数学（新高考卷）-学科网2022届高三2月大联考

学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） 数学·答案+评分标准+评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D B D B B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．AD 11．ABD 12．AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14． 15．1 16． 说明：填空题严格按照标准答案给分，第16题写成也给分，其他情况不给分。 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，（1分） 所以，即.（2分） 易知为锐角，（3分） 所以.（4分） （2）在中，因为，所以， 所以.（5分） 由余弦定理可得（6分） ，（7分） 因为BC边上的高为，所以由面积相等可得， 所以，（8分） 解之得或.（10分） 说明：第（2）问中，若只求解出的一个值，扣1分. 18．（12分） 【解析】（1）由，可得， 上式两边同时除以，可得，（2分） 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，（4分） 所以，所以．（6分） （2）由（1）可知， 当时，，（8分） 所以 ，（10分） 当时，，符合上式，（11分） 所以．（12分） 说明：1.第（1）问中，若只说明数列是等差数列，没有说明首项和公差扣1分； 2.若没有通过条件证明出数列是等差数列，而直接利用所求结论“数列是等差数列”求出进而求出公差和，扣2分； 3.结果只要正确即可得分，化简形式与答案不一致不扣分； 4.第（2）问未讨论当时扣1分. 19．（12分） 【解析】（1）由题知，这三组的频率成等差数列，设公差为， 则，（1分） 解得，（2分） 所以成绩在内的频率分别为0.08,0.16,0.36,0.28,0.12. 因为成绩在的学生有16人，所以，解得. （3分） 设这m名学生本次竞赛成绩的中位数为，则，（4分） 解得.所以这m名学生本次竞赛成绩的中位数为.（5分） （2）由题意知，分层抽样抽取的10人中，成绩在的学生有7人，成绩在的学生有3人.（7分） 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 则，，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （9分） 则，（10分） 即， 即， 即，（11分） 即， 解得，所以的最小值为11.（12分） 说明：1.第（1）问中位数结果未精确到0.01，扣1分； 2.第（2）问未列出随机变量的分布列不扣分. 20．（12分） 【解析】（1）如图，连接CE.由题意可知，，，均为等腰直角三角形， 因为，所以即为异面直线AB与ED所成的角， 所以，所以.（1分） 取BE的中点O，连接OC，OA，则，，且， 因为，所以，（2分） 因为，所以平面.（3分） 连接EF，因为，，，所以平面， 又平面，所以平面平面，故平面.（4分） 连接OD交CE于点G，连接FG，因为平面平面， 所以，故.（5分） （2）如图，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则A(0,0,)，C(0,,0)，B(,0,0)，E(,0,0)，D(,,0).（6分） 所以，，，.（7分） 设平面ABC的法向量为=(x1，y1，z1)，则，即，（8分） 令x1=2，则y1=2，z1=，所以平面ABC的一个法向量为=(2，2，2)，（9分） 设平面AED的法向量为=(x2，y2，z2)，则，即，（10分） 令x2=2，则y2=2，z2=，所以平面AED的一个法向量为=(2，2，)，（11分） 所以， 故平面ABC与平面AED所成锐二面角的余弦值为.（12分） 说明：1.第（2）问中建系未说明以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，不扣分； 2.6分段，7分段中，点的坐标和向量的坐标未写全，但后面法向量求解正确，不扣分； 3.12分段中，式子列对但计算错误，该分段不得分. 21．（12分） 【解析】（1）当直线垂直于x轴时，的重心为原点O，则， 所以.（1分） 当时，，所以， 所以的面积为，（2分） 解得，即.（3分） 所以， 所以椭圆的标准方程为．（4分） （2）由题意，可设直线，联立椭圆方程可得， 消去x并整理得，（5分） 设，，则，，（6分） 而，，则直线，直线， 所以联立两直线方程可得 .（7分） 所以，所以点的坐标为.（8分） 同理可得点的坐标为.（9分） 又，所以（10分） ，（11分） 故.（12分） 说明：第（2）问也可设直线方程为，但要注意斜率不存在时的讨论，此种情况未讨论扣1分. 22．（12分） 【解析】（1）由题知，函数的定义域为，且.（1分） 若，则在上单调递增；（2分） 若，则由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减；（3分） 若，由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减．（4分） 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（5分） （2）由（1）知，当时，有极大值. ∵的单调递增区间为，单调递减区间为，∴为极大值点， 又，且当时，，当时，，∴不妨设.（6分） ∵，即， ∴①. 令，则，将其代入①式得：.（7分） 要证成立，只需证成立， 即证成立.（8分） 设，则.（9分） 设，则，∴在上为增函数， ∴，即， ∴在上为增函数，（10分） ∴，即成立.（11分） ∴成立.（12分） 说明：第（2）问也可用以下解法： （2）由（1）知，当时，有极大值. ∵的单调递增区间为，单调递减区间为，∴为极大值点， 又，且当时，，当时，，∴不妨设.（6分） 则， 要证，只需证，（7分） 因为在上单调递减，所以只需证，即证.（8分） 令， 因为，所以，（9分） 因为，所以， 所以，即，所以，（10分） 所以，所以在上单调递增， 所以，（11分） 即证得，故结论得证.（12分） 数学 答案+评分标准+评分细则 第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ……………………… 装 ………………………… … …… … …………… 订 …………………………… …………… …… … 线 ……………… ……………… ) 绝密★启用前 学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．设(为虚数单位)，则 A． B．2 C．1 D． 3．已知数列为等比数列，若，，则 A．或 B．或 C．或 D．或 4．普罗斯数是如下形式的数：，其中k是奇数，n是正整数，且.既是普罗斯数又是素数(素数又称质数)的整数，称为普罗斯素数.从集合中任取两个数，恰有一个数是普罗斯素数的概率是 A． B． C． D． 5．记函数的定义域为集合A，若“”是“关于的不等式 成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．若对任意的角，，则 A． B． C． D． 7．若存在直线在函数的图象与函数的图象之间，即对定义域内的任意，恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，若与存在“分界线”，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知在中，O为其内部一点且满足，点D在内（不包括边界），且，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．为学习贯彻党的十九届六中全会精神，某单位组织“筑梦新时代”主题演讲活动.9位评委对某位选手的具体评分如下：7.8，8.4，8.5，8.6，8.8，8.9，9.5，9.7，9.9，则下列说法正确的是 A．9位评委的评分的极差是2.1 B．9位评委的评分的中位数是8.8 C．9位评委的评分的平均分是8.8 D．9位评委的评分的方差是 10．如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形为圆M的内接四边形，OB为直径，，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则下列结论正确的是 A．圆的方程为 B．直线的斜率为2 C．四边形的最小面积为2 D．的最小值为 11．若实数x，y满足，，，则 A．且 B．的最大值为 C．的最小值为 D． 12．已知曲侧面三棱柱的定义：侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.如图1是曲侧面三棱柱，图2是底面的平面图形，，N是的中点，且过点N的平面∥平面，若曲侧面三棱柱 的侧面积为，则以下结论正确的是 A．曲侧面三棱柱的高为 B．曲侧面三棱柱的上、下底面积均为 C．自点A绕侧面一圈到达点，则点A到点的最短距离为 D．平面截该曲侧面三棱柱所得图形的周长为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数是偶函数，且，则 . 14．在三棱锥中，平面平面，平面平面，且底面的外接圆的半径为3，则三棱锥的外接球的表面积为 . 15．已知函数（其中），若，且的图象上相邻两对称轴之间的距离为，则函数在上的最大值为 . 16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点F关于y轴的对称点为M，且，此时(O为坐标原点)的面积为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在中，BC边上的高为，点为边上一点，且，，. （1）求； （2）求的值． 18．（12分） 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19．（12分） 燃情冬奥，筑梦同行，点亮盛世华光.为了助力2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与奥运会项目知识竞赛，为了解本次竞赛中学生的成绩(成绩都在区间内，单位：分)情况，现随机抽取了名学生的成绩，并将这些成绩按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. 已知这三组的频率成等差数列，且成绩在的学生有16人. （1）求的值，并估计这名学生本次竞赛成绩的中位数（结果精确到0.01）； （2）定义：将成绩在的学生定义为“冬奥达人”.从所抽样本中成绩在 的学生中，按照组别进行分层抽样，共抽取10人，连同名教师志愿者一起组成志愿者小队，现在从这人中随机抽取3人作为志愿者小队的队长，若队长是教师或“冬奥达人”的总人数的期望不小于2，求的最小值． 20．（12分） 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AD边上的点，且AD=2AE= 2AB=2BC=2.将沿BE向上折起，使得异面直线AB与ED所成的角为，为线段AD上一点，如图2． （1）若，求的值； （2）求平面ABC与平面AED所成锐二面角的余弦值． 21．（12分） 已知分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．当直线垂直于x轴时，的重心为原点O，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若非椭圆顶点，直线与的交点为P，直线AN与BM的交点为Q，证明：. 22．（12分） 已知函数，其中为实数． （1）讨论的单调性； （2）若有极大值且，求证：． 数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页） 数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页） 理科数学试卷 第5页（共6页） 理科数学试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学利网 绝密★启用前 界)，且CD=C+CB,则 1 一的取值范围是 学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） m+ 数学 A.后 Ba c.2 D.3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 本卷满分150分，考试时间120分钟。 合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 注意事项： 9.为学习贯彻党的十九届六中全会精神，某单位组织“筑梦新时代”主题演讲活动9位评委对 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 某位选手的具体评分如下：78,8.4,8.5,8.6,88,89,9.5,97,9.9，则下列说法正确 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 的是 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 A.9位评委的评分的极差是2.1 B.9位评委的评分的中位数是8.8 在本试卷上无效。 ● 3。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C.9位评委的评分的平均分是8.8 D.9位评委的评分的方差是 75 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 10.如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为 一个选项是符合题目要求的， 圆M的内接四边形，OB为直径，|OC=√31OA=√3，过直 1. 段集合A=x2neZ☑，B=<,则A 线2x+y-4=0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为 A.0匀 B.0,2y ct D.1,-2 E,F,则下列结论正确的是 A.圆M的方程为x2+(y-1)2=1 2.设= 十i为虚数单位)，则水 B.直线AB的斜率为2 C.四边形PMF的最小面积为2 A,5 B.2 C.1 D. 岭 2 D.所，元的最小值为 3.己知数列{a}为等比数列，若4+a=2,a,·4=-8,则a= A.1或8 B.-1或-8 C.1或-8 D.-1或8 11.若实数x,y满足2+2=1，m=xy,n=(分+（宁，则 4.普罗斯数是如下形式的数：k2”+1,其中k是奇数，n是正整数，且2>k既是普罗斯数 A.x<0且y<-1B.m的最大值为-3C.n的最小值为7D.n-2"<2 又是素数（素数又称质数）的整数，称为普罗斯素数从集合A={x∈N11≤x≤10)中任取两个 12.已知曲侧面三棱柱的定义：侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三 数，恰有一个数是普罗斯素数的概率是 角形的边长为半径画圆弧得到的，如图1是曲侧面三棱柱ABC-ABC,,图2是底面的平面 8 > B15 C. 45 D.s 图形，AB=a,N是BC的中点，且过点N的平面∥平面AABB,若曲侧面三棱柱 ABC-AB,C的侧面积为a2,则以下结论正确的是 5.记函数y=13:2的定义线为集合4，若K∈4“是关于的不等武+-2产<0 (>0)成立”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 A.(2+m) B.[2,+w) c.(0,2) D.(0,2 对任意的角a∈R,sima-3cosa=i0sim(a+),则cos A.72 B.-7E C② D.-② 10 10 10 10 7.若存在直线y=x+b在函数y=f()的图象与函数y=g()的图象之间，即对定义域内的 任意x,f()>+b>8(x)恒成立，则称直线y=kx+b为函数f)与g()的分界线”， 图2 若f(x)=e"(r>0)与g(x)=x(x>0)存在“分界线”，其中e为自然对数的底数，则实数m A.曲侧面三棱柱的高为a 的取值范围为 B.曲侧面三棱柱的上、下底面积均为；红-一V⑤ B.←2+回 C.(-e,+n) D.(-e2,+oo) C.自点A绕侧面一圈到达点A,则点A到点A的最短距离为√Oa 那 8.已知在△4BC中，O为其内部一点且满足OA+OB+OC=0,点D在△4OB内（不包括边 D.平面a截该曲侧面三棱柱所得图形的周长为3a 数学试卷第1页（共4页） 数学试卷弟2页（共4页） 学科网 三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 (1)求m的值，并估计这m名学生本次竞赛成绩的中位数（结果精确到0.01）： 13.已知函数f(x)=2+是偶函数，且0)=16，则2a+b= (2)定义：将成绩在[90,100]的学生定义为冬奥达人”从所抽样本中成绩在[80,90)，[90， 14.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,且PA=4底面△ABC 的外接圆的半径为3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 100]的学生中，按照组别进行分层抽样，共抽取10人，连同01eN)名教师志愿者一起 1.已知函数/国=血a+列（其中@>0.0<p<孕，若J0片且5U的图象上 组成志愿者小队，现在从这+10)人中随机抽取3人作为志愿者小队的队长，若队长是 2 相邻两对称轴之间的距离为子则函数因在受孕上的最大值为 教师或“冬奥达人"的总人数5的期望不小于2，求m的最小值 区 20.(12分) 16.己知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点，点F关于y 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，E为AD边上的点，且AD=2AE= 轴的对称点为M,且2引AMBM=3引AF-BF=24,此时△OAB(O为坐标原点)的面 2AB-2BC=2.将△ABE沿BE向上折起，使得异面直线AB与ED所成的角为60°，F为线 积为 段AD上一点，如图2. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 在△ABC中，BC边上的高为2N5,点D为AB边上一点，且BD=k4D,AC=√3CD=√2I, 需 ∠ADC=120 加 (1)求∠BAC: (2)求k的值， 18.(12分) 图2 已知数列{a,}满足a4-2m2=(n+1)a+2neN°，且4=1. (1)求证：数列（凸}为等差数列，并求数列{a}的通项公式： 1)若D8上CR,求号的值： (2)求平面ABC与平面AED所成锐二面角的余弦值， + 21.(12分) (2)记b= 求数列{化}的前项和工。 1 ,≥2 d.-n 已知MN分别是椭圆C若+茶-Q>b>0的左、右顶点，过右焦点F的直线1与格国 19.(12分) C交于A,B两点.当直线I垂直于x轴时，△MAB的重心为原点O,且△MAB的面积 燃情冬奥，筑梦同行，点亮盛世华光为了 004 为号 4 助力2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织 全校学生参与奥运会项目知识竞赛，为了 (1)求椭圆C的标准方程： 0.028 解本次竞赛中学生的成绩（成绩都在区间 (2)若A,B非椭圆顶点，直线AM与BN的交点为P,直线AN与BM的交点为Q,证明： ▣家▣ [50,100内，单位：分)情况，现随机抽取 FP⊥FO 了m名学生的成绩，并将这些成绩按照 22.(12分) [50,60).[60,70).[70,80).[80,90).[90,100分 已知函数/国-二，其中a为实数。 成5组，制成了如图所示的频率分布直 (1)讨论f(x)的单调性： 方图 50607000100.成结（分） 已知[50,60)，[90,100，[60,70)这三组的频率成等差数列，且成绩在[60,70)的学生有16人， (2)若f0有极大值且/)=f,≠x),求证：，+x-2>0. 数学试卷第3页（共4页） 数学试卷第4页（共4页）学科网2022年高三2月大联考（新高考卷) 数学全解全析 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D B 夕 ABD AD ABD AB 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.c【解折】由题可得4=红x号公=1号0的8=x<=-1<,则 48=号的，薇莲c 2,A【解折由愿可得工》)0-0=+i,所以1-i所以2头P+(妒=，放 选A. 3.C【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a·4=4·a=-8, 由48 a+62可得4感冬，因为c44,所以a或8预选C 4=-21 4.D【解析】由题意可知，集合A中普罗斯数有3,5,9，素数有2,3,5,7，则集合A中普罗斯素数有3,5，所以 从集合A=(x∈V1≤x≤10)中任取两个数，恰有一个数是普罗斯素数的概率P=CC_16 C。45,故选D. ⑤.B【解析)由，0得0<x<2,所以A=x0<x<2}.记不等式+m心-2m<0m>0)的解集为B, ≥2 因为>0，所以B={x|-2m<x<m以，由题可知 -2m≤0（等号不同时成立)，解得m≥2.故选B. 6.D【解析】因为sina-3cosu=V10sim(a+)=V10 sina cos0+√10 cosa sin0, -3 25、2②=2y 所以sin0= 41 4 4 2」 2 10 .故选D. 7.B【解析】因为f(x)=e+m(x>0)与g(x)=x(x>0)存在“分界线”， 所以根据f(x)与8(x)的图象可知，当x>0时，f(x)>g(x)恒成立，即e+m>x, 即x+m>hx,即m>hnx-x,令)=nx-x,则m>h)a· 因为r的=上1上es,所以当0<<时，h>0,当时，)<0， 1 er e 数学全解全析第1页（共10页） 所以函数()在O,上单调递增，在(，+w)上单调递减，所以()=h白= e 所以限名，所以实数加的取植范围为（三+，改选B, e 8.B【解析】由OA+OB+OC=0知点O为△ABC的重心，如图，连接OD并延长交AB于点F,延长CD 交AB于点E. 0 设OD=OF(0<1<1),OF=sOA+tOB,其中s+t=1,则CD=Co+OD=Co+0F=Co+ (S0A+tOB)=CO+s(CA-CO)+(CB-CO)=AsCA+ACB+(1-As-)CO, 又C0=a+c西，所以cD=(s+1,+(i+12c2, 3 3 所以a+=a+片+(u+号马=-0+222-2号兰=后).所以0放选B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.ABD【解析】9位评委的评分的极差是9.9-7.8=2.1，故A正确： 9位评委的评分的中位数是8.8，故B正确： 9位评委的评分的平均分是78+84+85+86+88+89+9,5+97+99_801=89，故C错误： 9 9位评委的评分的方差为-号(78-8+84-8驴+85-8驴+（®6-8P+⑧8-89+ ⑧9-8叨-95-8列+(Q78旷+@9-891=3智2-为敬D正编，数选ABD 10.AD【解析】由题意可得圆M的直径OB=2,线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为 x2+(y-1)2=1,故A正确： 易知∠40B=3,从而可得∠0C=号，所以直线OC的斜率为kac=tam于=5，由4B/0C可得直线 3 AB的斜率为k4B=kc=V3,故B错误： 连接PM,可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S=2Su△ME =MEI PEPE= PM-1,当直线PM与直线2x+y-4=0垂直时，1PM最小，即PMm-2x0+1-4_35 5 数学全解全析第2页（共10页） ,故c错误 所以3=25 因为PA.PC=(PM+MA-(PM+Mc)=(PM+MA-(PM-MA=PM-MA°=PM-1,|PMlm= 12×0+1-4|3W5 5 ，所以厨：灭=-1？1=手，放D正晚枚选AD 11.ABD【解析】由2+21=1，得21=1-2>0,2=1-21>0，所以x<0且y<-1,故A正确： 由2+2+1=1≥2√2.2H=2√2+H,得l=x+y≤-3，当且仅当x=y+1=-1,即x=-1,y=-2时， 等号成立，所以m的最大值为-3，故B正确： n=分+（分y=+12+2)=5+2x2+2x2 2×22×2=9,当且仅当 >≥5十22x2” 2X22X2,即x三y=-168,3时，等号成立，所以”的最小值为9，故C错误 2* n2”=[(宁+（宁y门2=2+21=2-3×2<2，故D正确.故选ABD, 12.AB【解析】由题意可知，底面由三条圆弧构成，且每条圆弧所在圆的半径都为a,所对的圆心角度数 都为否所以上、下底面的周长均为3×a=m,设曲侧面三棱柱的高为力，则曲侧面三使柱 ABC-AB,C1的侧面积为πah=a2,即h=a,故A正确； 曲侧面三棱柱的上、下底面积均为S=?×+2(g×-3)三？女 234 二（π-V3),故B正确； 如图，将侧面展开后可得到一个矩形，对角线A4的长度即为最小值，计算可得最小值为Wπ+1，故 C错误： 如图(1)，取M,P,Q分别是AC,AC,B,C的中点，连接MN,MP,PQ,NQ,在图(2)中连接AN, BM交于点O,则∠AOB=120,且OA=OB=5a,因为NWAB,所以N/平面4ABB,.因为PM 3 ∥AA,所以PM∥平面AABB,又MN∩PM=M,所以平面PMN∥平面AABB,因为MN∥PQ, 所以平面PNQ∥平面AABB,,故平面PNQ即为平面a,矩形PMNQ即为平面a截该曲侧面三棱 柱所得的图形，因为OM=ONEa-3a,所以AN=V3(a-0=(W3-la,所以矩形PMg的周 长为2(5-1)a+2a=25a,故D错误.故选AB. 数学全解全析第3页（共10页） 图(1) 图(2) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.1【解析】因为函数f(x)=23x+r+b是偶函数，所以0，又因为f)=16,所以2+=16，所以b=1, 所以2a+b=1. 14.52π【解析】因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设三棱锥P-ABC 的外接球的半径为R,结合底面△4BC的外接圆的半径一3，可得R=(4+2=2+32=13,所以 三棱锥P-ABC的外接球的表面积为S鬼=4πR2=52π. 15.1【解析】因为f0= 2,所以sinp=1, 又因为0<<分，所以9-石设函数的最小正周期为刀： 2 6 因为y的图象上相都两对将精之间的面离为子所以写子从而7X,即吾，所以。2。 从而=nm2-令.当e哈孕时，2x+管写爱.则m2骨e,放在r哈原上 6 的最大值为1. 16.22【解析】如图，不妨设点A在第一象限，点B在第四象限，直线AB的倾斜角为6(6∈(0，)，由 题意可知，过点M且垂直于x轴的直线即为抛物线y2=2x(D>0)的准线1，过点A作AD⊥x轴，AH ⊥1，过点B作BE⊥x轴，BG⊥I. H APHH1+DFp+Ao0,所以A一sO同理，BFF+0 所以AP-BF产 =8 sin20 数学全解全析第4页（共10页） ADI AF DMI 显然BEBFEM) ,则Rt△ADM∽Rt△BEM,所以∠AMD=∠BMD,即MF为∠AMB的平分 AMBMI 线，由角平分线定理得 NAB,因为2 AMLIBM3引AF-B,所以-所 AM3 以 1AeP;，即AM6 1AF=2，所以 DMI AFI 6 =cos∠AMD=cos∠MAH,所以 AMIAMI 3 a是，即咖0 tan∠MH=IHM_IADL-V2 ,所以0= 2 4,p=2, 1-E2522+②，1Br=2 则|AF卡2 4 1+52+522-V②， 4 2 2 所以4ADA-V22+V2,BB卡BP-=V22-2, √2 所以SOA= 1oP10AD1+B2D-×4W5-25 2 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】(1)在△ADC中，由正弦定理可 CD AC sin∠BAC sin ZADC，(1分) 所以、V万 V21 sin∠BAC sin120 ,即siAC-号2分 易知∠BAC为锐角，(3分) 所以∠BAC=30°.(4分) (2)在△ADC中，因为∠ACD=180°-120°-30°=30°=∠DAC,所以AD=CD=√7， 所以AB=AD+BD=AD+kAD=√7(k+1).(5分) 由余弦定理可得BC=√AC2+AB2-2AC.AB cos∠BAC(6分) =21+7+-2i×k+1x5=V7-k+D,7分) 2 因为8C边上的高为25，所以由面积相等可得号40ACsn∠B4C-Bc-25, 所以5+xi}5-+×26,8分) 部之得k=3或k=背（10分) 18.（12分) 【解析】（1)由naa1-2n2=(n+1)an+2n,可得1aa+1-(n+1)a。=2n+1), 数学全解全析第5页（共10页） 上式两边同时除以0m+),可得-4=2，(2分) n+l n 又导-1，所以数列分}是以1为首项，2为公差的等差数列，(4分) 所以4=1+20-1)=2-1，所以a,=n21-1).(6分) (2)由(1)可知a,=(2n-1), 当球。。之，分》 所以=+1+ 1 44,-24,-3 a.-n -1+0--1,10分) n 2 2n2n 当n=1时，T==1,符合上式，(11分) 所以工 ,neN.(12分) 19.(12分) 【解析】(1)由题知，[50,60)，[90,100]，[60,70)这三组的频率成等差数列，设公差为d, 则0.008×10+0.008×10+d+0.008×10+2d+0.028×10+0.036×10=1,(1分) 解得d=0.04,（2分) 所以成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内的频率分别为0.08,0.16,0.36,0.28,0.12. 因为成绩在[60,70的学生有16人，所以16=0，.16，解得m=100.(3分) 设这名学生本次竞赛成绩的中位数为x,则0.08+0.16+0.036×(x-70)=0.5,(4分) 解得x≈77.22.所以这名学生本次竞赛成绩的中位数为77.22.(5分) (2)由题意知，分层抽样抽取的10人中，成绩在[80,90)的学生有7人，成绩在[90,100]的学生有3 人.(7分) 随机变量5的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(5=0)= CC1) Ca,p5=2)= C40 C,p5=3)= C40 Cn+10 所以随机变量的分布列为 5 0 1 2 3 P C.c CC C.C C C0 C0 C10 C+0 (9分) 数学全解全析第6页（共10页） 则5= CCx0+ CiCx1 CC2x2+ C0 Cio C×3≥2，(10分) 即C0n+3)+70m+30+2)+m+30+2)0+1≥0+1001+90+8) 2 3 即42n+3)+140+300m+2)+0m+30+20+1）≥20+10n+901+8 3 即(m+3)0r+17m+72)≥20n+100+9n+8 ,(11分) 3 即n+323n+10 解得n≥11，所以n的最小值为11.(12分) 20.(12分) 【解析】(1)如图，连接CE.由题意可知，△ABE,△CED,△BCE均为等腰直角三角形， 因为BC∥ED,所以∠ABC即为异面直线AB与ED所成的角， 所以∠ABC=60°，所以AC=1.(1分) 取BB的中点0，连接0C,OA,则0ALBE,0C1B亚，且OA=OC= 2 因为OA+OC2=AC2,所以OA⊥OC,(2分) 因为BE∩OC=O,所以OA⊥平面BCDE.(3分) 连接EF,因为DE⊥EC,DE⊥CF,CE∩CF=C,所以DE⊥平面ECF, 又DEC平面BCDE,所以平面ECF⊥平面BCDE,故OA∥平面ECF.(4分) 连接OD交CE于点G,连接FG,因为平面AOD∩平面ECF=FG, 所以OA/GP,放4二=0-2=号.(5分) FD GD CD 2 A G B (2)如图，以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-z 则40a9.co号ms900双-9，(5，是m6分 2 2 2 5:9.9-99,丽-6要.099m剂 2,0- 2 数学全解全析第7页（共10页） ·AB=0 0 x- 2 2 设平面ABC的法向量为乃=(1，y1,),则 即 h·BC=0 (8分) 2 =0 2 令x2,则y1=2,2=2,所以平面ABC的一个法向量为=(2,2,2)，(9分) 2. n·AE=0 X2- 2 20 设平面AED的法向量为2=(x2,y2,22),则 即 2·ED=0 ,√2 ，(10分) (2 y2=0 2 令x2=2,则y2=2,22=-2,所以平面AED的一个法向量为%=(2,2，-2)，(11分) 所以o4)4a7 2×2+2×2-2×2 3 故平面ABC与平面AED所成锐二面角的余弦值为；(12分) 21.（12分) 【解析】(1)当直线1垂直于x轴时，△MAB的重心为原点O,则|OMOF=a:c=2:1, 所以a=2c,b=V3c.(1分) 当=c时，=生公，所以2公 所以△MB的面积为)×a+c)×2办_9e2_9 a22’(2分) 解得c2=1,即c=1.(3分) 所以a=2,b=√5， 所以椭圆c的标准方程为兰+上=1.4分) 43 [x=y+1 (2)由题意，可设直线：x=y+1,联立椭圆方程可得x2,y2 43 1 消去x并整理得(3k2+4)y2+6y-9=0,(5分) 6h 9 设A(,y),B(2,y2),则月+y2= 3+4'4=3+4’(6分) 面M(20.N00.则直线My=x+2),直线w,”2刃 书+2 所以联立两直线方程可得2当位2》_，-)-y,-1 x+22(+2)y2(y+3)y2+3y2 数学全解全析第8页（共10页） 9k 6k 3 =3+43+4+为 32+4+为 1 9k 9k 3派2+4+3 3(7分) 3张2*4+3当 所以x=4,所以点P的坐标为4，6).(8分) x1+2 同理可得点Q的坐标为42(9分） 又F1,0),所以丽.F0=9+,36y =9十 36yy2 (10分) (x1+2)(x2+2)(+3)y2+3) =9+ 36yy2 kyy,+3k(y,+y2)+9 9 =9+ 36-3张+4 (4( -)+9 =0,(11分) 故FP⊥FO.(12分) 22.(12分) 【解析】(1)由题知，函数f)的定义域为R,且f=1.(1分) 若a=0,则f(x)=x在R上单调递增；(2分) 若a≥0，则白=1。瓜0得分由网=1。严0得x a “)在（←，上单调递增，在(+）上单调递减：(3分) 若a<0,由f四1怎m,0得分自)-1<0得后 1 eax ear f)在（弓+）上单调递增，在（←”，马上单调递减.(4分） a 综上所述，当a=0时，f()在R上单调递增：当a>0时，f()在（←n,马上单调递增，在(，+o)上 单调递减：当a<0时，fx)在(，+∞)上单调递增，在（←，上单调递减.(5分） (2)由(1)知，当a>0时，f(x)有极大值， :的单调递增区间为(n,之，单调递减区间为合+），∴x=为极大值点， a 又f0=0,且当x>0时，f()>0,当<0时，fw)<0,“不妨设x,>>x,>0.(6分) a :)=),即喜点>0， ∴.lnx1-=lnx2-2①. 数学全解全析第9页（共10页） iInt 令1王，则E衣>D,将其代入①式得：上子I分 要证1片子0成立，贝需证。 nt+tlnt-2>0成立， (t-1)a(t-1)a 即证lnt+tlnt-2t+2>0成立.(8分) 设g)=ht+tlnt-2t+2t>1),则g'()=二+lnt-1.(9分) 设0-g0-G>》,测a0-+片分0,0在4回上为第漏效 ∴.h(t)>h(1)=0,即g'(t)>0, .g(t)在L,+∞)上为增函数，(10分) .8(t)>g(1)=0,即lnt+tlnt-2t+2>0成立.(11分) “+x-20成立12分) a 数学全解全析第10页（共10页) 学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C D B D B B ABD AD ABD AB 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．C 【解析】由题可得，则，故选C． 2．A 【解析】由题可得，所以，所以，故选A． 3．C 【解析】因为数列为等比数列，所以， 由，可得或，因为，所以或，故选C． 4．D 【解析】由题意可知，集合A中普罗斯数有3,5,9，素数有2,3,5,7，则集合A中普罗斯素数有3,5，所以从集合中任取两个数，恰有一个数是普罗斯素数的概率，故选D. 5．B 【解析】由得，所以.记不等式的解集为B，因为，所以，由题可知（等号不同时成立），解得.故选B． 6．D 【解析】因为， 所以，，则 ．故选D． 7．B 【解析】因为与存在“分界线”， 所以根据与的图象可知，当时，恒成立，即， 即，即，令，则． 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为，故选B． 8．B 【解析】由知点O为的重心，如图，连接OD并延长交AB于点F，延长CD交AB于点E. 设，，其中，则 ， 又，所以， 所以，所以.故选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 【解析】9位评委的评分的极差是，故A正确； 9位评委的评分的中位数是8.8，故B正确； 9位评委的评分的平均分是，故C错误； 9位评委的评分的方差为 ，故D正确，故选ABD． 10．AD 【解析】由题意可得圆M的直径OB=2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为，故A正确； 易知，从而可得，所以直线的斜率为，由AB∥OC可得直线的斜率为，故B错误； 连接PM，可得，所以四边形的面积为 ，当直线PM与直线垂直时，最小，即，所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确.故选AD. 11．ABD 【解析】由，得，，所以且，故A正确； 由，得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； ，故D正确.故选ABD. 12．AB 【解析】由题意可知，底面由三条圆弧构成，且每条圆弧所在圆的半径都为，所对的圆心角度数都为，所以上、下底面的周长均为，设曲侧面三棱柱的高为，则曲侧面三棱柱的侧面积为，即，故A正确； 曲侧面三棱柱的上、下底面积均为，故B正确； 如图，将侧面展开后可得到一个矩形，对角线的长度即为最小值，计算可得最小值为，故C错误； 如图（1），取M,P,Q分别是的中点，连接MN，MP，PQ，NQ，在图（2）中连接AN，BM交于点O，则，且，因为，所以∥平面.因为PM∥，所以PM∥平面，又，所以平面∥平面，因为∥，所以平面∥平面，故平面即为平面，矩形即为平面截该曲侧面三棱柱所得的图形，因为，所以，所以矩形的周长为，故D错误.故选AB. 图（1） 图（2） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 【解析】因为函数是偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以. 14． 【解析】因为平面平面，平面平面，所以.设三棱锥的外接球的半径为R，结合底面的外接圆的半径r=3，可得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 15．1 【解析】因为，所以，又因为，所以.设函数f(x)的最小正周期为T，因为的图象上相邻两对称轴之间的距离为，所以，从而，即，所以，从而，当时，，则，故在上的最大值为1． 16． 【解析】如图，不妨设点A在第一象限，点B在第四象限，直线AB的倾斜角为，由题意可知，过点M且垂直于x轴的直线即为抛物线的准线l，过点A作AD⊥x轴，AH⊥l，过点B作BE⊥x轴，BG⊥l. 则，所以.同理，. 所以. 显然，则，所以，即为的平分线，由角平分线定理得，因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以，， 则，， 所以，， 所以． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，（1分） 所以，即.（2分） 易知为锐角，（3分） 所以.（4分） （2）在中，因为，所以， 所以.（5分） 由余弦定理可得（6分） ，（7分） 因为BC边上的高为，所以由面积相等可得， 所以，（8分） 解之得或.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）由，可得， 上式两边同时除以，可得，（2分） 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，（4分） 所以，所以．（6分） （2）由（1）可知， 当时，，（8分） 所以 ，（10分） 当时，，符合上式，（11分） 所以．（12分） 19．（12分） 【解析】（1）由题知，这三组的频率成等差数列，设公差为， 则，（1分） 解得，（2分） 所以成绩在内的频率分别为0.08,0.16,0.36,0.28,0.12. 因为成绩在的学生有16人，所以，解得. （3分） 设这m名学生本次竞赛成绩的中位数为，则，（4分） 解得.所以这m名学生本次竞赛成绩的中位数为.（5分） （2）由题意知，分层抽样抽取的10人中，成绩在的学生有7人，成绩在的学生有3人.（7分） 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 则，，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （9分） 则，（10分） 即， 即， 即，（11分） 即， 解得，所以的最小值为11.（12分） 20．（12分） 【解析】（1）如图，连接CE.由题意可知，，，均为等腰直角三角形， 因为，所以即为异面直线AB与ED所成的角， 所以，所以.（1分） 取BE的中点O，连接OC，OA，则，，且， 因为，所以，（2分） 因为，所以平面.（3分） 连接EF，因为，，，所以平面， 又平面，所以平面平面，故平面.（4分） 连接OD交CE于点G，连接FG，因为平面平面， 所以，故.（5分） （2）如图，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则A(0,0,)，C(0,,0)，B(,0,0)，E(,0,0)，D(,,0).（6分） 所以，，，.（7分） 设平面ABC的法向量为=(x1，y1，z1)，则，即，（8分） 令x1=2，则y1=2，z1=，所以平面ABC的一个法向量为=(2，2，2)，（9分） 设平面AED的法向量为=(x2，y2，z2)，则，即，（10分） 令x2=2，则y2=2，z2=，所以平面AED的一个法向量为=(2，2，)，（11分） 所以， 故平面ABC与平面AED所成锐二面角的余弦值为.（12分） 21．（12分） 【解析】（1）当直线垂直于x轴时，的重心为原点O，则， 所以.（1分） 当时，，所以， 所以的面积为，（2分） 解得，即.（3分） 所以， 所以椭圆的标准方程为．（4分） （2）由题意，可设直线，联立椭圆方程可得， 消去x并整理得，（5分） 设，，则，，（6分） 而，，则直线，直线， 所以联立两直线方程可得 .（7分） 所以，所以点的坐标为.（8分） 同理可得点的坐标为.（9分） 又，所以（10分） ，（11分） 故.（12分） 22．（12分） 【解析】（1）由题知，函数的定义域为，且.（1分） 若，则在上单调递增；（2分） 若，则由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减；（3分） 若，由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减．（4分） 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（5分） （2）由（1）知，当时，有极大值. ∵的单调递增区间为，单调递减区间为，∴为极大值点， 又，且当时，，当时，，∴不妨设.（6分） ∵，即， ∴①. 令，则，将其代入①式得：.（7分） 要证成立，只需证成立， 即证成立.（8分） 设，则.（9分） 设，则，∴在上为增函数， ∴，即， ∴在上为增函数，（10分） ∴，即成立.（11分） ∴成立.（12分） 数学 全解全析 第9页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网2022年高三2月大联考（新高考卷) 数学·答案+评分标准+评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1 2 3 5 7 8 A C D B D B B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ABD 10.AD 11.ABD 12.AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14.52π 15.1 16.25 说明：填空题严格按照标准答案给分，第16题写成√⑧也给分，其他情况不给分。 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) CD 【解析】(1)在△ADC中，由正弦定理可得 AC sin∠BAC sin∠ADC,(1分) 所以、万 √21 sim∠BAC sin120° 即sin∠BAC= 2(2分) 易知∠BAC为锐角，(3分) 所以∠BAC=30°.(4分) (2)在△ADC中，因为∠ACD=180°-120°-30°=30°=∠DAC,所以AD=CD=√7， 所以AB=AD+BD=AD+kAD=√7(k+1).(5分) 由余弦定理可得BC=√AC2+AB2-2AC.AB cos∠BAC(6分) -21+7+1°-2i×7k+×5=V+0,(7分 因为BC边上的高为23，所以由面积相等可得4B4ACsn∠B4C-8C25, 所以分+)xix3}x-k+Dx2V5,(8分) 22 解之得k=3或k-}(10分) 说明：第(2)问中，若只求解出k的一个值，扣1分 数学答案+评分标准+评分细则第1页（共7页) 18.(12分) 【解析】(1)由na1-2n2=(n+1)a。+2n,可得a1-(n+1)a=2n+1), 上式两边同时除以0+1)，可得马-4=2，(2分) n+l n 又号=1，所以数列凸}是以1为首项，2为公差的等差数列，(4分) 1 所以4=1+20-1)=2-1，所以a,=n(2n-).(6分) (2)由(1)可知a=(2n-1), 当22时，1,1、-L马 a.-n2nn-1)2n-1n (8分) 所以T,上+1+1 4a-24-3 **2.10-+g月+ 1+0为经如公 2 当=1时，T==1,符合上式，(11分) 所以工=- ,n∈N.(12分) 2n 说明：1.第(1)问中，若只说明数列凸}是等差数列，没有说明首项和公差扣1分： 之 2.若没有通过条件na1-2n2=(m+1)a,+2n证明出数列色)是等差数列，而直接利用所求结论 “数列凸}是等差数列”求出马，二进而求出公差和马=2-1，扣2分： 12 2 3.T结果只要正确即可得分，化简形式与答案不一致不扣分： 4.第(2)问未讨论当n=1时扣1分. 19.(12分) 【解析】(1)由题知，[50,60)，[90,100]，[60,70)这三组的频率成等差数列，设公差为d, 则0.008×10+0.008×10+d+0.008×10+2d+0.028×10+0.036×10=1,(1分) 解得d=0.04,(2分) 所以成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内的频率分别为0.08,0.16,0.36,0.28,0.12. 因为成绩在[60,70的学生有16人，所以16=0.16，解得m=10.(3分) n 设这m名学生本次竞赛成绩的中位数为x,则0.08+0.16+0.036×(x-70)=0.5,(4分) 解得x≈77.22.所以这m名学生本次竞赛成绩的中位数为77.22.(5分) (2)由题意知，分层抽样抽取的10人中，成绩在[80,90)的学生有7人，成绩在[90,100]的学生有3 人.(7分) 数学答案+评分标准+评分细则第2页（共7页） 随机变量5的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(5=0)= Ca,p传=） C3 ec,Pg=)-cC,Pg=)= +10 C 所以随机变量5的分布列为 5 0 1 2 3 CC CC C.C cC Ci0 Cio Ci10 Cio (9分) 则E5= Cx0+c4cx1+C-Cx2+ecCx3≥2，(10分) Co 即C6m+3)+70+30+2)+m+30+20+D≥0u+100m+90n+9 2 3 即42(0n+3)+140n+3)0n+2)+0m+3)0+2)0m+1)≥20+101+90+8 3 即01+30+17m+72)≥20n+100+9n+8 3 ,(11分) 期m3子10. 解得n≥11，所以n的最小值为11.(12分) 说明：1.第(1)问中位数结果未精确到0.01，扣1分： 2.第(2)问未列出随机变量5的分布列不扣分. 20.（12分) 【解析】(1)如图，连接CE.由题意可知，△ABE,△CED,△BCE均为等腰直角三角形， 因为BC∥ED,所以∠ABC即为异面直线AB与ED所成的角， 所以∠ABC=60°，所以AC=1.(1分) 取B驱的中点0，连接OC,OA,则QA1BB,0C1BB,且O4=OC= 2 因为OA2+OC2=AC2,所以OA⊥OC,(2分) 因为BE∩OC=O,所以OA⊥平面BCDE.(3分) 连接EF,因为DE⊥EC,DE⊥CF,CE∩CF=C,所以DE⊥平面ECF, 又DEC平面BCDE,所以平面ECF⊥平面BCDE,故OA∥平面ECF.(4分) 连接OD交CE于点G,连接FG,因为平面AOD∩平面ECF=FG, 所以a1/G,号器器专(5分) 数学答案+评分标准+评分细则第3页（共7页） E D G O B (2)如图，以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-Vz 圆4o0).co.Ao,BV00.0.0D0k6分 2 2 2 所以证=点。 2 2)，BD=-V2N2,O).(7分) 2’2 √2.√ ·AB=0 2 230 设平面ABC的法向量为=(x1,1,2),则 即 %·Bc=0' ，(8分) 、2 1+ 2 y=0 令x=2,则y=2,z1=2,所以平面ABC的一个法向量为%=(2,2,2)，(9分) v2 √2 2·AE=0 设平面AED的法向量为2=(2,2,2)，则 -23=0 2 即 h2·ED=0 .√2 ，(10分) 2+24=0 令x22,则2=2,2=-2，所以平面AED的一个法向量为%=(2,2，-2)，（11分) 所o十27方 2×2+2×2-2×2 == 1 故平面ABC与平面ABD所成锐二面角的余弦值为3·(12分) 说明：1.第(2)问中建系未说明以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴，不扣分； 2.6分段，7分段中，点的坐标和向量的坐标未写全，但后面法向量求解正确，不扣分： 3.12分段中，1cos(%,2)川式子列对但计算错误，该分段不得分 21.（12分) 【解析】(1)当直线l垂直于x轴时，△MAB的重心为原点O,则|OMOF=a:c=2:1, 所以a=2c,b=V3c.(1分) 当x=c时，y=士公，所以AB2 a a 数学答案+评分标准+评分细则第4页（共7页） 2分 所以△MB的面积为)×(a+cdx2办_e_9, 1 解得c2=1,即c=1.（3分) 所以a=2,b=√5， 所以椭圆C的标准方程为4+3=1·〔4分) 「x=y+1 (2)由题意，可设直线1：x=y+1,联立椭圆方程可得x2,y2 1 43 消去x并整理得(3k2+4)y2+6-9=0,(5分) 6k 9 设A(比，y),B(x2,y2),则片+y2= 3+4’=3+4'（6分) 而AM(20,M20,则直线4M=十2+2》，直线Ny产2-习， 所以联立两直线方程可得-？--4：-)=业 x+2y2(:+2)y2(+3)y2+3y2 9k,6k 3k -±4349.3*4y- 9k 3张2+4+3 9k 3派2+4+3男 =3(7分) 所以x=4,所以点P的坐标为4,6).(8分) x1+21 同理可得点Q的坐标为4，，).(9分) x2+2 又0,0，所以m=9+36y。=9+ 36yy2 (x1+2)(x2+2)(y1+3)2+3) (10分) =9+ 364y2 k2yy,+3k(0y,+y2)+9 9 =9+ 36-3K±4 (”+(+0 =0,（11分) 故FP⊥FQ.(12分) 说明：第(2)问也可设直线方程为：y=k(x-),但要注意斜率不存在时的讨论，此种情况未讨论扣 1分. 22.（12分) 【解析】(1)由题知，函数f)的定义域为R,且f(9=1-.(1分) ear 数学答案+评分标准+评分细则第5页（共7页） 若a=0,则f(x)=x在R上单调递增：(2分) 若a>0,则由f)=1>0得x<,由f)=1<0得x> ear ear f)在(，马上单调递增，在(，+0)上单调递减；(3分) a 1 1 若a<0,由f四心0得x由f倒=<0得x<合 ear :f)在（公+四）上单调递增，在(0，月上单调递减：(4分) 综上所述，当a=0时，f)在R上单调递增：当a>0时，f)在(o,马上单调递增，在(，+m)上 单调递减；当a<0时，fx)在(，+)上单调递增，在（←，马上单调递减.(5分） (2)由(1)知，当a>0时，f(x)有极大值 :)的单调递暗区间为(0}，单调通减区间为（合+网），∴x为极大值点。 a 又f0)=0,且当x>0时，f)>0,当<0时，fw)<0,不妨设x,>>x,>0.(6分) f(x)=fx,),即点=>0， ear ear: .lhx1-1=lnx2-2①. tInf 令1空，则心>》，洛其代入①武得：飞aa-7分》 、nt+tlnt-2>0成立， 要证+名子0成立，只得证)品后 即证lnt+tlnt-2t+2>0成立.(8分) 设g0=nt+tlnt-2i+2t>),则g0=+lnt-1.(9分) 设0=g0--16>少.则0=产+}0，∴k0在0+网上为增局数 ∴.h(t)>h1)=0,即g'()>0, ∴.8()在1，+∞)上为增函数，(10分) ∴.g()>g(1)=0,即lnt+tnt-2t+2>0成立.(11分) :+,2>0成立12分) a 说明：第(2)问也可用以下解法： (2)由(1)知，当a>0时，f(x)有极大值 :)的单调递增区间为(m分，单调递减区间为（合+），∴=为极大值点。 a 1 又f(0)=0,且当x>0时，f(x)>0,当x<0时，f(x)<0,.不妨设x1>二>x2>0.(6分) 数学答案+评分标准+评分细则第6页（共7页) 则、2 2 -2< aa a 要证x1长子0，只稀延日，(？分) 因为了)在合+四)上单调递减，所以只需证f)<尼x),即证f化，)<f已-x).(8分) 令gx)=f)-f2-x0,x∈(0，马 因为l瓜，所以g四-0了后动1瓜-0-ae-e,9分》 因为xe(0,,所以1-m>0, a 所以--(-2)=21-)>0，即-m>ar-2,所以er-eax-2>0,(10分) 所以8(x)>0,所以gx)在(0，)上单调递增， 所以g<8哈白后日-0，m分 即证得，)<f已2X),故结论得证.(12分) 数学答案+评分标准+评分细则第7页（共7页) ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题5分，共20分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共20分） 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 四 、解答题（共70分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 请在各题目的答愿区域内作答。超出显色矩形边框限定区域的咨案无效！ 请在各题目的答恩区域内作答，超出黑色矩形边：限定区域的答案无效！ 学科网2022年高三2月大联考（新高考卷） 19.(12分) 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答圈前。考生先将自己的姓名、准 考证号填写济楚。并认真检查监考 员所粘贴的条形马。 2.选择题必领用2B铅笔填涂非 准考证号 注 择圈必须用0,5mm需色签字笔答 ,不得用铅笔或因珠笔答题：字 体工整、笔透清晰。 项 3.请按题号顺序在各题目的答愿区域 内作答，超出区域书写的答案无 t2222122322321 C2 效：在草编纸、试题登上答思无效。 4 4。保持卡面清洁。不要折叠、不要弄 5。正确填涂 8,(12分) 7 缺考标记 ▣ 单项选择题（每小题5分，共40分】 1[A][B][C][D] [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9 A][BI[C][D】 H[A][BI[CI [D] 1[A][B][C][D] 12 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共20分】 14. 15 16 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 情在各题日的答圈区域内作答，超出需色把形边概限定区城的答案无效： 请在各题目的答您区城内作答，超出黑色免形边框限定区城的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出惠色是形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6到） 数学第3页（共6页） 请在各题目的答墨区域内作答，屋出需色拒形边任限定区域的答案无效！ 请在各题目的答惠区饭内作答，超出黑色矩形边厘限定区城的答案无效！ 请在各题目的答要区域内作答，组出黑色矩形边框限定区峻的答案无效： 20.(12分) 21,(12分) 22.(12分) 在各避日的答区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的客案无效！ 情在各题的答区城内作答，超出黑色形边框限定区或的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无敛！ 数学第4项（头6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（其6页）