足 “直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y:利用 斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等 长)，验证交点合理性。 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.(25-26九年级上湖南长沙阶段练习)如图，抛物线"=r+r+C与轴相交于 A-1,0和点 B(2,0 B (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标： ②在抛物线上有一点”，过点作轴的垂线交轴于点°，若△1 是等腰直角三角形，求点的坐标 【变式3-】(25-26九年级上安徽合肥阶段练习)如图，抛物线'=+r+c (b,c为常数)与x轴交 A(-1,0) C(0,-4) BC BC B两点，与y轴交于点 ,作直线心.若点P在线段上运动（点P不与点B,C重 合)，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F. 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)若PE=PF,求此时点P的坐标； (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【变式3-2】(2025九年级上·浙江·专题练习)二次函数”=x+r+2 图象交轴于点 -1,0,点 B(4,O)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作 MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (0求二次函数”=ar+hr+2 的表达式： (2)连接BD,当I=2时，求△DwB的面积： (3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标. 【变式3-3】(2024广东模拟预测如图.抛物线”=a+r+ca40与拍交于A,B两点，与广轴交 于点C0,3引，且OB=0C.直线=x+1与抛物线交于A、D两点，与轴交于点E,点P是抛物线的顶 点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m. 备用图 (1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标. Co CO (2)涟接吧，直接写出线段吧与线段1E。 的数量关系和位置关系， 1 SADAB? (3)连接pA、PD'当m为何值时SaPm=2S 4在直线D H △PQH 上是否存在一点“，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存 在，请说明理由. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、解答题 1.如图，已知抛物线=-r+x+c的图像与‘轴相交于4-3,0)、B10)两点，顶点为C,对称轴与× 轴交于点M,点D在线段CM上（不与C、M重合），过点D作x轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于 点E. D AM O B (1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标： (2)若△CEM是以CM为底的等腰三角形，直接写出点E的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系0中，抛物线'=-r+br+2经过点42,0) B N A (1)求抛物线解析式； 2若点Pm,川)为抛物线AB部分上一动点（可与A,B两点重合），过点P作PW上x轴交直线AB于点 M,交x轴于点N.连接OM,当aOBM为等腰三角形时，直接写出m的值. 3.如图，抛物线”=+br+5与轴交于A,B两点，与'轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3 与经过点A的直线y=-1交于点D,与x轴交于点E 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求抛物线的表达式： (2)若在抛物线上存在点M,使得△ADM,是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标 4.如图1，抛物线=+r-3经过点4-3,0和点B(L,0,与'轴交于点C,P是抛物线上一动点 B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式. 39 (2)当点P的坐标为2’4)时， 求△PAC的面积. (3)如图2，连接BC,当△PBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标. 5.综合与探究 如图，抛物线少=x-3x- 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC.若 点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点 F.设点P的横坐标为m. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B P 备用图 (I)求点A,B,C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式. (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值：若不 存在，请说明理由。 6.如图，抛物线'=-r-2x+ 与”轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与'轴交于点C,顶点为D. 备用图 (I)请求出点A,C,D的坐标： (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE 长度的最大值： ③)若F为直线1C上的动点，在抛物线上是否存在点2，使得 △AFO 为等腰直角三角形？若存在，直接写 出2坐标 10/10