9.2圆的一般方程讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

9.2圆的一般方程（讲义） 目录 1 知识点01圆的一般方程 2 2 知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 2 3 题型一、圆的一般方程 2 4 题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系 9 5 题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系 13 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01圆的一般方程 1、圆的一般方程：（满足） 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 题型一、圆的一般方程 一、单选题 1．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 2．圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 3．已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆心坐标分别代入选项即可判断. 【详解】由圆的方程，得圆心坐标为. A：将代入方程，等式不成立，故A不符合题意； B：将代入方程，等式不成立，故B不符合题意； C：将代入方程，等式成立，故C符合题意； D：将代入方程，等式不成立，故D不符合题意； 故选：C 4．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程后可得所求． 【详解】将圆方程化为标准方程得， 所以圆心坐标为． 故选：D 5．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ， 圆心坐标为． 故选：B. 6．已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 7．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心坐标为， 所以圆的圆心坐标为． 故选：C 8．圆的圆心坐标和半径分别是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程直接求解即可. 【详解】由圆的一般方程知：圆心为，半径. 故选：B. 二、填空题 9．若圆的方程为，则该圆的半径 . 【答案】 【分析】直接配方即可得到其半径. 【详解】，化简得. 则其半径为. 故答案为：. 10．设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 11．圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 12．设实数，圆:的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为，所以, 将圆一般式化为标准式得， 又， 所以，所以. 故答案为：. 三、解答题 13．方程能否表示圆?若能表示圆，求出圆心和半径． 【答案】答案见解析． 【分析】利用配方法即可得到结论． 【详解】解：将方程进行配方得， 若，则不能表示圆； 若，则表示圆，圆心坐标为，半径． 【点睛】本题主要考查圆的判断，利用配方法是解决本题的关键． 14．已知圆的方程是 （1）求此圆的圆心坐标和半径； （2）求证：不论为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 . 【答案】（1）圆心坐标为，半径为；（2）见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，写出圆心坐标和半径； （2）根据圆心为，在直线上，且圆的半径都，从而得证结论. 【详解】解：（1）圆的方程， 可化为， ∴圆心坐标为，半径为. （2）证明：设圆心为， 由（1）可知，，则， ∴不论为何实数，该圆的圆心恒在直线上， 由（1）可得，圆的半径为定值3， 故不论为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. 【点睛】本题考查了圆的标准方程以及动点的轨迹方程的求法，属于基础题. 15．将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： (1)； (2)． 【答案】(1)标准方程为，圆心为，半径为3 (2)标准方程为，圆心为，半径为 【分析】将其配成完全平方式即可得标准方程，进而可求解圆心和半径. 【详解】（1）对方程左边配方，方程化为． 所以圆心的坐标为，半径为3． （2）方程两边除以3，得． 对方程左边配方，方程化为． 所以圆心的坐标为，半径为． 题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系 一、单选题 1．点P（0，1）与圆位置关系是（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入圆方程即可得出. 【详解】将点代入圆方程可得， 故点在圆上. 故选：B. 2．原点必位于圆：的（    ） A．内部 B．圆周上 C．外部 D．均有可能 【答案】C 【分析】将原点代入圆的方程，判断选项. 【详解】将原点代入圆的方程，， 所以原点必在圆的外部. 故选：C 3．两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【分析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果. 【详解】将代入方程左边得， 则点在圆内， 将代入方程左边得， 则点在圆外， 故选：D. 4．已知圆，则原点在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点可判断. 【详解】将圆的方程化成标准方程， 因为，所以，即原点在圆外. 故选：B. 5．点与圆：的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 【答案】B 【分析】把点的坐标代入圆的方程左边得到点在圆内，再求出圆心判断得解. 【详解】由题得， 所以点在圆内. 又， 所以圆心为. 所以点在圆内且不是圆心. 故选：B 6．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 7．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 二、填空题 8．点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 9．点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 三、解答题 10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 【答案】A 【解析】求出圆心到直线的距离和半径比较即可得出. 【详解】圆化为标准方程为， 可得圆心为，半径为4， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系. 【详解】直线恒过定点， 而，故点在圆的内部， 故直线与圆的位置关系为相交， 故选：B. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【分析】先求出直线所过的定点，根据圆的方程判断得到此定点在圆内，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交. 故选：C 4．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解. 【详解】由，得， ∵直线与圆相离， ∴解得． ∴实数m的取值范围是， 故选:D． 5．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（    ） A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 【答案】C 【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交； 方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与圆相交. 【详解】方法一:直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0， 该直线恒过定点(1，2). 因为， 所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交. 方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3. 圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝， 所以直线与圆相交. 故选：C 6．已知直线始终平分圆的周长，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案. 【详解】由题意得圆M的标准方程为，则圆心M的坐标为． 因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心， 所以，即． 故选：A 7．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 8．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 二、填空题 9．已知直线与圆没有公共交点，则的取值范围是 （用区间表示） 【答案】 【分析】直线与圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径，找出圆心及半径结合圆的性质计算即可得. 【详解】由直线与圆没有公共交点， 即圆心到直线距离大于半径， ，即， 有，又，故， 圆心为，半径， 有，即， 解得，又，故. 故答案为：. 10．已知直线与圆相切，则 . 【答案】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值. 【详解】直线的一般方程为， 圆的圆心的坐标为，半径， 由于直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以， 解得. 故答案为：. 11．已知直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】先明确圆的圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于圆的半径求的值. 【详解】将方程整理，可得，（） 则圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即， 由. 故答案为：2. 12．若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 13．已知直线与圆相切，则的值为 ． 【答案】2 【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程即可求解的值． 【详解】依题意得，直线与圆相切 所以，即， 解得：，又， 故答案为：2． 三、解答题 14．求与圆同心，且与直线相切的圆的方程. 【答案】 【分析】求出圆心坐标，再求出圆心到切线的距离即所求圆的半径，然后求得所求圆的方程． 【详解】已知圆配方得，圆心为， 所求圆的半径， ∴所求圆方程为． 15．在直角坐标系中，已知圆与直线相切， （1）求实数的值； （2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将圆的化为标准方程,求出圆心，半径，其中， 根据圆与直线相切，再利用点到直线的距离公式可得，解得； （2）当直线斜率不存在时，其方程为，求得，不合题意；但直线斜率存在，设其方程为， 根据圆心到直线的距离，以及垂径定理即可求得. 【详解】解:（1）圆的方程可化为， 圆心，半径，其中， 因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径， 即，解得； （2）当直线斜率不存在时，其方程为， 此时圆心到直线的距离， 由垂径定理，，不合题意； 故直线斜率存在，设其方程为， 即， 圆心到直线的距离， 由垂径定理，，即， 解得， 故直线的方程为， 代入圆的方程，整理得， 解得，， 于是，，这里，)， 所以. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查分类讨论思想,是中档题. $9.2圆的一般方程（讲义） 目录 1 知识点01圆的一般方程 2 2 知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 2 3 题型一、圆的一般方程 2 4 题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系 4 5 题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系 5 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01圆的一般方程 1、圆的一般方程：（满足） 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 知识点 02 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 题型一、圆的一般方程 一、单选题 1．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 2．圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（   ） A． B． C． D． 4．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 5．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 7．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 8．圆的圆心坐标和半径分别是（   ）． A．， B．， C．， D．， 二、填空题 9．若圆的方程为，则该圆的半径 . 10．设，若圆的半径为2，则的值为 ； 11．圆的圆心坐标为 ． 12．设实数，圆:的面积为，则 ． 三、解答题 13．方程能否表示圆?若能表示圆，求出圆心和半径． 14．已知圆的方程是 （1）求此圆的圆心坐标和半径； （2）求证：不论为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 . 15．将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： (1)； (2)． 题型二、圆的一般方程判断点和圆的位置关系 一、单选题 1．点P（0，1）与圆位置关系是（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 2．原点必位于圆：的（    ） A．内部 B．圆周上 C．外部 D．均有可能 3．两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 4．已知圆，则原点在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 5．点与圆：的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 6．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 7．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 9．点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 三、解答题 10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 题型三、圆的一般方程判断直线和圆的位置关系 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 2．直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 4．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（    ） A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 6．已知直线始终平分圆的周长，则（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 8．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 二、填空题 9．已知直线与圆没有公共交点，则的取值范围是 （用区间表示） 10．已知直线与圆相切，则 . 11．已知直线与圆相切，则实数的值为 . 12．若直线与圆相切，则实数 ． 13．已知直线与圆相切，则的值为 ． 三、解答题 14．求与圆同心，且与直线相切的圆的方程. 15．在直角坐标系中，已知圆与直线相切， （1）求实数的值； （2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求. $