第02讲 古典概型与概率的基本性质（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 古典概型与概率的基本性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 古典概型 4 知识点2 概率的基本性质 5 题型破译 5 题型1 简单古典概型的计算 5 题型2 较复杂的古典概型的计算（有无放回） 8 题型3 古典概型与向量的交汇问题 12 题型4 古典概型与几何的交汇问题 15 题型5 古典概率与统计的综合 19 题型6 概率的基本性质 22 04真题溯源·考向感知 25 05课本典例·高考素材 28 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.古典概型 2.概率的基本性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2024年天津卷，第13题,5分 2023年天津卷，第13题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的常考内容，一般求简单古典概型的计算或者较复杂的古典概型的计算，古典概型与几何的交汇问题及其概率的基本性质。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： （1）理解古典概型及其概率计算公式． （2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率． 知识点1 古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 自主检测将连续正整数1，2，3，…，从小到大排列构成一个数123…n，为这个数的位数，例如，当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，求出含0的个数，利用概率公式求出. 【详解】从1到9共有9个数字，从10到99共有90个数，共有个数字，从100到101共有2个数，共有个数字，，其中含有0的数有10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，101，这些数中共有12个0，. 故选：C. 知识点2 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 自主检测某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 题型1 简单古典概型的计算 例1-1将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 例1-2某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02  93  12  25  85  69  68  34  31  45  73  93  28  75  56  35  87  30  11  07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（   ） A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 【答案】B 【分析】根据题意分析出两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的基本事件数有9个，总的事件数有20个，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】因为1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心， 所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个； 它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9个， 即满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个， 所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为． 故选：B. 方法技巧 求古典概型的一般步骤： （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【变式训练1-1】一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数． 注意2，3，4，…，2026中有1012个奇数，1013个偶数． 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜． 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜．理由如下： 设裁判擦去的是2m，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如，，…，，，…，， 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜．所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即为． 故选：C 【变式训练1-2】甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 【变式训练1-3】在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得知第一次猜对的数字是8，它在个位上，9在十位或百位，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上，所以3不是密码中的数字； 第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上，则1，2不是密码中的数字； 则第一次猜对的数字是8，它在个位上，9在十位或百位， 若9在十位，则百位有四种情况； 若9在个位，则百位有五种情况； 所以可能的密码有9种，故所求为. 故选：B. 题型2 较复杂的古典概型的计算（有无放回） 例2-1某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 例2-2从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 方法技巧 “有放回”与“无放回”的区别 “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1． 这两种情况下基本事件总数是不同的． 【变式训练2-1】现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 【变式训练2-2·变考法】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【答案】(1) (2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析 【分析】（1）（2）列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、二、三等奖的概率， 进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题. 【详解】（1）据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. （2）两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以 由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，； 由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 【变式训练2-3】有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 题型3 古典概型与向量的交汇问题 例3-1（2025·天津·模拟预测）在集合中任取两个数a，构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】任选两个不共线向量为邻边作平行四边形，共12种情况，其中求出相应的平行四边形面积，得到面积不超过2的共7种情况，从而得到相应的概率. 【详解】可以为， 从中任选两个不共线向量，即有以下情况，，， ，，，，， ，，，，， 共12种情况， 当选择时，，故， 此时平行四边形的面积为，满足要求， 同理可得，当选择，，，， ，时，面积不超过2，综上，共7种情况，满足要求， 故平行四边形面积不超过2的概率为. 故选：C 例3-2连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率. 【详解】由题设，向量的可能组合有36种， 要使向量与向量的夹角，则，即 满足条件的情况如下： 时, 时, 时, 时, 时, 综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是 故选：D. 例3-3（2025·天津·模拟预测抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据向量判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练3-1】已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型列出向量的所有可能，由与的夹角为锐角找出所有符合题意的向量，即可求得其概率. 【详解】向量与向量夹角为锐角等价于且与不同向， 即，且； 易知共有16个，分别是， ， 满足条件的为共4个， 故所求的概率为， 故选：B． 【变式训练3-2】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有，可取3，4，5，6； 当时，有，可取5，6； 当，，时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有11种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以为钝角的概率 故选：D. 题型4 古典概型与几何的交汇问题 例4-1已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两条棱平行和相交情况概率，应用对立事件的概率公式即可求出相应的概率 【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱， 所以共有对相交棱，因此； 若两条棱平行，则它们之间的距离为1或，其中距离为的共有6对，故， 于是. 故选：C. 例4-2从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列举出满足正三角形的顶点的组合，然后再利用古典概型概率计算公式计算出所求概率即可. 【详解】如图示，从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有种， 在正方体中，满足任取3个顶点构成正三角形的有8种，顶点的集合分别是，，，，，，，，所以所求概率为. 故选：B 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据几何图判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练4-1】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】如下图，将七块三角形编号如下， 所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为： ，， ，，，共有种， 将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为， 则编号的面积为，则编号的面积为， 编号的面积为， 任取两块板面积相等的基本事件为：. 从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为. 故选：C. 【变式训练4-2·变载体】如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这是一个古典概型，利用古典概型概率公式就可求出结果. 【详解】    由题意可知，闭合三个开关中的任意2个，共有三种情形：即闭合；；，其中能同时使两盏小灯泡发光的是；，仅有2种情形， 所以能同时使两盏小灯泡发光的概率是， 故选：D. 【变式训练4-3】如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 题型5 古典概率与统计的综合 例5-1供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在一组的概率，即可判断选项D正确. 【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 例5-2某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球， 所以摸到白球和红球的概率都为， 所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为， 因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为， 所以问题1回答为是的人数约为人， 所以问题2回答为是的人数约为人， 所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. 故选：A 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据统计判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练5-1】经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550 0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281 根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率． 【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组， 则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为. 故选：A 【变式训练5-2】某校分别统计了甲、乙两人星期一至星期五每天在“学习强国”上的学习积分情况，得到如下条形图： 则下列结论中错误的是 （     ） A．甲的积分的众数大于乙的积分的众数 B．甲积分的方差小于乙积分的方差 C．在这5天中，随机抽取1天，乙积分大于30分的概率为0.6 D．在这5天中，随机抽取1天，甲积分大于30分的概率为0.4 【答案】B 【分析】根据众数的定义判断A，根据方差的意义判断B，由古典概型概率公式判断CD. 【详解】甲的积分的众数为30分，乙的积分的众数为20， 所以甲的积分的众数大于乙的积分的众数，A正确， 从条形图可知，甲的积分不如乙的积分的稳定， 所以甲积分的方差大于乙积分的方差，B错误； 5天中，有三天乙的积分大于30分， 故乙积分大于30分的概率为0.6，C正确， 5天中，有两天甲的积分大于30分， 甲积分大于30分的概率为0.4，D正确， 故选：B. 【变式训练5-3】某产品2020年1月~12月的月销售量统计如下图所示，现有如下说法： ①2020年产品销售量最多的月份在上半年，产品销售量最少的月份在下半年； ②任取1个月份，产品销售量高于20000的概率为； ③与2020年上半年相比，下半年产品的销售量相对平稳. 则正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①比较条形图中最高的小矩形与最低的小矩形的分布即可；对于②运用古典概型求其概率即可；对于③比较上半年与下半年的条形图的波动性即可. 【详解】2020年产品销售量最多的月份为1月份，在上半年，销售量最少的月份为10月份，在下半年，故①正确； 任取1个月份，产品销售量高于20000的月份有5个，故所求概率，故②错误； 由图可知，2020年上半年条形图的波动性较大，下半年条形图的波动性较小，故③正确. 故选：C. 题型6 概率的基本性质 例6-1根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件明天吹南风，事件明天下雨，根据可求得结果. 【详解】记事件明天吹南风，事件明天下雨， 由题意，，，， 因为， 所以，. 故选：A. 例6-2（2025·天津·模拟预测）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由互斥事件的概率加法公式可知，事件命中的环数大于8环的概率为. 故选：B. 方法技巧 （1）运用概率加法公式解题的步骤： ①确定诸事件彼此互斥；②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 ①将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；②先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【变式训练6-1】袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 【变式训练6-2】在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，红旗、蓝旗与终点的距离相等有点数相同以及点数为4或6两类情况，利用对立事件的概率关系求解. 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有种情况，故所求概率为. 故选：D. 1．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互斥事件概率加法公式运算求解即可. 【详解】甲不输包含甲赢和甲、乙和棋， 所以甲不输概率为 故选：A. 2．（2019·天津·高考真题）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 【答案】（I）6人，9人，10人； （II）（i）见解析；（ii）. 【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ,,,,共15种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种， 所以，事件M发生的概率. 3．（2018·天津·高考真题）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii） 【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种． （ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 5．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 1．连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据百分位数的计算得到的可能取值，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】因为，所以这个数的第百分位数是第个数与第个数的平均数， 又第百分位数是，所以第个数是，第个数是， 所以，即或， 而抛掷一枚骰子一次可能出现的点数有种情况， 所以或的概率， 即这个数的第百分位数是的概率为. 故选：C. 2．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共3种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故选：A. 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 4．已知在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球．从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子，在摸出白球的条件下，白球放入A盒的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件结合古典概型即可求解. 【详解】在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球． 从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子， 在摸出白球的条件下，剩下3个球是红球，所以放入A，B，C，D四个不同的盒子有4种情况，白球放入A盒有1种情况， 所以白球放入A盒的概率是. 故选：A. 5．已知集合，点P的坐标为，其中，，则点P落在第一象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出所有的情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】点P的坐标为， 其中在第一象限的有， 则点P落在第一象限的概率为. 故选：D. 6．盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将个球进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记个红色球分别为、、，记个黄色球分别为、， 从这个球中随机抽取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个， 其中，事件“所取出的个球颜色相同”包含的基本事件有：、，，，共4个. 故所求概率为. 故选：C. 7．某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 . 【答案】 【分析】分三种情况得到满足题意的排列数，再结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种； 情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种； 情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种； 所以总共满足题意的有， 而， 故所求为. 故答案为：. 8．下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据古典概型求概率公式得到答案；对于②，根据平均数和方差的计算公式得到②错误；对于③，利用百分位数的定义得到答案；对于④，利用方差的性质和计算公式得到答案. 【详解】对于①，某个个体被抽到的概率为，故①正确； 对于②，，解得， 则方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于，其中第6个数为第70百分位数，即23，故③正确； 对于④，设数据的均值为， 则数据的均值为， 因为数据的方差为， 所以数据的方差为 ，故④正确； 故答案为：①③④ 9．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率． 【答案】（1） （2） 【详解】试题分析： （1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意区分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性. 试题解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则 （1）. （2） 考点：利用古典概型求随机事件的概率. 10．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 【答案】(1) (2) (3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. （2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. （3）解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 古典概型与概率的基本性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 古典概型 4 知识点2 概率的基本性质 4 题型破译 5 题型1 简单古典概型的计算 5 题型2 较复杂的古典概型的计算（有无放回） 6 题型3 古典概型与向量的交汇问题 7 题型4 古典概型与几何的交汇问题 8 题型5 古典概率与统计的综合 9 题型6 概率的基本性质 11 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.古典概型 2.概率的基本性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2024年天津卷，第13题,5分 2023年天津卷，第13题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的常考内容，一般求简单古典概型的计算或者较复杂的古典概型的计算，古典概型与几何的交汇问题及其概率的基本性质。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： （1）理解古典概型及其概率计算公式． （2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率． 知识点1 古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有_________； ②等可能性：每个样本点发生的_________． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 自主检测将连续正整数1，2，3，…，从小到大排列构成一个数123…n，为这个数的位数，例如，当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率，则为（   ） A． B． C． D． 知识点2 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为_________，那么， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 自主检测某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 题型1 简单古典概型的计算 例1-1将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 例1-2某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02  93  12  25  85  69  68  34  31  45  73  93  28  75  56  35  87  30  11  07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（   ） A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 方法技巧 求古典概型的一般步骤： （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【变式训练1-1】一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（    ） A． B． C． D． 题型2 较复杂的古典概型的计算（有无放回） 例2-1某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 例2-2从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 “有放回”与“无放回”的区别 “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1． 这两种情况下基本事件总数是不同的． 【变式训练2-1】现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2-2·变考法】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． (1)求两种规则下获得二等奖的概率； (2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【变式训练2-3】有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 题型3 古典概型与向量的交汇问题 例3-1（2025·天津·模拟预测）在集合中任取两个数a，构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为（   ） A． B． C． D． 例3-2连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（    ） A． B． C． D． 例3-3（2025·天津·模拟预测抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据向量判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练3-1】已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（    ） A． B． C． D． 题型4 古典概型与几何的交汇问题 例4-1已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，，则（    ） A． B． C． D． 例4-2从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据几何图判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练4-1】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 题型5 古典概率与统计的综合 例5-1供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 例5-2某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据统计判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率．【变式训练5-1】经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550 0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281 根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】某校分别统计了甲、乙两人星期一至星期五每天在“学习强国”上的学习积分情况，得到如下条形图： 则下列结论中错误的是 （     ） A．甲的积分的众数大于乙的积分的众数 B．甲积分的方差小于乙积分的方差 C．在这5天中，随机抽取1天，乙积分大于30分的概率为0.6 D．在这5天中，随机抽取1天，甲积分大于30分的概率为0.4 【变式训练5-3】某产品2020年1月~12月的月销售量统计如下图所示，现有如下说法： ①2020年产品销售量最多的月份在上半年，产品销售量最少的月份在下半年； ②任取1个月份，产品销售量高于20000的概率为； ③与2020年上半年相比，下半年产品的销售量相对平稳. 则正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型6 概率的基本性质 例6-1根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 例6-2（2025·天津·模拟预测）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 方法技巧 （1）运用概率加法公式解题的步骤： ①确定诸事件彼此互斥；②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 ①将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；②先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【变式训练6-1】袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-2】在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 1．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2019·天津·高考真题）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 3．（2018·天津·高考真题）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 5．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 1．连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 2．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球．从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子，在摸出白球的条件下，白球放入A盒的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，点P的坐标为，其中，，则点P落在第一象限的概率为（   ） A． B． C． D． 6．盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（    ） A． B． C． D． 7．某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 . 8．下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 9．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． （1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率． 10．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $