重难点培优04 四大分布的期望与均值（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04 四大分布的期望与均值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 两点分布期望与均值（★★） 4 题型二 二项分布期望与均值（★★★） 9 题型三 超几何分布期望与均值（★★★） 14 题型四 正态分布（★★★） 21 03 实战检测・分层突破验成效 26 检测Ⅰ组 重难知识巩固 26 检测Ⅱ组 创新能力提升 35 1.两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 2.二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3.超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 4.正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型一 两点分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等. 1．（2025·天津·模拟预测）已知甲盒子中有1个黑球，1个白球和2个红球，乙盒子中有1个黑球，1个白球和3个红球，现在从甲乙两个盒子中各取1个球，分别记取出的红球的个数为，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题中事件服从两点分布，分别计算出成功概率，再由两点分布均值与方差计算公式计算并比较大小即可. 【详解】由题可知，两个盒子取出红球的服从两点分布，且, 则，即， 且,，即. 故选：C 2．（2025·天津·模拟预测）已知随机变量满足，，且，．若，则（    ）． A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由可得,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果. 【详解】由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下： 0 1 0 1 则，，，， 由，因为，， 函数在上单调递增，所以. 故选:B． 3．（2025·天津·调研）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【答案】C 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 4．（2025·天津·联考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解. 【详解】随机变量满足,,其中. 则随机变量的分布列为: 所以 随机变量, 所以当时,,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1): 则 当即,解得.所以A、B错误. 恒成立. 所以C错误,D正确 故选:D 5．（2025·天津·联考）设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】B 【分析】先求出期望，再求出方差，最后根据二次函数的性质判断. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，， 所以 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从增大到时，随增大而递增； 当从增大到时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小. 故选：B. 6．（2025·天津·调研）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 7．（2025·天津·联考）已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】由两点分布得，，，代入目标式子转换成二次函数最值来做即可. 【详解】由题意可得，X服从两点分布，可得，，， 则， 当，即时取得最大值为0， 故选：B． 8．（2025·天津·模拟预测）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 【答案】C 【分析】由超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望与方差，然后判断选项. 【详解】由题意可知，从乙款礼盒里随机取出个粽子， 其中肉粽个数服从超几何分布，，，则， 故从甲款礼盒里随机取一个粽，相当于从含有个肉粽的个粽子中取一粽子， 取到肉粽的个数为， 易知随机变量服从两点分布，故， 所以，随着的增大，减少； ． 随着的增大，增加． 故随着的增大，减少，增加． 故选：C． 题型二 二项分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 1．（2025·天津滨海新·期末）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】根据二项分布概率模型求数学期望和概率即可求解. 【详解】由题可得服从二项分布，即， 因为，所以， 所以 . 故答案为:1; . 2．（2024·天津宝坻·模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． （1））求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为． 【分析】（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值. 【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，， 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”， 依题意有 所求的概率为 （2）的可能值为，且 ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 3．（2025·天津河西·模拟预测）袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是 .有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是 . 【答案】 【分析】根据计数原理，所有的取球方法共有种，而三种球各有一个共包含个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则，求出都不获奖的概率，故至少有1人获奖的概率可求. 【详解】设中奖为事件A,则事件A包含的基本事件个数为， 所有的基本事件共有个，所以中奖概率为； 有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X，则， ， 所以至少有1人获奖的概率为 故答案为：；. 4．（2025·天津·联考）某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有 种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则 .（用数字作答） 【答案】 15 2 【分析】从经过的6个红绿灯路口中取出2个，即,他遇到红灯的次数满足二项分布，可得答案. 【详解】他恰好遇见2次红灯的不同的分布情形共有 他遇到红灯的次数值为0,1,2,3,4,5,6. 他在每个路口遇见红灯的概率均为,他遇到红灯的次数满足二项分布. 即 所以 故答案为：(1). 15    (2). 2 5．（2023·天津·一模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是 ，样本数据分组为，． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠； （Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为 ，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）144（Ⅲ）分布列见解析，数学期望为1. 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中各小长方体面积之和为1.列式求的值；（Ⅱ）先确定可以申请政策优惠的概率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果，（Ⅲ）先确定企业年上缴税收少于万元的概率，再根据服从二项分布，确定分布列与数学期望. 【详解】（Ⅰ）因为， 所以， （Ⅱ）可以申请政策优惠的概率为， 所以企业有个， （Ⅲ）企业年上缴税收少于万元的概率为 0 1 2 3 4 6．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 【答案】 ； 58 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 7．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】B 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断； 【详解】对于A，数据从小到大排列 的共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误； 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布， 已知，则， 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确； 随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确； 故选：B. 8．（2025·天津·三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 【答案】 ； 4. 【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解. 【详解】由题可知， 甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率； 当时，X的取值可能是2，3，4， 且，，， 则． 当时，X的取值可能是0，1，2， 且，，， 则． 故． 故答案为：；4. 题型三 超几何分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 1．（2025·天津和平·模拟预测）袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望 ；第二次取到个白球个红球的概率为 . 【答案】 / 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可计算出的值；记事件第一次取到的白球有个，其中、、，记事件第二次取到个白球个红球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，. 记事件第一次取到的白球有个，其中、、， 则，，， 记事件第二次取到个白球个红球， 则，，， 由全概率公式可得. 故答案为：；. 2．（2024·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 /0.9 /1.8 【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2， 所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是； 依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为. 故答案为：； 3．（2024·天津滨海新·三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则 ；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为 ． 【答案】 / 【分析】由题意可得、、是两两互斥的事件，则，利用条件概率的概率公式求出即可，由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求出X的数学期望 【详解】由题意可得、、是两两互斥的事件，， 若从甲箱中随机取出1红球放入乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球， 所以，同理可得， 所以 ， 题意可得X的取值可能为0，1，2，3，则 ， ， ， ， 所以, 故答案为：， 4．（2025·天津北辰·二模）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为 ；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； 第二空，随机变量服从超几何分布，计算即可. 【详解】解：设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”， 则事件A与事件B互为对立事件， 所以； 随机变量的可能取值为，概率为， 所以随机变量分布列为： 随机变量的数学期望为 故答案为：； 5．（2025·天津河西·二模）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为 ；取出的3件产品中次品的件数的期望是 . 【答案】 【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得； （2）先求得的分布列，再求其期望即可. 【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能； 故满足题意的概率； （2）根据题意，， ；；， 故. 故答案为：；. 6．（2024·天津·一模）近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向.为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型和车型，并在黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车店的销量（单位：台），得到下表： 店 甲 乙 丙 丁 戊 车型 6 6 13 8 11 车型 12 9 13 6 4 （1）若从甲、乙两家店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型的概率； （2）现从这5家汽车店中任选3家举行促销活动，用表示其中车型销量超过车型销量的店的个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【分析】（1）先根据古典概型依次求出从甲、乙店分别随机抽取的1台电动汽车是车型的概率，然后依据独立事件的概率和从对立事件的角度出发求解问题即可； （2）由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家，故的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方法逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 【详解】（1）解：设“从甲店随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件， “从乙店，随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件， 依题意，，，且事件、相互独立， 设“抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型”为事件， 则. （2）解：由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家， 故的所有可能取值为：0，1，2， 且， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以. 7．（2024·天津河西·一模）某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下： 男同学人数 7 15 11 12 2 1 女同学人数 5 13 20 9 3 2 若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”． （Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？ （Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动． （i）设为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件发生的概率； （ii）用表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）见解析 【分析】（Ⅰ）计算出样本中“社会实践标兵”的频率，从而估计出总体中的人数；（Ⅱ）（i）计算出，利用对立事件概率公式求得结果；（ii）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布求解出每个取值对应的概率，从而得到分布列；再根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于次的学生有人 该校学生中“社会实践标兵”有：人 （Ⅱ）名“社会实践标兵”中有男同学人，女同学人 （i）为“抽取的位同学全是女同学”     （ii）由题意知：所有可能的取值为： ；； ； 则的分布列如下： 8．（2025·天津·一模）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目． （1）求3个人来自两个不同专业的概率； （2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】令事件A表示“3个来自两个不同专业”，表示“3个人来自同一个专业”，表示“3个人来自三个不同专业”，利用对立事件的概率公式先求得，则可得结果． 随机变量X有取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和． 【详解】令事件A表示“3个来自两个不同专业”， 表示“3个人来自同一个专业”， 表示“3个人来自三个不同专业”， ， ， 个人来自两个不同专业的概率：． 随机变量X有取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 题型四 正态分布 【技巧通法·提分快招】 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错； 对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系， 即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对； 对于④，某项测量结果服从正态分布，若， 则，④对. 故选：C. 2．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断. 【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误. 若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数）， 可得，而不是，所以命题②错误. 根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于， 所以命题③正确. 已知，则正态曲线关于对称. 因为，所以. 那么，所以， 所以命题④错误. 综上，错误的命题有①②④，共个. 故选：B. 3．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 4．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】B 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为， 故A错误； 对于B，，， 所以，即，则， 当时，亿元，故B正确； 对于C，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于D，由，则，，故D错误. 故选：B. 5．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率的性质，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 6．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 7．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 8．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D. 【详解】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 【答案】 【分析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，分别求出、，代入条件概率公式求解即可；首先确定终止检验的条件为：同种类型的饮料被全部取出，从而确定X的值，然后分析每个取值的情况并计算概率值，最后代入期望计算公式进行计算. 【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”， 则，， 所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为. 随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”， ， , . 故答案为：. 2．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 【答案】D 【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D. 【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知， 所以，所以， 所以二项分布的期望为，故A正确； 对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确； 对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确； 对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误； 故选：D. 3．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 【答案】 . 【分析】（1）利用独立事件概率公式，即可求解 （2）根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）设事件表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则. （2）由题意知，的可能值为 ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 4．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则 ；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则 . 【答案】 /0.25 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为， 事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 5．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 6．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【分析】对于A，由二项分布方差公式计算即可；对于B，由正态分布的对称性计算即可；对于C，由基本不等式计算即可；对于D，根据相关系数的意义即可判断. 【详解】对于A，随机变量，由二项分布方差公式得，故A正确； 对于B，随机变量，由正态分布的对称性得，故B正确； 对于C，由，则， 所以 当且仅当，则或取等号，故C正确； 对于D，线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故D错误. 故选：D. 7．（2025·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. 8．（2024·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 【答案】B 【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误. 【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 即，A错误； B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误； D选项，若随机变量满足，则，D错误. 故选：B 9．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 【答案】 【分析】记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 10．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 . 【答案】 【分析】求出随机变量的各个取值的概率，求期望，据此求即可. 【详解】由题意，的可能取值为， 则，， ，， 所以； 党员甲能通过初试的概率为. 故答案为：； 11．（2025·天津南开·二模）一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为 ；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品 次. 【答案】 0.1/ 【分析】由全概率公式即可求出抽取三次，第三次才取得一等品的概率；设为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为，则，求出，即可得出答案. 【详解】令为第次取得一等品， 所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为: ， 若抽取后再放回，则设为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为， 则，. 所以平均取得一等品次. 故答案为：；6. 12．（2025·天津河西·模拟预测）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为 ； （2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，则的数学期望为 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据题意，求得事件：至少取到1到乙类试题的概率和事件：至少取到1到甲类试题的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）根据题意得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答，设事件：至少取到1到乙类试题的概率，可得； 设事件：至少取到1到甲类试题的概率，可得， 所以取到1道乙类题，则取到的题目不是同一类的概率为. （2）解：由题意，随机变量的所有可能取值为， 可得； ； ； ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 故答案为：0.96；2. 13．（2025·天津·二模）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为 ；甲5个轮次通过的次数的期望是 . 【答案】 / / 【分析】由独立事件的乘法公式得出甲第一轮通过的概率，再由服从二项分布得出甲5个轮次通过的次数的期望. 【详解】“第次投中”，， 则甲第一轮通过的概率为. 的可能取值为，服从二项分布， 则甲5个轮次通过的次数的期望是. 故答案为：；. 14．（2025·天津和平·二模）在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为 ；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望 ． 【答案】 / 【分析】第一空，考虑两人平局情况，根据相互独立事件的乘法公式，即可求得答案；第二空，求出甲每局获胜的概率，确定甲获胜的局数，根据二项分布的期望公式即可求得答案. 【详解】由题意知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和， 则甲､乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为； 甲每局获胜的概率为， 故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则， 故， 故答案为：； 15．（2025·天津·一模）为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 . 【答案】 / 【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由条件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及对应概率得出期望. 【详解】设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者” ，则， 即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是. X可取， ， 则 故答案为：； 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·一模）袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为 ，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望 ． 【答案】 2 【分析】设出事件，利用条件概率列出方程，求出的值；写出的可能取值及对应的概率，得到数学期望. 【详解】设第一次取得黑球为事件，第二次取得黑球为事件， 则，， 故第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为， 令，解得， 的可能取值为0,1,2,3， ，，，， 则. 故答案为：2， 2．（2025·天津·一模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B．设，且，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．随机变量，若，则 【答案】B 【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D. 【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于， 故A正确； 由，知， 即概率密度函数的图像关于直线对称， 所以， 则， 故B错误； 根据线性回归直线的性质可知， 线性回归直线一定经过样本点的中心， 故C正确； 随机变量，若， 则， 故D正确； 故选：B. 3．（2025·天津西青·模拟预测）天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为 ；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为 . 【答案】 /0.25 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率计算公式求学生甲恰好答对1个问题的概率；结合题意确定可能取的值分别为，求出对应的概率，即可计算期望. 【详解】设事件甲答对第个问题为，， 由已知可得，，， 事件学生甲恰好答对1个问题可以表示为， 又互斥，且，，两两相互独立， 所以 ， 学生甲恰好答对1个问题的概率为， 由题意，随机变量的可能取值分别为：； 所以， ， ， ， 因此，. 故答案为：；. 4．（2025·天津和平·二模）某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙､丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则 ； . 【答案】 ； /. 【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】； ， ， ， 所以， 故答案为：； 5．（2025·天津南开·模拟预测）某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为 ；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量，则的均值为 ． 【答案】 ； . 【分析】根据古典概型的计算公式，结合均值的运算公式进行求解即可. 【详解】从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为：； 以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取1人，对统计方向有兴趣的概率为，则， 所以， 故答案为：；. 6．（2025·天津河西·二模）已知一箱产品中含有2件次品和3件正品，现需要通过检测将其区分．每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则第一次检测出的是次品且第二次检测出正品的概率是 ；已知每检测一件产品需花费100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），则 ． 【答案】 / 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；由题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列，进而得期望. 【详解】解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则； 由题意可知，随机变量的可能取值为、、． 则，， ． 故的分布列为 故 故答案为：；. 7．（2025·天津·二模）某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人.已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为 ；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为，则随机变量的期望为 . 【答案】 / / 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的概率公式求出甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率，首先求出甲、乙、丙三人成为主持人的概率，即可得到，根据二项分布的期望公式计算可得； 【详解】解：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率， 依题意甲成为主持人的概率， 乙成为主持人的概率， 丙成为主持人的概率， 即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为， 所以，则 故答案为：； 8．（2025·天津南开·二模）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 ；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为 ． 【答案】 /0.6 /0.9 【分析】利用条件概率的概率公式可求条件概率，设取得黑球的个数为，利用乘法公式可求的分布列，从而可求其期望. 【详解】， 设取得黑球的个数为，则可取， 又，， ， 故的分布列为： 0 1 2 故 故答案为： 9．（2025·天津滨海新·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是 ；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为 . 【答案】 2 【分析】设入选人数为，则，则；男教师和女教师入选人数相等分为入选人数为0，1，2人，分别算出即可求出答案. 【详解】某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，设入选人数为，则，则，每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等为事件，则. 故答案为：2；. 10．（2025·天津滨海新·模拟预测）为了抗击新冠肺炎疫情，现在从甲医院200人和乙医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率是 ．设3名联络员中甲医院的人数为，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 2 【分析】根据分层抽样得到从甲、乙医院抽取的人数，再根据条件概率可求出这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率；根据古典概型的概率公式求出取每个值的概率，再根据数学期望公式可求出结果. 【详解】根据分层抽样可知，从甲医院选取人，从乙医院选取人， 记“这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选”为事件，“恰有2人来自乙医院”为事件， 则，， 所以. 的所有可能取值为：， ，，， 所以. 故答案为：；2. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 四大分布的期望与均值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 两点分布期望与均值（★★） 4 题型二 二项分布期望与均值（★★★） 6 题型三 超几何分布期望与均值（★★★） 7 题型四 正态分布（★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 11 检测Ⅰ组 重难知识巩固 11 检测Ⅱ组 创新能力提升 13 1.两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 2.二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3.超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 4.正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型一 两点分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等. 1．（2025·天津·模拟预测）已知甲盒子中有1个黑球，1个白球和2个红球，乙盒子中有1个黑球，1个白球和3个红球，现在从甲乙两个盒子中各取1个球，分别记取出的红球的个数为，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·天津·模拟预测）已知随机变量满足，，且，．若，则（    ）． A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2025·天津·调研）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 4．（2025·天津·联考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·联考）设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（   ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 6．（2025·天津·调研）若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 7．（2025·天津·联考）已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（    ）． A． B．0 C． D．1 8．（2025·天津·模拟预测）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（   ） A．随着的增大，增加，增加 B．随着的增大，增加，减小 C．随着的增大，减少，增加 D．随着的增大，减小，减小 题型二 二项分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 1．（2025·天津滨海新·期末）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则 ， ． 2．（2024·天津宝坻·模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． （1））求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 3．（2025·天津河西·模拟预测）袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是 .有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是 . 4．（2025·天津·联考）某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有 种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用表示他遇到红灯的次数，则 .（用数字作答） 5．（2023·天津·一模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是 ，样本数据分组为，． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠； （Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为 ，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 6．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 ． 7．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 8．（2025·天津·三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 题型三 超几何分布期望与均值 【技巧通法·提分快招】 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 1．（2025·天津和平·模拟预测）袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望 ；第二次取到个白球个红球的概率为 . 2．（2024·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 3．（2024·天津滨海新·三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则 ；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为 ． 4．（2025·天津北辰·二模）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为 ；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为 ． 5．（2025·天津河西·二模）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为 ；取出的3件产品中次品的件数的期望是 . 6．（2024·天津·一模）近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向.为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型和车型，并在黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车店的销量（单位：台），得到下表： 店 甲 乙 丙 丁 戊 车型 6 6 13 8 11 车型 12 9 13 6 4 （1）若从甲、乙两家店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型的概率； （2）现从这5家汽车店中任选3家举行促销活动，用表示其中车型销量超过车型销量的店的个数，求随机变量的分布列和数学期望. 7．（2024·天津河西·一模）某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下： 男同学人数 7 15 11 12 2 1 女同学人数 5 13 20 9 3 2 若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”． （Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？ （Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动． （i）设为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件发生的概率； （ii）用表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 8．（2025·天津·一模）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目． （1）求3个人来自两个不同专业的概率； （2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列． 题型四 正态分布 【技巧通法·提分快招】 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 5．（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则 . 6．（2025·天津·一模）下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 7．（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 8．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 2．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 3．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 4．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则 ；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则 . 5．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 6．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 7．（2025·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 9．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 10．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 . 11．（2025·天津南开·二模）一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为 ；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品 次. 12．（2025·天津河西·模拟预测）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为 ； （2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，则的数学期望为 ． 13．（2025·天津·二模）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为 ；甲5个轮次通过的次数的期望是 . 14．（2025·天津和平·二模）在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为 ；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望 ． 15．（2025·天津·一模）为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·一模）袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为 ，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望 ． 2．（2025·天津·一模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B．设，且，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．随机变量，若，则 3．（2025·天津西青·模拟预测）天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为 ；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为 . 4．（2025·天津和平·二模）某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙､丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则 ； . 5．（2025·天津南开·模拟预测）某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为 ；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量，则的均值为 ． 6．（2025·天津河西·二模）已知一箱产品中含有2件次品和3件正品，现需要通过检测将其区分．每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则第一次检测出的是次品且第二次检测出正品的概率是 ；已知每检测一件产品需花费100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），则 ． 7．（2025·天津·二模）某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人.已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为 ；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为，则随机变量的期望为 . 8．（2025·天津南开·二模）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 ；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为 ． 9．（2025·天津滨海新·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是 ；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为 . 10．（2025·天津滨海新·模拟预测）为了抗击新冠肺炎疫情，现在从甲医院200人和乙医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自乙医院的概率是 ．设3名联络员中甲医院的人数为，则随机变量的数学期望为 ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $