专题05 平面向量（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题05平面向量 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：平面向量的线性运算与坐标运算 考点二：平面向量基本定理 考点三：平面向量的垂直与平行 考点四：平面向量的夹角与数量积 实战能力训练 1、通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,了解平面向量的意义.理解平面向量共线和向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素. 2、掌握平面向量的加法运算、三角形和平行四边形法则及加法运算律.借助实例和平面向量的几何表示,理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义. 3、掌握平面向量的减法运算、三角形和平行四边形法则及减法运算律. 4、理解两个平面向量共线的含义,了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 5、了解向量的一组基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理. 6、借助于平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 7、掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题. 8、掌握平面向量数量积的坐标表示,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 9、能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件,并能应用它们解决相关问题. 1、向量中的基本概念 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 2．向量的表示:向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模..向量几何表示(有向线段);向量符号表示(箭头+字母);向量坐标表示(实数对). 3．零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为.当有向线段的起点与终点重合时,. 4．单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.(在坐标系中)与共线的单位向量为:(即). 5．共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.,规定. 6．相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量. 7．相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.(的相反向量仍是0)若为相反向量,则. 2、平面向量的线性运算(加、减运算,数乘运算) 1．向量加法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(首尾相接、首尾连).规定:. (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 2．向量减法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(共起点、连终点,指向被减向量终点). (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 3．向量数乘运算及其几何意义: (1)规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作. ① ②当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,. 【中的:对起到同向或反向、伸长或缩短的作用.】 3、平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. ①不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ②向量的夹角：已知非零向量,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向;当时,. 2．平面向量的坐标运算:设,则 (1), (2), (3), (4)设点,则, 3．共线定理的坐标表示:若,则. 四、向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则.规定. 5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角: (1)设非零向量,则 ①,,, (2)设,则,或; 设点,则. 考点精讲讲练 考点一： 平面向量的线性运算与坐标运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图及向量加减法可得答案. 【详解】由图可得，. 故选：A 例题2．（19-20高一下·江苏·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，即可得解. 【详解】由，得， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 例题3．（2023·江苏徐州·模拟预测）化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解. 【详解】. 故选：A 1．如图，已知向量，那么下列结论正确的是    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B. 2．已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为，则，再结合可求出的值，从而可求得点的坐标 【详解】解：设点的坐标为，则， 因为， 所以，得， 所以点的坐标为， 故选：B 3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 考点二： 平面向量基本定理 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则得到ABC错误，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确. 故选：D 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 例题3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：D 2．如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以. 故选：D 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A. 考点三： 平面向量的垂直与平行 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论. 【详解】由，得， 对于A： ，故A项正确； 对于B：设，即，无解，故B项错误； 对于C：设，即，无解，故C项错误； 对于D：设，即，无解，故D项错误； 故选：A. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 例题3．（21-22高一下·江苏南京·期中）已知向量，，若，则x＝（    ） A． B．1 C． D．－1 【答案】D 【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可. 【详解】，，，解得：. 故选：D. 1．已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C. 2．已知向量．若，则实数（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再利用平行关系即可求出. 【详解】由题，因为，所以. 故选：A． 3．向量，.若，则实数的值是（      ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由向量共线的坐标运算即可得解. 【详解】解：因为向量，. 又，则， 即， 故选：A. 考点四： 平面向量的夹角与数量积 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中求出的坐标，由得到C在以为直径的圆上，求出该圆的方程，再设出的坐标，利用数量积的坐标表示，结合三角函数求出最小值. 【详解】令，依题意，，， 以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则， 令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为， 设，即， 则 ， 所以的最小值为. 故选：D 例题3．（2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 1．已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： ， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：D. 2．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与的夹角为，由向量数量积的几何含义可知，结合已知即可求. 【详解】设向量与的夹角为，则： ∵， ∴，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的几何意义求向量夹角的余弦值，进而求角即可. 3．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由，解得，再利用数量积公式求向量夹角的余弦值即可. 【详解】向量满足，则，即， 故，即，向量夹角为， 则. 故选：A. 训练 1、在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算得到. 【详解】因为，故， 所以. 故选：C. 2、已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得模长. 【详解】因为向量，则， 所以. 故选：D. 3、若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案. 【详解】因为 ，所以， 即， 可得，因为，所以. 故选：C. 4、在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 5、若向量，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求参数的值. 【详解】因为，所以， 即 . 故选：D 6、已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 7、已知，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 8、（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 9、已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】向量，， 所以， 故选：A 10、已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 11、如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 12、已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据，的坐标结合投影向量的定义即可求得答案. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 13、在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值. 【详解】如图，    由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知， ，设， 所以垂直平分于点, 由正弦定理，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力. 14、已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平面向量 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：平面向量的线性运算与坐标运算 考点二：平面向量基本定理 考点三：平面向量的垂直与平行 考点四：平面向量的夹角与数量积 实战能力训练 1、通过对力、速度、位移等物理量的分析,了解平面向量的实际背景,了解平面向量的意义.理解平面向量共线和向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素. 2、掌握平面向量的加法运算、三角形和平行四边形法则及加法运算律.借助实例和平面向量的几何表示,理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义. 3、掌握平面向量的减法运算、三角形和平行四边形法则及减法运算律. 4、理解两个平面向量共线的含义,了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 5、了解向量的一组基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理. 6、借助于平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 7、掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题. 8、掌握平面向量数量积的坐标表示,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 9、能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件,并能应用它们解决相关问题. 1、向量中的基本概念 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 2．向量的表示:向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模..向量几何表示(有向线段);向量符号表示(箭头+字母);向量坐标表示(实数对). 3．零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为.当有向线段的起点与终点重合时,. 4．单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.(在坐标系中)与共线的单位向量为:(即). 5．共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.,规定. 6．相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量. 7．相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.(的相反向量仍是0)若为相反向量,则. 2、平面向量的线性运算(加、减运算,数乘运算) 1．向量加法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(首尾相接、首尾连).规定:. (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 2．向量减法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(共起点、连终点,指向被减向量终点). (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 3．向量数乘运算及其几何意义: (1)规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作. ① ②当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,. 【中的:对起到同向或反向、伸长或缩短的作用.】 3、平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. ①不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ②向量的夹角：已知非零向量,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向;当时,. 2．平面向量的坐标运算:设,则 (1), (2), (3), (4)设点,则, 3．共线定理的坐标表示:若,则. 四、向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则.规定. 5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角: (1)设非零向量,则 ①,,, (2)设,则,或; 设点,则. 考点精讲讲练 考点一： 平面向量的线性运算与坐标运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）在中，为边的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（19-20高一下·江苏·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·江苏徐州·模拟预测）化简后等于（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知向量，那么下列结论正确的是    A． B． C． D． 2．已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 考点二： 平面向量基本定理 例题1 （2023高三·江苏·学业考试）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 考点三： 平面向量的垂直与平行 例题1 （2024高二·江苏·学业考试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 例题3．（21-22高一下·江苏南京·期中）已知向量，，若，则x＝（    ） A． B．1 C． D．－1 1．已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量．若，则实数（    ） A． B．2 C． D． 3．向量，.若，则实数的值是（      ） A．4 B． C．1 D． 考点四： 平面向量的夹角与数量积 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高二上·江苏·学业考试）已知向量，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 1．已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 训练 1、在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 2、已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（    ） A． B． C． D． 4、在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 5、若向量，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6、已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 7、已知，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8、（   ） A． B． C． D． 9、已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 10、已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 11、如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（    ） A． B． C． D． 12、已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 13、在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14、已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $