专题03 函数概念与性质（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题03函数概念与性质 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：函数的定义域与值域 考点二：分段函数 考点三：函数的奇偶性 考点四：函数的单调性 考点五：比较大小问题 考点六：函数零点存在定理 考点七：函数模型及其应用 考点八：函数性质综合 实战能力训练 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的三要素,能求简单函数的定义域. 2、实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.通过具体的实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图象,能正确地求出分段函数在某点的函数值. 3、理解函数最大(小)值的概念,会利用函数单调性求某些简单函数的最大(小)值. 4、先由具体函数形成对奇偶函数的感性认识,然后抽象归纳出奇偶函数的定义,了解函数的奇偶性的概念,会用定义判断函数的奇偶性. 5、通过具体实例,结合的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数的性质. 6、理解次方根和根式的概念,掌握根式的性质、根式与分数指数幂之间的相互转化. 7、通过具体实例,了解指数函数的实际意义.理解指数函数的概念和意义. 8、掌握指数函数的定义域、值域的求法.能画出具体的指数函数图象,并根据指数函数的图象说出指数函数的性质. 9、理解对数的概念,掌握对数的性质,能进行简单的对数计算.理解指数式与对数式的等价关系,能够熟练地进行对数式与指数式的互化.理解对数的运算性质. 10、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型. 11、会求对数函数的定义域、值域,会应用对数函数解决一些相关的实际问题. 12、知道对数函数与指数函数互为反函数. 13、结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较一次函数、指数函数、对数函数的增长速度的差异. 14、探索用二分法求方程近似解的思路并会画流程图,明确二分法的使用条件.通过二分法体会“逐步逼近”的思想,提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 1、函数的定义 (1)①一个对应一个;②多个对应一个 （2）函数的图象与动直线至多只有一个公共点.(判断一个图象是不是函数图象). (3)点在函数的图象上. 2．函数的三要素:定义域、对应关系、值域. 两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【定义域相同的条件下解析式可化为相同】 2、函数的解析式的求法 （1）代入法 ①由求复合函数 ②由等求 (2)凑配法【整体替换法,适用于等类型.】 （3）换元法【如.换元与凑配可以交替使用,如等类型.】 (4)待定系数法 告知函数类型或给出函数图象,就要设出该函数表达式,如是一次函数,则可设; ①利用条件得恒等式,由对应项的系数相等完成;②或利用条件得方程组,然后解方程组即可. 3、求值域、最值的方法 1．观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后观察,即可求出值域或最值. 2．配方法(对称轴法):对于形如形式的二次函数,利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3．换元法:代数换元法,三角换元法.运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略. 4、函数的单调性 1．定义:对于定义域内某个区间上的任意两个自变量. ①当时,都有,则称在区间上是增函数; ②当时,都有,则称在区间上是减函数. 5、函数的奇偶性 1．奇偶性定义:先看定义域是否关于原点对称,再比较与的关系. ①偶函数:对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数. 即为偶函数的图象关于轴对称轴对称. ②奇函数:对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数. 即为奇函数的图象关于原点对称中心对称. 6、指数运算 1．若,则叫做的次方根. （1）当为奇数时,;（2）当为偶数时,; 2．根式的性质: ② 3．正数的正分数与负分数指数幂的意义: ①;② 4．正数的指数幂的运算性质: ①,②,③; ④,⑤⑥. 7、对数运算 1．如果,那么数叫做以为底的对数,记作. 2．．【简记:,其中】 ①;②;③;④.【可用于常数化指数式、对数式】 3．对数的运算性质:若,则.(两边取对数) (1); (2);【】 (3). 8、指数函数图像 1．指数函数概念:一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 2．图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点,即当时,. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 变化对图象的影响 在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低. 9、对数函数图像 1．对数函数的概念:函数叫做对数函数,其中是自变量. 2．图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高. 10、幂函数图像性质 定义:函数做幂函数,其中是自变量,是常数.(重点:时图象与性质) 2．图象与性质: ①所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点 ②时,幂函数的图象通过原点,并且在上是增函数 特别地,当时,幂函数变化快,图象下凹;当时,幂函数变化慢,图象上凸 ③时,幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. ④在经过点平行于轴的直线的右侧,图像从下往上幂指数由小到大分布 11、函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数,使的实数叫做函数的零点. (2)方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点,且交点横坐标为. 12、二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 (1)确定区间,验证,给定精确度; (2)求区间的中点; (3)计算, (i)若,则就是函数的零点; (ii)若,则令(此时零点) (iii)若,则令(此时零点) (4)判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值为;否则重复(2)(4) 考点精讲讲练 考点一： 函数的定义域与值域 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，，解得. 故选：D 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可. 【详解】因为，所以定义域满足， 解得， 故选：A. 1．设函数的定义域（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数有意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】的定义域满足，解得. 故选：D 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 考点二： 分段函数 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，先求得，再求得. 【详解】依题意，或，解得， 所以. 故选：B 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，的值域为，不合题意； 若，则时，，，由于 ， 由题意可知需使； 若，则时，，，， 故需使， 即实数的可能值共有2个， 故选：B 1．已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，则可得，解方程可得的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：D 2．已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，先求,再求即得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 3．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 考点三： 函数的奇偶性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个函数的奇偶性和定义域，逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A选项，定义域为，故A错误， 对于B选项，定义域为，故B错误， 对于C选项，定义域为，且令，则， ，，故是奇函数，故C正确， 对于D选项，定义域为，且令，则， 故，故不是奇函数，故D错误 故选：C 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是偶函数，且，得到，再根据在上单调递减求解. 【详解】因为是偶函数，且，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即或 解得，或 故选：D 1．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案. 【详解】因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 2．下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数， 对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数， 对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数， 对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数， 故选：B 3．幂函数为偶函数，且在上为减函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质逐项分析判断. 【详解】对A：，则， 故为偶函数，且在上为减函数，A正确； 对B：的定义域为，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B错误； 对C：， 故为偶函数，且在上为增函数，C正确； 对D：，故为奇函数，D错误. 故选：A. 考点四： 函数的单调性 例题1 （2024高二上·江苏扬州·学业考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的性质直接求得答案. 【详解】函数开口向下，对称轴为， 由于函数在上单调递减， 所以，解得， 故选：B. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（    ） A．-2 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上单调递减，A错误，不是偶函数，B错误，定义判断C正确， 函数为奇函数，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，，函数在上单调递减，错误； 对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误； 对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确； 对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 故选：C 1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数函数图像的性质，判断对称轴和单调区间的位置关系，即可得答案. 【详解】由题意知函数在上单调递减， 而图象开口向上，对称轴为，则， 即实数的取值范围是， 故选：D 2．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性直接得解. 【详解】因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 3．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 考点五： 比较大小问题 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性及中间量“”和“”进行比较，即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性得到，，，得到答案. 【详解】；；， 所以. 故选：A 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对数函数的单调性比较与和与的大小可得解. 【详解】∵， 又， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过找中间值0，1来比较即可. 【详解】根据题意，，，，故. 故选：D 3．已知，， ，则（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将，，与和进行比较即可. 【详解】由已知， ∵指数函数在上单调递增，且值域为， ∴， ∴，即 又∵对数函数在区间单调递减， ∴，即，即. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：B. 考点六： 函数零点存在定理 例题1 （22-23高一下·江苏南通·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是. 故选：B. 例题2．（2024·江苏 学考模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可. 【详解】在上为单调递增函数， 又，故， 所以的零点一定在内. 故选：B. 例题3．（2024·江苏 学考模拟）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 1．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以，而函数为上的增函数， 由零点的存在性定理知函数的零点在区间. 故选：C 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数单调性和零点存在性定理即可. 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 考点七： 函数模型及其应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项. 【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型. 故选：B 例题3．（22-23高一上·江苏泰州·期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（    ）才能排放（结果保留整数，参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得. 【详解】解：依题意可得，所以，两边取对数可得， 所以，则， 所以，令，即，所以， 即， 所以， 所以废气至少需要过滤 才能排放. 故选：C 1．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（    ） A．10% B．20% C．30% D．50% 【答案】C 【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可． 【详解】由题意可知，， ， 故提升了， 故选：C． 2．某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案． 【详解】设2024年新建经济住房面积为万平方米，根据平均增长率的定义，则关于的函数是. 故选：B. 3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （    ） （参考数据：，） A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07 【答案】C 【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果. 【详解】由题可得，， ， . 故选：C． 考点八： 函数性质综合 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)9 (2)存在， 【分析】（1）求出二次函数的值域，根据区间长度的定义得解； （2）根据题意，写出分段函数，分别求出每段的值域，按照与的大小讨论，求出的值域，并根据求解验证. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为，的长度为. （2）根据题意，， 即，， 当时，， 当时，， 若，则的值域，则， 或，又，不合题意； 若，则的值域，则， 即，解得或（舍去）， 当时，满足，合题意. 所以存在实数，使得的长度. 例题2．（2023高一上·江苏苏州·学业考试）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； (2)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 【答案】(1) (2)有且仅有一个实数根，证明见解析 【分析】（1）根据对称求的解析式，把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （2）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决. 【详解】（1）设点为图象上任意一点，关于原点的对称点为， 由题意可知在上，则有，，故 时， 由可得，，即 令，则有两个不等正根 则有，，解得，. （2）令， 由，可知， 则时，与均单调递增，故在上单调递增， 又时，， ， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 例题3．（2024·江苏 学考模拟）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 1．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 2．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 3．已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的解析式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 训练 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 2、函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 3、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式有意义的条件计算可得结果. 【详解】由题意，令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 4、已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性,判断大小关系. 【详解】已知对数函数，当时，函数单调递减，因为,所以. 故选：D. 5、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的性质可得. 【详解】由对数函数的性质可得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 6、函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解. 【详解】由，解得. 故选：B. 7、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的奇偶性单调性判断即可. 【详解】为偶函数，故A错；为奇函数且单调递增，故B正确； 是奇函数，在和单调递减，故C错；是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 8、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 9、下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项. 【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数. 故选：B 10、已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到最值. 【详解】（1）在上是增函数.证明如下： 任取，且， ， ， ， 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 11、2012年7月1日，居民阶梯电价开始实行.“一户一表”的城乡居民用户电量从今往后正式按照三档收费.第一档月用电量为180度及以下，用电价格0.50元/度.第二档月用电量为181度-280度，电价0.55元/度.第三档月用电量为281度及以上电价0.80元/度. (1)写出月电费（元）与月用电量（度）的函数关系式； (2)若某户居民的电费为110元，问这户居民的用电量是多少？ 【答案】(1) (2)（度） 【分析】（1）根据题意，分别求得各个区间上的用电函数关系式，进而得到关于的函数关系式； （2）由（1）的函数关系式，设用户的用电量为，得出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，设月用电量为（度），月用电费为（元）， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以月用电费为月用电量为的关系式为. （2）解：由（1）中的函数，可得 当时，可得元； 当时，可得元， 因为某户居民的电费为110元，可得，则用户用电量在内， 设用户的用电量为，可得， 解得（度），即用户的用电量大约为（度）. 12、若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 13、已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，所以. 故选：D. 14、已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 15、已知函数. (1)求m； (2)判断并证明的奇偶性； (3)判断函数在是单调递增还是单调递减？请证明. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 (3)在上是单调递增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可； （2）利用奇函数的定义判断并证明即可； （3）利用函数单调性的定义判断并证明即可． 【详解】（1）根据题意，函数，且， 则，解得； （2）是奇函数，证明如下： 由（1）可知，其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以是奇函数； （3）在上是单调递增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，， 则，即， 所以在上是单调递增函数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数概念与性质 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：函数的定义域与值域 考点二：分段函数 考点三：函数的奇偶性 考点四：函数的单调性 考点五：比较大小问题 考点六：函数零点存在定理 考点七：函数模型及其应用 考点八：函数性质综合 实战能力训练 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的三要素,能求简单函数的定义域. 2、实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.通过具体的实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图象,能正确地求出分段函数在某点的函数值. 3、理解函数最大(小)值的概念,会利用函数单调性求某些简单函数的最大(小)值. 4、先由具体函数形成对奇偶函数的感性认识,然后抽象归纳出奇偶函数的定义,了解函数的奇偶性的概念,会用定义判断函数的奇偶性. 5、通过具体实例,结合的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数的性质. 6、理解次方根和根式的概念,掌握根式的性质、根式与分数指数幂之间的相互转化. 7、通过具体实例,了解指数函数的实际意义.理解指数函数的概念和意义. 8、掌握指数函数的定义域、值域的求法.能画出具体的指数函数图象,并根据指数函数的图象说出指数函数的性质. 9、理解对数的概念,掌握对数的性质,能进行简单的对数计算.理解指数式与对数式的等价关系,能够熟练地进行对数式与指数式的互化.理解对数的运算性质. 10、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型. 11、会求对数函数的定义域、值域,会应用对数函数解决一些相关的实际问题. 12、知道对数函数与指数函数互为反函数. 13、结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较一次函数、指数函数、对数函数的增长速度的差异. 14、探索用二分法求方程近似解的思路并会画流程图,明确二分法的使用条件.通过二分法体会“逐步逼近”的思想,提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 1、函数的定义 (1)①一个对应一个;②多个对应一个 （2）函数的图象与动直线至多只有一个公共点.(判断一个图象是不是函数图象). (3)点在函数的图象上. 2．函数的三要素:定义域、对应关系、值域. 两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【定义域相同的条件下解析式可化为相同】 2、函数的解析式的求法 （1）代入法 ①由求复合函数 ②由等求 (2)凑配法【整体替换法,适用于等类型.】 （3）换元法【如.换元与凑配可以交替使用,如等类型.】 (4)待定系数法 告知函数类型或给出函数图象,就要设出该函数表达式,如是一次函数,则可设; ①利用条件得恒等式,由对应项的系数相等完成;②或利用条件得方程组,然后解方程组即可. 3、求值域、最值的方法 1．观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后观察,即可求出值域或最值. 2．配方法(对称轴法):对于形如形式的二次函数,利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3．换元法:代数换元法,三角换元法.运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略. 4、函数的单调性 1．定义:对于定义域内某个区间上的任意两个自变量. ①当时,都有,则称在区间上是增函数; ②当时,都有,则称在区间上是减函数. 5、函数的奇偶性 1．奇偶性定义:先看定义域是否关于原点对称,再比较与的关系. ①偶函数:对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数. 即为偶函数的图象关于轴对称轴对称. ②奇函数:对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数. 即为奇函数的图象关于原点对称中心对称. 6、指数运算 1．若,则叫做的次方根. （1）当为奇数时,;（2）当为偶数时,; 2．根式的性质: ② 3．正数的正分数与负分数指数幂的意义: ①;② 4．正数的指数幂的运算性质: ①,②,③; ④,⑤⑥. 7、对数运算 1．如果,那么数叫做以为底的对数,记作. 2．．【简记:,其中】 ①;②;③;④.【可用于常数化指数式、对数式】 3．对数的运算性质:若,则.(两边取对数) (1); (2);【】 (3). 8、指数函数图像 1．指数函数概念:一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 2．图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点,即当时,. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 变化对图象的影响 在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低. 9、对数函数图像 1．对数函数的概念:函数叫做对数函数,其中是自变量. 2．图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高. 10、幂函数图像性质 定义:函数做幂函数,其中是自变量,是常数.(重点:时图象与性质) 2．图象与性质: ①所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点 ②时,幂函数的图象通过原点,并且在上是增函数 特别地,当时,幂函数变化快,图象下凹;当时,幂函数变化慢,图象上凸 ③时,幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. ④在经过点平行于轴的直线的右侧,图像从下往上幂指数由小到大分布 11、函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数,使的实数叫做函数的零点. (2)方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点,且交点横坐标为. 12、二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 (1)确定区间,验证,给定精确度; (2)求区间的中点; (3)计算, (i)若,则就是函数的零点; (ii)若,则令(此时零点) (iii)若,则令(此时零点) (4)判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值为;否则重复(2)(4) 考点精讲讲练 考点一： 函数的定义域与值域 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．设函数的定义域（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点二： 分段函数 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则(    ) A．2 B．1 C．0 D． 3．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三： 函数的奇偶性 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 3．幂函数为偶函数，且在上为减函数的是（     ） A． B． C． D． 考点四： 函数的单调性 例题1 （2024高二上·江苏扬州·学业考试）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（    ） A．-2 B． C．2 D．3 1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 考点五： 比较大小问题 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）设，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，， ，则（　　） A． B． C． 考点六： 函数零点存在定理 例题1 （22-23高一下·江苏南通·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·江苏 学考模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·江苏 学考模拟）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 1．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 考点七： 函数模型及其应用 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（22-23高一上·江苏泰州·期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（    ）才能排放（结果保留整数，参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 1．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（    ） A．10% B．20% C．30% D．50% 2．某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （    ） （参考数据：，） A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07 考点八： 函数性质综合 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. (1)已知，求的长度； (2)已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例题2．（2023高一上·江苏苏州·学业考试）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； (2)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 例题3．（2024·江苏 学考模拟）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 2．已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 3．已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，且的最小值为0，求实数的值． 训练 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 2、函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4、已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6、函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8、函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9、下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 10、已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 11、2012年7月1日，居民阶梯电价开始实行.“一户一表”的城乡居民用户电量从今往后正式按照三档收费.第一档月用电量为180度及以下，用电价格0.50元/度.第二档月用电量为181度-280度，电价0.55元/度.第三档月用电量为281度及以上电价0.80元/度. (1)写出月电费（元）与月用电量（度）的函数关系式； (2)若某户居民的电费为110元，问这户居民的用电量是多少？ 12、若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 13、已知函数，则（    ） A． B． C． D． 14、已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 15、已知函数. (1)求m； (2)判断并证明的奇偶性； (3)判断函数在是单调递增还是单调递减？请证明. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $