数学（新高考I卷）（新教材）-学科网2023届高三2月大联考

( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) 绝密★启用前 2023年高三2月大联考（新高考I卷）（新教材） 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的共轭复数 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知平面向量，，则与的夹角为 A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为 A． B． C． D． 5．2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量（单位：个），估计300天内每天包子的销量约在个的天数大约为（附：若随机变量X，则，， ） A．236 B．246 C．270 D．275 6．已知数列的前项和为，且，则的值为 A． B． C． D． 7．已知椭圆()的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得是与的等比中项，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 8．若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．某校有5名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是 A．甲同学的竞赛成绩为95 B．这5名同学竞赛成绩的方差为 C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为 10．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动．他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得，,，并经过计算得到如下数据，则 A． B．的面积为 C． D．点A在点C的北偏西30°方向上 11．已知直线：与圆：相交于，两点，则 A．直线过定点 B．若的面积取得最大值，则 C．的最小值为8 D．线段的中点在定圆上 12．如图，四棱锥的底面是梯形，，，平面,分别为线段的中点，点是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是 A． B．三棱锥外接球的体积为 C．异面直线PC与所成角的余弦值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14．已知双曲线()的左、右焦点分别为，，点为双曲线M右支上一点，且满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 15．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则不等式在区间内的解集为 ． 16．已知函数和，记的导函数分别为，若存在，使得，则实数的最小整数值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知在中，内角所对的边分别为，设向量，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 18．（12分）已知等比数列的公比为，，，等差数列的公差为，，记表示这个数中最小的数． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，,P为上一点. （1）证明：平面平面； （2）若点P到平面的距离为，求平面APC与平面APM夹角的余弦值． 20．（12分）某会议主办方邀请甲、乙、丙、丁、戊5位专家参加一项学术会议并安排了专家的位置，若5位专家随机选择一个位置就座，恰好坐到主办方安排的位置上，为坐对位置，否则，为坐错位置.设坐对位置的专家人数为. （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）在其中的3位专家坐错位置的条件下，求恰有2位专家坐对位置的概率． 21．（12分） 已知抛物线()，圆与抛物线有且只有两个公共点． （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，过圆心的直线与圆E交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）．记的面积为，的面积为，求的最大值． 22．（12分）已知函数，是的导函数． （1）若，求证：当时，恒成立； （2）若存在极小值，求的取值范围． 数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页） 数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页） 理科数学试卷 第5页（共6页） 理科数学试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2023年高三2月大联考（新高考I卷)（新教材) 数学·全解全析及评分标准 2 3 4 8 9 10 11 12 C D D B A A B AB AC ACD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的， 1Q【解都】由-2刘：3-的，得：=月1+2，所以：12，枚建c 2.A【解析】由2>1，得x>0,所以集合A={x|x>0}.由x2-x-2<0,得(x+1)-2)<0,即-1<x<2, 所以集合B={x|-1<x<2},则A∩B={x0<x<2}.故选A. 3.D【解析】设a+b与a的夹角为0，由已知得，a+b=(-3,1),所以(a+)=-5.又|a=√5，|a+b=V10, 所以0=5-5，所以g-3如.故选D √5x√102 4 4.D【解析】对于A,函数y=tanx是奇函数，但在(0，+o)上不是单调函数，故A错误。 对于B,因为函数y=ln(1+x)-ln1-x)的定义域为(-l,1),所以不符合题意，故B错误。 对于。今)=￥+1，则g)的定义域为xx≠0，且8刘=Cx二r一8，所以gw) 是奇函数对)求导，得g)=-3<0,所以8)在(0，+)上单调递减，故C错误 4 对于D,令f(x)=e-e-2x,则f(-x)=e-e+2x=-f(x),所以y=e-e-2x是奇函数.因为 y'=e+e-2≥0，当且仅当x=0时，取等号，所以函数y=e*-e-2x在R上单调递增，故D正确. 故选D. 5.B【解析】根据题意，u=100,。=50,P(950≤X≤1100)=Pu-G≤X≤u+2o)=1Pu-。≤X≤ u+o)+PU-2a≤X≤u+2o)2x06827+分x09545=08186,所以300天内每天包子的销量约在 ) 950到1100个的天数大约为300×0.8186≈246，故选B. 6.A【解析】令n=1,得3a-6=24,解得a4=6.由3Sn-6=2an,得3Sn1-6=2a+1,两式相减，整理 得41=-2a,所以数列{a}是以6为首项，-2为公比的等比数列，所以4=6×（←2）”，所以 8=6-32】=2x-(-21,所以g-20+2-. 1-(-2) a,6x(←2)i6:故选A. 7.A【解析】设|M=m,|M,=n,椭圆C的半焦距为c,则m+n=2a,m=4c2,所以a2-4c2 数学全解全析及评分标准第1页（共14页) -2-m=22=0m-心.因为a-csm≤a+c,所以d-4c=0m-0eac,即 ksas5e,则号es好，所以5se 1.故选A. 8.B【解析】(1)先比较a,b: .a=0.6e4=e41-lne4),b=2-n4=21-n2), .可以构造函数f(x)=x1-lnx),则a=f(e4),b=f(2). 对f(x)求导，得f"(x)=-nx,当x∈(L,+w)时，f'(x)<0, ∴.f(x)在1，+o)上单调递减. ,1=e°<e4<e5<2,.f(e4>f(2),即a>b. （2)再比较b,c: .b-c=4-n4-e=4-2n2-e. .可以构造函数g(x)=2x-xhx-e,则g'(x)=1-lnx, 当x∈(0，e)时，8'(x)>0；当xe(,+w)时，8'(x)<0, .8(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴8()mx=8(e)=0, ∴.8(2)<0，.b-c<0,即b<c. (3)最后比较a,c: :'a-c=1-0.4)e4-e+2, .可以构造函数h(x)=A-x)e-e+2,则h'(x)=-xe,当x∈(0,1)时，(x)<0, ∴.h(x)在(0,1)上单调递减. 又.h(0.5)=0.5e.5-e+2,且es>1.6,.h(0.5)>0, ∴.h(0.4)>h(0.5)>0,∴.a-c>0,即a>c. 综上得，a>c>b.故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.AB【解析】对于A,设甲同学的竞赛成绩为x,则二x(80+84+86+90+)=87,解得x=95.故A 正确， 对于B,这5名同学竞赛成绩的方差s2-号[80-87+(84-87)+86-87+(90-87+(95-87)门= 数学全解全析及评分标准第2页（共14页) 26.4,故B正确. 对于C,因为5×40%=2，所以这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是】×84+80=85.故C错误. 2 对于D,竞赛成绩高于平均成绩的有2人，所以从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的 概车为P==01。故D错误 故选AB, 10.AC【解析】对于A,因为∠BAD=75°，点B位于点A的南偏西45的方向上， 所以∠ADB=60°，∠ADC=120°，∠B=45°.又∠AEC=∠ADC=120°，CD=CE=100m,AC=AC, AE=200Im,在△AEC,△ADC中，AC2=AE2+CE2-2AE.CE cos120°，AC2=CD2+AD2 -2AD.CDcos120°，所以AD=AE=200m.故A正确， ￡000s-~00LA00CX一=OTb7II×TO×T×一L旧IB○FV in ADBsim9,解得48=Dsm∠ADB200xY3 AB AD 对于C,在△ABD中，由正弦定理，得- sin B √2 2 100W6m).故C正确. 对于D,过点A作AG⊥BC于点G,易知∠DAG=30°，所以∠CAG>30°.故D错误. 故选AC. 11.ACD【解析】直线1：x-y-+2=0可化为y=(x-1)+2,则直线1过定点P1,2),故A正确. 由题意，知圆C的半径r=3,△4BC的面积S=2sin∠ACB=9sin∠4CB,当∠ACB=时，△ABC的 2 利空，解得m=1或=子放 面积取得最大值，出时圆心C到直线7的距离为2，对十3 B错误. AC丽而4Cco∠BAC,当PC11时，弦长AB最短，为4，此时AC5的最小值为 8,故C正确. 当P不是AB的中点时，设线段AB的中点为Q,由垂径定理知PO LCO,则Q在以PC为直径的圆（除 去P点)上，当P是AB中点时，Q与P重合故D正确. 故选ACD. 12.AC【解析】易证四边形ABCO为菱形，所以BO⊥AC. 连接PO,因为PA=PD=√2，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 数学全解全析及评分标准第3页（共14页) ABCD=AD,POc平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为ACC平面ABCD,所以PO⊥AC.又 PO∩OB=O,所以AC⊥平面POB.又BPc平面POB,所以AC⊥BP,故A正确， 易证△AOE为等腰直角三角形，△AOB为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,所以三棱锥B-AOE 外接球的球心为等边三角形40B的中心，所以三楼锥B-A0B外接球的半径为5，所以三棱锥 3 BA0外楼螺的体积为r:音✉(：放B错误 、3 27 因为PD∥OE,所以∠CPD为异面直线PC与OE所成的角（或其补角），因为PO=√PD2-OD2=1, 所以心o+0C:5在ACD,山余弦定里ocD2N子放c确 因为POL平面ABCD,所以OO为PO在平面ABCD内的射影，若直线PQ与平面ABCD所成的角为 60,则∠P00=60P因为P0=1,所0Q3,故点0的轨迹为以0为圆心， 为半径的半圆， 3 所以点Q的轨迹长度为3x,放D错误， 故选AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.165【解析】由二项式定理，得(x-3)的展开式的通项为T,1=Cx(-3),所以在(2x+1)(x-3)的 展开式中，x4的系数为2×C×(-3)2+C:×(-3)=165.故填165. 14,=22x【解设双曲线M的半焦跑为c,由双曲线的定义，知-即2石】 |E1 2c31 所以9=3，所以么_-云-25，所以双曲线M的海近线方程为y=士2x.放填y=±2V2x. aa 15.停受【解析】因为fw-n(?,所以&()-sm2x孕.g20235=m2西-5 2 32 g0 R2023巧>0可化为g)0,所以86w今+2五<2x22红kEZ,得k红+ 2 2 3 33 3 <K<红+受kEZ,当k=0时，不等式g)-8(20235>0在区间0，利内的解集为兮孕.放填（兮为、 2 数学全解全析及评分标准第4页（共14页) 16.3【解析】因为f(x)=aex-a,g'(x)=xe+1,存在t>0,使得f'()=8'(t),所以a(e-1)=te+1. 因为>0，所以e1>0,所以方程a心去-+中有解 Te'-1 令G)=x+x+x>0,则G0w=1+e-+e-ee-2 e-1 (e*-1)2 (e*-1)2 令h(x)=e-x-2(x>0),则h(x)=e-1>0恒成立， 所以h(x)在(0，+o)上单调递增 因为h)=e-3<0,h(2)=e2-4>0, 所以存在唯一一个x。∈(1,2)，使得h(x)=0, 所以当x∈(0，x)时，h(x)<0,G'(x)<0,当x∈(x,+o)时，h(x)>0,G'(x)>0, 所以G(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+o)上单调递增， 所以G。=Gx,)=++ e-1 .由ew-x。-2=0得eo=x。+2, 所以G)=成产=+12)，数实散e的最小整数值为：.放填3 说明： 第14题答案写成y=2√2x或y=-2√2x,不扣分，如果只写出其中一个，不给分. 第15题答案号成1学<孕，不和分、 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】(1)因为向量m=(cosA,a,n=(2cosC-3cosB,3b-2c),且m/∥n, 所以(3b-2c)cosA=a(2cosC-3cosB).(2分) 由正弦定理，得(3sinB-2sinC)cosA=sinA(2cosC-3cosB), 3cos Asin B-2cos AsinC=2sin AcosC-3sin Acos B, 也即2(sin AcosC+cos AsinC)=3(sin Acos B+cos Asin B),(3分) 所以2sin(A+C)=3sin(A+B), 所以2 sin B=3sinC.(4分) 数学全解全析及评分标准第5页（共14页) 由正弦定理，得2b=3c,所以- .(5分) (2)因为A=2πb-3 3c2 所以△4BC的面积bcmmA-c=,所以c=6=2.7分)y 89 白余弦定理得，d=b+c2-2 bc cosA=bB2+c2+bc=。 所以a=2 .(10分) 3 说明： 1.第(1)问另解： 因为向量m=(cosA,d,n=(2cosC-3cosB,3b-2c)且m∥n, 所以(3b-2c)cosA=a(2cosC-3cosB).(2分) 由余弦定理得Bh-20+c-口=a2xd+-C-3x4+c-b ),(3分) 2bc 2ab 2ac 即6b-2o5+c-d-2cd+-c)-3d+e2-b的 2bc 2bc 所以(3b-2c)b2+c2-a)=2c(a2+b2-c2)-3b(a2+c2-b2), 得3b(b2+c2-d+d2+c2-b2)=2c(d+b2-c2+b2+c2-a2),(4分) b_3.(5分) 即3b·2c2=2c·2b2,即3c=2b,得2 c2 2.第(1)问中，缺“即3 cos Asin B-2 cos Asin C=2 sin AcosC-3 sin Acos B”不扣分， 4 第(2)间，由三角形面积求出c=3,给1分，进而求出b=2,给1分， 正确写出余弦定理，给2分，求出a= 2W19 一，给1分 3 18.(12分) 【解析】(1)由2a+4=3,得2×2+2×q=3×2q,解得q=2或q=1(舍去)，(2分) 所以4=2×2-1=2”.(3分) b.=b+(-3)×(-1)=5-n.(4分) 数学全解全析及评分标准第6页（共14页） （2)设h=24=25k=1,23,0, 2 [25-)2(6-) 26-24-)解得6≤水≤7，放当k=6或k=7时，4最小最小值为-2， 2-1 令 2 2* 2+1 所以c,=mim2么2么，26,2a,=-2,（6分 、44243 所以cn=-n.2”-6,所以Sn=-1×25+2×24+3×23+.+n×2”-), 2S,=-1×24+2×23+3×22+.+n×2-5),(8分) 两式相减，可得 -Sn=-(25+24+23+…+2-6-n.2-5)(9分) =-20-22+n-25,（1分) 1-2 所以S=1-m·2”-5-25.(12分) 说明： [26-s2(6- 2 2-1 第(2)问，能列出不等式组“ ,”不论是否求出“6≤k≤7”，都给1分， 2"(5-k)2(4-k) 2 2*+h 求出c=-2”-6,给1分， s的表达式写为“8=-m:2-1”或“9--)2-】”不扣分 32 3232 19.(12分) 【解析】(1)因为BB,=2BM,所以M为BB的中点，所以BM=B,M=2. 又三棱柱ABC-AB,C1是直三棱柱，BC=BC=2, 所以∠CMB,=∠CMB=45°，所以∠CMC=90°，所以CM⊥CM.（2分) 因为CC1⊥AC,AC⊥BC,CC1∩BC=C,CC,BCC平面BCC,B,所以AC⊥平面BCCB,.（3分) 又CMc平面BCC,B,所以AC⊥CM.因为CM∩AC=C,CM,ACc平面AMC,所以C,M⊥平面 AMC.因为CMC平面AMC,所以平面AMC⊥平面AMC.(4分) 数学全解全析及评分标准第7页（共14页) (2)过点P作PH⊥BC于点H,可得PH∥B,B,所以点P到平面AABB,的距离等于点H到平面AABB, 的距离，过点H作HQ⊥AB于点Q,由面面垂直的性质定理可得，HQ的长度为点H到平面AABB的 距离，所以0= .因为点C到直线AB的距离为√2，所以H为线段BC的中点，所以P为线段CM 2 的中点.(6分) 以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0),A(2,0,0),M(0,2,2),C(0,0,4),P(0,1,3), 所以AP=(2,1,3),AC=(（-2,0,0),AM=(-2,2,2),(7分) 设平面APC的法向量为m=(:,,2), Ap.m=0n∫-2x+y+3z=0 则 ,即 AC.m=0-2x=0 ,则x=0,令3=1，得y=-3, 所以m=(0,-3,1)是平面APC的一个法向量.(8分) 设平面APM的法向量为n=(x2,y2,z2), AP.n=0m[-2x,+y2+3z2=0 则 AM=0-2%+2y+22=0令4=1，得x=2,,=1 ,即 所以n=(2,1,1)是平面APM的一个法向量.(9分) mn 2 15 设平面APC与平面APM的夹角为0，则cos6= |m|v10x615 所以平面APC与平面APM夹角的余弦值为 .(12分) 15 2 H B 数学全解全析及评分标准第8页（共14页） 说明： 1.第(1)问另解： 因为BB=2BM,所以M为BB,的中点，所以BM=B,M=2. 又三棱柱ABC-AB,C,是直三棱柱，BC,=BC=2, 所以∠CMB=∠CMB=45°，所以∠CMC=90°，所以C,M⊥CM.(2分) 在Rt△ABM中， AM2=AB2+BM=AC2+BC2+BM2=22+22+22=12, 在Rt△B,CM中，CM=CB2+BM2=22+22=8, 连接AC,在Rt△ACC,中，AC=AC2+CC=22+4=20,(3分) 所以AC2=CMP+AM2,所以C,M⊥AM. 又AM,CMc平面AMC,CM∩AM=M, 所以C,M⊥平面AMC 因为C,Mc平面AMC,所以平面AMC,⊥平面AMC.(4分) 2.第（2)问的6分处，可以这样证明： 过点P作PH⊥BC于点H,可得PH∥BB,所以点P到平面AABB的距离等于点H到平面AABB,的 距离，过点H作01AB于点O,则0=2 2 因为∠48C=45,所以0B-5 ,所以在等腰直角三角形BOH中，HB=1, 2 所以H为线段BC的中点，所以P为线段CM的中点.(6分) 3.7分处，由于点的坐标和向量较多，全对给1分，有错误的不给分 4.两个法向量m=(0,-3,1),n=(2,1,1),正确一个给1分， 5.亚写成市 1 不扣分 15 20.(12分) 【解析】(1)由题知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,5， Px=0)=C×(2+3×3)-44_11 ，(2分) A 12030 PX=1)=C×9453 Aξ1208' (3分) 数学全解全析及评分标准第9页（共14页） PK=2)=Cx2.201 A1206 (4分) PX=3)=C×1101 (5分) A;12012 P(X=5)= 11 A120 (6分) 则X的分布列为 X 0 1 2 3 5 1 30 6 120 (7分) 则n-0为后号 1 912 +5x120 1.(8分) (2)设A=“其中的3位专家坐错位置”，B=“恰有2位专家坐对位置”， P4=1-PX=3)-Px=5)=1-1-1=109, 12120120 (9分) 1 P(AB)=P(X=2)=二，(10分) 6 1 则P(B1A)= PAB)=6=20 P(A)109-109 120 所以所求概率为 20 109 .(12分) 说明 1.随机变量X的可能取值，全部正确，给1分，有错不给分，5个概率正确一个给1分 21.（12分) [y2=2px 【解析】(1)由 [G-2+y=12'得-+2px=12,即x2-8-2px+4=0.(2分) 由对称性可得关于x的方程有两个相等的正的实数根，所以4=(8-2p)2-16=0,且8-2p>0, 解得p=2,(3分) 所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分) (2)如图，由题意，知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x=y+4,(5分) A(,),B(x2,y2),P(x3,y),(x4,y4). 将直线AB的方程代入圆E的方程中，消去x,得(m2+1)y2=12,(6分) 数学全解全析及评分标准第10页（共14页)■■■■ ■■■ ■■■■ 请在各题目的答题仪域内作答，超出黑色矩形边框限定风域的答案无效】 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2023年高三2月大联考（新高考1卷）（新教材） 19.(12分) 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1。答题前，考生先将白己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 选择题必须用2B铅笔填涂，非选 准考证号 注 择题必须用0.5mm黑色签字笔容 恩，不得用铅笔或置珠笔容题：字 体工整、笔迹清晰， 项 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 t221223t2232323C2 C21 效：在草稿纸、试题验上答题无效。 保持卡而清洁，不要折叠、不要弄 c63t63t6 5。正确填涂 18,(12分) 缺考标记 ▣ 选择题（每小题5分，共40分） I[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 2 [A][B][C][D] 5 (A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、选择题（每小题5分，共20分） 9[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 10 [A]IB][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分） 14. 16. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 请在各题目的答避区域内作答，超出需色矩形边彪限定区域的答案无效！ 请在各题日的答题区域内作答。超出愿色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答愿区域内作答，超出黑色矩形边框跟定区域的答案无效 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出属色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答想区域内作容，超出黑色矩形边框限定区域的容案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效】 20.(12分) 21.(12分) 22.(12分) 请在各题目的答题区减内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的容想区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，足出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6项） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2023年高三2月大联考（新高考I卷）（新教材） 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B ] [C] [D] 二、选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2023年高三2月大联考（新高考1卷)（新教材） C.) 10 D.@月 数 学 8.若a=0.6e4,b=2-ln4,c=e-2,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 本卷满分150分，考试时间120分钟。 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 注意事项： 目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分」 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 9.某校有5名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 别为80,84,86,90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是 在本试卷上无效。 A.甲同学的竞赛成绩为95 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 B.这5名同学竞赛成绩的方差为26.4 选项是符合题目要求的. C.这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 1.已知复数z满足(1-21)z3-4i1,则z的共轭复数z= D.从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.6 A.-1-2i B.-1+2i C.1-2i D.1+2i 10.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于 2.已知集合A={x2>1},B={xx2-x-2<0,则A∩B= 河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45 的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C,D,E,使点B,C,D共线，点B位于 A.(0,2) B.1,2) C.(-1,2) D.(0,+∞) 点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得CD=CE=1OOm,∠BAD=75°， 3.己知平面向量a=(L,-2),b=(4,3),则a+b与a的夹角为 ∠AEC=120°，AE=200m,并经过计算得到如下数据，则其中正确的是 A.5 B.日 c D 4.下列函数中，既是奇函数又在(0，+∞)上单调递增的为 A.y=tanx B.y=In(l+x)-In(1-x) C.y=+ x23 D.y=e-e*-2x 5.2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X~N1000,50)(单 A.AD=200m B.△ADC的面积为10003m3 位：个)，估计300天内每天包子的销量约在950到100个的天数大约为（附：若随机变量 C.4B=100v6m D.点A在点C的北偏西30°方向上 XN(4,o2),则P(u-G≤X≤4+o)=0.6827,P(u-2o≤X≤μ+2o)=0.9545,P(u-3G 11.已知直线1：x-y-m+2=0与圆C:x2+y2=9相交于A,B两点，则 ≤X≤4+3σ)0.9973) A.236 B.246 C.270 D.275 A.直线1过定点(1,2) 6。已知数列a,}的前a项和为3，且38-6=2a,则及的值为 B.若△ABC的面积取得最大值，则m=-1 线 C.AC,AB的最小值为8 11 A.16 B 。器 D.线段AB的中点在定圆上 7已知椭圆C号+后=1(a>60尚左、右焦点分别为5，乃，若稀圆C上存在一点M 12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PA=PD=√2， 平面PAD⊥平面ABCD,O,E分别为线段AD,PA的中点，点Q是底面ABCD内（包括边界） 使得|FF|是|MF|与引MF|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是 的一个动点，则下列结论正确的是 数学试卷第1页（共4页） 数学试卷第2页（共4页） (2)设c,=mi血色，2，丝，，2丝，求数列c,}的前n项和S。 aaa 19.(12分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AA=2CA-2CB=4,AC⊥BC,BB=2BM,P 为CM上一点. A.AC⊥BP B.三棱锥B-AOE外接球的体积为√ 4 C.异面直线PC与OE所成角的余弦值为 注 D.若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°，则点Q的轨迹长度为√5r 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 点 13.(2x+10(x-3)的展开式中x的系数为 ,(用数字作答) 有 14.已知双曲线M:号茶=1(a>0b>0左、右点分别为F,5,点P为双自线以右 印 PR-PF1 或 支上一点，且满足 F3则双曲线M的渐近线方程为 订 (1)证明：平面AMC⊥平面AMC: 15.将函数f)=si(x-的图象向右平移”个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来 (2)若点P到平面ABB的距离为5 若 ,求平面APC与平面APM夹角的余弦值. 2 的子倍，级坐标不变，得到质数的图象，则不等式8-205)>0在区间Q司内 20.(12分)某会议主办方邀请甲、乙、丙、丁、戊5位专家参加一项学术会议并安排了专家 及 时 的位置，若5位专家随机选择一个位置就座，恰好坐到主办方安排的位置上，为坐对位置， 的解集为」 否则，为坐错位置设坐对位置的专家人数为X, 换 16.已知函数f(x)=ae-ar和g(x)=(x-1)e+x,记f(x,g()的导函数分别为f"(xg'(x), (1)求随机变量X的分布列及数学期望： 若存在1>0，使得"()=g'),则实数a的最小整数值为 (2)在其中的3位专家坐错位置的条件下，求恰有2位专家坐对位置的概率 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.(12分) 的 任 已知抛物线C:y2=2px(p>0),圆E:(x-4)+y2=12与抛物线C有且只有两个公共点. 自 17.(10分)已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(cosA,a), (1)求抛物线C的方程： n=(2cosC-3cosB,3b-2c),且m∥n. (2)设O为坐标原点，过圆心E的直线与圆E交于点A,B,直线OA,OB分别交抛物线 C于点P,Q(点PQ不与点O重合).记△OAB的面积为S,,△OP2的面积为S2,求 线/ ①求 受的最大位 (2)若A=2 、3·△4BC的面因为2,3，求口的值、 2.12分)已知函数/)=--ar-aeR,f是f国的导两数 2 18.(12分)已知等比数列{a,}的公比为9(g≠1)，a=2,2a,+a=3a2,等差数列他}的公 1)若g=国，求证：当a>0时，g@>0恒成立： 差为-1，么=2，记min{伍，为，…，x,}表示，，…，，这s个数中最小的数。 (1)求数列{a}和也.}的通项公式： (2)若(x)存在极小值，求a的取值范围 数学试卷第3页（共4页） 数学试卷第4页（共4页） 2023年高三2月大联考（新高考I卷）（新教材） 数学·全解全析及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D D B A A B AB AC ACD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．C 【解析】由，得，所以．故选C． 2．A 【解析】由，得，所以集合.由，得，即，所以集合，则．故选A． 3．D 【解析】设与的夹角为，由已知得，，所以．又，， 所以，所以．故选D. 4．D 【解析】对于A，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故A错误. 对于B，因为函数的定义域为，所以不符合题意，故B错误. 对于C，令，则的定义域为，且，所以是奇函数.对求导，得，所以在上单调递减，故C错误. 对于D，令，则，所以是奇函数.因为，当且仅当时，取等号，所以函数在上单调递增，故D正确.故选D. 5．B 【解析】根据题意，， ，所以300天内每天包子的销量约在个的天数大约为．故选B. 6．A 【解析】令，得，解得．由，得，两式相减，整理得，所以数列是以6为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以．故选A． 7．A 【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，，所以 ．因为，所以，即，则，所以．故选A． 8．B 【解析】（1）先比较： ∵，， ∴可以构造函数，则，． 对求导，得，当时，， ∴在上单调递减． ∵，∴，即． （2）再比较： ∵． ∴可以构造函数，则， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， ∴，∴，即． （3）最后比较： ∵， ∴可以构造函数，则，当时，， ∴在上单调递减． 又∵，且，∴， ∴，∴，即． 综上得，．故选B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AB 【解析】对于A，设甲同学的竞赛成绩为，则，解得．故A正确． 对于B,这5名同学竞赛成绩的方差 26.4，故B正确． 对于C，因为，所以这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是．故C错误． 对于D，竞赛成绩高于平均成绩的有2人，所以从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为．故D错误． 故选AB． 10．AC 【解析】对于A，因为，点B位于点A的南偏西45°的方向上， 所以.又, ,在中，， ，所以.故A正确． 对于B，的面积为.故B错误． 对于C，在中，由正弦定理，得，解得 .故C正确． 对于D，过点A作AG⊥BC于点G，易知，所以故D错误． 故选AC． 11．ACD 【解析】直线：可化为，则直线l过定点，故A正确． 由题意,知圆C的半径r =3，的面积，当时，的面积取得最大值，此时圆心到直线的距离为，则，解得或，故B错误． ，当时，弦长最短，为4，此时的最小值为8，故C正确． 当不是的中点时，设线段的中点为，由垂径定理知，则在以为直径的圆（除去点）上，当是中点时，与重合.故D正确． 故选ACD. 12．AC 【解析】易证四边形ABCO为菱形，所以. 连接，因为，所以.因为平面，平面平面，，所以.因为平面,所以.又，所以.又，所以，故A正确. 易证为等腰直角三角形，为等边三角形，且平面，所以三棱锥外接球的球心为等边三角形的中心，所以三棱锥外接球的半径为所以三棱锥外接球的体积为，故B错误. 因为，所以为异面直线PC与所成的角（或其补角），因为 所以.在中，由余弦定理，得，故C正确. 因为，所以OQ为PQ在平面内的射影，若直线与平面所成的角为，则因为,所以，故点Q的轨迹为以O为圆心，为半径的半圆，所以点的轨迹长度为，故D错误． 故选AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 【解析】由二项式定理，得的展开式的通项为，所以在的展开式中，的系数为．故填． 14． 【解析】设双曲线M的半焦距为c，由双曲线的定义，知，即， 所以，所以，所以双曲线M的渐近线方程为．故填． 15． 【解析】因为，所以，， 可化为，所以令，，得 ，当时，不等式在区间内的解集为．故填． 16．3 【解析】因为，，存在，使得，所以. 因为，所以，所以方程有解. 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，， 所以存在唯一一个，使得， 所以当时，，，当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以.由得， 所以，故实数的最小整数值为3．故填3. 说明： 第14题答案写成或，不扣分，如果只写出其中一个，不给分. 第15题答案写成，不扣分. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）因为向量，且， 所以.（2分） 由正弦定理，得， 即， 也即，（3分） 所以， 所以.（4分） 由正弦定理，得，所以.（5分） （2）因为 所以的面积所以.（7分） 由余弦定理得， 所以.（10分） 说明： 1.第（1）问另解： 因为向量，且， 所以.（2分） 由余弦定理得，（3分） 即， 所以， 得，（4分） 即，即，得.（5分） 2.第（1）问中，缺“即”不扣分， 第（2）问，由三角形面积求出，给1分，进而求出，给1分， 正确写出余弦定理，给2分，求出，给1分. 18．（12分） 【解析】（1）由得，解得或（舍去），（2分） 所以.（3分） .（4分） （2）设， 令，解得，故当或时，最小，最小值为， 所以，（6分） 所以，所以， ，（8分） 两式相减，可得 （9分） ，（11分） 所以.（12分） 说明： 第（2）问，能列出不等式组“，”不论是否求出“”，都给1分， 求出，给1分， 的表达式写为“”或“”不扣分. 19．（12分） 【解析】（1）因为，所以M为的中点，所以. 又三棱柱是直三棱柱，, 所以,所以所以.（2分） 因为，，平面，所以平面.（3分） 又平面，所以.因为，平面,所以平面.因为平面，所以平面平面.（4分） （2）过点P作于点H，可得，所以点P到平面的距离等于点H到平面的距离，过点H作于点Q，由面面垂直的性质定理可得，HQ的长度为点H到平面的距离，所以HQ=.因为点C到直线AB的距离为，所以H为线段BC的中点，所以P为线段的中点．（6分） 以C为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以,,，（7分） 设平面APC的法向量为， 则即则，令，得， 所以是平面APC的一个法向量.（8分） 设平面APM的法向量为， 则即令，得，. 所以是平面APM的一个法向量.（9分） 设平面APC与平面APM的夹角为，则， 所以平面APC与平面APM夹角的余弦值为.（12分） 说明： 1.第（1）问另解： 因为，所以M为的中点，所以. 又三棱柱是直三棱柱，， 所以,所以，所以.（2分） 在中， ， 在中，， 连接，在中，，（3分） 所以，所以. 又，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面.（4分） 2.第（2）问的6分处，可以这样证明： 过点P作于点H，可得，所以点P到平面的距离等于点H到平面的距离，过点H作于点Q，则. 因为，所以，所以在等腰直角三角形中，， 所以为线段的中点，所以P为线段的中点．（6分） 3.7分处，由于点的坐标和向量较多，全对给1分，有错误的不给分. 4.两个法向量，，正确一个给1分， 5.写成不扣分. 20．（12分） 【解析】（1）由题知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，5， ，（2分） ，（3分） ，（4分） ，（5分） ，（6分） 则的分布列为 0 1 2 3 5 （7分） 则．（8分） （2）设“其中的3位专家坐错位置”，“恰有2位专家坐对位置”， ，（9分） ，（10分） 则． 所以所求概率为.（12分） 说明： 1.随机变量的可能取值，全部正确，给1分，有错不给分，5个概率正确一个给1分. 21．（12分） 【解析】（1）由，得，即.（2分） 由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，所以，且， 解得，（3分） 所以抛物线的方程为．（4分） （2）如图，由题意，知直线的斜率不为0，故设直线的方程为，（5分） ，，，． 将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，（6分） 所以，所以，且．（7分） 直线的方程为，代入抛物线方程，消去，得 ，解得或，所以．（8分） 同理，得，（9分） 所以 ， 所以当时，取得最大值，为．（12分） 说明： 1.第（1）问，漏掉“”，得到或，扣1分， 2.第（2）问中，7分处，“设直线的方程为”给1分；“，”给1分，“，”给1分；“”处给1分；“”处给1分；“”给1分. 22．（12分） 【解析】（1）∵的定义域为，， ∴，．（1分） 令，则． 令，则．（2分） 由，得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，，即当时，， ∴在上单调递增． ∵，∴， ∴当时，恒成立．（4分） （2）由（1）知，． 设()，则． ①当时，恒成立，∴在上单调递增． ∵， ∴当时，，从而；当时，，从而． 又∵，∴，都有，在上单调递增，此时无极值．（5分） ②当时，由，得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值，且最小值为．（6分） 令()，， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∵，∴当时，， 即当时，(当且仅当时等号成立)．（7分） （i）当时，，且当时，都有， ∴，且当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意.（8分） （ii）当时，，且． ∵，， ∴的图象大致如图（1）． 由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使得， ∴当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意.（10分） （ⅲ）当时，，且． ∵，由（1）知，， ∴的图象大致如图（2）． 由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使， ∴当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意． 综上，当存在极小值时，的取值范围为．（12分） 说明： 1.第（1）问，“∴在上单调递增”处给1分； 2.第（2）问没有作出两个函数的图象，不扣分；若只有结果：“的取值范围是”，而没有过程，给1分；在（i）（ii）（iii）这三类讨论中，若出现错误，则该类讨论不给分. 数学 全解全析及评分标准 第10页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $