3.4 函数的对称性及应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性及应用核心考点，涵盖轴对称、中心对称的判定，奇偶性与对称性的关联，对称性与周期性的转化，按概念梳理、性质关系、综合应用逻辑架构知识。通过考点解析、方法归纳、题型训练三环节，帮助学生构建函数性质认知体系，突破对称性应用难点。 资料以“数学思维”和“抽象能力”为导向，创新设计对比教学活动，如通过列表对比轴对称与中心对称的表达式特征，引导学生抽象出对称性本质。设置基础判断、性质综合、实际应用分层例题，配合选项解析即时反馈，助力学生在短时间内掌握对称性与单调性、周期性的综合应用策略，为教师提供精准复习节奏把控依据，提升学生应考能力。

§3.4 函数的对称性及应用·复习讲义 目录 题型1：函数对称性的判断及应用 3 题型2：函数的单调性与对称性 5 题型3：函数性质的综合 9 1. 函数的对称性 (1) 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 ①. ②. ③. (2) 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 ①. ②. ③. 2. 奇偶性与对称性的关系 ①若为偶函数，即，则的对称轴为 . ②已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 3. 对称性与周期性的关系 对于定义在上的函数，若 (1) 有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. (2) 有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. (3) 有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 4. 奇偶性、对称性与周期的关系 (1) 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. (2) 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 题型1：函数对称性的判断及应用 【例1.1.】 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】判断或证明函数的对称性 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【例1.2.】 已知函数与的图象关于点对称，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由对称性求函数的解析式 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 【例1.3.】 若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由函数对称性求函数值或参数、函数对称性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 【例1.4.】 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】函数对称性的应用、条件等式求最值 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 题型2：函数的单调性与对称性 【例2.1.】 设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、判断或证明函数的对称性、比较函数值的大小关系、由对称性研究单调性 【分析】根据条件，可得关于对称，所以，根据时的解析式，可得其单调性，根据对称性，可得时的单调性，根据自变量的大小关系，可得函数值的大小关系，即可得答案. 【详解】因为，所以关于对称， 因为当时，，单调递增， 所以当时，单调递减， 因为， 所以. 故选：B 【例2.2.】 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由对称性研究单调性、根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 【例2.3.】 已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 【例2.4.】 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由对称性研究单调性 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 【例2.5.】 若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、判断或证明函数的对称性、由对称性研究单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小． 【详解】因为， 所以 所以关于对称， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 又关于对称，故在上单调递增，且， 因为， 又， 且， ， 所以，故. 故选：A. 题型3：函数性质的综合 【例3.1.】 已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据函数的单调性解不等式、由对称性研究单调性 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【例3.2.】 已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 【例3.3.】 已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：， . 【例3.4.】 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 【例3.5.】 （多选）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、由对称性研究单调性、函数周期性的应用 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，结合函数单调性可判断D；求出和的值进行比较可判断C；利用周期性可判断B. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称，错误； 对于B，因为，， 所以，错误. 对于D，因为， 因为6是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，正确； 故选：AD ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.4 函数的对称性及应用·复习讲义 目录 题型1：函数对称性的判断及应用 3 题型2：函数的单调性与对称性 3 题型3：函数性质的综合 4 1. 函数的对称性 (1) 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 ①. ②. ③. (2) 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 ①. ②. ③. 2. 奇偶性与对称性的关系 ①若为偶函数，即，则的对称轴为 . ②已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 3. 对称性与周期性的关系 对于定义在上的函数，若 (1) 有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. (2) 有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. (3) 有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 4. 奇偶性、对称性与周期的关系 (1) 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. (2) 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 题型1：函数对称性的判断及应用 【例1.1.】 已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知函数与的图象关于点对称，则______． 【例1.3.】 若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【例1.4.】 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型2：函数的单调性与对称性 【例2.1.】 设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（ ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 题型3：函数性质的综合 【例3.1.】 已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【例3.3.】 已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【例3.4.】 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【例3.5.】 （多选）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $