数学（新高考I卷）（新教材）-学科网2023届高三12月大联考考后强化卷

( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考1卷）（新教材） 请在各题目的答愿区域内作答。超出显色矩形边框限定区域的咨案无效！ 请在各题目的答恩区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 19.(12分) 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答圈前。考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形马。 2.选择题必领用2B铅笔填涂：非 准考证号 注 择圈必须用0,5mm需色签字笔答 题，不得用铅笔或因珠笔答题：字 体工整、笔透清晰。 项 3.请按题号顺序在各题目的答愿区域 内作答，超出区域书写的答案无 t22223t223223C2 效：在草编纸、试题登上答思无效。 4。保持卡面清洁。不要折叠、不要弄 5c51 5。正确填涂■ 18,(12分) 7 缺考标记 ▣ 【9 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、选择题（每小题5分，共20分） 9 A][BI[C]ID】 H[A][BI[CI [D] 1[A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分） 14. 15 16 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 情在各题日的答圈区域内作答，超出需色把形边概限定区城的答案无效： 请在各题目的答您区城内作答，超出黑色免形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出惠色是形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6贝） 数学第3页（共6页） 请在各思目的答题区域内作答，星出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 请在各题目的答圈区或内作答，超出黑色矩形边配限定区城的答案无效！ 请在各题目的答要区域内作答，组出黑色矩形边框限定区峻的答案无效： 20.(12分) 21,(12分) 22.(12分) P(C O% 图1 图2 在各避日的答区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的客案无效！ 情在各题日的答思区城内作答，超出黑色形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无敛！ 数学第4项（头6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（其6页）绝密★启市前 A.b>azc B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 0 0 2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考1卷） (新教材) 8.在三棱维A-BCD中，AD⊥平面BCD,∠ABD+∠CBD-行BD=BC=2,则三棱锥A-BCD外接 数学 球表面积的最小值为 (考试时间：120分钟试参满分：150分) A.(25-2)xB.(25-10m C.(25+1)π D.(2W5+2)z 注意事项： 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 2.回答选轻题时，选出每小题答案后，用铅笔把答概卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回容非选择圈时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 9.己知函数f)=in(2x-,则下列结论正确的是 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 0 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 A.直线x= 是f)图象的对称抽 6 目要求的. ,0)是f()图象的对称中心 1,已知集合A=y川y=x2-4r-5分，B=xy=g(x2-》,则4∩B= B.点(2 A.(-10 B.0+m) C,f)在区间 红]上单调递减 23 C.[9.+m) D.【-9,-1)U0+) 2 D.将函数f()的图象向右平移 个单位长度得到函数y=c0s2x的图象 2.已知复数：2云2+ (i为虚数单位)，则：的共轭复数：在复平面上对应的点位于 12 10.过抛物线C:y2=2m(P>0)的焦点F的直线1与C相交于M(:,乃)，V(,)两点，若1W1的最小 A.第一象限 B,第二象限 C,第三象限 D.第四象限 值为6，则 3,设a}为等差数列，S为其前u项和，若a+a=-6,S,=2L,则公差d= A.抛物线的方程为y2=6x B.N的中点到准线的距离的最小值为4 A.-2 B.2 C.3 D.-3 C.y=-36 D,当直线I的倾斜角为60时，N8 4.2022年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的棉 1l.已知-1<a<2,则+a2a 1 服中抽取6件。再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为 的值可能是 甲款 乙款 A.1 B.25 C.3 D.4.5 棉服 12.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，N为底面ABCD的中心，P为线段AD上的动点（不包括 进货数量 20 10 两个端点)，M为线段AP的中点，则 3 A.5 B. 5 C. D. 5 0 5.已知0是△ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+( AB AC Ae[0.+m),则P的轨 迹一定通过△ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 6.已知直线y=2x关于直线y=x对称的直线1被圆x2+少2-+3=0截得的弦长为25 则实数m的值 A.CM与PW是异面直线 为 B.平面PAW⊥平面BDD,B A.4 B.±4 C.8 D.土8 C.存在P点使得PW⊥AW 0 0 7.已知a=log3,b=√反，c=5,则a,b,c的大小关系为 D。当P为线段4B的中点时，过A,M,N三点的平面截此正方体所得截面的面积为？ 2 数学试题第1页（共4页） 数学试题弟2页（共4页） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 附表及公式： 13.曲线f(x)=hx+x+1在1.f0)处的切线方程为 P(K'zk) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 14.已知(+1)的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x2项的系数为 k 2.072 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 15.函数y= 4sinx cosx+3 sinx+cosx 三，（牙孕的最小恤是 16在平雷直角垒标系1O中，已知界，男分别为双自线C号云-a>0b>0的左、右货点，44分 其中K2= nad-be) (a+b)(c+d)(a+c(b+d)' n=a+b+c+d. 年 别为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分∠APR,直线P明与P4的斜率分别为k,k, 20.(12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠D4B-60°，点M,N分别是边BC,CD的中点， 且k■k=5,则C的离心率等于 AC∩BD=O,AC∩N=G,沿N将△CN翻折到△PN的位置，连接PA,PB,PD,得到如 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 图2所示的五棱锥P-ABWD. PC】 17.(10分)若数列a}满足4=2，a4-2a=3. (1)证明：a1-3a}是等比数列： (2)设数列{a,}的前n项和为S,求满足S<2023的n的最大值. 18.(12分)在△ABC中，角A.B,C的对边分别为a,b,c,且b=c(cosA-inA) 图1 图2 (1)求角C: (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG?证明你的结论： (2)当四棱锥P-NDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点O,使得平面ON与平面PN (2)若C=25,D为边BC的中点，△ADC的面积S=1且B>A,求AD的长度 夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置：若不存在，请说明理由。 19.(12分)某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测成绩 10 等级(“良好及以下或“优秀)进行分析.得到如下列联表： .0分)已海C手=1>6>0的在、右分提名，P是C上的一个动点，。 良好及以下 优秀 合计 的离心率是，且△PRR面积的最大值是5 男 450 200 650 (1)求椭圆C的标准方程； 女 150 100 250 (2)过作两条相互垂直的直线I,2,直线（交C于A,B两点，直线交C于D,B两点，求证： 1 合计 600 300 900 |ABDB为定值 22.(12分)已知函数f(x)=ae-n(x+l)(a∈R). (1)判断是否有99%的把握认为本次体测成绩等级与性别有关系： (2)将频率视为概深，用样本估计总体.若从该地区高一所有学生的体测成绩中，采取随机抽样的 (1)证明：当a>0时，函数f()存在唯一的极值点： 方法每次轴取1名学生的体测成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次拍取的结果相互独立， (2)若不等式f(x)2cos(a-1)恒成立，求a的取值范围 记被抽取的3名学生的体测成绩等级为“优秀"的人数为5，求的分布列和数学期望(). 数学试题弟3页（共4页） 数学试题弟4页（共4页） 2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A C A B C D BCD AD CD BD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．D 【解析】因为，所以. 由，解得或，故或， 所以.故选：D. 2．D 【解析】化简， 则，在复平面上对应的点为，在第四象限.故选：D. 3．A 【解析】因为为等差数列，故，得，，得，故，解得，故选：A. 4．C 【解析】根据题意得抽取的6件新进棉服中，甲款有4件，记为a，b，c，d,乙款有2件，记为A，B，从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种,其中抽到的2件均为甲款的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 故所求概率.故选：C. 5．A 【解析】，，令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上.，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：A. 6．B 【解析】因为直线与直线的交点为,所以直线经过点,取直线上一点,关于对称的点为在直线上,所以,所以直线的方程为,圆心到直线的距离为,圆的半径,所以,解得, 故选:B. 7．C 【解析】因为，，所以，即.又，，所以，所以.故选：C. 8．D 【解析】设，在等腰中，.设的外心是，外接圆半径是，则，∴. 设三棱锥ABCD外接球的球心是，则平面，平面，则.因为平面，所以.又平面，所以，，四边形是直角梯形. 设，外接球半径为，即，则，解得. 在直角中，，，，，所以， ， 令，则，，当且仅当，时等号成立，所以外接球的表面积的最小值是．故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．BCD 【解析】因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 因为，所以点是图象的对称中心，故B正确； 当时，，所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确. 故选：BCD. 10．AD 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l过抛物线的焦点，且垂直于x轴， ∴，. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立直线与抛物线方程，可得①， 由根与系数的关系，得. 由抛物线的定义，可得. 综合以上两种情况可得，当直线l的斜率不存在时，即直线l过抛物线的焦点，且垂直于x轴时，取得最小值.∵的最小值为6，，即，∴抛物线的方程为，故A正确； 易知，当直线l垂直于轴时，的中点到准线的距离最小，的中点到准线的距离的最小值为，故B错误； 当直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线C的两交点坐标分别为 ，故C错误； 当直线l的倾斜角为时，可得，将代入①中，可得，解得或，不妨设，由抛物线的定义可得， ，故D正确. 故选：AD. 11．CD 【解析】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 故选：CD. 12．BD 【解析】如图，连接CN，因为，，共线，，所以，，，共面，因此与共面，故A错误； 正方体中，，，，，平面， 所以平面.因为平面，所以平面平面，故B正确； 已知为线段上的动点（不包括两个端点），设， 假设存在点使得，则有 ， 解得，此时与重合，与已知矛盾，故C错误； 当为线段的中点时，设为线段的中点，连接，， 则.又,所以. 过，，三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形， 由正方体的棱长为2，得，，. 过点作，交于点，则，， 所以等腰梯形的面积为， 所以过，，三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 【解析】由题意知,,,,曲线 在处的切线方程为,即.故填. 14．40 【解析】令，则，得，对于，其展开式中项的系数为. 故填40. 15． 【解析】令，则，， 所以，当且仅当时等号成立.故填. 16．2 【解析】如图所示：，， 易知， 而. 又，所以. 过点作轴，垂足为， 因为，所以和关于对称， 即有，所以. 又因为，解得，，所以. 设直线的倾斜角为，则，所以， 所以在中，，即， 化简得，即离心率. 故填2. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）因为, 所以,,（1分） 所以.（3分） 又,所以,, 故是以为首项,2为公比的等比数列．（5分） （2）由(1)得①, 又②, ，得,（6分） 故 （7分） 易知为递增数列, 又,, 所以满足的n的最大值为7.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）因为，所以，（1分） 又，所以.（2分） 因为，所以，所以， 即.又，所以.（5分） （2）因为D为边BC的中点，面积，所以，（6分） 则，即，得①.（7分） 又，所以②. 联立①②得或.又，所以.（8分） 在中，由余弦定理可得， 所以.（12分） 19．（12分） 【解析】（1）依题意，的观测值，（2分） 故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（4分） （2）依题意，体测成绩等级为“优秀”的概率为，（5分） 的所有可能取值为0，1，2，3，且， 则，， ，，（7分） 则的分布列为： 0 1 2 3 P （10分） 所以的数学期望（或）．（12分） 20．（12分） 【解析】（1）在翻折过程中总有平面平面.（1分） 证明如下：∵为菱形，点，分别是边，的中点，，∴，且 是等边三角形.（2分） 易知是的中点，∴.（4分） ∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，即. ∵，平面，平面， ∴平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面．（6分） （2）由题意知，四边形为等腰梯形， 且，，， ∴等腰梯形的面积.（7分） 要使四棱锥的体积最大，只要点到平面的距离最大即可， ∴当平面时，点到平面的距离最大，此时最大距离为，且. 假设符合题意的点存在． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 又，，且，平面，平面， ∴平面，故平面的一个法向量为.（8分） 设（）， ∵， ∴，∴，（9分） ∴，. 设平面的法向量为， 则，， 即， 令，则， ∴， 则平面的一个法向量为.（11分） 设平面QMN与平面PMN的夹角为， 则，即，解得， 故存在符合题意的点且为线段的中点．（12分） 21．（12分） 【解析】（1）设椭圆C的焦距为，根据题意，有，（2分） 解得，，，所以椭圆C的标准方程是．（4分） （2）当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，．（5分） 联立，得，（6分） 所以，，（8分） 所以 .（9分） 同理，将k换成，得，（10分） 所以． 当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0， 则，，此时．（11分） 综上所述，为定值．（12分） 22．（12分） 【解析】（1）函数的定义域为， .（1分） 令，则，（2分） 因为，所以，， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 因为，，（3分） 所以，存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 当时，，即，所以函数在上单调递增. 所以函数存在唯一的极值点.（5分） （2）不等式恒成立， 即在上恒成立. 令，，所以， 所以在上单调递增，（6分） 又，则时有. 所以，当时，恒成立， 即，则有.（7分） 令，则, 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则在时取得最小值, 则（当且仅当时取等号）. 令，则, 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则在时取得最小值, 则（当且仅当时取等号）.（8分） 因为，, 当时，（当且仅当时取等号）. （10分） 令，, 当时，，所以即在上单调递增， 且，， 所以存在，使，即，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以 ，（11分） 所以的取值范围为.（12分） 数学全解全析 第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数学全解全析 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 D D A C A B Q D BCD AD CD BD -、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的. 1.D【解析】因为y=x2-4x-5=(x-2)2-9≥-9，所以A={y川y2-9} 由x2-1>0,解得x>1或x<-1,故B={xx>1或x<-1}, 所以A∩B=[-9,-1)U1,+w).故选：D 12(2+) 2-i6,i 2.D【解标】化简=2一2+12-训2+D2-2+D ,十 则26i -号行在复平面上对应的点为？，在第四象限故选：D 3.A【解析】因为{an}为等差数列，故4+4，=2a=-6,得a,=-3,S,=7a,=21,得a=3,故 a,-a=-6=3d,解得d=-2,故选：A. 4.C【解析】根据题意得抽取的6件新进棉服中，甲款有4件，记为α，b,c,d,乙款有2件，记为A,B, 从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有b,c,ad,aA,B,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB, dA,dB,AB,共15种，其中抽到的2件均为甲款的有ab,ac,ad,bC,bd,cd,共6种， 敬所求率P:合号放选：C 5.A【解析】：0-0=4，乎=（正+C,令±C-, ABACI ABIACI 则是以A为始点，向量5与AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM在∠BAC的平分 线上AP=2M,AP,AM共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：A. 6.B【解析】因为直线y=2x与直线y=x的交点为(0,0)，所以直线1经过点(0,0)，取直线y=2x上一点L,2), 关于=对称的点为(2)在直线上所以。=号所以直线的方程为-2y=0,圆心(，0)到直线 x-2y=0的距离为d= 风加半卫=特=4， 故选B 数学全解全析第1页（共11页） 7.C【解折】因为b=V5,c=5,所以b-8<9=c5,即b<c又a=10g,3>1og,(2W)= 21 令=>3=d,所以a>6,所以a>c>6故速：C 8 8.D【解析】设∠CBD=a,在等腰△BCD中，CD=2·BCsin=4sing设△BCD的外心是M,外接圆 2 半径是，则2r=CD 4sin 2 2 sina ars1 2 cos 2 co 2 设三棱锥A-BCD外接球的球心是O,则OM⊥平面BCD,DMC平面BCD,则OM L DM.因为AD⊥ 平面BCD,所以AD∥OM.又BD,DMC平面BCD,所以AD⊥BD,AD⊥DM,四边形OMDA是直 角梯形 r2+h2=R2 设OM=h,外接球半径为R,即OD=OA=R,则 2+(AD-)=R'解得AD=2h. AD'AD=2 在直角△4BD中，∠ABD=交-a,∠BAD=a,tama=2, 2 tan a ,所以h=1 tan a R2=1 +1_=cos+2 cos-a 2 1+cosa1-coI+cosa=cosa+2-2cos1+ 一十 -tan'a cos" 2-c0s) 2 1-cos'a 1-cos2a 可3 13、 cosa=t,则te(5, R2=-1+2 =-1+2t 2 2 *0 -1+ -≥-1+ =-1+2=1+V5 -t+3- 3-(t+ 5 3-52,当且仅当 4 3-2t 4t V 4t 1仁V时等号成立所以外接球的表面积的最小值是4怀：2=2+2⑤江，敌 2 D M 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.BCD【解析】因为f乙仍=sim2x7匹-=sim2m=0≠士1，所以直线x=7匹不是f)图象的对称轴， 6-3 6 故A错误； 数学全解全析第2页（共11页） 因为宁m2x牙孕mt=0,所以点（宁0是因图家的对称中心，收B正确： 当x写骨时，2x背停闲=闲.衡以在区间草上单调造藏，故c正确： 将)的图架向右平移径个单位长度得到y-2x孕孕加2x受-c心2的图家，放D正确 12 故选：BCD. 10.AD【解析】当直线1的斜率不存在时，直线1过抛物线的焦点，且垂直于x轴， y2=2px=p2,IN月yl+l,上2p 2 当直线I的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x-马， 联立直线与抛物线方程 吃c-号.得x-p叶2Dx+不D=0回 y2=2px 4 由根与系数的关系，得5十名D+卫=p+2罗 k2 由抛物线的定义，可得Nx+x+p=2p+2?> >2p 综合以上两种情况可得，当直线1的斜率不存在时，即直线1过抛物线的焦点，且垂直于x轴时，|N| 取得最小值.|N|的最小值为6，.2p=6,即p=3,.抛物线的方程为y2=6x,故A正确： 易知，当直线1垂直于x轴时，MN的中点到准线的距离最小，∴MN的中点到准线的距离的最小值为 号+号=3放B错谈： “当直线1的斜率不存在时，直线1与抛物线C的两交点坐标分别为（号，p八.（号，p) ∴y=-p2=-9,故C错误； 当直线1的倾斜角为60时，可得k=V3,将k=V5代入①中，可得12x2-20x+3p=0,解得x= 2 23 p=3,HMN曰M+N=8Y=8,故D正确. 3 故选：AD. 1.cD【解折】因为-1<a<2,所以，1>0，4>0，所以1+，40+0+Q- 1+a2-a 1+a2-a3 1+a 4)=3 12-a4+4+5)≥号×2W4+)=3,当且仅当，=。，即a=0时，等号成立 2-a31+a2-a 1+a2-a 故选：CD. 12.BD【解析】如图，连接CN,因为C,N,A共线，CN∩PM=A,所以P,M,N,C共面，因 数学全解全析第3页（共11页） 此CM与PN共面，故A错误： 正方体ABCD-ABCD中，AN⊥BD,AN⊥BB,BD∩BB,=B,BD,BBC平面BDDB, 所以AN⊥平面BDDB,.因为ANc平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDDB,故B正确： 己知P为线段AD上的动点（不包括两个端点），设AP=1AD=2AD(0<1<1), 假设存在P点使得PN⊥AN,则有 pm=-A4-A可=2-D孤=N2-A×2x5x5=0, 2 解得=1，此时P与D重合，与已知矛盾，故C错误： 当P为线段AD的中点时，设Q为线段CD的中点，连接PO,QC,AC, A B 则P2AC.又AC1IAC,所以PQllAC 过A,M,N三点的平面截此正方体所得截面为等腰梯形APOC, 由正方体的棱长为2，得AC=2V2,P0=V2,AP=QC=√A42+4p2-√5 过点作140，交4C点R,则R25:正-9，限=r-4RN5-停-5. 2 2 所以等腰梯形APQC的面积为W2+2V)×35 9； 2 2 心以过4，M,V三点的平面截此正方体所得截面的面积为，故D正确一 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2x-y=0【解析】由题意知f)=1nx+x+1,f0=2,f(=1+1,f四=2.曲线fw)=nx +x+1在(1，f)处的切线方程为y=2(x-1)+2,即2x-y=0.故填2x-y=0 14.40【解析】令x=1,则(a+1)3=243,得a=2,对于(2x+1),其展开式中x2项的系数为4C=40 故填40. 数学全解全析第4页（共11页） 1525【解折】令=m+osx=5+孕e(要.则1e@,2meog=f-1 4 所以y2,D3-2万，当且议当1=号时等号成立故填25 t 16.2【解析】如图所示：1OA=a,OE=c, FBO A2 易知S△OA:S△oR=a:C, 而SM-s2OP4,Sas-1∠OPg 又∠OPA=∠OPF,所以|PA PF=a:c. 过点P作PB⊥x轴，垂足为B, 因为k=-k,=V15,所以PF和PA关于PB对称， 即有|PF曰PAI,所以|PE:PE=a:c. 又因为PR1-1PR上2a,解得1PR上24,14R上c-a,所以1BR,a c-a 2 1 设直线P?的倾斜角为a,则tana=√I5,所以cos=二 4 ”jPg7年，即axc-a.1 所以在R△PB中，BE-1 22a24 化简得S=2,即离心率e=2. a 故填2. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】(1)因为a1-2a=3, 所以an+2-2a+1=3”,an= 1,1.3,(1分) 2a.12 所以301= -aa-35au于 3°-0H=2.(3分) 2Ca+1+3-3Cn1一=11a 3-)2 数学全解全析第5页（共11页） 又4=2，所以42=24+3°=5,42-3a1=-1, 故{41-3a}是以-1为首项，2为公比的等比数列.(5分) （2)由(1)得a1-30.=-21①， 又41-20=3-1②， ②-①，得4=21+31，(6分) 故Sn=4+a2+…+a =(2°+2+…+2-)+(3°+3+…+3-1) -2-1+20-0 2”+3”3 22' (7分) 易知{Sn}为递增数列， 又S,=1220<2023,S。=3535>2023, 所以满足S。<2023的n的最大值为7.(10分) 18.(12分) 【解析】(1)因为b=c(cosA-sinA),所以sinB=simC(cosA-sinA),(1分) 又sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsin C,所以sin AcosC=-sin Csin A.(2分) 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosC=-sinC, 即tanC=-1.又ceo,,所以c=r.(5分) (2)因为D为边BC的中点，△ADC面积S=1,所以S。4Bc=2,(6分) 则片binC=2,即1abxY5=2,得b=450.(7分) 2 2 又c2=a2+b2-2 ab cosC,所以a2+b2+√2ab=20②. a=2√2a=2 联立①②得 b=2或， 求1b=2N2又B>4,所以a=2b=2W5.(8分) 在△4cp中，由余弦定理可得AD2=b2+-2b.c0sC=8+1-2x2W2x1x(5=15, 2 所以AD=V13.(12分) 数学全解全析第6页（共11页） 19.(12分) 【解析】(1)依题意，K的观测值k-900x450X100-150x20_90≈6923>6635，(2分) 600×300×650×250 13 故有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.(4分) （2)依腿意，体测成绩等级为优秀”的概率为分(5分) 5的所有可能取值为0,1,2,3，且5~B3,为)， 则5的分布列为： 5 0 2 8 4 2-9 1 27 27 (10分) 1号2号+313小1.分y 8 1 所以5的数学期望E(5)=0× 20.(12分) 【解析】(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG.(1分) 证明如下：，ABCD为菱形，点M,N分别是边BC,CD的中点，∠DAB=60°，∴.BD∥MN,且△PMN 是等边三角形.(2分) 易知G是N的中点，∴.N⊥PG.(4分) ,菱形ABCD的对角线互相垂直，.BD⊥AC,∴.N⊥AC,即AG⊥N. ,AG∩PG=G,AGC平面PAG,PGc平面PAG, .N⊥平面PAG,∴.BD⊥平面PAG ,BDC平面PBD,.平面PBD⊥平面PAG.(6分) (2)由题意知，四边形NDB为等腰梯形， 且DB=4,MN=2,OG=5, :等腰梯形NDB的面积S-2+)x5-35.(7分) 2 要使四棱锥P-MNDB的体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可， ∴.当PG⊥平面MNDB时，点P到平面NDB的距离最大，此时最大距离为PG,且PG=√3 数学全解全析第7页（共11页） 假设符合题意的点Q存在. 以G为坐标原点，GA,GM,GP所在直线分别为x轴、y轴、=轴，建立如图所示的空间直角坐标系， D 则A3V3,0,0),M(0,10),N(0,-10),P0,0,V3) 又AG⊥PG,AG⊥MN,且N∩PG=G,MNc平面PMN,PGc平面PMN, .AG⊥平面PN,故平面PMN的一个法向量为n=(1,0,O).(8分) 设A0=2AP(0≤1≤1)， .AP=(-35,0,√5)， .A⊙=(-332,0,3)，.Q(3W3(1-2),0,V3),(9分) .MM=(0,2,0),QM=(3√3(2-1)，1-√32) 设平面OMN的法向量为2=(x,y,2), 则2·M=0,2·OM=0, [2y=0 即 3W3(a-1)x+y-V5z=0' [y=0 令z=1,则 x= 3(2-1) 32-D0,DE32-D20,32- 则平面QMN的一个法向量为n=(2,0,3(2-1).(11分) 数学全解全析第8页（共11页） 设平面QN与平面PN的夹角为O, 则cos0= hE 人 v10 10，即、 22 1%'√22+92-1 ，。,解得2= 1022-18元+910 故存在符合题意的点Q且2为线段PA的中点.(12分) 21.(12分) c_1 a2 解析】(D设椭圆C的焦距为2c,根据题意，有2X2c×b=3,2分 a2=b2+c2 解得a心=4,6-3，c2=1,所以椭圆C的标准方程是+”-1.4分) 43 (2)当直线1,12的斜率存在且都不为0时，不妨设直线1的方程为y=k(x+),则直线，的方程为 y=+).AW.).s分 +号1，得8+4x+8x+=12=0.6分 y=k(x+1) 8k2 2,(8分) 所以+x3+4k2,=3+4， 所以AB=+k21x-,=V1+k2V化+)2-4x2 =F-4-o分 3+4k2-3+4k2 同理，将k换成，得DB上 126为+ 112k2+1 ,(10分) 3+4( 3k2+4 13+42,3k2+47(k2+1)7 所以AB+Dg122+D+12(+D12k2+D2 当直线1,12中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线l的斜率为0， 则1BF2a-4,1D2公-3，此时*D园号五.分 1,11,17 a 11 综上所述，网+为定值子(12分) 数学全解全析第9页（共11页） 22.(12分) 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-1，+o), f=ae-1-ax+10e-1.（1分) x+1x+1 令g(x)=a(x+1)e-1(x>-1),则g'(x)=ae(x+2),(2分) 因为x>-1,所以e*>0,x+2>0, 当a>0时，g'(x)>0在(-1，+w)上恒成立，所以函数g(x)在(-1，+0)上单调递增. 因为g(-1)=-1<0,8白=a2+10e-1=1+ame-1>0,(3分) 所以，存在唯一的x。∈(-1，+0)，使得g(x)=0, 当x∈(1，x)时，8(x)<0,即f"(x)<0,所以函数f(x)在(-1，x)上单调递减， 当x∈(x。,+w)时，8(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)在(x,+w)上单调递增. 所以函数f(x)存在唯一的极值点.(5分) (2)不等式f(x)≥cos(a-1)恒成立， 即p(x)=ae-hn(x+1)-cos(a-1)≥0在(-1，+o)上恒成立. 令h(a)=a-cos(a-1),a∈R,所以H(a)=1+sin(a-1)≥0， 所以h(d在R上单调递增，(6分) 又h)=1-cos1-1)=0,则a≥1时有h(a≥h1)=0. 所以，当x=0时，(0)=a-cos(a-1)≥0恒成立， 即h(ad≥h1),则有a≥1.(7分) 令m(x)=e-x-1,则m'(x)=e-1, 当x>0时，m'(x)>0,(x)单调递增；当x<0时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 则m(x)=e-x-1在x=0时取得最小值(0)=e°-0-1=0， 则e≥x+1(当且仅当x=0时取等号). 令)=K-血(+1，x>-1,则n0)=1-1=X x+1x+1 当x>0时，1(x)>0,(x)单调递增；当-1<x<0时，(x)<0,n(x)单调递减， 则n(x)=x-h(x+1),x>-1在x=0时取得最小值n(0)=0-ln(0+1)=0, 则x≥n(x+1)(当且仅当x=0时取等号)·(8分) 数学全解全析第10页（共11页) ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用前 2022年高三12月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设为等差数列，为其前项和，若，则公差 A． B．2 C．3 D． 4．2022年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的棉服中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为 棉服 甲款 乙款 进货数量 20 10 A． B． C． D． 5．已知O是所在平面上一定点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．已知直线关于直线对称的直线被圆截得的弦长为，则实数的值为 A．4 B． C．8 D． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是 A．直线是图象的对称轴 B．点是图象的对称中心 C．在区间上单调递减 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 10．过抛物线的焦点F的直线l与C相交于两点，若的最小值为6，则 A．抛物线的方程为 B．MN的中点到准线的距离的最小值为4 C． D．当直线l的倾斜角为时， 11．已知，则的值可能是 A．1 B．2.5 C．3 D．4.5 12．如图，正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则 A．与是异面直线 B．平面平面 C．存在点使得 D．当为线段的中点时，过，，三点的平面截此正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线在处的切线方程为___________． 14．已知的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中项的系数为___________． 15．函数，的最小值是___________． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知分别为双曲线的左、右焦点，分别为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分，直线与的斜率分别为，且，则C的离心率等于___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）若数列满足,． （1）证明:是等比数列； （2）设数列的前n项和为,求满足的n的最大值． 18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，D为边BC的中点，的面积且，求AD的长度. 19．（12分）某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测成绩等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表： 良好及以下 优秀 合计 男 450 200 650 女 150 100 250 合计 600 300 900 （1）判断是否有99%的把握认为本次体测成绩等级与性别有关系； （2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生的体测成绩中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生的体测成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取的3名学生的体测成绩等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望． 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥PABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面PBD平面PAG？证明你的结论； （2）当四棱锥PMNDB的体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知椭圆  的左、右焦点分别是，P是C上的一个动点，C的离心率是，且面积的最大值是. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证：为定值. 22．（12分）已知函数（）. （1）证明：当时，函数存在唯一的极值点； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $