专题06 立体几何初步（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题06立体几何初步 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：空间几何体的结构特征 考点二：空间几何体的表面积与体积 考点三：空间中的位置关系 考点四：空间角的计算 考点五：立体几何综合问题 实战能力训练 必备知识梳理 1 高频考点精讲 3 考点一：集合的含义与表示 3 考点二：集合间的基本关系 4 考点三：集合的基本运算 5 考点四：充分条件与必要条件 6 考点五：全称量词与存在量词 7 实战能力训练 1、利用实物模型、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系,能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构. 2、知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 3、知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 4、知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 5、了解基本事实1~3和确定平面的推论,掌握平面的画法及表示方法. 6、借助长方体认识空间点、直线、平面之间的位置关系,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 7、掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理,并加以证明. 8、掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理,并加以证明. 9、掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并加以证明. 10、掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理,并加以证明. 11、掌握空间角和空间距离的计算方法 1、空间几何体的结构特征 1．空间几何体 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体 旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体. 2．棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. ①直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱. ②正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 3．棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥. ①正棱锥:底面为正多边形,且顶点在底面的投影为底面的中心. ②正三棱锥:底面为正三角形,侧棱相等,对棱垂直. ③正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.(特殊正三棱锥,四个面都是等边三角形)4.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台. ①正棱台：侧面是全等的等腰梯形;侧棱延长后相交于一点. 5．圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. ①上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. ②圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 6．圆锥:以直角三角形的一直角边为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. ①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之 比 ②轴截面是等腰三角形 ③.(是母线) ④圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 7．圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 8．球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体 ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②(其中,球心到截面的距离为、球的半径为、截面的半径为). 2、空间几何体的表面积与体积 (1)由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体，所以它们的表面积就是各个面的面积和. (2)圆柱的侧面积(侧面展开图是矩形)圆柱的表面积. (3)圆锥的侧面积(侧面展开图是扇形)圆锥的表面积. (4)圆台的侧面积(侧面展开图是扇环)圆台的表面积. (5); (6); (7) (8);过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 3、立体几何基本事实 1．公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.直线. 2．公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 三点不共线,经过确定平面. 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.经过与确定平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.经过与确定平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.,经过与确定平面. 3．公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ,且. 4．公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.. 5．等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4、平行的判定及其性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理 文字语言 .如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 2．平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 ,且. (2)性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 4．平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 5、垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 . 2．平面与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 ,. (2)性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 考点精讲讲练 考点一： 空间几何体的结构特征 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 例题3．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 1．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 考点二： 空间几何体的表面积与体积 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（    ） A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9 2．如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（    ） A．80 B． C．160 D． 3．已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 考点三： 空间中的位置关系 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知直线 平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 1．如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 2．已知平面，直线m，n．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 考点四： 空间角的计算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 例题3．（20-21高一·江苏·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 1．在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 考点五： 立体几何综合问题 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，． (1)求证：； (2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 1．如图在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求证：平面PAB⊥平面FAE； 2．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 3．如图，四棱柱的底面是正方形，侧面是菱形，，平面平面，E，F分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 训练 1、已知圆锥的底面半径为1，且其轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2、乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 3、已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若 ，则 C．若，，则 D．若，，则 4、在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5、如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6、如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 7、如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 8、小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 9、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 10、如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11、如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 12、如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B． 平面 C．平面 D．平面平面 13、如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 14、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 15、如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06立体几何初步 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：空间几何体的结构特征 考点二：空间几何体的表面积与体积 考点三：空间中的位置关系 考点四：空间角的计算 考点五：立体几何综合问题 实战能力训练 必备知识梳理 1 高频考点精讲 3 考点一：集合的含义与表示 3 考点二：集合间的基本关系 4 考点三：集合的基本运算 5 考点四：充分条件与必要条件 6 考点五：全称量词与存在量词 7 实战能力训练 1、利用实物模型、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系,能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构. 2、知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 3、知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 4、知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 5、了解基本事实1~3和确定平面的推论,掌握平面的画法及表示方法. 6、借助长方体认识空间点、直线、平面之间的位置关系,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 7、掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理,并加以证明. 8、掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理,并加以证明. 9、掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并加以证明. 10、掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理,并加以证明. 11、掌握空间角和空间距离的计算方法 1、空间几何体的结构特征 1．空间几何体 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体 旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体. 2．棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. ①直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱. ②正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 3．棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥. ①正棱锥:底面为正多边形,且顶点在底面的投影为底面的中心. ②正三棱锥:底面为正三角形,侧棱相等,对棱垂直. ③正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.(特殊正三棱锥,四个面都是等边三角形)4.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台. ①正棱台：侧面是全等的等腰梯形;侧棱延长后相交于一点. 5．圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. ①上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. ②圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 6．圆锥:以直角三角形的一直角边为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. ①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之 比 ②轴截面是等腰三角形 ③.(是母线) ④圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 7．圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 8．球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体 ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②(其中,球心到截面的距离为、球的半径为、截面的半径为). 2、空间几何体的表面积与体积 (1)由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体，所以它们的表面积就是各个面的面积和. (2)圆柱的侧面积(侧面展开图是矩形)圆柱的表面积. (3)圆锥的侧面积(侧面展开图是扇形)圆锥的表面积. (4)圆台的侧面积(侧面展开图是扇环)圆台的表面积. (5); (6); (7) (8);过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 3、立体几何基本事实 1．公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.直线. 2．公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 三点不共线,经过确定平面. 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.经过与确定平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.经过与确定平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.,经过与确定平面. 3．公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ,且. 4．公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.. 5．等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4、平行的判定及其性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理 文字语言 .如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 2．平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 ,且. (2)性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 4．平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 5、垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 . 2．平面与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 ,. (2)性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 考点精讲讲练 考点一： 空间几何体的结构特征 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案. 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．一个平面 D．一个球面 【答案】B 【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点，证明即可. 【详解】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线， 如图，设点为的外心，且直线平面，点为直线上任意一点， 则，且平面， 所以直线，直线，直线， 当点与点重合时，，即直线的点到的三个顶点距离相等， 当点与点不重合时， 由勾股定理可得，即直线的点到的三个定点距离相等， 综上直线的点到的三个顶点距离相等，反之到的三个顶点距离相等的点都在直线l上， 所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线. 故选：B 例题3．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 1．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可． 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，所以，所以. 故选：A. 2．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 【答案】D 【分析】根据几何体的特征可得出结论. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球和棱柱构成的组合体. 故选：D 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 考点二： 空间几何体的表面积与体积 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积. 【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为， 所以该球体积为. 故选：D 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 1．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（    ） A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9 【答案】C 【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了. 【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为 则圆锥的体积为： 球体的体积： 所以圆锥与球的体积之比为：1∶2 故选：C. 2．如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（    ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】先求两个等腰梯形的高，进而计算出屋顶的侧面积. 【详解】设分别是的中点，连接，根据对称性可知， 在平面的射影在上，设其为，连接， 则平面，而平面，所以， 所以是与平面成的角，即， 所以， 过作，垂足为，连接， 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， ，所以， 所以，所以， 所以该屋顶的侧面积为： . 故选：D 3．已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱的体积求出圆柱的高，再由圆柱与球的表面积公式即可得出答案. 【详解】设圆柱的底面半径和球的半径为,圆柱的高为， 所以，所以球的表面积为， 所以圆柱的体积为，解得：， 圆柱的表面积为：， 所以. 故选：A. 考点三： 空间中的位置关系 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线面位置关系判断ABC，利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理判断D，从而得解. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，若，则， 因为，所以，又，所以，故D正确； 故选：D. 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知直线 平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线 平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知直线 平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】直线 平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，，直线平面，故， 即与有交点，这与题设矛盾. 故选：B 1．如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【详解】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 2．已知平面，直线m，n．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行，垂直的判定定理和性质即可判断. 【详解】对A，若，则或，故A错误； 对B，若，则和平行、相交或在平面内，故B错误； 对C，若，则平行、相交或异面，故C错误； 对D，若，则，故D正确. 故选：D. 3．关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例，B选项，可利用线面平行的性质和线面垂直的性质推出. 【详解】A选项，若，，则a，b平行，相交或异面，比如图1和图2，A错误； B选项，因为，如图3，不妨设，且，则， 因为，，所以，由，则，B正确； C选项，如图4，满足，，但，C错误； D选项，，，且，，若，则不能得到，D错误. 故选：B 考点四： 空间角的计算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则， . 故选：C 例题3．（20-21高一·江苏·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过可求. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O， 则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以. 故选：C 【点睛】求二面角，可利用定义直接作出其平面角来求，或者利用法向量公式解决. 1．在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线AE与BC所成角转化为或其补角，再通过边的计算得到，即可求解. 【详解】 连接，由可得或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又面，面，则， 则，同理可得，，则，， 则异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 故选：C. 2．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可 【详解】如图，连接，，，因为， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，，所以， 故选：. 3．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得 ，由此可得答案 【详解】连接，则， 因为平面，在平面内， 所以， 因为， 所以平面， 因为在平面内， 所以 ， 所以异面直线与所成的角为， 故选：D 【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题 考点五： 立体几何综合问题 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过证明 AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则 AB. 又平面，面，则 平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则 上平面 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，． (1)求证：； (2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意分析证明平面PAC，进而可得结果； （2）由体积可得，可证平面PAB，结合线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）在梯形ABCD中， 由，，，得， 所以，所以， 又因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 因为平面，平面PAC，且， 所以平面PAC． 又平面PAC， 所以． （2）由（1）知， 所以，解得， 又因为平面，平面ABCD，则， 因为，所以， 因为平面，平面PAB，且， 所以平面PAB， 故PB是PC在平面PAB上的投影， 所以即为直线PC与平面PAB所成的角的平面角， 在中，解得， 所以， 所以直线PC与平面PAB所成角正切值为. 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证； （2）先证明平面，即可求出三棱锥的体积 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以 平面； （2）因为是等边三角形，是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形， 所以 1．如图在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求证：平面PAB⊥平面FAE； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）证明与垂直，由线面垂直的判定定理得证； （2）先证明与平面垂直，即可得证面面垂直． 【详解】（1）∵是菱形，∴， 又面ABCD，面ABCD，∴， 而，面，面， ∴BD⊥平面PAC； （2）∵是菱形，，∴是等边三角形，又为中点，∴，而，∴， 又面ABCD，面ABCD，∴， 而，面，面， ∴⊥平面PAB，又平面， ∴平面PAB⊥平面FAE． 【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，掌握线面垂直与面面垂直的判定定理是解题关键． 2．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为的中点，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用中位线得到线线平行，从而求出线面平行； （2）求出，进而求出. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为底面是正方形， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，底面是正方形，平面， 所以， 因为为的中点，所以. 3．如图，四棱柱的底面是正方形，侧面是菱形，，平面平面，E，F分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）设中点为G，连接，得，且，可得四边形是平行四边形，由线面平行的判定定理可得答案； （2）过作于M，过E作于H，连接，则，得平面，所以为直线与平面所成的角，设正方形的边长为a，所以在直角三角形中求出，可得答案. 【详解】（1）设中点为G，连接， 因为E，G分别为的中点， 所以， 在正方形中，F是的中点， 所以，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）过作于M，过E作于H，连接，则， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 所以是在平面内的射影， 所以为直线与平面所成的角， 设正方形的边长为a， 因为侧面是菱形，，所以， 又因为且E是的中点，所以， 在正方形中，F为中点，H为的四等分点，， 所以在直角三角形中，， 所以与平面所成角的正切值为. 训练 1、已知圆锥的底面半径为1，且其轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设确定圆锥母线长、底面周长，应用侧面积公式求圆锥侧面积. 【详解】由题设，圆锥的母线长为2，底面周长为，故圆锥的侧面积为. 故选：A 2、乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（    ）． A． B． C． D．l与α相交 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】由题意得，且平行于乒乓球网的下边缘， 而乒乓球网的下边缘在平面内， 由线面平行的判定定理得成立，故C正确. 故选：C 3、已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若 ，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面平行及线面垂直得出线面，线线位置关系判断各个选项即可. 【详解】若，，则或相交或异面，A选项错误； 根据线面垂直的性质若 ，则，B选项正确； 若，，则或在平面内，C选项错误； 若，，则或相交，D选项错误. 故选：B. 4、在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接相交于，连接,则是的中点， 故，故即为异面直线与所成的角或其补角， 由于，故， 由于, 故, 故,结合, 故，即异面直线与所成的角为， 故选：C 5、如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用锥体的体积公式直接计算即得. 【详解】在三棱锥中，平面，则是三棱锥的高， 由，得， 所以该三棱锥的体积为. 故选：B 6、如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 7、如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 8、小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 9、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线面角，解直角三角形求得线面角的最小值. 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以平面，平面，， 且是直线与平面所成角. 设正方体的边长为，则， 所以. 故选：D 10、如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11、如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【详解】（1）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. （2）因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 12、如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B． 平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】由异面直线定义可得A错误，根据线面平行判定定理可证明B正确，由线面垂直性质可得C错误，由面面垂直判定可得D错误. 【详解】对于A，易知与互为异面直线，即A错误； 对于B，由正方体性质可得，且平面，平面， 所以 平面，即B正确； 对于C，与平面相交，不垂直，即C错误； 对于D，平面与平面相交，不垂直，即D错误. 故选：B 13、如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【详解】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D 14、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 15、如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）解得的长度，再用勾股定理可得； （2）通过证明平面，可得到平面平面. （3）建立空间正交坐标系，表示出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即可解出的值，最后求出答案. 【详解】（1）由题可得，，， 则在中，由余弦定理得 . 所以，所以， 所以为直角三角形. （2）由（1）可知， 又，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）由（2）可知， 又平面，所以，，两两垂直. 以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，. 则，，，，. 因为，所以， 所以. 则， 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得，. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 即. 设梯形与梯形的面积分别为，， 则. 因为梯形，与梯形相似，且， 所以，所以. 所以四棱台的体积 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $