重难点培优01 含参函数单调性分类讨论（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 含参函数单调性分类讨论 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 导函数为一次函数型（★★） 2 题型二 导函数为指对数型（★★★） 7 题型三 导函数为二次函数型（★★★★） 15 题型四 导函数为类二次函数型（★★★★）...........................................................................................22 题型五 需二次求导型（★★★★）.............................................................................................................30 03 实战检测・分层突破验成效 35 检测Ⅰ组 重难知识巩固 35 检测Ⅱ组 创新能力提升 48 一、分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类： (1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”； (3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”． 牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”． 二、具体常见分类讨论类型及方法 （1） 一次型函数 （2）二次型函数 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； (2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，需要用求根公式，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论； 题型一 导函数为一次函数型 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津·调研）若函数在区间上的最大值为0，则（    ） A．0 B． C．1 D．e 【答案】A 【详解】，当时，，在上单调递增，无最大值． 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，有最大值，最大值为，所以，所以． 故选：A 2．（2025·天津和平·三模）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其中， 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值， 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：A. 3．（2025·天津武清·期末）已知函数（），则下列结论正确的是（    ） A．函数一定有极值 B．当时，函数在上为增函数 C．当时，函数的极小值为 D．当时，函数的极小值的最大值大于0 【答案】C 【详解】由得， 当时，，在上单调递减，无极值，A错误； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，B错误； 由B的分析可知，时，函数取极小值，极小值为，C正确； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增减， 故，即当时，函数的极小值的最大值小于等于0，D错误； 故选：C 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，． 当时，，则， 所以当时，，此时 当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍， 当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得， 综上，． 故选：D． 5．（2025·天津滨海新·期末）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)当时，证明：， (3)设，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）， 因为，得，经检验满足题意. （2）当时，， 要证：，即证， 设， 所以在区间上单调递增 所以，即 （3）因为， 则， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，，令令得，令得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 6．（2025·天津南开·调研） 已知函数 (1)若，求曲线 在点处的切线方程; (2)当时，求函数的单调区间和极值； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见详解； (3). 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 所以，， 由点斜式得切线方程为，即. （2），因为，所以， 当时，恒成立， 所以在单调递减，此时无极值； 当时，解得，解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，在单调递减，无递增区间，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值. （3）， 因为，所以， 令，则， 易知单调递增，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，当，， 要使对任意都有成立，则， 即实数的取值范围为. 7．（2025·天津河北·期中）已知函数 (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3 【详解】（1）当时，函数， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是. （2）， 当时，，恒成立，函数在定义域单调递减； 当时，由，可得：，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增； 综上：当时，在定义域单调递减，无增区间， 当时，在单调递减，在单调递增； （3），， 令，求导得， 由（2）知，在上单调递增，，， 因此存在唯一，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，则， 所以整数的最大值是3. 题型二 导函数为指对数型 【技巧通法·提分快招】 导函数的结构中含有指数与对数时，可以用指数、对数函数的定点取参数的临界值 1．（2025·天津南开·开学考试）已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 【答案】D 【详解】由，得， 当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意， 当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 时，函数有最小值， 解得. 故选：D. 2．（2025·天津滨海新·联考）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：， 的最小值为，是的一个极值点， ，解得：，； 若，当时，，不符合题意． 若，则，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，是的最小值，满足题意； 若，令，解得：或； 当或时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 又，当时，； 是的最小值，满足题意； 综上所述：，. 故选：D. 3．（2025·天津南开·调研）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 , , ①当 , 时， ，则 , 则函数在上单调递增， 时， ，所以 , 则函数 在上单调递减； ②当时，, ，所以 , 则函数在上单调递增， 当时，，所以 , 则函数在上单调递减． 故当且时， 在时递减；在时递增， 则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值. 又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根， 而，所以 且 ，解得 , 故选：A . 4．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则下列四个结论不正确的是（    ） A．有极小值 B．恰有2个零点 C．，使得不等式恒成立 D．，使得关于的方程有3个不同的实数解 【答案】C 【详解】函数的定义域为，， 时，令，即， ，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 所以在单调递减，在单调递增， 在时取得极小值，无极大值，故A正确； 又， ， 所以时，恰有2个零点，故B正确； 时，， 时，，恒成立，在单调递减， 又，所以时，，则此时不恒成立， 当，，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 此时在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又，所以 所以此时不恒成立，故C不正确； 由上知时，函数方程有3个不同的实数解，故D正确； 故选：ABD. 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 6．（2025·天津·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 7．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，， （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 题型三 导函数为二次函数性 【技巧通法·提分快招】 1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）． 2、利用草稿图像辅助说明． 1．（2025·天津·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故，从而对和均有. 这表明在和上均单调递增，从而在上递增. 由于，故. ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减. 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增. 这就意味着有，，所以，不满足条件. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（2025·天津·调研）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】. ①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值. ②当a≠0时，令，得x＝－1或.又， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在x＝－1处取得极小值. 综上，函数在x＝－1处取得极小值. 所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·天津和平·期中）已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以的值域为，， 当时，在上单调递减. 当时，由时得到， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增.得， 又时，，由题意，得，得. 故选：C. 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 当时，，，若，则当时， 这与矛盾，故 当时，，所以在上单调递减，于是，符合题意， 当时，由可得 所以在上单调递增，，与题意不符 综上： 故选：D 5．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 当时，，， 切线方程为，整理得， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，， 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上单调递减； 当时，方程有两根，， 若，则，， 当时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 若，则， 当和时，，当时，； 即在与上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增. （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证， 令，，则， 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以， 所以恒成立，即. 6．（2025·天津武清·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)证明：，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时， 当单调递增， 当单调递减； （2）因为函数有两个零点，结合（1）知， 又，所以在和处的切线分别是： ，， 联立两条切线，得， 要证小于和的等差中项，即证，即证， 由题意得，两式做差整理得：， 则等价于，变形为， 令，因为，所以， 所证问题变为，， 令，， ，所以在上单调递减， 所以，故，得证， 小于和的等差中项得证. （3）由（1）知当时，，所以，即， 即当时，， 将不等式左边累加得： ， 将不等式右边累加得： ， 所以， 即，. 7．（2024·天津·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； (2)当时，求的单调区间； (3)已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可得， ∴， 所以. （2）由（1）得，， ①当时，令，解得或， 令，解得. 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ②当时，，所以，函数的单调递增区间为， ③当时，令，解得或， 令，解得， 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）因为导函数在区间上存在零点，则， 由（2）可知在上单调递减，在单调递增， 所以在上的最小值为， 设，，， 令，因为， 所以，在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又因为， 所以，即， 所以当时，. 题型四 导函数为类二次函数型 【技巧通法·提分快招】 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.导数图像定区间； 1．（2025·天津·期中）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 2．（2025·天津·期中）已知函数，其中是常数，若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 令，得或， 当，即时，在区间上，， ∴是上的增函数， ∴方程在上不可能有两个不相等的实数根， 当，即时，令得，令，得， ∴在区间上是减函数，在上是增函数， ∴在上的最小值为， 又，且当时，则， ∴要使方程在上有两个不相等的实数根，则． 故选：D. 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). 【详解】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 4．（2025·天津·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 【答案】(1)见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）首先对函数求导， 则， 当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 即，变形得（当且仅当时取等号）. 令，则（因为），即. （3）当时，， 则， 由， 则， 设，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 又，则时，， 则时，， 因为，则，，，. 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即时，， 则， 所以， 则，即， 则， 即. 5．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减; 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知，， 因为要有两个极值点，则， 由 ， 又因为，而， 由，即， 则根据对钩函数在区间上递增，则有， 所以有，解得. 则令，，则， 则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则，，， 又因为， 所以，即的取值范围是. 6．（2025·天津·二模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若当恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得，时，在单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由题可得，所以， 由（2）知当时，在上单调递增，则当时，不满足题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递减，时，，满足题意， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由时，恒成立，则，得， 因为，所以. 综上可得实数的取值范围为. 7．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得， 则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即. （2）由（1）得， 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 即. ①当时，在上单调递增. ②当时，由，得；由，得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）证明：当时，要证， 只需证， 即证. 由（2）得，即， 即，需先证. 令， 则. 令， 则， 所以在上单调递增. 又， 则当时，； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 则成立. 综上，. 题型五 需二次求导型 【技巧通法·提分快招】 需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得，当时，， 则函数在上单调递增，而， 当时，；当时，， 函数的递减区间为，递增区间为. （2）由函数存在大于1的极值点，设此极值点为，由（1）知1是的另一极值点， 由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 则，而，于是，因此， 当时，，函数在上单调递减，， 因此函数的极小值点不是1，应为，函数的极小值为， 且， ，即， 所以函数的极小值小于. 2．（2025·天津·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； (3)当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）要使有意义，则. 下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域. 设，函数图象开口向上，对称轴为， 令，即，，其中， ①当时，，则在单调递增， 当时，， 故此时定义域为； ②当时，，也恒成立. 故定义域也为； ③当时，， 此时不等式组为，解得，或. 故定义域为； ④当时，，方程有两根， ，且，， 故函数的定义域为； 由， 则 ①当时，. 则在单调递减，无极值； ②当时，，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 此时有极小值； ③当时，定义域为， ， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 在处无定义，无极值； ④当时，，， 又， 由，且， 所以； 又， 所以， 且当时，，在单调递减； 时，，在单调递增； 此时无极值. 综上所述，当时，在单调递减，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值； 当时，在单调递减，在单调递增；无极值. （2）由（1）可知，要使在内存在极值，则. 所以的取值范围为. （3）由题意，，的定义域为， 且在上单调递减，在单调递增， ， 所以，的最小值为. 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； (3)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2). (3)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，可得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）设， 函数的定义域为，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即. 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，所以，即. （3）根据题意，， 由，且，得函数为减函数， 设，即，函数的最大值为. ①当时，，所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数有最大值，所以函数只有一个零点. ②当时，， 且时，，时，， 所以函数在的两侧各有一个零点. ③当时，，所以可得. 利用代入到原函数中可得， ， 设，， 容易判定是关于的增函数，所以， 所以函数的最大值为，即当时，函数无零点. 综上，当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点；当时，函数无零点. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·二模）已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 知分别为的极大值点和极小值点， 所以在上单调递减，在上单调递增. ，， 则当时，， 若且时，，与矛盾，不符合题意， 故. 令，该方程有两个不同的解， 则函数图象在R上有两个不同的交点， 作出函数的图象，如图， 设过原点且与曲线相切的直线为，切点为， 则，所以，解得， 此时切线的斜率为， 要使函数图象在R上有两个不同的交点， 需，由，解得． 故选：B． 2．（2024·天津·期中）设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 3．（2025·天津·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令的导函数为. 若，，在上单调递增，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意. 若，当时，，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意. 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，不符合题意. 若，当时，，， 可得时，，时，， 所以在递增，在上单调递减，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A 4．（2024·天津·模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数有两个大于1的零点，所以在不单调. 由得， 当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，显然在上单调递增，而， 当时，当时，，所以在上单调递增，不符合题意，此时可排除ABC； 当时，因为， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值. 而，当趋向正无穷时，趋向正无穷， 所以当函数有两个大于1的零点时，只要即可， ， 设，则，所以单调递增； 设，则，当时，，单调递减； 对于D，当时，由知， 当时，，所以，满足题意； 故选：D. 5．（2023·天津·模拟预测）设函数，则（    ） A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 【答案】A 【详解】去绝对值可得. 时，，因此函数在单调递增； 时，. （i）时，，因此在单调递增. 当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点； 当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误. （ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增. 当时，. （1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点. （2）时，在区间没有零点. 当时，. ①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点. ②时，在区间没有零点. 综上所述，本题正确答案是A. 故选：A 6．（2025·天津·三模）对于任意都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令， 则，所以在上单调递减，在上单调递减， 所以，所以， 所以转化为：，令，， ①当时，，所以在上单调递增，所以 ，所以. ②当时，令，所以， （i）当即时， ，所以在上单调递增，，所以. (ii)当即时， 在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以. 综上，的取值范围为：. 故选：B. 7（2024·天津北辰·三模）已知，曲线在点处的切线为. (1)当时，求直线的方程； (2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且； (3)在（2）的条件下，令，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即； （2）由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记，则 . 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且； （3）对，设. 则， ， . 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以，又由于对有 ， 故对有，从而当时，有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面我们取，就有 ， 所以在上存在零点，故，得； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 8．（2023·天津和平·三模）已知函数，，． (1)若，函数存在斜率为3的切线，求实数的取值范围； (2)若，试讨论函数的单调性； (3)若，设函数的图象与函数的图象交于两点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为，所以，， 因为函数存在斜率为3的切线，所以在有解， 所以，得，所以实数的取值范围为. （2）因为，所以，， 令，即，， （ⅰ）当时，即，，在上单调递增． （ⅱ）当时，即，或， 有两根，，， ①当时，，时，，在上单调递增． ②当时，，时，，时，， 时，， 在，上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减． （3） 设点，的坐标为，且， ，， 则点与点的横坐标均为，，， 所以在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为， 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则有， 即，则有下式成立： ，即， 设，有，设， 则，所以在上单调递增， 故，即，与矛盾，所以假设不成立， 所以不存在点使在点处的切线与在点处的切线平行． 9．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为，则， 由可得，解得. （2）函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. （3）由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 10．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 又，则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （3）证明：由（2）可知，当时，存在极大值，且极大值为， 则，即， 整理得，从而，设，则． 令，所以， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 而，所以的根为， 从而． 因此，即证成立， 也就是证，即证， 也就是证，设，即证． 设， 当时，，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增． ，即恒成立， 恒成立． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2023·天津滨海新·三模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，求证:； (3)已知点，是否存在过点P的两条直线与曲线，相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取极小值，无极大值. (2)证明过程见详解 (3)存在， 【详解】（1）因为函数， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 若时，，所以函数在上单调递减，当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取极小值，无极大值. （2）由题意可得； 当时，，函数在上单调递增，所以函数最多一个零点,与题意矛盾； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，不妨设， 则有，两式相减得， 两式相加得， 欲证，即证， 即证，也即证， 即证，令，， 则，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以得证，即. （3）存在，理由如下： 设切点为，因为，所以切线的斜率为， 则切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 若过点可以作两条直线与曲线，相切， 则上述关于的方程至少有两个不同的解，显然不是该方程的解， 所以关于的方程在上至少有两个不同的解， 令， 则， 令，则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 所以，则当时，，函数在上单调递减；在上单调递增， 因为， ，则 函数的大致图象如下图所示：    结合图象可知：当时， 关于的方程在上有两个不同的解， 此时过点可以作两条直线与曲线，相切， 所以实数的取值范围为. 2．（2024·天津宝坻·二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，讨论在区间上的单调性； (3)若是关于x的方程的两个相异实根，且是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. (3)证明见解析 【详解】（1），得， 得，单调递减． 得，单调递增， ∴. （2），令，解得， 当时，，有，单调递增， 当时．，有单调递减， ，有单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）先证． 方程等价于，令，则为曲线与直线交点的横坐标， 又，令，解得， ∴当，有单调递减，当，有单调递增， 又∵，∴可设， ∵，∴，即， 令，则， ∴在上单调递减，∵，∴，即， ∴，即． 再证．则，令，解得， ∴当，有单调递增， 当，有单调递减， ∴可设，要证，即证， ∵在单调递增，∴即证， 令，则， 所以当单调递增， ∵，∴，即， ， ∴， 综上所述，． 3．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数，记的导函数为 (1)讨论的单调性； (2)若有三个不同的极值点，其中 ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）解：由已知可得，故可得． 当时，，故在单调递增； 当时，由，解得，或， 记，，则可知当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增． （2）①解：由已知，函数有三个零点，且．由（1）知时，在单调递增，不合题意．下面研究的情况． 由于，故，因此，又因为在单调递减，且，所以． 又因为，由于，且， 故 因此，在恰有一个零点（即在恰有一个零点），在恰有一个零点（即），在恰有一个零点（即在恰有一个零点）． 所以，的取值范围是． ②证明：由（i）可知，且在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增．由此可得．故只需证明 因为，故，由此可得． 由（其中），可得，整理得，故，整理得．因此， 令，可知，则． 令则． 令，则，由此可得在单调递减，故，可得在单调递增，故，所以，因此． 4．（2024·天津河东·二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，所以. ，所以. 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域为(0，+∞)， . 当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增. （3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增. 由题意可得：.由及得：. 欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可. 由得 .所以 令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0. 综上x1+x2>2e. 5．（2025·天津和平·二模）设为实数，且，已知函数. (1)当时，曲线的切线方程为，求的值； (2)求函数的单调区间： (3)若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）设切点坐标， 切线方程为，即 又曲线的切线方程为 ，. （2）， 令，即，又，，所以不等式化为， 当时，不等式恒成立，在R上单调递增， 单调递增区间为，无单调递减区间. 当时，解集为， 时，单调递增； 时，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为， 时，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （3）函数有两个不同的零点，， 即，， 即，设， 令当时，在单调递减； 当时，在上单调递增. 又当时，且， 当且仅当时，，即对任意成立，，. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 含参函数单调性分类讨论 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 导函数为一次函数型（★★） 2 题型二 导函数为指对数型（★★★） 4 题型三 导函数为二次函数型（★★★★） 5 题型四 导函数为类二次函数型（★★★★）...........................................................................................6 题型五 需二次求导型（★★★★）.............................................................................................................7 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 8 检测Ⅱ组 创新能力提升 10 一、分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类： (1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”； (3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”． 牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”． 二、具体常见分类讨论类型及方法 （1） 一次型函数 （2）二次型函数 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； (2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，需要用求根公式，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论； 题型一 导函数为一次函数型 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津·调研）若函数在区间上的最大值为0，则（    ） A．0 B． C．1 D．e 2．（2025·天津和平·三模）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津武清·期末）已知函数（），则下列结论正确的是（    ） A．函数一定有极值 B．当时，函数在上为增函数 C．当时，函数的极小值为 D．当时，函数的极小值的最大值大于0 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·天津滨海新·期末）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)当时，证明：， (3)设，讨论函数的单调性. 6．（2025·天津南开·调研） 已知函数 (1)若，求曲线 在点处的切线方程; (2)当时，求函数的单调区间和极值； (3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 7．（2025·天津河北·期中）已知函数 (1)当 时，求曲线 )在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 题型二 导函数为指对数型 【技巧通法·提分快招】 导函数的结构中含有指数与对数时，可以用指数、对数函数的定点取参数的临界值 1．（2025·天津南开·开学考试）已知函数的最小值为， 则 （    ） A． B． C．e D． 2．（2025·天津滨海新·联考）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·调研）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则下列四个结论不正确的是（    ） A．有极小值 B．恰有2个零点 C．，使得不等式恒成立 D．，使得关于的方程有3个不同的实数解 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 6．（2025·天津·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 7．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 题型三 导函数为二次函数性 【技巧通法·提分快招】 1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）． 2、利用草稿图像辅助说明． 1．（2025·天津·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·调研）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2025·天津和平·期中）已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 6．（2025·天津武清·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)证明：，. 7．（2024·天津·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值； (2)当时，求的单调区间； (3)已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，． 题型四 导函数为类二次函数型 【技巧通法·提分快招】 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.导数图像定区间； 1．（2025·天津·期中）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·期中）已知函数，其中是常数，若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 4．（2025·天津·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 5．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围. 6．（2025·天津·二模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若当恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明：. 题型五 需二次求导型 【技巧通法·提分快招】 需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 1．（2025·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 2．（2025·天津·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； (3)当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值． 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； (3)若，讨论函数的零点个数. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·二模）已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·期中）设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 3．（2025·天津·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·模拟预测）设函数，则（    ） A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 6．（2025·天津·三模）对于任意都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7（2024·天津北辰·三模）已知，曲线在点处的切线为. (1)当时，求直线的方程； (2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且； (3)在（2）的条件下，令，求的取值范围. 8．（2023·天津和平·三模）已知函数，，． (1)若，函数存在斜率为3的切线，求实数的取值范围； (2)若，试讨论函数的单调性； (3)若，设函数的图象与函数的图象交于两点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 10．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2023·天津滨海新·三模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，求证:； (3)已知点，是否存在过点P的两条直线与曲线，相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 2．（2024·天津宝坻·二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，讨论在区间上的单调性； (3)若是关于x的方程的两个相异实根，且是的两个零点，证明：． 3．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数，记的导函数为 (1)讨论的单调性； (2)若有三个不同的极值点，其中 ①求的取值范围； ②证明：. 4．（2024·天津河东·二模）已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，且，证明：． 5．（2025·天津和平·二模）设为实数，且，已知函数. (1)当时，曲线的切线方程为，求的值； (2)求函数的单调区间： (3)若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$