专题01 集合与常用逻辑用语（讲义，江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习

专题01 集合与常用逻辑用语明 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：集合的基本运算 考点二：根据集合的运算求参数 考点三：充分条件与必要条件 考点四：全称量词与存在量词 实战能力训练 1、通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.掌握常用的数集及其记法,掌握集合的两种表示方法. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3、在具体情境中,了解空集的含义.掌握子集、真子集及集合相等的概念,会判断集合间 4、能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 5、理解并集、交集的概念,会用文字语言、符号语言及图形语言来描述这些概念. 6、了解并集、交集的一些简单性质,会求两个简单集合的并集与交集. 7、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 8、通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 9、通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 10、能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,并会判断其真假. 11、能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,并会判断其真假. 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲讲练 考点一： 集合的基本运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点二： 根据集合的运算求参数 例题1 （2024高三上·江苏南京·学业考试）已知集合，则的真子集个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 例题2．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三： 充分条件与必要条件 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（23-24高三上·江苏苏州·期中）下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“且”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四： 全称量词与存在量词 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·江苏·学业模拟考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例题3．（2024·江苏·学业模拟考试）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若命题:，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 训练 1、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2、已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3、已知集合，则（    ）． A． B． C． D． 4、已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8、已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9、已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 10、已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11、命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 12、已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 13、已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 15、已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16、设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语明 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：集合的基本运算 考点二：根据集合的运算求参数 考点三：充分条件与必要条件 考点四：全称量词与存在量词 实战能力训练 1、通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.掌握常用的数集及其记法,掌握集合的两种表示方法. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3、在具体情境中,了解空集的含义.掌握子集、真子集及集合相等的概念,会判断集合间 4、能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 5、理解并集、交集的概念,会用文字语言、符号语言及图形语言来描述这些概念. 6、了解并集、交集的一些简单性质,会求两个简单集合的并集与交集. 7、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 8、通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 9、通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 10、能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,并会判断其真假. 11、能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,并会判断其真假. 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲讲练 考点一： 集合的基本运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意 . 故选：C 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合和集合，根据并集的定义求解即可. 【详解】， ， ，， . 故选：C. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可得集合，进而可得. 【详解】由已知得， 所以， 故选：C. 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 考点二： 根据集合的运算求参数 例题1 （2024高三上·江苏南京·学业考试）已知集合，则的真子集个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】作出几何图形，确定的元素个数即可得解. 【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合， 集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合， 在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，      观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点， 所以有3个元素，共有个真子集. 故选：C 例题2．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再由，则，应用集合间的包含关系即可. 【详解】，且，则， 则. 故选：C 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】利用集合的“并”运算，即可求出. 【详解】∵集合，，且， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查集合的并集，属于基础题. 2．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为,所以,所以或 . 若，则,满足 . 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B. 3．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义可求得的值. 【详解】由，，且，则得. 故选：B. 考点三： 充分条件与必要条件 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例题3．（23-24高三上·江苏苏州·期中）下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个判断是否为的充分不必要条件即可. 【详解】对于A：当时满足，此时不满足，所以A错误； 对于B：当时满足，此时不满足，所以B错误； 对于C：当时满足，此时不满足，所以C错误； 对于D：，所以是的充分不必要条件， 故选：D 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 2．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出两个不等式，根据范围判断即可. 【详解】由，得， 由，得，即或； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．“且”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案， 【详解】当且时，成立， 反过来，当时，例：，不能推出且. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 考点四： 全称量词与存在量词 例题1 （2023高三上·江苏徐州·学业考试）命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为：“”. 故选：C. 例题2．（2024·江苏·学业模拟考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词： 命题“，”的否定是， 故选： 例题3．（2024·江苏·学业模拟考试）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定. 【详解】由题意，，否定是， 故选：B． 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答. 【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，． 故选：D 2．若命题:，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词的否定是全称量词可得结果. 【详解】根据存在量词的否定是全称量词可得命题的否定为. 故选：D 3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为，则其否定是. 故选：C 训练 1、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2、已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，根据补集和并集概念进行求解 【详解】由题得，因为，所以. 又，所以. 故选：B. 3、已知集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 则 . 故选：B. 4、已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】由题可得. 故选：C 5、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集定义易得. 【详解】由，易得. 故选：A. 6、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：D. 7、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合交集运算求解. 【详解】∵，， ∴ . 故选：C. 8、已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据交集的定义计算可得. 【详解】因为集合，， 所以 . 故选：A 9、已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 10、已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为幂函数的定义域为，且在上单调递增，又为奇函数， 故在上单调递增，则由可推出，故充分性成立； 由也可推出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 11、命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“，都有”的否定是 “，使得”. 故选：B. 12、已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在性量词的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，为：. 故选：B 13、已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 14、已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法及对数函数的单调性求解不等式，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解不等式，， 所以． 故选：A． 15、已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】证明充分性时，假设成立，研究是否成立，证明必要性时，假设成立，研究是否成立，即可得出结论. 【详解】充分性：存在成立但不成立的情况，例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16、设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义即可求解. 【详解】，，， 此时集合，，故， . 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $