核心素养测评(第10章 第65讲 正态分布)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分)

七十五　正态分布

基础保分练

一、单选题

1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)= (　　)

A.0.34   B.0.68

C.0.15   D.0.07

【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=×(1-0.16×2)=0.34.

2.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>5)=0.023,则P(-5≤ξ≤5)= (　　)

A.0.477  B.0.628

C.0.954  D.0.977

【解析】选C.因为μ=0,所以P(ξ>5)=P(ξ<-5)=0.023,所以P(-5≤ξ≤5)=1-2×0.023=0.954.

3.(5分)(2024·福州模拟)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(80,σ2),且P(75<X≤80)=0.1.该市某校有350人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于85分的人数为              (　　)

A.140  B.105  C.70  D.35

【解析】选A.因为X近似服从正态分布N(80,σ2),所以P(80<X≤85)=P(75<X≤80)=0.1,即有P(X≥85)=0.5-0.1=0.4,故该校数学成绩不低于85分的人数约为350×0.4=140.

【加练备选】

某班级有50名学生,该班级学生期末考试数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),已知P(X>120)=0.14,则X∈[80,120]的学生人数为              (　　)

A.7   B.18  C.36  D.43

【解析】选C.因为期末考试数学成绩X~N(100,σ2),

所以数学成绩X关于直线x=100对称.

因为P(X>120)=0.14,

所以P(100≤X≤120)=0.5-0.14=0.36,

所以P(80≤X≤120)=0.72,

所以X∈[80,120]的人数为0.72×50=36.

4.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ≥2)=a,P(0<ξ≤1)=1-3a,则P(ξ≤0)=              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),由正态曲线的对称性知,P(0<ξ≤1)=P(1≤ξ<2),又P(ξ≥1)=,P(ξ≥1)=P(1≤ξ<2)+P(ξ≥2),所以a+1-3a=,解得a=,从而P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=.

5.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=              (　　)

A.- B.0  C.  D.1

【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ==.

6.(5分)已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则+(0<x<a)的最小值为 (　　)

A.9   B.   C.4   D.6

【解析】选B.因为ξ~N(1,σ2),

所以正态曲线的对称轴为直线x=1.因为P(ξ≤0)=P(ξ≥a),所以=1,即a=2,

则+=+(0<x<2).

令f(x)=+(0<x<2),

则f'(x)=-+=,

当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

则f(x)的最小值为f()=+3=.

二、多选题

7.(5分)(2024·石家庄模拟)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是              (　　)