第10章 第60讲 二项式定理(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

第60讲　二项式定理

复习目标

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

教材梳理夯基础

主干知识

知识点1　二项式定理

(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*).

(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.

(3)二项式系数:(k=0,1,…,n).

[注意点]二项式系数是指,,…,,这只与各项的系数有关,而与a,b的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且与a,b值的有关.

知识点2　二项式系数的性质

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和:

①+++…+=2n,

②+++…=+++….

常用结论

赋值法的应用

(1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn.

(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则

①a0+a1+a2+…+an=f(1).

②奇数项系数之和a0+a2+a4+…=.

③偶数项系数之和a1+a3+a5+…=.

基础自测

1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项. (　×　)

(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关. (　√　)

(3)通项Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换. (　√　)

(4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　×　)

2.(选择性必修第三册P31T4变式)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是 (　　)

A.   B.

C.   D.(-1)m-1

【解析】选D.(x-y)n的展开式中,第m项为Tm=xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·xn-m+1·ym-1,所以第m项的系数为(-1)m-1.

3.(选择性必修第三册P31T1变式)的值为 (　　)

A.1    B.2

C.2 025  D.2 025×2 026

【解析】选A.原式===1.

4.在二项式(x2-)n的展开式中二项式系数之和是32,则展开式中各项系数的和为________. 

【解析】因为二项式系数之和为2n=32,所以n=5.令x=1,可得各项系数的和为(1-2)5=-1.

答案:-1

考点突破强技能

考点一通项的应用

角度1　形如(a+b)n(n∈N*)的展开式

1. (x+)5的展开式中x的系数为 (　　)

A.10  B.40  C.30  D.20

【解析】选B. (x+)5展开式的通项为Tk+1=x5-k()k=2kx5-2k,k=0,1,…,5,令5-2k=1,得k=2,则x的系数为22=40.

2.(2025·杭州模拟)(2x-y)5的展开式中,x2y3的系数为 (　　)

A.-10   B.10