第5章 专题强化1 平抛运动的两个重要推论-【成才之路•学案】2025-2026学年高中物理必修第二册同步新课程学习指导(人教版)

025 专题强化1平抛运动的两个重要推论 「提示1 提升点抛体运动轨迹中某点速度的表达？其速度和位移的方向有什么关系？ (）速度是矢量 从速度的分解来看 用速度偏转角的正切 ●新知导学 B 值来表达速度方向比 较方使。 情境：如右图。 tan日-=t】 探究：(1)如图所示，平抛运动轨迹中某点的速度怎 Vx Vo 将代表速度矢量V的 么表达？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？ 箭头反向延长，速度 偏句角的正切值还可 (2)如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系 以用长度之比来表 怎样？ 示，即ton日= D[提示] 29t2 平抛运动的两个重要推论 x-0B vot -0B 联合①②解得OB= 1.推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通 之t之脚速度 过此时水平位移的中点。 的反向延长线过水平 位移的中点、。 2.推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与 (2)由（/）知速度偏 水平方向的夹角分别为0、，则tan0=2tana。 向角的正切值tan日 类型一：斜面上的平抛运动 由图知位移偏句角的 典题1：（多选）跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用 5 正切值tana=点= 山势特点建造一个特殊跳台。运动员在滑雪道上 获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后 29t gt B 着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以 t2。 比较0@可得tan日 20/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角为37°，不 =2tana。 [规律方法] 考虑空气阻力(g=10m/s2,sin37°=0.6，cos37°=0.8)，下列说法正确的 斜面上的平抛运动问 题是一种常见的题 是 型，在解答这类问题 A.运动员在空中飞行的时间为3s 时除要运用平抛运动 的位移和速度规律， B.A、B间的距离为75m 还要充分运用斜面倾 角，找出斜面倾角同 C.运动员到B处着陆时的速度大小为25m/s 位移和速度与水平方 向夹角的关系，从而 D.运动员在空中离坡面的最大距离为9m 使问题得到顺利解 思维点拨：斜面上的平抛运动，其隐含条件是已知位移夹角，根据推论二 决。 常见的模型 如下： 可知其速度夹角。 [规律方法] 分解速度 水平：U,=U 跟踪训练1：一水平抛出的小球落到一倾角为0的斜面©之 竖直：v,9 上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。 合速度：U=u,+U,2 小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比 10 垂直打山 到斜面 为 ( A.tan 0 B.2tan 0 、0 G.、1 1 由图可知，分解速度， tan 0 D.2tan 构建速度三角形 026 分解位移 类型二：速度偏转角和位移偏转角 水平：x=Uot 典题2：投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中 竖直：y=79驰 合速度：5=x2+y 提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示， 甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分 别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因 素的影响，sin37°=0.6，c0s37°=0.8。下列说法正确的是 () X 由图可如，分解位移，构 53 370 建位移三角形 [规律方法]平抛运动 中若已知位移夹角或 乙 速度夹角基本求解 思路 A.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小 (!)给出末速度方向 B.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲 ①画速度分解图，确 的长 定速度与水平方向的 夹角日； C.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大 ②根据水平方向和竖 D.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大 直方向的运动规律分 思维点拨：这类平抛运动，其隐含条件是已知速度夹角，根据推论二可知 析vx、Vy 其位移夹角，再根据其水平位移相同来分析。 P[规律方法] ©根据tan日=业列 v. 跟踪训练2：飞镖游戏是一种非常有趣味性的 方程求解。 娱乐活动，如图所示，某次飞镖比赛，某选手在距地 2)给出位移方向 ①画位移分解图，确 面某相同的高度，向竖直墙面发射飞镖，每次飞镖均 60 定位移与水平方向的 水平射出，且发射点与墙壁距离相同，某两次射出的 夹角a; 飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角第一次为30° ②根据水平方向和竖 直方向的运动规律分 和第二次为60°，若不考虑所受的空气阻力，则 析x、y A.两次末速度的反向延长线不一定交于水平位移的中点 国根据tana-生列 B.第一次出手速度比第二次小 方程求解。 C.第一次与第二次运动的时间之比为1：√3 D.两次末速度的大小之比为1：2 课堂效果反馈内化知识·对点验收 1.如图所示，从倾角为0且足A 2.如图所示，从某高度水平抛出一 0- 够长的斜面的顶点A,先后 小球，经过时间t到达地面时， 将同一小球以不同的初速 速度与水平方向的夹角为0，不 度水平向右抛出，第一次初 计空气阻力，重力加速度为g,下 速度为v,小球落到斜面上前一瞬间的速度方 列说法正确的是 向与斜面的夹角为P1,第二次初速度为“2，小 A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan 0 球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间 B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的 的夹角为92，若2>，则91和92的大小关 系是 夹角为号 A.P2 B.91<P2 C.仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变 C.=2 D.无法确定 D.若小球初速度增大，则0增大 027 3.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴 A.b与c之间某一点 Ox以o=2m/s的速度抛出，经过一段时间到 B.c点 达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球 C.d点 轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交 D.c与d之间某一点 于Q点，已知QM=3m,则小球运动的时间为 5.如图所示，一固定斜面倾角为0，将小球A从 斜面顶端以速率“。水平向右抛出，小球击中 了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同 速率o水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击 中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g,小 球A、B在空中运动的时间之比为 () A.1s B.1.5s C.2.5s D.3s 4.如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc= cd,从a点正上方O以速度v水平抛出一个小 球，它落在斜面的b点；若小球从O以速度2 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的 mimmmmmmmmmmmmm A.2tan20 1 B.tan20 1 C.1 2tan20 D.1 tan20 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4] 章未整合 素养提升 ●知识网络构建 速度方向：轨迹切线方句 曲线 运动 运动条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直 线上，合力的方向指向曲线的凹侧 合运动：物体的实际运动 运动的合成与分解 运算法则：平行四边形定则 频闪照相法 体运动 买验：探究平她运动的特点 描迹法 水平方向：匀速直线运动，Xovx0 平抛 运动 竖直方向：自由落体运动，F9,v,9 合运动：匀变速曲线运动，轨迹为抛物线 斜勉 水平方向：vox。cos日，做匀速直线运动（日为V。与水平方向的夹角） 运动 竖直方问：Vou=Vosin g,做匀变速直线运动（日为v。与水平方问的夹角）课堂效果反馈 专题强化1平抛运动的两个重要推论 :C根据者=匀g,得1-√臣则知落在c点的小球飞行时提升点 间最长，故C正确，D错误：落在α点的小球飞行时间最短，小类型一 球竖直速度U,=gt,可知落在a点的小球竖直速度最小，落在典题1：ABD运动员从A处到B处做平抛运动，设其在空中飞 c点的小球竖直速度最大，故A、B错误。故选C。 ! 行的时间为t,由平抛运动规律可得：水平位移为：x=ot,竖直 2.D由题意，假设2下落的高度为h,则1下落的高度为2h,竖 位移为：y=g,由几何关系可知，运动员着陆时满足： 直方向做自由落休运动，则由公式y=了得1√ y,即 am37°=1，解得：-2m37°-220×0.75s=3,故 -1d 4=√臣-√臣所以12在室中运动的时制之比为会= A正确：由几何关系可得A,B间的距离为：s=s37°= 只A错误；假设两飞标的初速度分别为。心，两飞解的水 0s37=20x3 Q.8m=75m,故B正确；运动员着陆时竖直分速 g g 平位移相同，设为x,则有a=√最，m=√员，求得 度为：)，=gt=10×3m/s=30m/s,运动员到B处着陆时的速 度大小为：=√。2+u,=√202+30m/s=10√13m/s,故 o1:m=1:√2，B错误；两飞镖落在0点的竖直速度分别为 C错误；将运动员从A处到B处的运动沿斜坡方向与垂直于 1=1=√4gh,”2=g,=2gh,又有am=生=4h ,tan B 斜坡方向分解，垂直于斜坡方向先做匀减速直线运动，当此方 向的速度减到零时，运动员离坡面的距离最大。在A处垂直 ”2=2边，由以上整理得tana=2tamB,C错误，D正确。故 于斜坡方向的初速度大小为：v1=sim37°=20×0.6m/s= 选D。 12m/s,垂直于斜坡方向的加速度大小为：a,=gcos0=10× 3.D甲球和丙球做平抛运动，乙球做匀速直线运动，甲球在水 0.8m/s2=8m/s2,运动员在空中离坡面的距离最大为：dm= 平方向上以的速度做匀速直线运动，所以在未落地前，甲、 2122 乙两球都在同一竖直线上，最后在地面上相遇，即甲、乙两球 2a=2×8m=9m,故D正确。故选ABD。 的相遇可以在P点，也可以在P点左面或者右面，对于平抛运跟踪训练1：D如图平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面 动，竖直方向有h=之g,水平方向有x=ot,又因为甲、丙两 倾角0，则有：tam6=。则下落高度与水平射程之比为上= gt 球在同一水平线上即两球高度相同，由上述两个式子分析可！ 1 t 1 知，甲、丙两球的运动时间相同，两球的水平位移关系有2x甲= 2元2am所以D正确。故选D。 x丙，甲、丙两球相遇时一定有x甲+x丙=x甲丙，整理有x甲= 0、+% 3两，即甲、丙两球相遇一定在P点或者P点上空，综合上 垂直打到- 述分析可知，当。速度适当时，三球可以在P点同时相遇，故 斜面上 A、B错误：若只有甲、乙两球在水平面相遇，说明此时甲球落 地，根据之前的分析可知，此时丙球也一定落地，一定有2x甲 类型二 =x丙，且x甲+x丙<x甲啊，故丙球一定在P点右侧，故C错误； ;典题2：A设箭的水平初速度为，入壶时速度与水平方向的夹 根据之前的分析可知，甲、丙两球相遇，一定有，=了m .h1 即甲球的水平位移为三分之一甲、丙两球的水平距离，因为， 角为0，则有史=tan, t =2tan0,由于tan53°> 甲、乙两球始终在同一竖直线上，此时乙球的位移等于甲球的 am37,所以里>三，若两人站在距壶相同水平距离处投壶， 水平位移，即乙球一定在P点，故D正确。故选D。 甲x乙 4.D美洲狮水平方向做匀速运动，竖直方向做竖直上抛运动， 即年=之时，则h,>h2,根据h=弓，可知n>z,即甲 其运动示意图如图所示，有6osa·2t=x,%sina·乞t=h, 21 所投的箭在空中运动时间比乙的长；根据x=t,可知甲< 联立解得tana=1,故D正确。 ”乙，即甲所投箭的初速度比乙的小，故A正确，B错误；若箭在 竖直方向下落的高度相等，即h甲=hz,则x甲<x乙，即甲投壶 位置距壶的水平距离比乙小：根据五=之，可知年=2，根 ih分kg 211 据x=t,可知甲<乙，则射箭落人壶口时的速度 √甲+(g)产<√z+(g)产，即甲所射箭落入壶口时速度 比乙小，故C、D错误。故选A。 跟踪训练2：C根据平抛的推论，末速度的反向延长线一定交 于水平位移的中点，故A错误；根据平抛运动的规律，在竖直5.A设小球A在空中运动的时间为，小球B在空中运动的 方向上微自由落体运动，有y=7,图中可知，<4< 时间为2。对小球A,A球落在斜面上时，有tam9=y△= XA 2,又因为在水平方向做匀速直线运动，有x=t,则>2，故 28,2 ,可得1= 2votan 6 B错误；根据速度偏转角和位移偏转角的关系，tan0,=: ,对小球B,小球B恰好垂直斜 2"8-☐品-二8-行因为水平位移：相 面击中Q点，速度与斜面垂直，结合几何知识，由平抛运动的 同，则紧=方又有y=宁，所以哈方成c正确：凝据C 规律可得m0=二-产，可得6二m0联合可得 UBy gt2 2tam0,故A正确，B,C、D错误。故选A。 1 选项中分析，有真=二则型=5，红=二，但是不知道 = 章末整合素养提升 和v的具体数量关系，因此无法判断末速度关系，故D错误。 高考真题专练 故选C。 :1.D小车做曲线运动，所受合外力指向运动轨迹的凹侧，故A、 课堂效果反馈 B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力 1.C根据平抛运动的推论，做平抛（或类平抛）运动的物体在 与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。 任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为 ;2.A篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。 a,位移与水平方向的夹角为B,则tana=2tanB,由上述关系 3.C图1中绝原子做平抛运动，由平抛运动规律可得：= 式结合题图中的几何关系可得tan(p+0)=2tam0,此式表明 x_0.2m 小球的速度方向与斜面间的夹角p仅与有关，而与初速度 to 100 m/s =2×103s,图2中铯原子做竖直上抛运动，由 无关，因此9=p2,即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上 各点的速度方向是互相平行的。故选C。 r可得=2×x02严=4×10s,所以2： h=1 10 m/s2 2.C小球落地时竖直方向的速度v,=gt,根据题意可得tan9=: 2×103s。1 4×10+。200,故C正确，A,B,D错误。 二解得，=品。A错误：设在：时间内的位移方向与水平4.C设斜坡倾角为，运动员在斜坡段做匀加速直线运动。 方向的夹角为a,根据平抛运动的推论2tana=tan0,可知a≠ 根据牛顿第二定律ngsin0=ma1,可得a1=gsin0,运动员在 号B结误：竖直方向高度不变，根据么=方，可得1= 水平P段做匀速直线运动，加速度a=0,运动员从P点飞 出后做平抛运动，加速度为重力加速度a,=g,设在P点的速 2五，若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，C正确：根 度为，则从P点飞出后速度大小的表达式为v= √/，2+gt,由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图 据tam0=,可知若小球初速度增大，则0减小，D错误。故 像不可能为直线，且a1<a3,C正确，A、B、D错误。 选C。 5.26 m/s 3.D根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向沿长线！ 解析：频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被 过其这段时间水平位移的中点，则有x=2QM=t,解得小球： 删去3个影像， 运动的时间为1=20业-23。=3s,所以D正确，A,B,C错 02 故相邻两球的时间间隔为t=4T=4×0.05s=0.2s 误。故选D 设抛出瞬间小球的速度为。，每相邻两球间的水平方向上位 4.A过b做一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从： 移为x,竖直方向上的位移分别为少2，根据平抛运动位移公 O点以速度2，水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变 式有x=ot 为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下 1=2=分×10x0.2m=0.2m 方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。 为=7g(2)2-3sr=3x10×0.4-0.2)m=0.6m 1 故A正确，B、C、D错误。故选A。 —212