数学（新高考卷）-学科网2022届高三5月大联考

学利网 绝密★启用前 8.在△ABC中，cosA= 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷) 5'△ABC的内切圆的面积为16m,则边BC长度的最小值为 A.16 B.24 C.25 D.36 数学 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 9.直线：x+y+a=0与圆C:(c-1)2+y2-1交于AB两点，O为坐标原点，且△40B为直角 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 三角形，则实数a的值可能为 2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 5 A.2 B.-2 c.-1 D.0 0 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 10.某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级的数学成绩（百分制，均位于 ● 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 [40,100内)，并将所得数据分为6组：[40,50).[50,60)[0,100，整理得到如图所示的 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 频率分布直方图，则下列说法不正确的是 一个选项是符合题目要求的. 率 期率 1.设全集U=R,集合A={xx2-3x≤0)，B={y|y=2},则A∩CB)= 030 A.(03 B.{0y C.(-m,0] D.[-3,1] 0.022 022 2.已知复数z在复平面内对应点的坐标为3，-)，则，三 0020 4+3i 0.0i6 .016 A.-i B.i C.3-4i D.5 010 3.已知角日的终边与单位圆的交点在直线x+y=正上，则如28 0.006 13 02 050070)010成绩/分 05知607000100成绩/分 A吕 B.-3 1 C. 12 甲班数学成绩 乙班数学成渍 13 A.甲班数学成绩的平均分约为72分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） 4.通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的 B.乙班数学成绩的最高分高于甲班数学成绩的最高分 一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm)制作该容 C.甲班数学成绩的及格率低于乙班数学成绩的及格率（成绩不低于60分为及格） 器的侧面，则该圆台形容器的高为 D.甲班数学成绩不低于80分的人数多于乙班数学成绩不低于80分的人数 A. B.1cm 11.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，E为棱AD上的动点，平面a过点E且与平面 ADC平行，则 C.√5cm D.3 -cm A.BE⊥CD 2 B.三棱锥E-B,C,D的体积为定值 5.若函数f()tn(r-川(o>0)的最小正周期为4，则下列区间中f(x)单调递增的是 A B. 南 c.) D.(3,4) c.DB与平面4DG所成的角可以是号 6。已知函数国=+-+a有两个极值点，且K-5上25 则fx)的极大值为 D.平面a与底面ABCD和侧面CDDC的交线长之和为22 3 A. 5 B. 23 12.已知点F为抛物线C:x2=2(p>0)的焦点，直线1过点D(0,m)(m>0)交抛物线C于 9 9 A,B()两点，A+1.设O为坐标原点，P凸十三，-m）,直线PAPB与x轴 C.3 2 D.5 分别交于M,N两点，则以下选项正确的是 A,p=2 7.已知数列a,}中，4=1,4=2，aa=(←少a+2,则2 B.若m=1,则OA.OB=0 C.若m=P,则△OAB面积的最小值为4N2 A.3 D. 19 D.M,N,PF四点共圆 数学试卷第1页（共4页） 数学试卷弟2页（共4页） 学科网 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， :///// 13.已知向量a=(cos30°，-sin210),b=(√5,1)，则a与b夹角的余弦值为 (2)求二面角A-BC-A的余弦值 14.若幂函数fx)=x“的图象过点P(4,8),则曲线y=f)在点P处的切线方程为」 20.(12分) 15.已知双曲线C:苦若=1a>0b>0的右焦点为P,过点P作双曲线C的一条新近线的 “学习强国”学习平台是由中共中央宜传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想 :/ 垂线1，垂足为M.若直线I与双曲线C的另一条渐近线交于点N,且满足 和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，其中的“挑战答 ON+4OM=5OF(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 装/ 题”更是趣味盎然、引人入胜，“挑战答题”规则为：(1)挑战开始后，挑战者依次回答 区 16.记f(w)为函数f()的n阶导数且f2()=[f"(x),f(x)=Lf-(x(n≥3neN), 若()存在，则称fx)n阶可导.英国数学家泰勒发现：若f()在x附近n+1阶可导， 界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：①结束本局，挑战结束；②通 则可构造T闭=f)+c-)+62a-》+…+2-少（称为次 过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加：(2)答对5题或5 1! 24 泰勒多项式)来逼近f(x)在x。附近的函数值.据此计算f(x)=©在x。=0处的3次泰勒多 题以上均为挑战成功，可获得6分，否则无积分可得：(3)每次挑战，通过分享界面复 助 项式为T()= 一：f网=-在。=-1处的10次泰勒多项式中x的系数 活的机会只有一次 为 (本题第一空2分，第二空3分) (1)如果甲对“挑战答愿”中的每一道腿回答正确的概率均为分且各愿是否回答正确 服 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(10分) 互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率： 器 已知△ABc的内角4B,C的对边分别为a,bc,b=V万，c=4,2cos(B-孕+V7smC=3, (2)假设乙挑战一次获得成功的概率为行，他在一周内(？天刀)每天都挑战一次，且各次 (1)求B: 挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为X,求X的分布列及数学期望 (2)若C为锐角，求△ABC的面积 21.(12分) 18.(12分) 1 己知函数fw)=四(a≠0). 已知数列a,)满足a4-2a=n+24= e 31 A)若对任意的x∈R,都有f)s士恒成立，求实数a的取值范围： (1)请在集合{-2,2}中任取一个元素作为k的值，求数列{a}的通项公式： + ②若第1)问取=2，令6-口正求数列古的前”项和 (2)设m,n是两个不相等的实数，且m=ne“.求证：m+n>2。 22.(12分) 若第(1)问取k=-2,求数列{a}的前n项和T. 已知直线：x-2y+5=0与椭圆C:苦+=1.过直线1上一点P收，)作椭圆C的两条 注：如果同时选择k的两个取值分别解答，按第一个解答计分」 切线，切点分别为A,B ▣家▣ 19.(12分) (1)求证：直线AB恒过定点： 如图.在三棱柱BC-4G中，4上平面A8C,∠AC-行，且B=BC=24,M (2)设O为坐标原点，当点P不在坐标轴上且OAOB=0时，求此时点P的坐标， 为棱AC,的中点。 (1)求证：BM⊥平面AB,C: 数学试卷第3页（共4页） 数学试卷第4页（共4页）学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 数学·答案+评分标准+评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1 2 4 S 6 7 8 B A D B D A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.BC 10.ABD 11.AB 12.ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 B 14.3x-y-4=0（或y=3x-4) 15. 210 16.1+x+ + 26:330 评分说明：其他形式只要最终化简结果正确就给分 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分) 【解析】(1)由正弦定理，可得bsinC=csin B, 又b=√7，c=4,所以√7snC=4simB.(1分) 因为2co(8-受-2snB,所以2coeU8-+V万smC-2面8+4smB=6s9B=3, 所以sinB= .(3分) 2 在△ABC中，因为b<c,所以B<C,所以B为锐角， 故B=亚.(5分) 6 (2)方法一：由(1)，得sinc= 7 > 因为C为锐角，所以cosC=V .(7分) 7 由余弦定理c2=a2+b2-2 bcosC,可得ad2-2W3a-9=0, 解得a=-5(舍去)或a=33.(9分) 数学答案+评分标准+评分细则第1页（共10页) 所以△16c的面积为scc5万，29=310分) 7 方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D, B 因为B,C均为锐角，所以点D在线段BC上 在Rt△ABD中，AD=)AB=2,BD=25.(7分) 2 在Rt△ACD中，AD=2,AC=√万，则DC=√3 所以BC=BD+CD=3√3. 所以△4C的面积为8-BC4D}×35x2=35.(10分) 评分说明： 1.第（①）间中，求得m2号得B-石或卫-G未通过求B的范国进行取合，扣2分 1 2.第(1)问也可以用下面方法： 因为2cos(B-=2sinB,所以2sinB+V7simC=3,(1分) 设△ABC的外接圆半径为R,则2×2 Rsin B+√7×2 RsinC=3×2R,即2b+√7c=6R.(2分) 因为b=√7，c=4,所以R=万 派号(3分列 因为6B于2R.,所以simB=名=1 在△ABC中，因为b<C,所以B<C,所以B为锐角， 故B=云5分) 3.第(2)问方法一中9分处，能正确利用余弦定理可得1分. 18.(12分) 【解析】(1)当取k=2时，可得a1Q=+, 2+4,(1分) 所以a.=(a.-a-)+(an-1-a-2)+(an-2-a-3)+…+(a-a)+a -1+”,2+++l+ 2 2 2 43 数学答案+评分标准+评分细则第2页（共10页) m-D+n-1+-1+-”+0≥2），(4分) 44343412 容易验证，4=3也满足上式，(5分) a牙 .(6分) 当取=2时，可得a+a=片}”牛牙1分 所以a1+”+- 4=-a.+,(3分) .、 即数列a+孕是以4+寻2为首项，-1为公比的等比数列.(4分) 17 改a(少品a='2号6分 1_n (2)当取k=2时，ba.122 1-4 所以bb.+ =41与)，(9分) nn+1' 4n nn+1'n+ .(12分) 当取k=-2时，4=(-少7” 124 ①若n为偶数，则T=-+2++马=0+D,(9分) 44 4 8 ②若加为商数，则=日异*+学，1分 4128 〔+)，n为偶数 8 故T= 7n+1 (12分) ,n为奇数 128 评分说明： 1.第(1)问取k=2的情况中4分段处，能正确写出an=(a。-4-)+(a--a-2)+(a-2-a-3)+… +a-4)+a可得1分，最后不验证4-专扣1分 2。第)问取k=-2的情况中，不写出a+学是等比数列，扣1分 数学答案+评分标准+评分细则第3页（共10页） 19.(12分) 【解析】(1)方法一：如图，取AC的中点N,连接BM,BN,N,BN 由题可得BB,⊥平面ABC,所以BB⊥AC,BB1⊥BN. 因为AB=BC=2A4,ABC=5,所以BN=4B=A4=BA,BNLAC,2分) 又BB∩BN=B,所以AC⊥平面BBMN,且四边形BBMN为正方形，(4分) 所以AC⊥BM,BM⊥BN, 又AC∩BN=N,所以BM⊥平面ABC.(5分) 方法二：如图，取AC的中点N,连接BM,BN,N,BN. 由题可得BB⊥平面ABC,所以BB⊥AC,BB,⊥BN. 6AB=BC=2A4,ABC5，所以BN=AB=A4=B弧，BN1AC,( 又BB∩BN=B,所以AC⊥平面BBMN,且四边形BBMN为正方形.(4分) 因为ACc平面AB,C,所以平面ABC⊥平面BBMN, 又平面ABC∩平面BBMN=BN,BM⊥B,N,所以BM⊥平面AB,C.(5分) (2)由(1)可知，AC,BN,MN两两垂直，以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. M y 令A4=1,则AB=BC=2,AC=2√5 故B1,0,0),C(0,-V3,0)A1(0,V3,1),B1,0,1),M(0,0,1) 数学答案+评分标准+评分细则第4页（共10页） 所以BM=(-1,0,1),BC=(-1,-√5，-1)，4=(0，-25，-1).(8分) 由(1)可知BM=(-1,0,1)为平面ABC的一个法向量 设平面4B,C的法向量为m=(k,y,则mC=0 4=。即t3=0 -25y-z=0 令y=√3，则x=3,z=-6,则m=(3,√3，-6)为平面ABC的一个法向量.(10分) BM·m -3-6 3v6 所以co(BM,m)Bi-mV2x9+3+36 8 结合题意知二面角4-B,C-A的余弦值为3Y .(12分) 8 评分说明： 1.第(1)问证明过程中的关键步骤没有写必须扣分，比如：方法一中的AC∩B,N=N;方法二中的ACc 平面AB,C等，此问也可通过建系证明，但必须交代清楚三条两两垂直的直线，然后再建系，如果书 写规范，计算正确同样给分： 2.第(2)问如果没有写出“AC,BN,N两两垂直”，直接写“如图建系”扣1分： 3.法向量的计算过程可以不做要求，只要正确不扣分： 4.坐标原点的选取可以不同于参考答案，只要选取位置合理，建系正确均给分： 5.若写为“二面角4-BC-A的余弦值为-36，扣1分 8 20.(12分) 【解析】(1)记事件A为前5题都回答正确： 记事件A,为前5题有且只有1题回答错误，其余回答正确，且第6题回答正确。 记挑战一次获得成功为事件A,则事件A包含A,A,两个事件，且A,A,互斥， 所以P(A)=P(A)+P(A).(2分) 为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为 所以0=0+)=-c白 故甲挑战一次就获得成功的概率为 ,(4分) 64 (2)设乙在一周内挑战成功的次数为5， 由题意知，专服从二项分布，即5~B(7,为 .(5分) 因为X=,所以PX=0PE=0=c=B西 数学答案+评分标准+评分细则第5页（共10页) x=13===cx今× px-1图-g)-c离 x29:9cr9 Px=0=pG=列=c x0e=0c9s Px=42=P=刀=C9x×°= 1 所以X的分布列为： X 0 6 12 18 24 30 36 42 1 7 21 35 35 21 7 P 128 128 128 128 128 128 128 128 (10分) 因为(5)=p=7×1=7 (11分) 22 所以B(0=6×B(5)=6×7=21.(12分) 2 评分说明： 1.第(1)问中：只要写记挑战一次获得成功为事件A”得1分：正确计算出了得1分：正确计算出 64 P(A人P(A)各得1分. 2.第(2)问中：若学生未通过X=65直接求X取相应值的概率，不扣分 21.(12分) 1 【解析】(1)当a<0时，f()= 因为0<e<,所以上>，即白>，不符合题意：(2分) 1 e a e ea 当a>0时，由f=a0-0可知，当x∈(n.)时，f')>0,当x∈0，+m时，f)<0, ex 所以f(x)在(-0,1)上单调递增，在L,+∞)上单调递减.(3分) 所以f)≤f0)=名4分) 数学答案+评分标准+评分细则第6页（共10页） 由f)s恒成立可知s士，所以a≤1.(5分) e e e 又因为a>0,所以a的取值范围为(0,1].(6分) (2)因为m=ne,所以me”=e,即=” ee 令8()= 。,由题意可知，存在不相等的两个实数%，使得8)=gm.(7分) 由(1)可知8(x)在区间(-0,1)上单调递增，在区间1，+∞)上单调递减. 不妨设m<n,则m<1<n. 设h(x)=8(x)-8(2-x)(x>1),(8分) 则=g0-g2=。+《-0e=a-)1≥0. e 所以h(x)在Q,+o)上单调递增，(9分) 所以h(x)>0,即g(x)>g(2-x)在区间1，+o)上恒成立. 因为n>1,所以g(m>8(2-m).(10分) 因为g(m=8(),所以8(m>8(2-).(11分) 又因为m<1,2-n<1,且8(x)在区间(-o,1)上单调递增， 所以m>2-n,即m+n>2.(12分) 评分说明： 1.第(1)问，可以自变量x为讨论依据，分x>0,x=0,x<0三种情况讨论，分别求得a的取值范围再 取交集，即思路为： 当x>0a≤二恒成立，求得a≤1且a≠0： 当x=0,0s士恒成立，此时aeR且a≠0： e e-1 当x<0,a≥一恒成立，求得a>0, 综上，a的取值范围为(0，] 2.第(2)问正确构造8(x)得1分；第(2)问正确构造(x)得1分： 3.第(2)问还可以用下面解法： ①（对数均值不等式）：因为m=e,所以me=c,即心=” 令8)=。，由慰意可知，存在不相等的两个实数以n,使得8m)=500.(7分 由(1)可知g(x)在区间(-∞，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减. 令。=和三t,结合函数W)的图象可知m>0,n>0,1>0 数学答案+评分标准+评分细则第7页（共10页） Im=Int+m 取对数可得 Inn=Int+n ，两式相减可得hl-nn=-n, 整理可得1= nl-n (8分) Inm-Inn 下商正不等式8品g”生9相废立不纺设P>g0,要花8品g生2， 22-10 即证h名>g一，令名=x>1,只需证nx>2x g卫+1 x+1 ,(9分) 设F=nx-20-少x>1》,求导可得r'=- >0, x+1 x(x+1)2 故函数F)在Q+)上单调递增，故F)>P)=0,即不等式nx>2-少成立， x+1 放不等式n,P2恒成之(10分) 所以有1=m-北<"牛”，故m+n>2成立(12分) Inm-Inn 2 ②（化值换元）：因为m=e，所以mem=e“,即业=” 令8)-。，由思盒可知，存在不相等的两个实数”，使得8m=800.(7分》 由(1)可知8(x)在区间(-0,1)上单调递增，在区间(1，+w)上单调递减 不妨设m>n,则n<1<m. 迪婴名相贸，令贸-=4期18分 1 所以l-n=nt,m=tm. 所似n如 -1,(9分) 救要证+>2成立，即证《+)l血t>2成立，即证n1>2-D成立(10分) t-1 t+1 令0=n1-2-,1>1,求导可得h0=- t+1 +)>0, 故函数h(t)在L,+o)上单调递增，故h(t)>h)=0, 即不等式nt> 2t-山成立，故不等式1>2成立，11分) t+1 即n+>2成立.(12分) 22.（12分) 【解析】设A(X,y),B(2,y2) 数学答案+评分标准+评分细则第8页（共10页） (1)当y≠0时，不妨设，<0.由兰+=1可得=1- 4 恩5-8，分4(2 2V4-x22×(-2y)4y1 所以椭圆C在A点处的切线方程为y-y=-任-x), 整理可得xx+4yy=4. 同理可得椭圆C在B点处的切线方程为x,x+4y,y=4. 当y=0时，椭圆C在A点处的切线方程x=2满足方程xx+4yy=4,同理x=-2也满足，（2分) 因为椭圆C在A点处的切线经过点P(x,),所以xx。+4y。=4. 同理椭圆C在B点处的切线也经过点P(x。,y,),所以x2x。+4y2y。=4. 所以直线xx。+4y。-4=0既经过点A,又经过点B. 所以直线AB的方程为x,x+4yy-4=0,(4分) 因为，-24+5=0，所以x,x+4×。+5 2 ×y-4=0,即(x+2y)x。+10y-4=0, 4 由x+2=0 x=一 可得 5 10y-4=0 2 y= 5 所以直线AB恒过定点(43 (6分) 5'5 (2)方法一：由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=:+专+ 5 5 4、 2 y=k(x+?+ 由 5 5,可得0+4k)x+84k+2+4(4+2八-100=0.(7分) 4+2s1 x 5 25 162+,x4-1625+10 所以x+x=50+4k) 251+4k2) 防以=低++依3 5 =k5,+20+D飞+5)+4(2+少 5 25 =-100+42k+1.(9分) 2501+4k2) 因为OAOB=0,所以xx2+yy2=0. 数学答案+评分标准+评分细则第9页（共10页） 所以16(2+)-100+-100+42+少=0，可得2-4k+4=0,即k=2.(10分) 251+4k2) 251+4k2) 又因为直线AB的方程为xx+4yy=4,且x。-2y。+5=0. 所以k=-。=5-2%=2 4y。4y。 1 所以%2名=4， 故P点的坐标为(4,2.(12分) 方法二：因为OA·OB=0,所以OA⊥OB 设|OA=1,OB=2,A(r cos6,1sin),则B(-2sin6,2cos).(7分) 国为4,8在国C上.前似g,i9-1,议m0 同理可得1=sim2 2 2+cos20. 4 m以片日生器导-子8 ,4=25 设点0到直线AB的距离为d,则1ABP=2,所以d-4, (10分) 5 由题意可知直线AB的斜率存在且不为0. 设直线5的方程为y专+孕，即红-十号0， 5 5 所以点0到直线5的离3芳，即+40，解2：2 ①可知，直线B的率为26十则2所4，专 2(x。+5) 所以点P的坐标为(4，.(12分) 评分说明： 1.第(1)问中，若学生直接应用结论写出椭圆C在A点处的切线方程，不扣分： 2.第(2)问方法一中化简结果：Q+4)x2+84+2习+44+2-100-0只要正确即可： 5 25 方法二中，只要设出A,B坐标即可得1分. 数学答案+评分标准+评分细则第10页（共10页） 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A D C B D A BC ABD AB ACD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．B 【解析】由题可得所以，故，故选B． 2．A 【解析】由题可得，则，故选A． 3．A 【解析】由题意可得，则所以，故选A． 4．D 【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为,则，，解得.圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1 cm和4 cm，腰长为3 cm，可求得高为cm，故选D． 5．C 【解析】，由，得的单调递增区间为，故选C． 6．B 【解析】因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，由题意可得 ，解得.此时，，当时， ，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值.故选B． 7．D 【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，∴； 当为偶数时，，则，两式相减得，∴， ∴，故选D. 8．A 【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4.设内角所对的边分别为.因为所以，所以.因为 ，所以.设内切圆与边切于点，由可求得,则.又因为，所以.所以 .又因为，所以，即，整理得.因为，所以，当且仅当时，取得最小值．故选A． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．BC 【解析】由题意可知，圆心到直线的距离为 ，解得 . 当为直径时，直线过圆心，由得； 当或为直径时，直线过点,由得，故选BC． 10．ABD 【解析】由频率分布直方图可知：甲班数学成绩的平均分约为 ，故A错误； 从频率分布直方图中不能得到原始数据的最大值，故B错误； 对于甲班：，即及格率为，对于乙班： ，即及格率为，故C正确； 因为两个班级参考人数未知，所以无法确定甲班数学成绩不低于分的人数是否多于乙班数学成绩不低于分的人数，故D错误.故选ABD． 11．AB 【解析】由和可得平面，则，A正确； 因为点到底面的距离恒为1，所以为定值，B正确； 以为坐标原点,以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，易知平面 设则,所以当与平面所成的角为时，则有，显然无解，C错误； 如图，设平面与底面和侧面的交线分别为则 将两个面展开到同一平面，则三点共线，且D错误.故选AB． 12．ACD 【解析】由抛物线定义，得，得A正确； 设的方程为，联立，整理得，由根与系数的关系可得： ，若，则，，所以，B错误； 若，则，不妨设，则 当且仅当时取等号，故面积的最小值为，C正确； 由直线的斜率为，可得直线的方程为，令，得，所以点的横坐标为则直线的斜率为，所以，所以，同理可得四点共圆，D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【解析】由知，故，，,记与的夹角为，则. 14．（或） 【解析】因为所以所以所以曲线在点处的切线方程的斜率为所以所求切线方程为即或. 15． 【解析】点到渐近线的距离为.在中，，，所以.设，则，.因为，所以，所以，所以.在中，，所以 ，即，即，所以． 16．；【解析】 故的系数为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）由正弦定理，可得， 又，，所以.（1分） 因为，所以， 所以.（3分） 在中，因为，所以，所以为锐角， 故.（5分） （2）方法一：由（1），得. 因为为锐角，所以.（7分） 由余弦定理，可得， 解得（舍去）或.（9分） 所以的面积为（10分） 方法二：如图，过点A作于点. 因为，均为锐角，所以点D在线段BC上. 在中，，.（7分） 在中，，，则. 所以. 所以的面积为.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）当取时，可得，（1分） 所以 ，（4分） 容易验证，也满足上式，（5分） 所以.（6分） 当取时，可得，（1分） 所以，（3分） 即数列是以为首项，为公比的等比数列，（4分） 故即.（6分） （2）当取时， 所以，（9分） 所以.（12分） 当取时，， ①若为偶数，则；（9分） ②若为奇数，则.（11分） 故.（12分） 19．（12分） 【解析】（1）方法一：如图，取的中点，连接 由题可得平面，所以，. 因为，，所以，，（2分） 又，所以平面，且四边形为正方形，（4分） 所以，， 又，所以平面.（5分） 方法二：如图，取的中点，连接 由题可得平面，所以，. 因为，，所以，，（2分） 又，所以平面，且四边形为正方形．（4分） 因为平面，所以平面平面, 又平面平面，，所以平面.（5分） （2）由（1）可知，两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，则，. 故,,,,. 所以,,.（8分） 由（1）可知为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则，即， 令则则为平面的一个法向量.（10分） 所以. 结合题意知二面角的余弦值为.（12分） 20．（12分） 【解析】（1）记事件为前题都回答正确； 记事件为前题有且只有题回答错误，其余回答正确，且第题回答正确. 记挑战一次获得成功为事件，则事件包含，两个事件，且，互斥， 所以.（2分） 因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为， 所以. 故甲挑战一次就获得成功的概率为.（4分） （2）设乙在一周内挑战成功的次数为， 由题意知，服从二项分布，即. （5分） 因为，所以， ， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： （10分） 因为，（11分） 所以.（12分） 21．（12分） 【解析】（1）当时，， 因为，所以，即，不符合题意；（2分） 当时，由可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减.（3分） 所以.（4分） 由恒成立可知，所以.（5分） 又因为，所以的取值范围为.（6分） （2）因为，所以，即. 令，由题意可知，存在不相等的两个实数，使得.（7分） 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 不妨设，则. 设，（8分） 则， 所以在上单调递增，（9分） 所以，即在区间上恒成立. 因为，所以.（10分） 因为，所以.（11分） 又因为，，且在区间上单调递增， 所以，即.（12分） 22．（12分） 【解析】设，. （1）当时，不妨设.由可得， 则，， 所以椭圆在点处的切线方程为， 整理可得. 同理可得椭圆在点处的切线方程为. 当时，椭圆在点处的切线方程满足方程，同理也满足，（2分） 因为椭圆在点处的切线经过点，所以. 同理椭圆在点处的切线也经过点，所以. 所以直线既经过点，又经过点. 所以直线的方程为，（4分） 因为，所以，即， 由可得. 所以直线恒过定点.（6分） （2）方法一：由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为. 由，可得.（7分） 所以，. 所以 .（9分） 因为，所以. 所以，可得，即.（10分） 又因为直线的方程为，且. 所以. 所以，， 故点的坐标为.（12分） 方法二：因为，所以. 设 ，则.（7分） 因为，均在椭圆上，所以，所以. 同理可得. 所以.所以，即.（8分） 设点到直线的距离为，则，所以，.（10分） 由题意可知直线的斜率存在且不为. 设直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为，即，解之可得. 由（1）可知，直线的斜率为则，所以，. 所以点的坐标为.（12分） 数学 全解全析 第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 数学·答案+评分标准+评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A D C B D A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．BC 10．ABD 11．AB 12．ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14．（或） 15． 16．； 评分说明：其他形式只要最终化简结果正确就给分. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）由正弦定理，可得， 又，，所以.（1分） 因为，所以， 所以.（3分） 在中，因为，所以，所以为锐角， 故.（5分） （2）方法一：由（1），得. 因为为锐角，所以.（7分） 由余弦定理，可得， 解得（舍去）或.（9分） 所以的面积为（10分） 方法二：如图，过点A作于点. 因为，均为锐角，所以点D在线段BC上. 在中，，.（7分） 在中，，，则. 所以. 所以的面积为.（10分） 评分说明： 1．第（1）问中，求得，得或，未通过求的范围进行取舍，扣2分； 2．第（1）问也可以用下面方法： 因为，所以，（1分） 设的外接圆半径为R，则，即.（2分） 因为，，所以. 因为，所以.（3分） 在中，因为，所以，所以为锐角， 故.（5分） 3．第（2）问方法一中9分处，能正确利用余弦定理可得1分. 18．（12分） 【解析】（1）当取时，可得，（1分） 所以 ，（4分） 容易验证，也满足上式，（5分） 所以.（6分） 当取时，可得，（1分） 所以，（3分） 即数列是以为首项，为公比的等比数列，（4分） 故即.（6分） （2）当取时， 所以，（9分） 所以.（12分） 当取时，， ①若为偶数，则；（9分） ②若为奇数，则.（11分） 故.（12分） 评分说明： 1．第（1）问取的情况中4分段处，能正确写出 可得1分，最后不验证扣1分； 2．第（1）问取的情况中，不写出是等比数列，扣1分. 19．（12分） 【解析】（1）方法一：如图，取的中点，连接 由题可得平面，所以，. 因为，，所以，，（2分） 又，所以平面，且四边形为正方形，（4分） 所以，， 又，所以平面.（5分） 方法二：如图，取的中点，连接 由题可得平面，所以，. 因为，，所以，，（2分） 又，所以平面，且四边形为正方形．（4分） 因为平面，所以平面平面, 又平面平面，，所以平面.（5分） （2）由（1）可知，两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 令，则，. 故,,,,. 所以,,.（8分） 由（1）可知为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则，即， 令则则为平面的一个法向量.（10分） 所以. 结合题意知二面角的余弦值为.（12分） 评分说明： 1．第（1）问证明过程中的关键步骤没有写必须扣分，比如：方法一中的；方法二中的平面等，此问也可通过建系证明，但必须交代清楚三条两两垂直的直线，然后再建系，如果书写规范，计算正确同样给分； 2．第（2）问如果没有写出“两两垂直”，直接写“如图建系”扣1分； 3．法向量的计算过程可以不做要求，只要正确不扣分； 4．坐标原点的选取可以不同于参考答案，只要选取位置合理，建系正确均给分； 5．若写为“二面角的余弦值为”扣1分. 20．（12分） 【解析】（1）记事件为前题都回答正确； 记事件为前题有且只有题回答错误，其余回答正确，且第题回答正确. 记挑战一次获得成功为事件，则事件包含，两个事件，且，互斥， 所以.（2分） 因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为， 所以. 故甲挑战一次就获得成功的概率为.（4分） （2）设乙在一周内挑战成功的次数为， 由题意知，服从二项分布，即. （5分） 因为，所以， ， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： （10分） 因为，（11分） 所以.（12分） 评分说明： 1．第（1）问中：只要写“记挑战一次获得成功为事件”得1分；正确计算出得1分；正确计算出各得1分. 2．第（2）问中：若学生未通过直接求取相应值的概率，不扣分. 21．（12分） 【解析】（1）当时，， 因为，所以，即，不符合题意；（2分） 当时，由可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减.（3分） 所以.（4分） 由恒成立可知，所以.（5分） 又因为，所以的取值范围为.（6分） （2）因为，所以，即. 令，由题意可知，存在不相等的两个实数，使得.（7分） 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 不妨设，则. 设，（8分） 则， 所以在上单调递增，（9分） 所以，即在区间上恒成立. 因为，所以.（10分） 因为，所以.（11分） 又因为，，且在区间上单调递增， 所以，即.（12分） 评分说明： 1．第（1）问，可以自变量为讨论依据，分三种情况讨论，分别求得的取值范围再取交集，即思路为： 当恒成立，求得且； 当恒成立，此时且； 当恒成立，求得， 综上，的取值范围为. 2．第（2）问正确构造得1分；第（2）问正确构造得1分； 3．第（2）问还可以用下面解法： ①(对数均值不等式)：因为，所以，即. 令，由题意可知，存在不相等的两个实数，使得.（7分） 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 令，结合函数的图象可知， 取对数可得，两式相减可得， 整理可得，（8分） 下面证不等式恒成立.不妨设，要证， 即证，令，只需证，（9分） 设，求导可得， 故函数在上单调递增，故，即不等式成立， 故不等式恒成立.（10分） 所以有，故成立.（12分） ②(比值换元)：因为，所以，即. 令，由题意可知，存在不相等的两个实数，使得.（7分） 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 不妨设，则. 由，得，令，则.（8分） 所以. 所以，（9分） 故要证成立，即证成立，即证成立.（10分） 令，，求导可得， 故函数在上单调递增，故， 即不等式成立，故不等式成立，（11分） 即成立.（12分） 22．（12分） 【解析】设，. （1）当时，不妨设.由可得， 则，， 所以椭圆在点处的切线方程为， 整理可得. 同理可得椭圆在点处的切线方程为. 当时，椭圆在点处的切线方程满足方程，同理也满足，（2分） 因为椭圆在点处的切线经过点，所以. 同理椭圆在点处的切线也经过点，所以. 所以直线既经过点，又经过点. 所以直线的方程为，（4分） 因为，所以，即， 由可得. 所以直线恒过定点.（6分） （2）方法一：由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为. 由，可得.（7分） 所以，. 所以 .（9分） 因为，所以. 所以，可得，即.（10分） 又因为直线的方程为，且. 所以. 所以，， 故点的坐标为.（12分） 方法二：因为，所以. 设，则.（7分） 因为，均在椭圆上，所以，所以. 同理可得. 所以.所以，即.（8分） 设点到直线的距离为，则，所以，.（10分） 由题意可知直线的斜率存在且不为. 设直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为，即，解之可得. 由（1）可知，直线的斜率为则，所以，. 所以点的坐标为.（12分） 评分说明： 1．第（1）问中，若学生直接应用结论写出椭圆在点处的切线方程，不扣分； 2．第（2）问方法一中化简结果：只要正确即可； 方法二中，只要设出A,B坐标即可得1分. 数学 答案+评分标准+评分细则 第8页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． __________ （2分） __________ （3分） 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 清在各题目的答题区域内作答，挺出显色矩形边框限定区域的咨案无效！ 请在各题目的答恩区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 19.(12分) 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答圈前。考生先将自己的姓名、准 考证号填写济楚。并认真检查监考 员所粘贴的条形马。 2.选择题必领用2B铅笔填涂：非 准考证号 注 择圈必须用0,5mm需色签字笔答 题，不得用铅笔或因珠笔答题：字 体工整、笔透清晰。 项 3.请按题号顺序在各题目的答愿区域 内作答，超出区域书写的答案无 t221223t223223C2 C2 效：在草鹅纸、试题程上答思无效」 4 4。保持卡面清洁。不要折叠、不要弄 5c51 5。正确填涂■ 18,(12分) 7 缺考标记 ▣ 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9 A][BI[C]ID】 H[A][BI[CI [D] 1[A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分） 14 15 16. (2分》 (3分) 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 情在各题日的答圈区域内作答，超出需色把形边概限定区城的答案无效： 请在各题目的答您区城内作答，超出黑色免形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出惠色是形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6贝） 数学第3页（共6页） 请在各思目的答题区域内作答，星出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 请在各碧目的答想区饭内作答，超出黑色矩形边配限定区城的答案无效！ 请在各题目的答要区域内作答，组出黑色矩形边框限定区峻的答案无效： 20.(12分) 21,(12分) 22.(12分) 在各避日的答区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的客案无效！ 情在各题的答区城内作答，超出黑色形边框限定区或的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无敛！ 数学第4项（头6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（其6页） ( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) 绝密★启用前 学科网2022年高三5月大联考（新高考卷） 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则 A． B． C． D．5 3．已知角的终边与单位圆的交点在直线上，则 A． B． C． D． 4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1和4)制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为 A． B． C． D． 5．若函数的最小正周期为4，则下列区间中单调递增的是 A． B． C． D． 6．已知函数有两个极值点，且，则的极大值为 A． B． C． D． 7．已知数列中，，，，则 A．3 B． C． D． 8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为 A．16 B．24 C．25 D．36 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．直线与圆交于两点，为坐标原点，且为直角三角形，则实数的值可能为 A． B． C． D．0 10．某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级的数学成绩(百分制，均位于 内)，并将所得数据分为6组：，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是 A．甲班数学成绩的平均分约为分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替) B．乙班数学成绩的最高分高于甲班数学成绩的最高分 C．甲班数学成绩的及格率低于乙班数学成绩的及格率(成绩不低于60分为及格) D．甲班数学成绩不低于80分的人数多于乙班数学成绩不低于80分的人数 11．已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则 A． B．三棱锥的体积为定值 C．与平面所成的角可以是 D．平面与底面和侧面的交线长之和为 12．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是 A． B．若，则 C．若，则面积的最小值为 D．四点共圆 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，则与夹角的余弦值为 . 14．若幂函数的图象过点，则曲线在点处的切线方程为 . 15．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且满足(为坐标原点)，则双曲线的离心率为 . 16．记为函数的阶导数且，.若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.据此计算在处的3次泰勒多项式为 ；在处的10次泰勒多项式中的系数为 .（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知的内角的对边分别为，，，. （1）求； （2）若为锐角，求的面积. 18．（12分） 已知数列满足． （1）请在集合中任取一个元素作为的值，求数列的通项公式； （2）若第（1）问取，令，求数列的前项和． 若第（1）问取，求数列的前项和． 注：如果同时选择的两个取值分别解答，按第一个解答计分. 19．（12分） 如图，在三棱柱中，平面，，且，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分） “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，其中的“挑战答题”更是趣味盎然、引人入胜.“挑战答题”规则为：（1）挑战开始后，挑战者依次回答界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：①结束本局，挑战结束；②通过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加；（2）答对题或题以上均为挑战成功，可获得分，否则无积分可得；（3）每次挑战，通过分享界面复活的机会只有一次. （1）如果甲对“挑战答题”中的每一道题回答正确的概率均为，且各题是否回答正确互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率； （2）假设乙挑战一次获得成功的概率为，他在一周内(7天)每天都挑战一次，且各次挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为，求的分布列及数学期望. 21．（12分） 已知函数. （1）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）设是两个不相等的实数，且.求证：. 22．（12分） 已知直线与椭圆.过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为. （1）求证：直线恒过定点； （2）设为坐标原点，当点不在坐标轴上且时，求此时点的坐标. 数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页） 数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页） 理科数学试卷 第5页（共6页） 理科数学试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网2022年高三5月大联考（新高考卷) 数学全解全析 1 2 3 4 6 1 8 9 10 11 12 B A A D C 0 A BC ABD AB ACD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.B【解析】由题可得A={x0≤x≤3}，B={yly>O},所以C,B={yy≤0}，故A∩C,B)={O},故选B. 2A【解】他想可得=3-有，则4有日4刻答山，故选 3.A【解析】由题意可得m6+60s0=正，则6m9+os-1+2sn0os9=号所以sm20-1是 ,故 13 13 13 选A. 4.D【解析】由己知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r,R(r<R),则2r=元×1， 2R=π×4，解得r三，R=2.圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm和4cm,腰长为 3cm,可求得高为W3 cm,故选D. 2 玉C【解】：7=。=40-平fa经孕，由x<草-异<k标+5ke刀，得)的单调递 4 4 44 2 增区间为(4k+1,4k+3)∈Z)）,故选C. 6.B【解析】因为f"(x)=3x2+2-1,4=4d+12>0,所以f'(x)=0有两个不同的实数解x,x2,且由 根与系数的关系得写+=5=背由题意可得X-%=G+)少--g专 4d2,4 4(d+3)-2W 9 3 ,解得a=0此时f=-,了倒=3-1，当xe(a5U9回时，了到 3 >0,f)单调递增，当x∈(5,5时，∫)<0，单调递减，故当x=-5时，了)取得极 3’3 3 大值23 故选B. 9 7.D【解析】当n为奇数时，a+2-a,=2,即数列{a}中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数 列，∴.4g=1+10-1)×2=19: 当n为偶数时，a+2+an=2，则an+4+a+2=2,两式相减得a+4-4=0,.4s=a4=4。=a=42=2, 受后花造n 数学全解全析第1页（共11页） 8.A【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π，所以△ABC的内切圆半径为4.设△ABC内角A,B,C所 对的边分别为adc.因为co4子所以mA芬所以m4兰因为ec4 25 7 a+b0x4,所以kc-2a+0.设内切国与边4C切于点D,由mA=兰可求得 7 m子音0则AD号义因为加+2，所以+c号a所以k曾号0 2 3 9。.又因为6+c2派.所以a图9+，回号+0曾。，整星得 33 33 a-12a-64≥0.因为a>0,所以a≥16，当且仅当b=c=40时，a取得最小值.故选A. 3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.BC【解析】由思意可知，圆心C0,0)到直线1的距离为d=1+a<1,解得-1-V5<a<5-1: 当AB为直径时，直线AB过圆心C1,0),由1+0+a=0,得a=-1: 当OA或OB为直径时，直线AB过点(2,0)，由2+0+a=0,得a=-2,故选BC 10.ABD【解析】由频率分布直方图可知：甲班数学成绩的平均分约为45×0.02+55×0.16+65×0.22+ 75×0.3+85×0.2+95×0.1=73,故A错误： 从频率分布直方图中不能得到原始数据的最大值，故B错误： 对于甲班：(0.022+0.030+0.020+0.010)×10=0.82，即及格率为82%，对于乙班：(0.030+0.022+ 0.016+0.016)×10=0.84,即及格率为84%，故C正确： 因为两个班级参考人数未知，所以无法确定甲班数学成绩不低于80分的人数是否多于乙班数学成绩不低 于80分的人数，故D错误.故选ABD. l1.AB【解析】由CD⊥CD和CD⊥B,C可得CD⊥平面EB,CD,则BE⊥CD,A正确： 因为点县到展面乌CQ的距疾恒为1，所以A专AD0专分111-名为定值，B正确： 6 以D为坐标原点，以DA,DC,DD的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，易知DB⊥平面 ADC,DB=Q,1,-1),DB=√3，设DE=(2,0,-1)(2e[0,1D,则DE.DB=1+1,DE1=√2+1，所以当 ng与平面ADC所成的角为写时，则有c0(OA,D非1+5，显然无解，C错误， V5.√22+12 如图，设平面a与底面ABCD和侧面CDDC的交线分别为EF,FG,则EF∥AC,FG∥CD,将两个面展 开到同一平面，则E,F,G三点共线，且EG∥AC,.EG=AC=√2，D错误.故选AB. 数学全解全析第2页（共11页） D C D F E B 2,ACD【解析]由抛物线定义，得Ay+号=+1，得p=2,A正强 设1的方程为y=+m,联立=4， ,整理得x2-4x-4m=0,由根与系数的关系可得：xx2= y=kx+m -m,若m=1,则=4，，=军至-6-1，所以OA.08=+=-4+1≠0，B错误： 4416 若m=p-2,则=-8<0，不妨设<0<，则Su引0D1名上分 ×2×[x2+(-x)]≥ 2 2V代2·(-x)=4W2,当且仅当-x=x2=2V2时取等号，故△OAB面积的最小值为4√2，C正确： x足2 由直线21的斜率为当=子；，可得直线A的方程为y-男=产-)，令 ”天-+x出-方2 2 2 y=0,得为产6x),所以点M的横坐标为w子MG停，则直线的斜率为 k=1-0:2,所以kke=-1,所以AP1M,同理可得BPLN,M,NP,P四点共圆，D正 0- 2 确.故选ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. B,岩解由a三cc30=210)知a三9，：放ab9C6女1山，a1,bE2 记a与b的夹角为0，则cos0=b=-1-1 |a×|b11×22 数学全解全析第3页（共11页） 4.3-40(或=3x-4)【解折因为4=4=8，所以a=g,8-)-,所以f国- 所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程的斜率为k=f"(4)=3,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即 3x-y-4=0或y=3x-4. 15.2D【解折]点心0)到浙近线士=0的距离为+万-h在△OM中，b,]OFC, 5 b 所以oMFa.设∠MOn=a,则tana=b,ta2a= 2tana 2x a 2ab -tam2&1- -6因为丽+40M=50, & 所以=4，所以T4b,所以IWF5b.在Rt△ON中，tan MON=D-tan2a,所以b- a a 即城=w,答-专所以一小安 2ab ,b22N10 5 16.1+x+x+x 2+石：30【解折】f=e,f()=c,f00=1 g6W-@+6-0+宁xo0-02网1+x+号 2 6, f)=-1f)=,60=-2x,f90=g00=o",f-00 .f"(-1)=1,f2(-1)=2,f3(-1)=31,…,9(-1)=9!,f1(-1)=101, .T(x)=1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)0. 故x3的系数为C+C+C+…+C。=C4+C+C+…+C。=C+C+…+C。=…=C。+C。 =C4=330. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】(1)由正弦定理，可得bsinC=csin B, 又b=√7，c=4,所以√万smC=4simB.(1分) 因为2c0(8孕-2snB,所以2co(85+7smC=2m2+4snB=6sn月=3， 所以8专3分》 在△ABC中，因为b<c,所以B<C,所以B为锐角， 故B=石(5分) 数学全解全析第4页（共11页） (2)方法一：由(1)，得sinC= 2 7 因为C为锐角，所以cosC=.(7分) 由余弦定理c2=a2+b2-2 bcosC，,可得a2-2√3a-9=0, 解得a=-√5（舍去）或a=3√5.(9分) 所以△ABC的面积为S=absin C=×3W5x√万x25-3W5(10分) 2 2 方法二：如图，过点A作ADL BC于点D, B D 因为B,C均为锐角，所以点D在线段BC上. 在R△ABD中，AD=号AB=2,BD=25.(7分) 2 在Rt△ACD中，AD=2,AC=V7,则DC=√3 所以BC=BD+CD=3V3 所以△1BC的面积为S=BCAD=)×3V5×2=35.(10分) 2 18.(12分) 【解析】(1)当取k=2时，可得a-a=+，（1分) 24 所以a=(an-a-)+(a-1-a-2)+(a-2-4-3)+.+(a-4)+4 号 2 2 -u-D+n-1+-1++0m≥2，(4分) 44343412 容易验证，4=专也满足上式，(5分) =心+上 所以a.=412 (6分) 当取&2所，时得a-a=分子牛-骨1分剂 数学全解全析第5页（共11页） 所以4+”士-a+学，(3分) 4 即数列红+学是以a+才品为首项，-1为公比的等比数列，4分) 4 放a+号（品即a=(3异6分） 124 1_n (2)当取k=2时，ba.122 1=4 、=41),(9分) 所以.b01+)nn+T 所以s40兮言日点 .（12分) nn+1'n+1 当取长2时，4=少日-异 ①若n为偶数，则7=-+子+学=”，（9分) 4 8 ②若加为方数，则7=豆-子学=0。.1分) 4128 〔0+少，为偶数 8 故T= 7n+1 (12分) ,n为奇数 128 19.(12分) 【解析】(1)方法一：如图，取AC的中点N,连接BM,BN,MN,BN. 由题可得BB1⊥平面ABC,所以BB⊥AC,BB1⊥BN 因为AB=C-24,A6C-5,所以N-号4B=4-,BN1AC,2分) 又BB∩BN=B,所以AC⊥平面BBMN,且四边形BB,MN为正方形，(4分) 所以AC⊥BM,BM⊥BN, 又AC∩BN=N,所以BM⊥平面ABC.(5分) 数学全解全析第6页（共11页） 方法二：如图，取AC的中点N,连接BM,BN,MN,BN. 由题可得BB1⊥平面ABC,所以BB⊥AC,BB,⊥BN 因为AB=C-24,A6c-5,所以N-4B=4=B,BN1AC,2分) 又BB∩BN=B,所以AC⊥平面BBMN,且四边形BBMN为正方形.(4分) 因为ACC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BBMN, 又平面ABC∩平面BBMN=BN,BM⊥B,N,所以BM⊥平面AB,C.(5分) (2)由(1)可知，AC,BN,MN两两垂直，以N为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 令A4=1,则AB=BC=2,AC=25 故B1,0,0),C(0,-√3,0)，A1(0,V3,1),B1,0,1),M(0,0,1) 所以BM=(-1,0,1),BC=(-1,-√3，-1)，AC=(0,-2W3,-1).(8分) 由(1)可知BM=(-1,0,1)为平面ABC的一个法向量 mB,C=0。 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则 [-x-5y-z=0 m4c=0'即 -2W3y-z=0 令y=√3，则x=3,z=-6,则m=(3,√3，-6)为平面AB,C的一个法向量.(10分) -3-6 3v6 所以cos(BM,."）三Bd:mF2x0+3+36 8 结合思意知二面角4-B,C-A的余弦值为3V .(12分） 8 数学全解全析第7页（共11页） 20.(12分) 【解析】(1)记事件A为前5题都回答正确； 记事件A,为前5题有且只有1题回答错误，其余回答正确，且第6题回答正确. 记挑战一次获得成功为事件A,则事件A包含A,A,两个事件，且A,A互斥， 所以P(A)=P(A)+P(A,).(2分) 因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为】 所以P④=P4)+P4)=(宁+C×2× 11、4 17 ×264 故甲挑战一次就获得成功的概率为 7 .(4分) (2)设乙在一周内挑战成功的次数为5， 由题意知，服从二项分布，即5~B(7宁 .(5分) 因为X=65,所以PCX=0=PG=0=c9分x=西 pe=o)E》cg9西 21 x1图ege9s -0e=-cr9 px=0===c品 P(X=36)=P(5=6)=C× PxX-42)-P-7-cix(x 128 所以X的分布列为： X 0 6 12 18 24 30 36 42 1 7 21 35 35 21 7 1 P 128 128 128 128 128 128 128 128 (10分) 因为（约=m=7×立2' 17 (11分) 所以B0=6×B⑤)=6×7=21.12分) 2 数学全解全析第8页（共11页） 21.(12分) 【解析】(1)当a<0时，f(白)= 因为0<e<e,所以上>，即白>上，不符合题意：(2分) e 当a>0时，由f)=a0-9可知，当x∈(，时，f)>0,当xe0,o）时，f)<0, 所以(x)在(-n,1)上单调递增，在1，+o)上单调递减.(3分) 所以fx)≤f四)=a.(4分) 由f)s士恒成立可知≤，所以a≤1.(5分) ee 又因为a>0,所以a的取值范围为(0,1].(6分) (2)因为m=nc，所以mem=e",即=” 令g()=。,由题意可知，存在不相等的两个实数m业，使得8侧=g0.(7分) 由(1)可知8(x)在区间(-∞，1)上单调递增，在区间L,+∞)上单调递减 不妨设m<n,则<1<n: 设h(x)=g(x)-g(2-x)(x>1),(8分) 则i)=gw-g2-明-+-0e=《-)1>0, e* 所以hx)在1，+w)上单调递增，(9分) 所以h(x)>0,即8(x)>g(2-x)在区间(1，+)上恒成立. 因为n>1,所以8(1m>8(2-).(10分) 因为g(m)=8(),所以g(0>8(2-m.(11分) 又因为<1,2-n<1,且8(x)在区间(-o,1)上单调递增， 所以m>2-n,即m+n>2.(12分) 22.(12分) 【解析】设A(x,y),B(x2,y2) (1)当y≠0时，不妨设%<0.由号+以=1可得=1- 4 4 %不时 元×（2x)=X X 24-x2x(-29)4 所以椭圆C在A点处的切线方程为y-片=-名(x-x), 4y 数学全解全析第9页（共11页） 整理可得xx+4yy=4 同理可得椭圆C在B点处的切线方程为x2x+4y2y=4. 当y=0时，椭圆C在A点处的切线方程x=2满足方程xx+4yy=4,同理x=-2也满足，(2分) 因为椭圆C在A点处的切线经过点P(x,y),所以x,+4y。=4. 同理椭圆C在B点处的切线也经过点P(x,y,),所以x,x。+4y,y。=4. 所以直线xx。+4y。-4=0既经过点A,又经过点B 所以直线AB的方程为x,x+4yy-4=0,（4分) 因为无，-2.+5=0，所以Xx+4×+5×y-4=0,即x+2x+10y-4=0, 2 4 由x+2=0 X=- 可得 10y-4=0 ys 厅以直线B恒过定点(5，(6分 《2)方法一：由思意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(+专+， 4、. 由 y=k(x+3 5,可得0+4x产+84+2+4《4+20-100=0.(7分) +y=1 5 25 4 所以x1+x2= 16k(2k+1) 16(2k+1)2-100 51+4k2)1 XX2= 251+4k2) 所以，=低++3，++3 5 5 =kx5+22+D6+）+4(2k+1 5 25 -100k2+4(2k+1)2 ,(9分) 251+4k2) 因为OAOB=0,所以x2+yy2=0. 所以162k+-100+-100+42k+1少=0，可得k-4k+4=0,即k=2.(10分) 2501+4k2) 251+4k2) 又因为直线AB的方程为xx+4yy=4,且x。-2y。+5=0. 所以k=-=5-2业=2. 4,4y 所以号号名4 数学全解全析第10页（共11页)