专题08 统计与概率（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题08统计与概率 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：随机事件的概率 考点二：统计量的计算 考点三：统计图表及其应用 实战能力训练 1、通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算总体均值,了解样本与总体的关系. 2、结合实例,理解并掌握统计图表的画法及应用,能用样本估计总体的取值规律. 3、结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 4、结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义. 5、结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.理解随机事件与样本点的关系. 6、结合具体实例,理解古典概型的概念及特征.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 7、通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则. 8、结合实例,会用频率估计概率.了解随机数的意义. 9、会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率. 1、基本概念 1．随机试验:在概率论中,我们把具有以下特点:①可以在相同的条件下重复地进行;②每次试验可能的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现的试验叫作随机试验. 2．样本空间和样本点:随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间,记为.如果一个随机试验有个可能的结果,则称样本空间为有限样本空间.样本空间的元素,即的每个可能的基本结果,称为样本点.样本点. 3．随机事件:一般地,我们称随机试验的样本空间的子集为的随机事件,简称事件,通常用大写字母表示在每次实验中,当且仅当中的一个样本点出现时,称事件发生. 4．基本事件:特别地,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.基本事件. 5必然事件:样本空间包含所有的样本点,它是自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件,必然事件的概率.反之,概率为1的事件不一定是必然事件. 6．不可能事件:不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件,.反之,概率为0的事件不一定是不可能事件. 2、古典概型 (1)古典概型的特点 有限性:样本空间的样本点只有有限个;等可能性:每个样本点发生的可能性相等. (2)古典概型事件的概率 3、频率与概率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离的概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率. 4、全面调查和抽样调查 (1)像人口普查,对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查; 根据一定的目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查. 抽样调查的核心是样本的代表性,每个个体被抽到的概率相等,样本数据能够反应总体. (2)调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.从总体中抽取的那部分 个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量. 例:调查高一年级1234名学生的课外阅读时间,随机抽取100名学生,其中总体:1234名学生的课外阅读时间,个体:每个学生的课外阅读时间,样本:抽取的100名学生的课外阅读时间,样本容量:100. 2．简单随机抽样:一般地,设一个总体含有个个体,从中逐个抽取个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样.我们所称的简单随机抽样通常指不放回简单随机抽样,通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 3．分层随机抽样:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 5、平均数的计算 1．普通平均数:个数据分别为,则 2．加权平均数:若一组数据的频率分别为,则 3．分层抽样的平均数:在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层样本的各个个体的变量值;用表示第2层样本的各个个体的变量值,则样本平均数为 同理,若总体分为3层,第1,2层和第3层抽取的样本量分别为,则样本平均数为 6、方差的计算 1．普通方差:个数据分别为,用表示这组数据的平均数,则方差 2．加权方差:若一组数据的频率分别为,用表示这组数据的平均数,则方差 为样本标准差,标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 7、百分位数的计算 ①第百分位数的概念 一般地,一组数据的第百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值. ②计算一组个数据的第百分位数 第一步:按从小到大排列原始数据; 第二步:计算; 第三步:若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. ③四分位数的概念 四分位数:包含第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数. 中位数相当于第50百分位数,第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 8、频率分布直方图中的数据计算 1．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,以各个小长方形的面积表现相应各组的频率,各个小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1. 2．频率分布直方图中的平均数:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 3．频率分布直方图中的百分位数:在频率分布直方图中,我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上.设为第组数据的频率,在计算第百分位数时,由确定第百分位数在第组,设第组所对应的区间为,第百分位数为,则 即直线左侧所有小长方形的面积之和为. 4．频率分布直方图中的方差:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 考点精讲讲练 考点一： 随机事件的概率 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 1．甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 2．天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 3．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 考点二： 统计量的计算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 1．已知数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（　　） A．45 B．54 C．90 D．126 3．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 考点三： 统计图表及其应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（    ） A．16 B．30 C．32 D．62 1．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是（    ）． A．360 B．600 C．840 D．1320 2．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图． 若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 训练 1、在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 2、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件 C．事件与事件相等 D．事件与相互独立 3、“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目，团队成员各自独立地解决项目的概率都是0.4．如果这个人的团队解决项目的概率为，且，则的最小值是(参考数据：，)（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 5、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 6、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 7、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 8、2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 9、某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 10、随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（    ） A． B． C． D． 11、某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于分的企业数为（    ） A． B． C． D． 12、从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 13、某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 14、在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 15、下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08统计与概率 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：随机事件的概率 考点二：统计量的计算 考点三：统计图表及其应用 实战能力训练 1、通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算总体均值,了解样本与总体的关系. 2、结合实例,理解并掌握统计图表的画法及应用,能用样本估计总体的取值规律. 3、结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 4、结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义. 5、结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.理解随机事件与样本点的关系. 6、结合具体实例,理解古典概型的概念及特征.能计算古典概型中简单随机事件的概率. 7、通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则. 8、结合实例,会用频率估计概率.了解随机数的意义. 9、会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率. 1、基本概念 1．随机试验:在概率论中,我们把具有以下特点:①可以在相同的条件下重复地进行;②每次试验可能的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现的试验叫作随机试验. 2．样本空间和样本点:随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间,记为.如果一个随机试验有个可能的结果,则称样本空间为有限样本空间.样本空间的元素,即的每个可能的基本结果,称为样本点.样本点. 3．随机事件:一般地,我们称随机试验的样本空间的子集为的随机事件,简称事件,通常用大写字母表示在每次实验中,当且仅当中的一个样本点出现时,称事件发生. 4．基本事件:特别地,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.基本事件. 5必然事件:样本空间包含所有的样本点,它是自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件,必然事件的概率.反之,概率为1的事件不一定是必然事件. 6．不可能事件:不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件,.反之,概率为0的事件不一定是不可能事件. 2、古典概型 (1)古典概型的特点 有限性:样本空间的样本点只有有限个;等可能性:每个样本点发生的可能性相等. (2)古典概型事件的概率 3、频率与概率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离的概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率. 4、全面调查和抽样调查 (1)像人口普查,对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查; 根据一定的目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查. 抽样调查的核心是样本的代表性,每个个体被抽到的概率相等,样本数据能够反应总体. (2)调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.从总体中抽取的那部分 个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量. 例:调查高一年级1234名学生的课外阅读时间,随机抽取100名学生,其中总体:1234名学生的课外阅读时间,个体:每个学生的课外阅读时间,样本:抽取的100名学生的课外阅读时间,样本容量:100. 2．简单随机抽样:一般地,设一个总体含有个个体,从中逐个抽取个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样.我们所称的简单随机抽样通常指不放回简单随机抽样,通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 3．分层随机抽样:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 5、平均数的计算 1．普通平均数:个数据分别为,则 2．加权平均数:若一组数据的频率分别为,则 3．分层抽样的平均数:在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层样本的各个个体的变量值;用表示第2层样本的各个个体的变量值,则样本平均数为 同理,若总体分为3层,第1,2层和第3层抽取的样本量分别为,则样本平均数为 6、方差的计算 1．普通方差:个数据分别为,用表示这组数据的平均数,则方差 2．加权方差:若一组数据的频率分别为,用表示这组数据的平均数,则方差 为样本标准差,标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 7、百分位数的计算 ①第百分位数的概念 一般地,一组数据的第百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值. ②计算一组个数据的第百分位数 第一步:按从小到大排列原始数据; 第二步:计算; 第三步:若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. ③四分位数的概念 四分位数:包含第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数. 中位数相当于第50百分位数,第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 8、频率分布直方图中的数据计算 1．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,以各个小长方形的面积表现相应各组的频率,各个小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1. 2．频率分布直方图中的平均数:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 3．频率分布直方图中的百分位数:在频率分布直方图中,我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上.设为第组数据的频率,在计算第百分位数时,由确定第百分位数在第组,设第组所对应的区间为,第百分位数为,则 即直线左侧所有小长方形的面积之和为. 4．频率分布直方图中的方差:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 考点精讲讲练 考点一： 随机事件的概率 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】记正品为，次品为，从中任取件，基本事件有： ，共种， 其中全是正品的是，共种， 所以取出的产品全是正品的概率是. 故选：C 1．甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 甲排在末位的概率. 故选：B. 2．天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 【答案】D 【分析】根据题意，先求出两地均不下雨的概率，在结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，且两地是否降雨相互独立， 所以甲乙两地均不下雨的概率为， 所以，这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为. 故选：D. 3．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6 【答案】C 【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案. 【详解】甲乙都不能译出密码得概率为， 故密码被破译的概率为. 故选：C 考点二： 统计量的计算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【答案】B 【分析】根据平均数的概念运算得解. 【详解】该同学周一至周五的平均日睡眠时间为. 故选：B. 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】计算，代入数据可得下四分位数，从而可求均值. 【详解】，故下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（    ） A．290 B．295 C．300 D．330 【答案】B 【分析】根据百分位数的知识求得正确答案. 【详解】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360， ，所以分位数为. 故选：B 1．已知数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数的性质直接运算即可. 【详解】由平均数的性质知：的平均数为. 故选：D. 2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（　　） A．45 B．54 C．90 D．126 【答案】C 【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n． 【详解】解：A种型号产品所占的比例为， ，故样本容量n=90． 故选C． 【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题． 3．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平均数和方差的公式即可求解. 【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，， 第i个同学的成绩没录入， 第一次计算时，总分是， 方差； 第二次计算时，， 方差， 故. 故选：C. 考点三： 统计图表及其应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 【答案】B 【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得， 解得， 所以用电量落在区间内的户数为. 故选：B. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 【答案】A 【分析】由频率分布直方图的面积为1即可求解. 【详解】依题意知的频率为， 故， 故选：A. 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（    ） A．16 B．30 C．32 D．62 【答案】C 【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案. 【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为， 参加理化类的人数为， 故参加数学类的人数比参加理化类的人数多， 故选：C 1．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是（    ）． A．360 B．600 C．840 D．1320 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图求出符合要求的频率，乘以总数即可 【详解】由频率分布直方图可得，小于的树苗的频率，所以可推测，3000棵树苗中高度小于的树苗棵数 故选：B 2．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图． 若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果． 【详解】由频率分布直方图得： 甲地区，的频率为：， ，的频率为， 甲地区用户满意度评分的中位数， 甲地区的平均数． 乙地区，的频率为：， ，的频率为：， 乙地区用户满意度评分的中位数， 乙地区的平均数． ，． 故选：C． 3．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 训练 1、在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果. 【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件， ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件， 故选：B． 2、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件 B．事件与为互斥事件 C．事件与事件相等 D．事件与相互独立 【答案】D 【分析】事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，从而事件与事件相互独立． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币， 设事件 “第一枚硬币正面向上”， 设事件 “第二枚硬币正面向上”， 事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关， 事件与事件相互独立． 故选：． 【点睛】本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3、“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目，团队成员各自独立地解决项目的概率都是0.4．如果这个人的团队解决项目的概率为，且，则的最小值是(参考数据：，)（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为：， 所以， ，，即， 两边取常用对数可得：，即， 解得，又， ，，即的最小值为． 故选：B． 4、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 5、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 6、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】A 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可. 【详解】对于选项A：设样本空间为，则， 即该试验的样本空间共有36个样本点，故A正确； 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：A. 7、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件及相等事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 8、2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式，列式计算即得. 【详解】依题意，两张奖券中恰有一张中奖的概率为. 故选：D 9、某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抽样比例，进而求解. 【详解】由题意知，抽样比例为， 则， 所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为. 故选：A 10、随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样可求得抽取的男生人数. 【详解】由题意可知，抽取的男生人数是人. 故选：B. 11、某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于分的企业数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据频率直方图求出不低于分的企业占比，即可求解. 【详解】由频率直方图知，不低于分的企业占比为，所以这次摸排中标准分不低于分的企业数为， 故选：A. 12、从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 13、某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【答案】C 【分析】根据产量、中位数、方差、极差概念逐项分析即可得解. 【详解】对A，只有第二和第三年甲产量比乙产量小，故A错误； 对B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对C，甲水稻年产量的均值为， 甲水稻产量的方差为， 乙水稻年产量的均值为， 乙水稻产量的方差为， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为，故D错误. 故选：C 14、在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 15、下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】利用概率的定义判断A；举例说明判断BC；利用事件的独立性性质判断D． 【详解】对于A，在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数之比， 称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时，频率将稳定在一个常数附近， 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率， 并不是说越大，估计的精度越精确，A错误； 对于B，函数，都是R上的单调函数，值域都是R， 而函数为常函数，B错误； 对于C，样本空间，事件， 则同时发生的概率，与中恰有一个发生的概率为，C错误； 对于D，若事件与相互独立，则事件与、事件与、事件与都相互独立，D正确. 故选：D 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $