专题07 复数（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题07复数 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：复数的扩充与复数的概念 考点二：复数的四则运算 实战能力训练 1、在问题情境中了解数系的扩充过程,通过方程的解认识复数. 2、理解复数的代数表示,掌握两个复数相等的充要条件及应用. 3、了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 4、理解共轭复数的概念,并会求共轭复数. 5、掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题. 6、结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 7、理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 8、掌握复数代数形式的乘、除运算法则,能够进行复数的乘、除运算. 9、掌握复数代数形式的四则运算及虚数单位的幂值的周期性并能进行有关计算. 1、数系的扩充和复数的概念: 1．复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2．复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式. 其中分别叫做复数的实部、虚部.(求复数的值,也常用待定系数法.) 3．复数相等的充要条件:且;. ②且; ③且.(只有实数才能比较大小) 4．复数的分类:当时,是实数;当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5．复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 6．复数的模(或绝对值):向量的模叫做,记作或; 2、复数代数形式的四则运算 1．复数的四则运算法则(规定):(掌握复数运算与口算的规律) ①;满足交换律、结合律. ②;加法的逆运算. ③;满足交换律、结合律、分配律. ④.分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 2．加减法的几何意义:向量加、减法的平行四边形法则..①的几何意义是复平面上两点间的距离,即. ②复平面上的两点间的距离公式:. ③当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. ④当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3．当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 复数的共轭复数记作.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 考点精讲讲练 考点一： 复数的扩充与复数的概念 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 根据题意，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 1．在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解. 【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 2．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限 C．的共轭复数 D． 【答案】D 【分析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案. 【详解】因为，，，所以的周期为4，故， 故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共 轭复数为，C错误；，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题. 3．复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据复数模的定义计算． 【详解】 故选：C. 考点二： 复数的四则运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】 根据复数模长公式求出答案. 【详解】. 故选：A 例题3．（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．－2 B．－1 C．6 D．2 【答案】D 【分析】利用复数乘法法则计算出，从而求出虚部. 【详解】，虚部为2， 故选：D． 1．复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】，故对应的点为 故选:D． 2．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 3．设，则=（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案； 【详解】 ， 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题. 训练 1、已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 2、已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据复数的实部为即可求解. 【详解】因为复数的实部为， 所以复数的实部为2. 故选：A. 3、计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据复数的乘法运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B 4、已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5、已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 6、若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解. 【详解】由可得， 故 ， 故选：D 7、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由复数的几何意义求解． 【详解】复数在复平面内对应的点为，它在第三象限， 故选：C 8、i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则运算即可. 【详解】. 故选：A. 9、i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故选：A 10、复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 11、若复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用复数的四则运算，结合复数的定义即可得解. 【详解】因为， 所以复数z的虚部为. 故选：C. 12、已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】计算出，利用复数模长公式求出答案. 【详解】，故. 故选：C 13、已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】解：因为复数， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 14、已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的模的运算得到的值，再由复数的除法运算求出. 【详解】，即， ， 故选：A 15、欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07复数 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：复数的扩充与复数的概念 考点二：复数的四则运算 实战能力训练 1、在问题情境中了解数系的扩充过程,通过方程的解认识复数. 2、理解复数的代数表示,掌握两个复数相等的充要条件及应用. 3、了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 4、理解共轭复数的概念,并会求共轭复数. 5、掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题. 6、结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 7、理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 8、掌握复数代数形式的乘、除运算法则,能够进行复数的乘、除运算. 9、掌握复数代数形式的四则运算及虚数单位的幂值的周期性并能进行有关计算. 1、数系的扩充和复数的概念: 1．复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2．复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式. 其中分别叫做复数的实部、虚部.(求复数的值,也常用待定系数法.) 3．复数相等的充要条件:且;. ②且; ③且.(只有实数才能比较大小) 4．复数的分类:当时,是实数;当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5．复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 6．复数的模(或绝对值):向量的模叫做,记作或; 2、复数代数形式的四则运算 1．复数的四则运算法则(规定):(掌握复数运算与口算的规律) ①;满足交换律、结合律. ②;加法的逆运算. ③;满足交换律、结合律、分配律. ④.分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 2．加减法的几何意义:向量加、减法的平行四边形法则..①的几何意义是复平面上两点间的距离,即. ②复平面上的两点间的距离公式:. ③当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. ④当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3．当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 复数的共轭复数记作.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 考点精讲讲练 考点一： 复数的扩充与复数的概念 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C． D．10 1．在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限 C．的共轭复数 D． 3．复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 考点二： 复数的四则运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（    ） A． B．1 C．2 D．3 例题3．（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．－2 B．－1 C．6 D．2 1．复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 3．设，则=（    ） A． B． C． D．2 训练 1、已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 2、已知复数（为虚数单位），则的实部为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、计算的值是（   ） A． B． C． D． 4、已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 6、若，则（    ） A． B． C． D． 7、已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8、i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 9、i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 10、复数（    ） A． B． C． D． 11、若复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 12、已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 13、已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14、已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 15、欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $