专题02 不等式（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题02不等式 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：不等式的性质 考点二：不等式的解法 考点三：利用不等式的解集求参数 考点四：基本不等式 实战能力训练 1、通过对比,理解等式和不等式的共性与差异. 2、梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质 3、结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 4、从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 5、从函数观点看一元二次不等式(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 6、通过二次函数与一元二次方程、不等式的联系,培养学生直观想象、数学运算的核心素养.通过一元二次不等式的解集是或的含义. 1、一元二次不等式的解法: 对于一元二次方程,设,(当时,方程两根为) 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 解一元二次不等式的步骤: (1)整理好不等式,或【系数一般化为正数】 (2)通过因式分解或求根公式确定方程的根. (3)画出函数图象后,写出不等式的解集. 2、一元二次不等式恒成立常用结论: (1)的解集为,则一定满足 (2)的解集为,则一定满足 (3)的解集为,则一定满足 (4)的解集为,则一定满足 (5)在上恒成立,则 (6)在上恒成立,则 3、重要不等式 ,当且仅当时取“=”号. 4、基本不等式 ,当且仅当时取“=”号.【一正、二定、三相等】 5、基本不等式与重要不等式的异同 （1）两个基本不等式中实数的取值范围是不同的,重要不等式为全体实数,基本不等式必须都是正实数. （2）两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当时取等号. （3）两个基本不等式的变形:(和、积、平方和之间的关系) ①（积与平方和）（和与积）③（积与和） ④(平方和与和)⑤(和与平方和) 6、已知,则 ①如果积是定值,那么当且仅当时,有最小值是. ②如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值是. “一正(各项均为正),二定(积或和为定值),三相等(等号能否取得)”. 7、常用的配凑技巧 ①,当且仅当时等号成立 ②,当且仅当时等号成立 ③,当且仅当时等号成立 ④,当且仅当时取等.⑤等式转化为不等式模型 若出现,其中 因为,可以转化为或,从而求出及的取值范围. 若出现求取值范围,先将式子因式分解成为形式,再用基本不等式求出最值. 考点精讲讲练 考点一： 不等式的性质 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1．已知均为实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设a，b，c∈R，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若，则 D．若，则 3．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 考点二： 不等式的解法 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 例题2．（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 考点三： 利用不等式的解集求参数 例题1 （2024·江苏 学考模拟）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．4 例题2．（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·江苏 学考模拟）已知不等式的解集为，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 考点四： 基本不等式 例题1 （2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 例题2．（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 训练 1、已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2、不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3、函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4、若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5、若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6、已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 7、不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 8、已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9、若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10、不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11、不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 12、若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 13、已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 14、已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 15、在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02不等式 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：不等式的性质 考点二：不等式的解法 考点三：利用不等式的解集求参数 考点四：基本不等式 实战能力训练 1、通过对比,理解等式和不等式的共性与差异. 2、梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质 3、结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 4、从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 5、从函数观点看一元二次不等式(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 6、通过二次函数与一元二次方程、不等式的联系,培养学生直观想象、数学运算的核心素养.通过一元二次不等式的解集是或的含义. 1、一元二次不等式的解法: 对于一元二次方程,设,(当时,方程两根为) 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 解一元二次不等式的步骤: (1)整理好不等式,或【系数一般化为正数】 (2)通过因式分解或求根公式确定方程的根. (3)画出函数图象后,写出不等式的解集. 2、一元二次不等式恒成立常用结论: (1)的解集为,则一定满足 (2)的解集为,则一定满足 (3)的解集为,则一定满足 (4)的解集为,则一定满足 (5)在上恒成立,则 (6)在上恒成立,则 3、重要不等式 ,当且仅当时取“=”号. 4、基本不等式 ,当且仅当时取“=”号.【一正、二定、三相等】 5、基本不等式与重要不等式的异同 （1）两个基本不等式中实数的取值范围是不同的,重要不等式为全体实数,基本不等式必须都是正实数. （2）两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当时取等号. （3）两个基本不等式的变形:(和、积、平方和之间的关系) ①（积与平方和）（和与积）③（积与和） ④(平方和与和)⑤(和与平方和) 6、已知,则 ①如果积是定值,那么当且仅当时,有最小值是. ②如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值是. “一正(各项均为正),二定(积或和为定值),三相等(等号能否取得)”. 7、常用的配凑技巧 ①,当且仅当时等号成立 ②,当且仅当时等号成立 ③,当且仅当时等号成立 ④,当且仅当时取等.⑤等式转化为不等式模型 若出现,其中 因为,可以转化为或,从而求出及的取值范围. 若出现求取值范围,先将式子因式分解成为形式,再用基本不等式求出最值. 考点精讲讲练 考点一： 不等式的性质 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】A选项：，则，故A正确； B选项：，则，所以，故B错误； C选项：当或时，，则，故C错误； D选项：当时，，故D错误. 故选：A． 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，可利用不等式的性质得到. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，由不等式的性质可得，B正确； C选项，若，满足，但，C错误； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：B 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举反例可判断选项A；利用不等式的性质可判断选项B；利用对数函数的单调性可判断选项C；作差法可判断选项D. 【详解】对于选项A：当时，若， 则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B：因为 所以由不等式性质可得，故选项B成立； 对于选项C：因为，函数在上单调递增 所以，故选项C成立； 对于选项D：因为，， 所以，故选项D成立. 故选：A 1．已知均为实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质可判断A,D;举反例可判断B,C,即得答案. 【详解】由题意均为实数，且， 则，故，A错误； 取，满足条件，但是，B，C错误； 由知，，故，即 ，D正确， 故选：D. 2．设a，b，c∈R，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】取特值可否定BCD,利用不等式的基本性质可知A正确. 【详解】当时，BD都不正确，当时C错误，由不等式的基本性质得A正确； 故选：A 3．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 考点二： 不等式的解法 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】由等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 例题2．（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集. 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 2．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元一次不等式求得，且；由此化简二次不等式并求出解集. 【详解】由关于x的不等式的解集是， 得且， 则关于x的不等式可化为， 即， 解得：或， 所求不等式的解集为：. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法求解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 考点三： 利用不等式的解集求参数 例题1 （2024·江苏 学考模拟）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由且不等于1， 由题意得，，解得. 故选：D. 例题2．（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意只需，即可，先求得在上的最大值，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】依题可得在[1，6]内有解， 只需， 设， 当时，， 所以，解得. 故选：C. 例题3．（2024·江苏 学考模拟）已知不等式的解集为，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由不等式的解集为，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】由题意，是方程的两个根， ∴，，解得，， ∴. 故选：B． 1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 2．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案. 【详解】不等式的解集为， 可得是方程的根， 所以，且，解得， 由不等式可得， 由得， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 考点四： 基本不等式 例题1 （2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 例题2．（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简可得，根据基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得： 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 例题3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 1．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 2．设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 3．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数、都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是. 故选：D. 训练 1、已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2、不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求一元二次不等式的解集的方法求解. 【详解】解不等式，得， 所以所求的解集为. 故选：D 3、函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D 4、若正数、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 5、若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 6、已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 7、不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到结果. 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 8、已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 9、若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项. 【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误； 对于B，取，，，满足，， ，，但，B项错误； 对于C，取，，但，故C项错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 10、不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得. 【详解】不等式，解得. 所以原不等式的解集为. 故选：A 11、不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 12、若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 13、已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 14、已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 15、在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $