数学（新高考卷）-学科网2022届高三2月大联考考后强化卷

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密|启用前 数学-学科网2022年高三2月大联考考后强化卷（新高考卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．设复数，则 A． B． C． D． 3．在等比数列中，已知，，则的值为 A．3 B．9 C．9或 D．3或 4．若一个两位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美两位数”，如数字“73”．在所有的“完美两位数”中随机地选取两个不同的数，其和等于110的概率为 A． B． C． D． 5．若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞） 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．设长方形ABCD的边长AD=1，AB=2，点P是内(含边界)的动点，设，则x＋2y的取值范围为 A．[1，2] B．[1，3] C．[2，3] D．[0，2] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有“好事者”记录了吴家山地区8月1日至10日的最高温度（单位为℃），分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34，则下列说法正确的有 A．众数为34 B．中位数为34 C．平均数是35 D．极差为7 10．已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则下列结论中正确的有 A．若点P在直线上，则四边形的面积的最小值为2 B．，A，P，B四点共圆 C．直线AB的方程为 D．若，则的最大值为 11．若正实数满足，则下列说法中正确的是 A． B． C． D． 12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则 A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体的体积 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数，是偶函数，则a+b=________. 14．已知三棱锥的底面是正三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为________. 15．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则当时，的最小值为________. 16．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积为，则________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 如图，在中，是边上的高，为边上一点，与交于点，，，． （1）求的正弦值； （2）若，求的面积． 18．（12分） 已知数列中，，设 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和 19．（12分） 数字人民币，是中国人民银行尚未发行的法定数字货币，即“数字货币电子支付”.央行数字货币不计付利息，可用于小额、零售、高频的业务场景，相比于纸币没有任何差别.数字人民币试点地区是深圳、苏州、雄安新区、成都及未来的冬奥场景，为了解居民对数字人民币的了解程度，某社区居委会随机抽取1200名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频率分布表如下： 得分 男性人数 30 110 110 150 130 80 40 女性人数 20 60 70 180 140 50 30 （1）将居民对数字人民币的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“居民对数字人民币的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 总计 男性 女性 总计 （2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2，求的最小值. 附：，. 临界值表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．（12分） 如图1，在长方形中，，点是的中点，将沿折起，使平面平面，如图2. 图1 图2 （1）求证：在四棱锥中，； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 21．（12分） 已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形. 22．（12分） 已知函数，． （1）设，试讨论函数的单调性； （2）当时，若存在实数，满足，求证：． 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $学利网 绝密启用前 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.有“好事者"记录了吴家山地区8月1日至10日的最高温度（单位为℃），分别为：32,33,35,36， 0 数学学科网2022年高三2月大联考考后强化卷（新高考卷) 34,38,39,36,34,34,则下列说法正确的有 数学 A,众数为34 B.中位数为34 (考试时间：120分钟试参满分：150分) C.平均数是35 D,极差为7 注意事项： 10.已知圆O的方程为x2+y=1,过第一象限内的点P(ab)作圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A, 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 B,则下列结论中正确的有 2.回答选轻题时，选出每小题答案后，用铅笔把答概卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 A.若点P在直线3r+4y-10=0上，则四边形O4PB的面积的最小值为2 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回容非选择圈时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 B.O,A,P,B四点共圆 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C.直线AB的方程为+y-1=0 0 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。 D.若PO.P4=3,则a+b的最大值为2万 11.若正实数m,满足m+n=2,则下列说法中正确的是 1.已知集合A={2<16B={x=2n-1nez,则AnB= A,m≤1 A.《-33} B.←3-1l3 c.{-3.-11} D.{-1I} B.2<号 C.m+Vm≥2D.m2+m222 2.设复数：=计会则月 3+2i 12.物洛四面体是一个非常神奇的四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都 接触，因此它能像球一样来回滚动勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为 A.@ B.3分 C.6 D. 半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为α.则 5 5 5 5 3.在等比数列a}中，已知a4=3,a+a,=4,则的值为 0 A.3 B.9 c9时 D.3或 4,若个两位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美两位数”，如数字“73”，在所有的“完美两位数 中随机地选取两个不同的数，其和等于110的概率为 A,能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 4 A.45 B.36 1 C. D B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为Q-5a 5。若“-2x<3”是“2+x-2m<0(m>0)"的充分不必要条件，则实数m的取值范固是 A,[1,+ao) B.[2,+0) C.[3,+0) D.[4,+oo) c.新洛四面体的截面面积的最大值为（2- 0 6.已知ae 24） √3sima-sina+ D.勒洛四面体的体积Ve( 33 6 3则m2a- 6 12’8 A.746 B.7+46 c.28+v6 D.6-28 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 18 18 18 18 13.已知函数f(x)=a2+(亿-3)x+3,x∈[d-2,间是偶函数，则t 7.若函数f(x)=4nx+1与函数g(x)=-2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为 14.已知三棱锥D-ABC的底面△ABC是正三角形，AB=3,DA=DB=DC=2√3，则三棱锥D-ABC的 A.[3+) B.(3.+∞）} C. . 外接球的表面积为 8.设长方形ABCD的边长AD=1,A2,点P是△BCD内（含边界）的动点，设AP=xAB+AD,则x十 15.已知函数/()=2mrc0sor-25cos'@m,且f(图象的相邻两条对称轴之间的距离为牙，则当 2y的取值范围为 x∈0，]时，f)的最小值为 A.[1,2] B.[1,3 C.2,3] D.[0,2] 数学试题第1页（共4页） 数学试题弟2页（共4页） 学利网 16.已知抛物线C:x=2(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过点F的直线与抛物线C交于A,B两 (2)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共拍取10人，连同 点，抛物线C的准线与x轴的交点为M,若△AB的面积为3厅，则号 H(∈N)名男性调查员一起组成3个环保宜传队若从这n+10人中随机抽取3人作为队长，且男性队 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 长人数占的期望不小于2，求刀的最小值 17.(10分) n(ad-be) 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，E为AB边上一点，CE与BD交于点O,∠BOC=135°，CD=1, 附； (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d DE=√5. 临界值表： P(K) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 年 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)求∠BDE的正弦值： 20.(12分) (2)若BO=2OD,求△ADE的面积. 18.(12分) 如图1，在长方形ABCD中，AD=2AB=22,点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥ a-imeN) 己知数列a)中，8=3a=2-6m22neN),设九= 平面BCDE,如图2 游 (1)求证：数列b}是等差数列： (2)求数列6b}的前”项和T· 19.(12分) 数字人民币，是中国人民银行尚未发行的法定数字货币，即“数字货币电子支付”央行数字货币不计付 利息，可用于小额、零售、高频的业务场景，相比于纸币没有任何差别数字人民币试点地区是深圳、 图1 图2 苏州、雄安新区、成都及未来的冬奥场景，为了解居民对数字人民币的了解程度，某社区居委会随机 (1)求证：在四棱锥A-BCDE中，AB⊥AC: 抽取1200名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频率分布表如下： (2)在线段4C上是否存在点P,使二面角A-B服-P的余弦值为正？若存在，找出点F的位置 13 得分 [30.40) [40.50 [50,60[60.70 [70.80 [80,90) [90,100 若不存在，请说明理由 男性人数 0 110 110 150 130 80 40 21.(12分) 女性人数 60 70 180 140 已知椭胭：X+y 云+存1(a>b>0)的离心率为6 一个焦点为(2,0) (1)将居民对数字人民币的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于 (1)求椭圆E的标准方程： 60分)两类，完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为居民对数字人民币的了解程度"与“性 (2)设O为原点，直线y=x+m(m≠0)与椭圆B交于不同的两点A,B,且与x轴交于点C,P为 别有关？ 线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B,证明：△PAB,是等腰直角三角形 不太了解 比较了解总计 22.(12分) 男性 已知函数f(x)=ae”+e+x,a∈R 女性 (1)设gx)=f(x)-(a+3)e,试讨论函数g(x)的单调性： 总计 (2)当a=2时，若存在实数，x,满足f)+)+ce=0,求证：e+e>2 数学试题弟3页（共4页） 数学试题弟4页（共4页） 学科网2022年高三2月大联考考后强化卷（新高考卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D C C A A B AD BCD AD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．B 【解析】因为集合，，所以，故选B. 2．C 【解析】∵，，，故选C. 3．D 【解析】因为数列为等比数列，所以①，又②，联立①②可解得或.设数列的公比为q， 当，时，由，得，所以； 当，时，由，得，所以. 综上所述，的值为3或.故选D. 4．C 【解析】由题意，“完美两位数”有19，28，37，46，55，64，73，82，91，共9个， 随机地选取两个不同的数，共有种情况， 其中，即随机选取两个不同的数，其和等于110的有4种情况， 所以所求概率为.故选C. 5．C 【解析】由x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m. ∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件， ∴﹣2m≤﹣2，3≤m，且两个等号不同时取，解得m≥3，即实数m的取值范围是[3，+∞）.故选C. 6．A 【解析】因为， 所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以 .故选A. 7．A 【解析】方法一：由与的图象可知，若与的图象存在公切线，则的图象恒在的图象下方，即，即恒成立，即恒成立.令，则，令，则在（0，+∞）上单调递减，又，所以当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减.所以，故.故选A. 方法二：设公切线与的图象相切于点，因为，所以公切线的方程为，即，联立，可得， 所以，整理可得，由可得，解得. 令，其中，则， 令，则，所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增， 所以，且当时，， 所以函数的值域为，故.故选A. 8．B 【解析】如图，取的中点E，连接BE，则. 当点P位于B点时，B、E、P三点共线，且，即， 当点P位于C点时，，即， 观察各选项可知选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AD 【解析】由题意，数据34出现3次，次数最多，所以众数为34，A选项正确； 将所给数据从小到大排序，得32，33，34，34，34，35，36，36，38，39，所以中位数为，B选项错误； 平均数为，C选项错误； 极差为，D选项正确. 故选AD. 10．BCD 【解析】如图，对于A，，而，故，所以四边形OAPB的面积的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以四点共圆，故B正确； 对于C，如图，由选项B知四点在以为直径的圆上，此圆的方程为，故直线的方程为，即，故C正确； 对于D，因为，所以，即，所以，即，故，即，即，当且仅当时取等号，故的最大值为，故D正确． 故选BCD. 11．AD 【解析】，，即，当且仅当时，等号成立，故A正确； ∵正实数满足，∴，∴，则，故B不正确； 由基本不等式可得，又，∴，当且仅当时，等号成立，故C不正确； ，∴，当且仅当时，等号成立，故正确. 故选AD. 12．ABD 【解析】如图1，正四面体ABCD的棱长为，设是底面的中心，是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为，则是底面上的高，且，，由得，解得，（内切球半径）.则正四面体的体积为，且其外接球的体积为. 图1 对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确； 对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图2，其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE.连接BE，易知B，O，E三点共线，且，，因此，故B正确； 对于C选项，勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图3，则勒洛四面体的截面面积的最大值为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误； 对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，而正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，故D正确. 故选ABD． 图2　　　　　　　　　图3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4 【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(x)的定义域关于原点对称，即，解得， 显然，恒成立，即，整理得，，恒成立，于是得，解得，所以.故答案为4. 14． 【解析】如图，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，由题意得，D，O，三点共线，连接.则，，设外接球的半径为，则，即，解得，∴三棱锥的外接球的表面积为，故答案为. 15． 【解析】因为 ， 由题意知的最小正周期为，所以，即， 所以.当时，，所以， 因此，所以函数的最小值为.故答案为. 16．2或 【解析】将抛物线化为标准形式：. ∵抛物线的焦点到其准线的距离为2，∴，即， ∴抛物线的方程为，焦点. 设直线的方程为，与抛物线的方程联立并化简得. 设，，不妨设. 则，，. 设点到直线的距离为d，则. ∴，解得，∴. 当时，，，解得，此时. ∴，，∴2. 当时，，，解得，此时. ∴，，∴. 故答案为2或. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）∵，， ∴，∴. 又， ∴在中，由余弦定理，得， 解得或（舍）， 由正弦定理，得，∴.（5分） （2）如图，过点作，垂足为，则//. ∵在中，，， ∴. 又，∴，∴. 由，得. 由（1）知，， ∴. ∴的面积.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）当时， ， 又， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列.（6分） （2）由（1）可知，， 所以. 所以 （12分） 19．（12分） 【解析】（1）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 250 400 650 女性 150 400 550 总计 400 800 1200 的观测值， 因为， 所以有的把握认为“居民对数字人民币的了解程度”与“性别”有关.（5分） （2）由题意知，按照分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，记男性队长的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 由题意知， 即， 即， 即， 即，解得，所以的最小值为2.（12分） 20．（12分） 【解析】（1）如图，连接. 在长方形中，为的中点，，, ∴， ，. 平面平面，平面平面，，平面， 又平面，， 又，平面，平面，,平面， 平面，.（5分） （2）线段上存在靠近点的四等分点，使二面角的余弦值为. 由（1）可知、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则,,,, 易知平面的一个法向量为. 假设在线段上存在点，使二面角的余弦值为， 设，则 设平面的法向量为， 取，得平面的一个法向量为 则，， 即当点为线段上靠近点的四等分点时，二面角的余弦值为.（12分） 21．（12分） 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，一个焦点为， 所以，所以 所以椭圆的标准方程为.（3分） （2）由题意知点，则点， 联立方程得，消去y并整理得， 由，解得， 因为，故或. 设，则 ， 所以 ， 所以，即， 设的中点为，则 所以， 又因为，所以，所以， 因为点关于轴的对称点为，所以， 所以，所以是等腰直角三角形.（12分） 22．（12分） 【解析】（1）因为， 所以， ①若，则当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减. ②若，， 当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减. （5分） （2）当时，因为，所以， 所以， 令，，则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增. 所以函数在时取得最小值，最小值为1， 所以，即，即， 显然，所以， 当时，，此时不存在，使得等号成立， 所以．（12分） 数学全解全析 第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网2022年高三2月大联考考后强化卷（新高考卷) 数学全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D C C A A B AD BCD AD ABD 、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.B【解析】因为集合A={x|x2<16={x|-4<x<4},B={xx=2n-1,n∈Z={,-5,-3,-1,1,3,5,}, 所以A∩B={-3,-1,1,3},故选B. 2【1经号多月得度 选C 43=1 3.D【解析】因为数列{a}为等比数列，所以441=4,4=3①，又4+43=4②，联立①②可解得 43-3 或 4,=1设数列a}的公比为g, 4=3 当4，=1,4=3时，由4，=4g°，得g°=3，所以26=g°=3： 当a=3,a=1瑞，电g=ag,得-有所以经=-号 a 综上所述，2“的值为3或故选D a, 3 4.C【解析】由题意，“完美两位数”有19,28,37,46,55,64,73,82,91，共9个， 随机地选取两个不同的数，共有C=36种情况， 其中19+91=28+82=37+73=46+64=110，即随机选取两个不同的数，其和等于110的有4种情况， 所以所求概率为4=】故选C 3691 5.C【解析】由x2+x-2m2<0(>0),解得-2Kx<. .“-2<x<3”是x2+x-22<0(>0)”的充分不必要条件， .-2区-2,3l,且两个等号不同时取，解得23，即实数m的取值范围是[3，+o).故选C. 6.A【解析】因为V3sima-sima+ π）1 T6-3' 所以V5sima-5sng 2 coso3 1coso -sin a- 2 数学全解全析第1页（共11页) 9 9292 7-46故选A 18 7.A【解析】方法一：由f(x)与8(x)的图象可知，若f(x)与8(x)的图象存在公切线，则f(x)的图象恒 在8)的图象下方，即f)≤g6),即4hx+1≤am2-2xk>0)恒成立，即a≥4x+1+2(x>0)恒成 立.令时=4血x+1+2x(x>0,则h=20-X41n9K>0),令)=1-x-4nx>0,则以在 (0,+o)上单调递减，又p(1)=0,所以当x∈(0,1)时，p(x)>0,即h(x)>0,h(x)单调递增：当x∈1，+o) 时，px)<0,即h(x)<0,hx)单调递减.所以h()mx=I)=3,故a≥3.故选A. 方法二：设公切线与f()的图象相切于点亿，4ht+1),因为f)=,所以公切线的方程为 4 y-4h1-1=x-小.即y=+-3,联立 y=x+4Int 4 t 3,可得2 2+- 4nt+3=0, y=ax2-2x 所以4=2±月ag-4h=0,整理可得a t), a>0 3-4nt 由t>0可得3-4>0，解得0<t<e, 42+1 t+4lnt-1 令h(0=3-41nt t 3 其中0<t<e4,则h()= i t t (3-4nt)2 令0=1+4血1-1，则00-1+手0，所以函数0在0e司上单调递媚，又o0-0. 所以当0<t<1时，p(t)<0,即(t)<0,此时函数h(t)单调递减； 当1<t<e时，p()>0,即h()>0,此时函数h()单调递增， 所以h()mn=h()=3,且当t→0*时，h()→+o, 所以函数h(t)的值域为3，+)，故a≥3.故选A. 8.B【解析】如图，取AD的中点E,连接BB,则P=xAB+AD=tAB+2y】AD=xAB+2AE 2 数学全解全析第2页（共11页） 当点P位于B点时，B、E、P三点共线，且AP=AB,即x+2y=1+0=1, 当点P位于C点时，AP=AC=AB+2AE=xAB+2yAE,即x+2y=1+2=3, 观察各选项可知选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.AD【解析】由题意，数据34出现3次，次数最多，所以众数为34，A选项正确： 路所给数据从小到大排序，得32,33,34,34,34,35,36,36,38,39，所以中位数为435345，— B选项错误： 平均数为32+33+35+36+34+38+39+36+34+34-351，C选项错误： 10 极差为39-32=7，D选项正确. 故选AD .BCD【解】折如图，对于A,LPAOPF-1,而OPG02,故PAm=√8，所四晒 形OAPB的面积的最小值为2×号×KPA=√5，故A错误： yt 3x+4y-10=0 对于B,因为∠PAO=∠PBO=90°，所以O,A,P,B四点共圆，故B正确： 对于C,如图，由选项B知O,A,P,B四点在以OP为直径的圆上，此圆的方程为x(化-)+y(-b)=0, 故直线AB的方程为x2+y2---(x2+y2-1)=0,即+y-1=0,故C正确： 对于D,因为P0.pA=3,所以(PA+A⊙)PA=3,即P=3,所以PO=4,即d2+b=4,故 a+b≤a+b=4,即a+b'≤8，即a+b≤2反，当且仅当a=b=V反时取等号，故a+b的最大值 2 为2√2，故D正确. 故选BCD. 数学全解全析第3页（共11页） 11.AD【解析】m+n≥2√mm,.2√mm≤2，即1≤1，当且仅当m=n=1时，等号成立，故A正确； :正实数Ln满足m+1=2,“0<m<2,m-n=m-(2-m=2m-2e-2,2),则子2<4， 故B不正确； 由基本不等式可得(Wm+Vn)2=m+n+2Wmm≤2(+n)=4,又√m+√n>0,∴.0<V+√n≤2，当 且仅当m=n=1时，等号成立，故C不正确： :2(m2+n2）=(m2+2)+(m2+n2)≥m2+n2+2m=0m+)2=4,∴.m2+2≥2，当且仅当m=n=1 时，等号成立，故D正确 故选AD 12.ABD【解析】如图1，正四面体ABCD的棱长为a,设M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是 内切球)的球心，外接球半径为R,则AM是底面BCD上的高，且BM=2x5a-5 32a 3 :-。,店0r4DM符R-5o 3 a-,解得r=6 , OM=16 A内切球半径)则四画体ABCD的怀积为r子。石是，H其外接球的结 349 3a= 积为5=6a-5d. 3 4 8 图1 对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为α，故A正确： 对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图2，其中点E为该球与勒 洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE连 接，易如B0,公共线，月5=a,0。：因此0=a-0- 4a=a-v6 a,故B正确： 对于C选项，勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图3，则勒洛四面体的 截面面积的最大值为三个半径为4，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为α的正三角形的面积， 数学全解全析第4页（共11页） 即d-2x5d=(c-V3)a,故c错误： 1 4 2 对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间， 正四面体4BCD的体积文，四面体ACD的外接球的体积6，故D正确 8 故选ABD. E B 一一一一一一一一 图2 图3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 「a>0 13.4【解析】因为x)为偶函数，所以x)的定义域关于原点对称，即 c2-2+a=0' 解得a=1, 显然x∈[-1,1]，f(-x)=f(x)恒成立，即a(-x)2+(b-3)(-x)+3=ax2+(b-3)x+3,整理得，x∈[-1，]， 2(b-3)x=0恒成立，于是得b-3=0,解得b=3,所以a+b=4.故答案为4. 14.16π【解析】如图，设△ABC外接圆的圆心为O',三棱锥D-ABC的外接球的球心为O,由题意得， D:0,0点共线，连接0D.0B,0B则0B=3x×5,0D=23-V3=3,设外 球的半径为R,则Oo2+OB2=OB2,即(3-R)+(N3=R2,解得R=2,∴三棱锥D-ABC的外接 球的表面积为4π×22=16π，故答案为16π. 0 15.-2V5【解析】因为，f(x)=2 sin co-23cos2ox=sin2a-2√5×1+cos2ar 2 =sm2ax-5cc2ax-5=2m2ox-哥-5， 数学全解全析第5页（共11页) 山影套如刊的员小正用期为2子行所以钙号即-2， 所u2m红引当月时，青，所以2m引小， 因此了()-2m4-智)5e[-25,2-],所以西数了x)的最小值为-25放答案为-25 16.2或 【解析】将抛物线C:x=2w2>0)化为标准形式：y2= -x(卫>0)」 2D :抛物线C的焦点F到其准线的距离为2，· 1=2,即p= 8 .抛物线C的方程为y2=4x,焦点F(1,0) 设直线AB的方程为x=y+1,与抛物线C的方程联立并化简得y2-4y-4=0. 设A(x,y),B(x2,2),不妨设乃>0>y2 则+=4m,%=-4，|ABV1+mV(y+y,)2-4%2=1+m.V16m2+16=4+m2) 设点4-1,0)到直线4B的距离为4，则d=1+1=2 √m2+1√2+1 Sae-Bd=4+m)×子=4Vm1-35,解得m=日 √m2+1 8,m=t② 4 当m=5时，+为=万，=4，解得 y=25 x=2 4 =V此时1 x2 ÷A列=+1=3，B=+1=多，A =2 2·BF 1 当m5时，+=-万，=4，解得 出=√2 =-2V此时 2 4 x2=2 h=x+1-B=+13,2 |AF|1 故器袋为2政号 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。 17.（10分) 【解析】(1)，∠BOC=135°，BD⊥AC, .∠DOC=∠OCD=45°，∴.OD=CD=1. 又DE=√5， 在AD08,由余弦定理得5=1+0g-208x1x(写， 解得OE=√2或0E=-2√2（舍）， 数学全解全析第6页（共11页） 由正弦定理，得，DB=OB sinl35osin∠BDz’sim∠BDB=2 ×反5.5分) 5 5 (2)如图，过点E作EF⊥BD,垂足为F,则EF∥AC. 0 ,在Rt△EOF中，OE=√2，∠EOF=45°， ,.OF=EF=1. 又B0=2OD,.B0=2,BF=1. 由B、B即 AD BD' 得AD=3. 由(1)知，cos∠ADE=sim∠BDB=5 .sin∠ADE= 2W5 5 △4Dz的面积S=×4DxDB×Sin∠ADg-×35×25-3.(10分) 2 5 18.(12分) 【解折】1)当n≥2时，6-b1a—1a2-)-1a1 11 11 a-1-1a-1-1a1-1 又6-111 4-13-12 所以数列，}是首项为，公差为1的等差数列.(6分) (2)由1①)可知，6-之+0m-0x1=n号 1 11 4 22 所以b.b6m-X0+ (2n-1)(2n+1）22-121+1 2 11 1 所以工产，+动++D6 =3+写3+1 2 =224n (12分) 12n+12n+1 数学全解全析第7页（共11页） 19.(12分) 【解析】(1)由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 250 400 650 女性 150 400 550 总计 400 800 1200 K的观测值k=1200×(250×400-150×400 ≈16.783， 400×800×650×550 因为16.783>6.635， 所以有99%的把握认为“居民对数字人民币的了解程度”与“性别有关.(5分) (2)由题意知，按照分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，记男性队长的人数为5，则5的 所有可能取值为0,1,2,3， P(5=0)= 二C,PG=)-aC,E=2》-S,(5-)- C+0 所以随机变量5的分布列为 0 1 2 3 Ch6C好 C Ci C. C e 由题意知E5= C5x3≥2， C 即C4+C×1+C6C×2+C+6×3≥2Ciho' 即6(n+6)+4(n+⑥)(n+5)+二(n+6(n+5)(n+4)≥二n+10)0n+9)0n+8), 即3(n+6)n2+17n+72)≥2n+10)(n+9)n+8), 即3(n+6)≥2(n+10),解得n≥2，所以n的最小值为2.(12分) 20.(12分) 【解析】(1)如图，连接CE 在长方形ABCD中，：E为AD的中点，AD=2AB=2√2，AE=AB=ED=CD=√2， 数学全解全析第8页（共11页) D BR-EC(=2. BE2+EC2=BC2,∴CE⊥BE. ,平面ABE⊥平面BCDE,平面ABE∩平面BCDE=BE,CE⊥BE,∴.CE⊥平面ABE, 又ABC平面ABE,CE⊥AB, 又AE⊥AB,CEC平面AEC,AEC平面AEC,CE∩AE=E,.AB⊥平面AEC, :ACC平面AEC,.AB⊥AC.(5分) (2)线段AC上存在靠近点A的四等分点P,使二面角A-BB-P的余弦值为3国 13 由(1)可知△ABE、△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，以O为原 点建立空间直角坐标系，如图所示： B 则A=(0,0,1),B=(1,0,0),C=(-12,0),E=(-1,0,0),Ea=(1,0,1),AC=(-1,2,-1),EB=(2,0,0), 易知平面ABE的一个法向量为m=(0,1,0) 假设在线段AC上存在点P,使二面角A-BB-F的余弦值为3 13 设A=2AC(0≤1≤1)，则EF=EA+AC=（1-元，2入，1-)， n:EF=0,[(1-2)x+2y+(1-2)z=0 设平面BEF的法向量为n=(x,y,z), n.EB=0' 2x=0 取》=1，得平面BF的一个法向量为n=022身 u·1n 1 313 则cos(m,= ·n 2 1+ 1-元 数学全解全析第9页（共11页） 即当点F为线段AC上靠近点A的四等分点时，二面角A-BB-P的余弦值为3店.(12分) 13 21.(12分) 【解析】(1)因为椭圆E的离心率为 3, 一个焦点为(2,0)， 所以e=c=6 a3c=2,所以a=6,=m-c2=2 所以椭圆B的标准方程为+二=1.3分) 62 2)由题意知点C(m0),则点P(,0)7 y=x+m 联立方程得 x2+32=6,消去y并整理得4x2+6r+3m-6=0, 由4=36m2-16(32-)>0,解得-2√2<m<2√2， 因为m≠0，故-2√2<m<0或0<m<2√2. 设4B(B,）,则x+3=-3 m=《+经w丽=k+ 2), 所以顾丽-《+学+学-男男=化+学x+学-么+m6+则 =+0w深酒-0， 44 所以PA⊥PB,即∠APB,=90°， 设AB的中点为M(x,y),则x,=当+玉=-3， 2 4。=3。+m=" 4 一0 所以kw=4 -=-1, + 4 2 又因为kAB=1,所以PM⊥AB,所以I PAPB|, 因为点B关于x轴的对称点为B,所以|PB=PB|, 所以|PA=PB|,所以△PAB是等腰直角三角形.(12分) 22.(12分) 【解析】(1)因为g(x)=f(x)-(a+3)e=ae2x-(a+2)e+x, 所以g'(x)=2ae2x-(a+2)e+1=(ae-1)(2e-1), 数学全解全析第10页（共11页）