数学（新高考卷）-学科网2022届高三5月大联考考后强化卷

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密|启用前 学科网2022年高三5月大联考考后强化卷（新高考卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数z对应的点为，则 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是 A． B． C． D． 5．已知函数，则下列说法正确的是 A．的最小正周期是 B．的值域是 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．的递减区间是， 6．已知函数在x=2处取得极值，则的极小值为 A． B． C． D． 7．设数列的前n项和为，若，则 A．620 B．630 C．640 D．650 8．已知的内角所对的边分别为，若且的内切圆面积为，则面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若直线上存在点P，过点P可作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，且，则实数m的取值可以为 A． B． C． D． 10．环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的（空气质量指数），数据按照，，进行分组得到下面的频率分布直方图，已知时空气质量等级为优，则 A．甲、乙两城市的中位数的估计值相等 B．甲、乙两城市的平均数的估计值相等 C．甲城市的方差比乙城市的方差小 D．甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多 11．在正方体中，，分别为棱的中点，分别为线段上的动点，作平面，设平面截正方体所得的截面为，则下列说法正确的是 A．不可以是六边形 B．存在点，使得 C．当经过点时，点到平面的距离的最大值为 D．的最小值为 12．已知抛物线C：，过焦点F的直线交抛物线C于两点，直线(点为坐标原点)分别与直线m：相交于两点，则下列说法正确的是 A．焦点F的坐标为 B． C．的最小值为4 D．与的面积之比为定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，若，则向量与的夹角为________． 14．函数的图象在点处的切线方程为________． 15．过双曲线C：的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是________． 16．若，则 （1）________； （2）________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在中，角所对的边分别为． （1）求B； （2）求的面积． 18．（12分） 给出以下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且 ．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题． （1）求数列的通项公式；． （2）设数列满足，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（12分） 如图，直三棱柱中，，，D，E分别是，的中点． （1）证明：⊥平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 20．（12分） 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办．为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分．已知某选手在比赛中答对每道A难度问题的概率均为，答对每道B难度问题的概率均为，且每轮答题互不影响． （1）若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率； （2）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望． 21．（12分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知，且，若，求证：． 22．（12分） 已知椭圆过点，且离心率为，过直线上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B． （1）求椭圆E的方程； （2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标； （3）是否存在实数，使得（点C为直线AB恒过的定点）恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网2022年高三5月大联考考后强化卷（新高考卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C B D C A C ABC ABD BCD BCD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．D 【解析】因为，或， 故，则，故选D． 2．B 【解析】因为复数z对应的点为，所以,所以， 故选B． 3．C 【解析】由已知可得，等式两边平方得，解得． 故选C． 4．B 【解析】如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，，，则上底面面积为，下底面面积为，体积为．故选B． 5．D 【解析】因为函数，所以函数的最小正周期，所以选项A错误； 由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误； 当时，，，不是函数图象的对称轴，所以选项C错误； 令，，可得，，的递减区间是，，所以选项D正确．故选D． 6．C 【解析】由函数，可得，因为在处取得极值，所以，即，解得，所以，可得，令，得或，当或时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值，极小值为．故选C． 7．A 【解析】当n为奇数时，，故数列的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列， 所以；当n为偶数时，， 所以，所以．故选A． 8．C 【解析】由得，即．∵，∴，∴ ．∵，∴．∵，∴，∴ ，即．设的内切圆半径为，则，解得，∴ ，∴，解得，故，当且仅当“”时等号成立．故选C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABC 【解析】若，因为，所以，又，所以四边形是边长为1的正方形，所以对角线，等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得，解之可得，故选ABC． 10．ABD 【解析】选项A ，根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的的中位数的估计值均为125，故选项A正确； 选项B，设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则，即，同理，甲城市的的平均数的估计值为： ，乙城市的的平均数的估计值为： ，所以甲、乙两城市的平均数的估计值相等，故选项B正确； 选项C，由图可知，乙城市的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误； 选项D，由图可知甲城市在的频率大于，乙城市在的频率小于，所以甲城市在的频率大于乙城市在的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故D正确．故选ABD． 11．BCD 【解析】如图，对于A，取中点，中点，中点，在线段上取点，使得，在线段上取点，使得，在线段上取点M，使得．易知，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，所以，，，，，六点共面，又因为， 所以平面，故A错误； 对于B，当时，在中结合勾股定理可知．因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，当经过点，时，为平面AFP．因为是定值，所以要使得点到平面的距离最大，那么的面积最小．由于为定值，所以到的距离最小．由于平面，且，只需求到的最小距离即可，当运动到时距离最小，则到的最小距离为，到的最小距离为，此时 ，则点到平面的距离的最大值为，故C正确； 对于D，延长至使得，则，当且仅当，，三点共线且垂直于时，取最小值，最小值为，故D正确．故选BCD． 12．BCD 【解析】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A错误； 显然直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为，联立，消去x得到，，，，故B正确； 由抛物线性质知，则 ，当且仅当时，取得最小值为4，故 C正确； 显然，（定值），故D正确．故选BCD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 【解析】，且，，，，则，即与的夹角为． 14． 【解析】，，则．因为，所以所求切线方程为，即． 15． 【解析】取双曲线的一条渐近线，即，因为右焦点，所以， 因为，所以，所以，所以，因为直线与渐近线垂直，所以直线的方程为，令，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，得，，所以，所以离心率． 16．； 【解析】（1）由题意，可化为，由，可得，令，即时，可得， 所以． （2）令， 则， 则， 由（1）可得， 所以． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）因为， 所以，整理得．（2分） 由余弦定理可得，因为，所以．（3分） 因为，所以， 因为，所以．（5分） （2）由（1）知， 所以，解得或（舍去），（7分） 所以， 即．（10分） 18．（12分） 【解析】若选条件①． （1）由条件，得， 则公比，（2分） 令，可得， 即，所以，（5分） 从而有．（6分） （2）由（1）得，，（7分） 则有， 则其前n项和为： ．（12分） 若选条件②． （1）令，可得， 令，可得， 依次类推可得， 将这一系列等式求和可得．（5分） 其中，故可得．（6分） （2）由（1）得，，（7分） 则有， 则其前n项和为： ．（12分） 19．（12分） 【解析】法一：（1）取中点，连接，， ∵，∴， ∵平面，平面， ∴， 而平面，平面，， ∴平面，（4分） ∵为中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴． ∴平面．（6分） （2）如图建立空间直角坐标系，设，， 则， 设平面的法向量为，又， ∴即， 令，可得， ∵与平面所成的角为，又， ∴，即， ∴，解得， ∴，（9分） 平面，为平面的一个法向量， ∴， ∴二面角的余弦值为．（12分） 法二：（1）如图建立空间直角坐标系，设，， 则， ∴， ∴，（4分） ∴，即，又， ∴平面．（6分） （2）设平面的法向量为，又， ∴即， 令，可得， ∵与平面所成的角为，又， ∴，即， ∴，解得， ∴，（9分） 平面，为平面的一个法向量， ∴， ∴二面角的余弦值为．（12分） 20．（12分） 【解析】（1）他最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题， 故所求概率为．（4分） （2）依题意得，X的可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 5 10 15 P （10分） 所以X的数学期望．（12分） 21．（12分） 【解析】（1），（1分） 令，则，∴在上单调递增， 注意到， ∴当时，，此时，单调递减， 当时，，此时，单调递增， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为 ．（5分） （2）等价于， 等式两边同除以得，即，（7分） 由（1）知：在单调递减，在单调递增， ∴一正一负，不妨设． 构造新函数，则， ∴， 令，则， 当时，显然恒成立，所以， 又对恒成立， 所以当时，，即单调递减，． ∵， ∴，即， ∵， ∴， 其中，，且在单调递减， ∴，即．（12分） 22．（12分） 【解析】（1）由椭圆E过点，可得，  又，，  解得，  椭圆E的方程为．（3分） （2）设切点坐标为，，直线l上一点M的坐标为，  则切线方程分别为，（4分）  又两切线均过点M，，  即点A，B的坐标都适合方程，而两点确定唯一的一条直线，  故直线AB的方程是， （6分） 显然对任意实数t，点都适合这个方程，  直线AB恒过定点．（7分） （3）结论：存在实数，使得恒成立．  理由如下：  将直线AB的方程代入椭圆方程，  得，即，  由根与系数的关系可得，，（9分）  不妨设，，  ，同理，  ， 即，  故存在实数，使得恒成立．（12分） 数学全解全析 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网2022年高三5月大联考考后强化卷（新高考卷) 数学全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C B D C A C ABC ABD BCD BCD 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1.D【解析】因为A={xly=log2(x+1)}={xx+1>0}={x|x>-1,B={x|x2≥4={x|x≤-2或x≥2， 故CB={x|-2<x<2,则A∩(CB)={x-1<x<2}=(-1,2),故选D. 23+4i_3+40-20-12, 2.B【解析】因为复数z对应的点为6,4，所以z=3+4i,所以2-2-21+2i1+21-2D了5 故选B. 3,C【解析】由已知可得cosa-na,等式两边平方得1-2 sin=1-sin2a4 =g,解得sin2a=5 故选C 4.B【解析】如图，设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为h,母线长为1，则2r=π1,2πR=π·2， 解得-方R=1,12-11,A=-R-吓-，-兮-9则上底面面积为9=付-子下 2 底面面积为S=,体积为G+S”+VSM+好+孕7改选B。一 解折析】因为函数四ax一，所以函数的最小正周期T=干=2元，所以选项A霜 由f(x)解析式可知f(x)≥0，所以f(x)的值域为[0，+o),所以选项B错误： 1π2π，kπ X明中面、日亚c三·、，：C本三 士 3 令-8≤标，eZ,可得2-号<s2 3，k∈Z，·f田的递减区间是 22x+子，eZ,所以2项D正确，放选D, 数学全解全析第1页（共12页) 6.C【解析】由函数f(x)=-x3+ar2-4,可得f'(x)=-3x2+2ax,因为f(x)在x=2处取得极值，所以 '(2)=0,即-3×4+2a×2=0,解得a=3,所以f(x)=-x3+3x2-4,可得f'(x)=-3x2+6x,令f'(x)=0, 得x=0或x=2,当x<0或x>2时，f'(x)<0,当0<x<2时，f'(x)>0,所以f(x)在(-0,0)，(2，+o)上 单调递减，在(0,2)上单调递增，所以当x=0时f(x)取得极小值，极小值为f(0)=4.故选C, 7.A【解析】当n为奇数时，a+2-a。=3，故数列{a}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列， 所以a+4++0g=20x1+2019×3=590:当n为偶数时，4，+a,=3,a+4=3,,4+a0=3, 2 所以a2+a4+…+a40=10×3=30,所以S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=590+30=620.故 选A. 8.C【解析】由(2b-c(cosB-sin BtanC)+a=0得(2sinB-sinC)cosBcosC-sin BsinC +sinA=0,即 cosC (2sinB-sinC)cos(B+C)+sin AcosC=0.,A+B+C=元，∴.cos(B+C)=cos(π-A)=-cosA,∴. 2sin B.cos4=sin(4+C)=siB sinB0.c0s4-E0) 2 becos A≥2bc-bc=bc,即a≥√bc.设△ABC的内切圆半径为r,则πr2=4π，解得r=2,∴.SAABC= a+be0rcsm4,a-b+e=c≥瓜+h+e≥3c,解得c248,故5 2bc≥12√3， 4 4 当且仅当“b=c”时等号成立.故选C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ABC【解析】若∠APB=90°，因为PA⊥AO,PB⊥BO,所以∠AOB=90°，又AO=BO=1,所以四边 形AOBP是边长为1的正方形，所以对角线PO=√2，等价于直线x+y+m=0与圆x2+y2=2有公共点， 由圆心到直线的距离公式可得m≤V2,解之可得m∈[-2,2]，故选ABC. 2 10.ABD【解析】选项A,根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的AQI的中位数的估计 值均为125，故选项A正确： 选项B,设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则a×50×2+b×50+c×50×2=1, 即50(2a+b+2c)=1,同理50(2x+z+2y)=1,甲城市的AQI的平均数的估计值为：50c×25+50a×75+ 50b×125+50a×175+50c×225=50(250c+250a+125b)=50×125×(2c+2a+b)=125,乙城市的AQI的 数学全解全析第2页（共12页) 平均数的估计值为：50x×25+50y×75+50z×125+50y×175+50x×225=50(250x+250y+125z)=50× 125×(2x+2y+z)=125,所以甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等，故选项B正确； 选项C,由图可知，乙城市AQI的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误； 选项D,由图可知甲城市AQI在(0,50]的频率大于0.2，乙城市AQI在(0,50]的频率小于0.2，所以甲 城市AQI在(0,50]的频率大于乙城市AQI在(0,50]的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质 量为优的天数多，故D正确.故选ABD 频率 频率 个组距 组距 b a 50100150200250AQ 0 50100150200250AQI 甲 乙 11.BCD【解析】如图，对于A,取AF中点H,AA中点I,CC中点L,在线段AB上取点J,使得4AJ=AB, 在线段BC上取点K,使得4CK=BC,在线段CD上取点M,使得4CM=CD,.易知HM∥IL∥JK, 且HK,L,JM交于一点，该点为正方体的中心，所以H,I,J,K,L,M六点共面，又因为BE∥KL, 所以BE∥平面HIJKLM,故A错误： 对于B,当4C,P=CC时，在△BEP中结合勾股定理可知BE⊥EP,因为BE⊥EF,EF∩EP=E,所 以BE⊥平面EFP,又FPc平面EFP,所以BE⊥FP,故B正确： 对于C,当a经过点F,P时，&为平面AF印.因为r=×2×)x2x2= 1 是定值，所以要使得点 3 3 D到平面的距离最大，那么△AFP的面积最小.由于AF为定值，所以P到AF的距离最小.由于EF⊥ 平面BCC,B,,且AF∥BE,只需求P到BE的最小距离即可，当P运动到C时距离最小，则P到BE的最 225 店方，P到F的最小距离为， 2W52 24 1 小距离为C,Esin∠BEB=1× 22+0 5 此时S4m=2 /24 3r=4=2W6 5x兮6，则点D到平面a的距离的最大值为3店等， 故C正确； 对于D,延长BC至G'使得CG'=CG=1,则PG=PG',当且仅当O,P,G三点共线且垂直于BE时， 数学全解全析第3页（共12页） +PG取最小值，最小值为BG'sin∠OBG=BG'sin /BEB=3×店S,故D正确，故选BC D M C H B EY A D to G D K B 12.BCD【解析】由题意知抛物线方程为x2=4y,其焦点坐标为(0,1)，故A错误： y=c+1 显然直线AB的斜率存在，设斜率为k,则直线AB的方程为y=c+1,联立 x2=4y ,消去x得到 y2-(2+4k2)y+1=0,4=16k4+16k2≥0，y,+y2=2+4k2,yy2=1,故B正确： 由抛物线性质知1FA=片+1，FB=32+1，则1FAFB=(+100y2+)=2+0+2)+1=4+4k2 ≥4，当且仅当k=0时，|FAFB取得最小值为4，故C正确； 显然∠AOB=∠MON, S△4OB= 1.041-108|-sin∠AOB 1 o∠oNOw0N专子空c定值. S△MoN1 2 故D正确.故选BCD. 0 N M =-2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 1B.受【解】a=@b=仪0，且0+26-(，之仔二7m=a=1,0-3=B-少. 则csa,=gA-0,即a与b的夹角为子 a b 14.x+y-2=0【解析】f(x)=(x+2)ex,∴f'(x)=e-(x+2)ex=-(x+1)e,则f'(0)=-1.因为 f(0)=2,所以所求切线方程为y-2=-x,即x+y-2=0. 数学全解全析第4页（共12页) 15.5【解析】取双曲线的一条渐近线y=x,即br-w=0,因为右焦点Fc,0),所以1FAc-0=b, Vb2+a2 因为肩=20，所以肩=21，所以外网b,所以1F8b,因为直线r与渐近线 ”-日x垂直，所以直线F的方程为=号-0，令x=0,得y-g,所以B0,,所以108 b 因为o8F+1oF5Bf,所以(5+e=,所以+c-,所以ca+b)=6,所 b2 4 4 以4c=9b,得2c2=3b=3(c2-a2),c2=3a2,所以c=V5a,所以离心率e=C=5. a 0 16.27+1;171-26)【解析】(1)由题意，可化为(2-x)17=[3-(1+x)]7,由T8=C7[-(1+x)]?=-(1+x)”, 可得a,=-1,令1+x=1,即x=0时，可得a+a+a2+…+a6+a7=2”, 所以a+4+a2+…+a6=27-a,=27+1. (2)令g(x)=a+a1+x)+a21+x)2+…+a161+x)16+a71+x)7=(2-x), 则g'(x)=a1+2421+x)+…+16a61+x)l5+17a7(1+x)16=-17×(2-x)6, 则g'(0)=41+2a2+…+16a6+17a7=-17×216, 由(1)可得17a,=-17, 所以a,+2a2+3a3+…+16a16=-17×216+17=171-26). 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(10分) 【解析】(1)因为(sinA-sinB)(a+b)=(c-b)sinC, 所以(a+b)(a-b)=c(c-b),整理得b2+c2-a2=bc.(2分) 数学全解全析第5页（共12页） 由余弦定理可得cosA=+c-a 2bc =名因为4e@,所以4=背(3分) 9 sinsin,所以sinB=-6sin4_2x5_V a b 因为 a V322 因为a>b,所以B=T.(5分) 41 (2)由(1)知b2+c2-a2=bc,a=23,b=2√2， 所以c2-2√2c-4=0,解得c=√2+√6或c=√2-√6（舍去），(7分) 所以5 besin4=x25x+Ox 即SABc=3+V5.(10分) 18.(12分) 【解析】若选条件①. (1)由条件an1+0n=3×2”,得an+2+0n1=3×21, 则公比g=2+4-3x2 01+a,3x2°=2，(2分) 令n=1,可得a2+a1=3×2, 即2a1+a=6,所以a1=2,(5分) 从而有an=2×2”-1=2”.(6分) (2)由(1)得，b.=log2a,=log22”=n,(7分) 1111 则有b,bnn+)nn+1' 则其前n项和为： 时 十…十 =-n 1+n (12分) 若选条件②. (1)令n=1,可得a2-4=2, 令n=2,可得a4-a2=2, 依次类推可得an一an-1=2, 数学全解全析第6页（共12页） 将这一系列等式求和可得an-a,=2+2+…+2"-1=2”-2.(5分) 其中a1=2,故可得an=2”.(6分) (2)由(1)得，b.=log2an=log22”=n,(7分) 1 。111 则有bb.,aa+Dnn+1 则其前n项和为： 分片 nn+1n+1 n 1+元（12分) 19.(12分) 【解析】法一：(I)取BC中点F,连接AF,EF, D A AB=AC,.AF⊥BC, ,BB⊥平面ABC,AFC平面ABC, .BB⊥AF, 而BCC平面BCCB,BBc平面BCCB,BC∩BB=B, .AF⊥平面BCCB,(4分) :E为BC中点，.EF/BB,EF=BB, 2 .EF∥DA,EF=DA, ∴.四边形ADEF为平行四边形，.AF∥DE. .DE⊥平面BCCB.(6分) (2)如图建立空间直角坐标系，设AB=AC=2,AA=2t,t>0, 数学全解全析第7页（共12页） A x 则D(0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),B(2,0,2t), 设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),又BD=(-2,0,),BC=(-2,2,0), BDm=(-2,0,)(x,y,z)=0 -2x+z=0 即 BCm=(-2,2,0)-(x,y,z)=0' -2x+2y=0' 令x=t,可得m=(,1,2), .B,C与平面BCD所成的角为30°，又CB=(2,-2,2), 1 m.-副酒m CBm 4t 人1 8+4V4+272,解得1=V5, ∴.m=(2,√2,2)，(9分) DE⊥平面BCCB,∴.DE=(1,L,0)为平面BCCB,的一个法向量， .cos(m.DE)=m.DE 22V2 |mDE1V8x√221 ·二面角D-BC-B的余弦值为V2 .(12分) 法二：(1)如图建立空间直角坐标系，设AB=AC=2,A4=2t,t>0, D A 市 上x 数学全解全析第8页（共12页） 则D(0,0,t),B(2,0,0),C(0,2,0),B,(2,0,2),E(1,1,), ∴.DE=1,1,0),BB=(0,0,2),BC=(-2,2,0), .DE.BB=1,L,0)(0,0,21)=0,DE.BC=L,1,0)(-2,2,0)=0,(4分) .DE⊥BB,DE⊥BC,即DE⊥BB,DE⊥BC,又BB∩BC=B, .DE⊥平面BCCB.(6分) (2)设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),又BD=(-2,0,t),BC=(-2,2,0), ,BD·m=(-2,0,)(x,y,z)=0 -2x+tz=0 ,即 BC·m=(-2,2,0)(k,y,z)=0 -2x+2y=0' 令x=t,可得m=(t,t,2), ,BC与平面BCD所成的角为30°，又CB=(2,-2,21), aosm,c网)非m0r则Cam上 ICBm2 4t l8+4V4+272解得1=5， m=(2,√2,2)，(9分) DE⊥平面BCCB,.DE=L,L,0)为平面BCCB的一个法向量， cos(m,DE=m·DE 22√2 |mDE1V⑧x√22， ·二面角D-BC-B的余弦值为V .(12分) 20.(12分) 【解析】(1)他最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题， 故所求概率为P=C×号0-- .(4分) 5 125 (2)依题意得，X的可能取值为0,5,10,15， Px=0=0-xI-3-高 5125 5 PX=10=x0-3+1-等x号02 51255 4 42西 PX=15)=Cg×写x-3×5+3 2.248 数学全解全析第9页（共12页) 所以X的分布列为 X 0 5 10 15 P 3 24 2-5 48 125 125 125 (10分) 所以X的数学期望E(X)=0× 25*5x24 2+10x名+5x袋02.2分 21.(12分) 【解折】D)=。+-1,1分) e+ 令g(x)=e+x-1,则g'(x)=e+1>0,.g(x)=e+x-1在R上单调递增， 注意到g(0)=0, .当x∈(-o,0)时，g(x)<0,此时f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g(x)>0,此时f'(x)>0,f(x)单调递增， ∴.f(x)的单调递减区间为(-0,0)，单调递增区间为(0，+o).(5分) (2)aea+b+be=ae+bea+b等价于aea+b-aeb=bea+b-bea, 等式两边同除以e得a(e-D_be心D,即，f@=f⑥，(7分) ea eb 由(1)知：f()在(-∞，0)单调递减，在(0，+o)单调递增， .a,b一正一负，不妨设a<0<b. 构造新函数h(x)=f(x)-f(-x),则h(O)=0, .h)=f6)+f-对)=e+x-l+e-x-l_[c+I0e+x-0-e) e-x e 令p(x)=(x+1)e+x-1,则p'(x)=(x+2)e+1, 当x>0时，显然p'(x)>0恒成立，所以p(x)>p(0)=0, 又1-e<0对x∈(0，+oo)恒成立， 所以当x∈(0，+o)时，h'(x)<0,即h(x)单调递减，h(x)<h(O)=0. .b>0, ∴.h(b)<0,即f(b)<f(-b), 数学全解全析第10页（共12页)学利网 .. 绝密启用前 8.已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2b-cXcos B-sin Btan C)+a=0且△ABC的内切 圆面积为4π，则△ABC面积的最小值为 学科网2022年高三5月大联考考后强化卷（新高考卷) A.45 B.85 C.125 D.16N5 数学 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 注意事项： 9,若直线x+y+m■0上存在点P,过点P可作圆O:x2+y2=1的两条切线PA,PB,切点为A,B,且 1,答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 ∠APB=90°，则实数m的取值可以为 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 A.-1 B.0 C.2 D.3 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 10.环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的AQ1(空气质量指数)，数据按照(0,50，(50,100]，· 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 (200,250]进行分组得到下面的频率分布直方图，己知0<AQ1≤50时空气质量等级为优，则 合题目要求的。 顾 1.设集合A={x|y=log2(x+1)},B=x2≥4：，则A门(C.B) A.(-1,+) B.(2,+） C.【-12) D.(-1.2) 2.在复平面内，复数z对应的点为(3,4)，则 z-2-2i C.1-2i D.1+2i 2 3.已知sin+a+cosa，则sin2a= 50100150200250A01 100150200 250 甲 A.号 4 B. 5 C. D.3 A.甲，乙两城市AQI的中位数的估计值相等 4。下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半樱的半径分别是1和2，则该圆台的体积是 B.甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等 人0 B C.甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小 D,甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多 c.2 12 D.73 12 11.在正方体ABCD-ABCD中，AB=2,E,F,G分别为棱BC,4D,CD的中点，O,P分别为线段BE,CC 上的动点，作平面∥BE,设平面《截正方体所得的截面为B,则下列说法正确的是 5.已知函数a(吃-名 则下列说法正确的是 A,B不可以是六边形 A、份的最小正周期是号 B.存在点P,使得BE⊥FP B.f(x)的值域是lyeR且y≠0 C.当口经过点F,P时，点D到平面a的距离的最大值为2W6 C.直线x亚是函数f国)图象的一条对称轴 3 : D.了的递减区间是2kx-行，2x+孕，keZ D.OP+PG的最小值为 5 3 6.已知函数f(x)=-x3+ar2-4在x-2处取得极值，则f(x)的极小值为 12、已知腊物线C:y=子，过焦点F的直线交抛物线C于：，以8)两点，直线40,0（点O为 A.-24 B.-18 C.-4 D.0 坐标原点)分别与直线m:y=一2相交于MN两点，则下列说法正确的是 7.设数列a}的前n项和为Sn,若(-1°an+a2=3,4=1,则Sw= A,焦点F的坐标为(0,2) B.y=1 A.620 B.630 C,640 D.650 C.FFB1的最小值为4 D.△AOB与△MOW的面积之比为定值 数学试题第1页（共4页） 数学试题第2项（共4页） 空学利网 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 20.(12分) 13.己知向量a=(m,3.b=(3,-),若a+2b=(7,),则向量a与b的夹角为 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识， 14.函数fx)=(x+2e的图象在点(0，f(0)处的切线方程为一· 某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A.B难度问题中限选1题 15.过双曲线G手若=a>06>0的右传直F作新近线的香线。香足为点水文箱于有B,方 作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分：②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难 F=2AB,则C的离心率是一， 度何医得5分，答错则得0分。已知某选手在比赛中答对每道4难度问愿的概率均为子，答对每道日 16.若(2-x)”=+a,0+x)+a20+x)2++a61+x)5+a,0+x”,则 难度问题的概率均为？，且每轮容题互不影响。 年 (1)46+4+02++a6=; (1)若该选手3轮比赛都选择A难度问愿，求他最终得分为10分的概率： (2)41+2a2+3a3++16a16= (2)若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度间题，记他的最终得分为X, 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 求X的分布列和数学期望 17.(10分) 21.(12分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(sinA-sin BYa+b)=(c-b)sinC,a=25,b=2√2 已知函数)=， (1)求B: (1)求fx)的单调区间： (2)求△ABC的面积 (2)已知a,b∈R,且a≠b,若ae+be=ae+be,求证：a+b>0. 18.(12分) 22.(12分) 给出以下两个条件：①数列a}为等比数列，且a1+a,=3×2”,②数列{a}的首项a=2,且a- 口。=2”.从上面①②两个条件中任逃一个解答下面的问题。 号+若=a>6>0)过点点号.且高心率为分，过直线：x=4上一点M到稀圆E 已知椭圆E:￡1上2 2 (1)求数列{a}的通项公式： 的两条切线，切点分别是A,B. 2②设数列h1清足么=加g,4,求数列。女一的前：项和工。 (1)求椭圆E的方程： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 (2)若在椭圆号， 因后长-a>b>0上的任一点，)处的切线方程是答+器1求证，直线 19.(12分) 恒过定点C,并求出定点C的坐标： 如图，直三棱柱ABC-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E分别是A4,BC的中点. (3)是否存在实数2，使得AC+BC卢4CBC1(点C为直线AB恒过的定点)恒成立？若存 (1)证明：DE⊥平面BCCB: 在，求出入的值：若不存在，请说明理由. (2)已知BC与平面BCD所成的角为30°，求二面角 D-BC-B的余弦值. 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页）