重难点培优02 零点类问题与隐零点（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 零点类问题与隐零点 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 利用导数研究函数的零点（★★★） 3 题型二 求零点或方程根的个数（★★） 4 题型三 根据函数零点的个数求参数范围（★★★★★） 5 题型四 零点存在性定理的应用（★★★★）...........................................................................................6 题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★）...............................................................................................7 题型六 利用隐零点证明不等式（★★★★★）.........................................................................................9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、确定函数零点个数 1.研究函数零点的技巧 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况. 二、根据函数零点个数确定参数取值范围 根据函数零点个数确定参数范围的两种方法 1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围； 2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定. 三、零点存在性赋值理论及应用 1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点． 2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行 三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算. 3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大. 四、隐零点问题 1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”. 2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a,关系式是关于的关系式,确定的合适范围,往往和的范围有关. 题型一 利用导数研究函数的零点 【技巧通法·提分快招】 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·天津河西·二模），若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·天津·一模）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·调研）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·天津西青·期末）给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·天津河西·期中）已知函数，为的导函数，则 ①曲线在处的切线方程为； ②在区间上单调递增； ③在区间上有极小值； ④在区间上有两个零点， 上述4个结论中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25高二下·天津·期中）设函数，有下列命题：①当时，有三个零点；②当时，是的极小值点；③存在实数，使得在区间上存在最大值1.其中是真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 求零点或方程根的个数 【技巧通法·提分快招】 求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）直接根据零点存在定理判断； （2）将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 1．（2025·天津河西·调研）已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数是（    ） ①； ②在上单调递增； ③函数有2个零点； ④有且仅有4个极值点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·天津·联考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①当时，   ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 4．（2025·天津·调研）数列满足，其中为函数的零点，则 . 题型三 根据函数零点的个数求参数范围 【技巧通法·提分快招】 利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 1．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津西青·期中）已知函数，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 .①有唯一一个零点；②的极大值为；③；④若方程有且只有一个实数解，则或. 5．（24-25高二下·天津·期末）已知函数有零点，则实数m的取值范围为 ． 6．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 7．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 8．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 题型四 零点存在性定理的应用 【技巧通法·提分快招】 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 1．（2025·天津河北·调研）设函数，则（    ） A．在区间内有零点，在内无零点 B．在区间，内均有零点 C．在区间，内均无零点 D．在区间，内均有零点 2．（2025·天津河北·开学考）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·三模）已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 4．（24-25高二下·天津河北·期末）已知函数（）. (1)当时，求的零点个数； (2)当时，求证：，； (3)求证：，. 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上有零点， ①求a的取值范围； ②求证：． 题型五 利用隐零点解决最值 【技巧通法·提分快招】 1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 1．（2025·天津·模拟预测）已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·一模）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津南开·期中）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津宝坻·二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，讨论在区间上的单调性； (3)若是关于x的方程的两个相异实根，且是的两个零点，证明：． 7．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)求证：. 8．（2024·天津·三模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若对任意的，恒成立，求a的取值范围； (3)当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点． 题型六 利用隐零点证明不等式 1．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 2．（24-25高二下·天津·期中）已知， (1)求在处的切线方程； (2)若不等式对任意成立，求a的最大整数解． (3)的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 3．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数，，． (1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； (2)令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 4．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 5．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， (3)若有三个零点，，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 6．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2024·天津·一模）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 4．（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，下列命题正确的有（    ） A．可能有2个零点 B．没有极小值 C．时， D．若存在极大值点，其中，则 5．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（   ） ①函数存在两个不同的零点 ②函数既存在极大值又存在极小值 ③当时，方程有且只有两个实根 ④若时，，则的最小值为2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 9．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 10．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 11．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 12．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 13．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 14．（24-25高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 15．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 2．（2023·天津河西·一模）已知函数 (1)当时， ①求曲线的单调区间和极值； ②求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 3．（2023·天津河西·模拟预测）已知． (1)求在处的切线方程； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：． 4．（2023·天津·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，（其中）. （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，当时，使不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（2023·天津·一模）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 零点类问题与隐零点 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 利用导数研究函数的零点（★★★） 3 题型二 求零点或方程根的个数（★★） 8 题型三 根据函数零点的个数求参数范围（★★★★★） 12 题型四 零点存在性定理的应用（★★★★）...........................................................................................20 题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★）.............................................................................................25 题型六 利用隐零点证明不等式（★★★★★）.........................................................................................33 03 实战检测・分层突破验成效 46 检测Ⅰ组 重难知识巩固 46 检测Ⅱ组 创新能力提升 64 一、确定函数零点个数 1.研究函数零点的技巧 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况. 二、根据函数零点个数确定参数取值范围 根据函数零点个数确定参数范围的两种方法 1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围； 2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定. 三、零点存在性赋值理论及应用 1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点． 2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行 三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算. 3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大. 四、隐零点问题 1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”. 2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a,关系式是关于的关系式,确定的合适范围,往往和的范围有关. 题型一 利用导数研究函数的零点 【技巧通法·提分快招】 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 2．（2023·天津河西·二模），若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】当时，，， 当时，，函数单调递增； 当，，函数单调递减，， 当时， ，其图像可以由向左平移一个单位， 再向下平移个单位，再把轴上方的图像翻折到下方得到， 画出函数图像，如图所示： ，当时，，无零点； 当时，，即， 函数有两个零点，即函数图像有两个交点， 根据图像知：或，解得或. 故选：D. 3．（2024·天津·一模）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系. 当， 故在处的切线方程为. 当，同理可得在处的切线方程为. 当， 设切点为，其中，则过该点的切线方程为， 代入，得，故过的切线方程为. 可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点. 此时 故选：B 4．（2025·天津·调研）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数有3个零点，所以有个实根， 设， 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以在时取得极大值， 当时，为减函数， 作出函数的图象如图： 由图可知，. 故选：A 5．（23-24高二下·天津西青·期末）给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则,则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值.大概画出图像如下. 当时，的解的个数为2个； 若方程有一个零点，即方程有一个解，则，或者. 函数是R上的单调递减函数，即是R上的单调递减函数， 即在R上恒成立，即在R上恒成立. 令，则，则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值，在R上恒成立，则. 综上所得，正确的有②④,错误的有①③. 故选：B 6．（24-25高二下·天津河西·期中）已知函数，为的导函数，则 ①曲线在处的切线方程为； ②在区间上单调递增； ③在区间上有极小值； ④在区间上有两个零点， 上述4个结论中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】判断①，首先，根据求导公式求出函数的导数. 然后，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率. 当时，，这就是切线的斜率. 同时，，即切点坐标为. 利用点斜式方程可得切线方程为，即，所以①错误.   判断②，当时，对于，所以在区间上单调递增，所以②正确.   判断③，已知和在上都单调递增，根据两个增函数的和还是增函数， 可知函数在上单调递增. 计算，因为，所以，而. 根据零点存在定理，若函数在某区间上单调且两端点函数值异号， 则在该区间内存在唯一零点，所以存在唯一，使得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 根据极值的定义，函数在某点处先递减后递增，则该点为极小值点， 所以在处取得极小值，③正确.   判断④，由③可知，在上有唯一零点. 当时，，即，说明在上没有零点. 所以在区间上有个零点，所以④错误. 所以正确的只有②③，两个. 故选：B. 7．（24-25高二下·天津·期中）设函数，有下列命题：①当时，有三个零点；②当时，是的极小值点；③存在实数，使得在区间上存在最大值1.其中是真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为定义域为， 又， 对于①：当时，则当时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减，且，， 若，则，此时函数只有一个零点，故①错误； 对于②：当时，则当时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 故是函数的极小值点，故②正确； 对于③：当时，由①知，函数在区间上单调递减， 故， 故存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1，故③正确； 故选：C 题型二 求零点或方程根的个数 【技巧通法·提分快招】 求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）直接根据零点存在定理判断； （2）将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 1．（2025·天津河西·调研）已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数是（    ） ①； ②在上单调递增； ③函数有2个零点； ④有且仅有4个极值点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，，所以，故①错误； 对于②，，当时，，所以在上单调递增，故②正确； 对于③，在上的零点为方程在上的根，易知0不是零点，所以在上的根，作出函数和函数在上的图象，如图所示    所以函数和函数在上有个交点，所以函数有个零点，故③错误； 对于④，由③可知，有且仅有4个极值点，故④正确. 故选：B. 2．（2025·天津·联考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①当时，   ②函数有3个零点 ③的解集为 ④，都有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，当时，，则， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以①错误， 对于②，因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，由，得， 当时，由，得， 所以函数有3个零点，所以②正确， 对于③，当时，由，得，得， 当时，由，得，得，所以， 综上，或，所以的解集为，所以③正确， 对于④，当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 且当时，，当时，， 所以 当时，由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以， 所以的值域为， 所以，都有，所以④正确， 故选：C 3．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点， 时，， 显然当时，无解， 当且时，， 令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增， 在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点， 当时，有3个零点， 当时，无零点， 综上：最多有4个零点， 则. 故答案为：. 4．（2025·天津·调研）数列满足，其中为函数的零点，则 . 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以， 在恒成立， 所以函数在上单调递增. 当时，， 当时， ； 根据零点存在定理，可知函数在内存在零点， 且满足，即，则， . 且，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以.故答案为：. 题型三 根据函数零点的个数求参数范围 【技巧通法·提分快招】 利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 1．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 2．（2023·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下： 因为在有且仅有5个零点，故， 解得，④正确； 第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确； 第②，当，即时， 当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点 当，即时， 当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误； 第③，当时，， 因为，所以，由于， 故在单调递增，③正确. 故选：C 3．（24-25高二下·天津·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时， ，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，. 当时，；当时，. 并且在处的切线斜率为，切线方程为. 的图象是将v型函数图象左右平移得到， 要使有两个不同的解，即与的图象有两个不同的交点. 画出和的图像（由图象左右平移得到）. 当时，此时与的图象无交点，不符合题意. 当时，与的图象也最多有一个交点，切线切点处，不符合题意. 当时，要使与的图象有两个不同的交点，则. 实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二下·天津西青·期中）已知函数，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 .①有唯一一个零点；②的极大值为；③；④若方程有且只有一个实数解，则或. 【答案】①② 【分析】利用导数研究的区间单调性、极值及零点，再根据函数性质及实数解个数确定参数范围，即可得. 【详解】由题设，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，当时，当时，， ，所以有唯一一个零点，极大值为， 且， 要使有且只有一个实数解，则或， 综上，①②对，③④错. 故答案为：①② 5．（24-25高二下·天津·期末）已知函数有零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由函数有零点，即方程有实根. 由可得或，设，则得，即得. 令，当时，或，由可得； 当时，，则函数在上单调递增， 又，当时，，故需使. 综上，可得实数m的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则，，得， 当单调递增， 当单调递减， 当时，函数取得最大值2， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为， 如图，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，． 故答案为： . 7．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于在区间上恰有2个零点，故 在有两个实数根， 故在有两个实数根， 记， 则，解得或， 接下来求解在定义域内恰有2个零点时的范围. ①当时，，此时在无零点，故需要在区间上有2个零点，故， ②当时，，此时没有零点，不符合题意， ③当时，， 若时，此时在有两个零点，故只需要在无零点， 令， 即，记 由于， 且而，故， ， 因此在有两个零点，不符合题意， 若时，，， 此时有两个根，有一个实数根， 不满足题意，舍去， 接下来只需要考虑的情况， 此时对于来说，， 故在没有零点， 因此需要在有两个零点， 故，即， 即， 故当在单调递增，当在单调递减，， 因此对任意的，均有，故且 综上可得在定义域内恰有2个零点，则， 故答案为：， 8．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令有且仅有一个根，且， 所以，在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则， 所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，， 所以； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 题型四 零点存在性定理的应用 【技巧通法·提分快招】 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 1．（2025·天津河北·调研）设函数，则（    ） A．在区间内有零点，在内无零点 B．在区间，内均有零点 C．在区间，内均无零点 D．在区间，内均有零点 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得， 令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 且， 所以函数在区间，内均有零点， ,则在区间无零点， 故选:D. 2．（2025·天津河北·开学考）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， 由得，，∴，函数为增函数， 当时，，又， 故的零点所在的区间是. 故选：B 3．（2023·天津·三模）已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)有2个零点 【详解】（1）由题意，， 则， 由于，所以，则，又，所以， 进而，所以在上单调递减， 又，， 根据零点存在性定理可知：函数在上存在唯一零点. （2），，则，， 当 时，因为， 所以， 此时单调递减，， 所以在上没有零点， 当时，令， 则， 所以 在上单调递增，又， 故当时，，则在上单调递减，又， 当时， ，故在上单调递增， 因此，当时，只有一个零点，即， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 故，使得，且当时，，单调递增， 当时，，，单调递减， 而，， 所以当时，，此时无零点， 当时，只有一个零点， 综上可知：时，有2个零点. 4．（24-25高二下·天津河北·期末）已知函数（）. (1)当时，求的零点个数； (2)当时，求证：，； (3)求证：，. 【答案】(1)2个； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，函数定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，则存在，使得， 所以函数有2个零点. （2）当时，的定义域为， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递减，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以对，. （3）由（2）得，当且仅当时取等号，则， 因此，而当时，， 则当时，， 当时，，因此，，即， 所以，. 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上有零点， ①求a的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)时，在上单调递增， 当时在上单调递增，在上单调递减． (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）（1），． 当时，恒成立，在上单调递增． 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 综上，时，在上单调递增， 当时在上单调递增，在上单调递减． （2）①注意到，， 由（1）知，当时，在上单调递增， 对任意，恒有，不合题意； 同理，当时，在上单调递减， 又，所以对任意，恒有，不合题意； 当时，，由（1）知，在上单调递增， 在上单调递减，所以， 又当时，， 由零点存在定理知，存在唯一一点，使得，满足题意． 综上所述，a的取值范围为． ②由①知，当时，， 解得．要证，只需证． 令，， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以在上恒成立，即，即． 要证，只需证，即． 又因为，即证． 令，，则． 又， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 所以在恒成立，所以在上单调递减， 又，所以，即，不等式得证． 题型五 利用隐零点解决最值 【技巧通法·提分快招】 1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 1．（2025·天津·模拟预测）已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 2．（2025·天津·一模）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，且时，恒成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 时，，在R上的图象如图， 当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0， 函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点， 当，即时，和各一个零点，共两个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，和各有一个零点，共两个零点， 当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 设为函数在上的零点，则， 即，即点在直线上， 又因为表示点到原点的距离的平方， 则，即， 令，则， 因为，所以，在单调递增. 所以最小值为. 故选：B. 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 , , ①当 , 时， ，则 , 则函数在上单调递增， 时， ，所以 , 则函数 在上单调递减； ②当时，, ，所以 , 则函数在上单调递增， 当时，，所以 , 则函数在上单调递减． 故当且时， 在时递减；在时递增， 则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值. 又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根， 而，所以 且 ，解得 , 故选：A . 5．（24-25高二下·天津南开·期中）若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，则无零点，不符合题意； 当时，令，则， 故原题意等价于与有两个交点， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，且当x趋近于时，趋近于， 所以的图象如图所示，由图象可得： 若与有两个交点，则，解得， 故的取值范围是. 故选：D. 6．（2024·天津宝坻·二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，讨论在区间上的单调性； (3)若是关于x的方程的两个相异实根，且是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. (3)证明见解析 【详解】（1），得， 得，单调递减． 得，单调递增， ∴. （2），令，解得， 当时，，有，单调递增， 当时．，有单调递减， ，有单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）先证． 方程等价于，令，则为曲线与直线交点的横坐标， 又，令，解得， ∴当，有单调递减，当，有单调递增， 又∵，∴可设， ∵，∴，即， 令，则， ∴在上单调递减，∵，∴，即， ∴，即． 再证．则，令，解得， ∴当，有单调递增， 当，有单调递减， ∴可设，要证，即证， ∵在单调递增，∴即证， 令，则， 所以当单调递增， ∵，∴，即， ， ∴， 综上所述，． 7．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明过程见解析 【详解】（1）定义域为R， ， 当时，恒成立，在R上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在R上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，则在R上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 要想有两个零点，要满足， 令，， 恒成立，所以在上单调递增， 又注意到，所以， 又， 由零点存在性定理，在上有一零点， 设正整数满足， 则， 而， 由零点存在性定理，在有一个零点. 综上：的取值范围是. （3）由（2）得：当时，， 即恒成立，当且仅当时，等号成立， 要证明，只需证明， 即， 令， 则，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立， 即在R上单调递增， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增， 因为， 所以，当且 仅当处等号成立， 由于与，等号成立时的取值不同，故最终等号取不到， 所以 8．（2024·天津·三模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若对任意的，恒成立，求a的取值范围； (3)当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由求导得：，则，而， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2），，令， 求导得：，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，则有， 所以a的取值范围是. （3）当a=3时，，由k<1得， 当时，，即函数在上单调递增，而，， 即函数在上有唯一零点，因此，函数在上有唯一零点， 当时，令，则，， 当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增， ，，因此，函数在上没有零点，综上得，函数在R上有唯一零点，所以对于任意的k<1，函数有且只有一个零点． 题型六 利用隐零点证明不等式 1．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 2．（24-25高二下·天津·期中）已知， (1)求在处的切线方程； (2)若不等式对任意成立，求a的最大整数解． (3)的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 【答案】(1) (2)3 (3)证明过程见解析 【详解】（1）的定义域为， ，，又， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， ， 即， 即对任意成立， 令，，则， 令，， 故，所以在上单调递增， ，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 所以，a的最大整数解为3； （3），定义域为， 当时，在上单调递增，此时不存在两个零点， 所以，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，故， 要使得有两个零点，需满足， 即，解得， 因为，所以， 令，由得， 所以， 要证，只需证， 即证，即证， ，只需证， 令，则， 令，则， 当时，，故在上单调递增，， 故在上单调递增，， 所以. 3．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数，，． (1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； (2)令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点，（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）设的切点为，又， 则， 由于过原点，所以，可得，所以切线的斜率为， 设的切点为故. （2）（ⅰ）由题意有所以 令 当时，单调递增，此时无极值点， 当时，，则为单调递增函数，且， 故存在使得，所以在递减，在单调递增，故有一个极值点， 当时，令得，且为单调递增函数， 所以在递减，在单调递增， 故， 当，，则为单调递增函数，无极值点， 时，，当时，， 故，使得， 所以在单调递增，在单调递减，故有两个极值点， 综上可得时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点， （ⅱ）由（i）知，时，有一个负的极小值点，设为， 又在递减，在单调递增，即为的极小值点也是最小值点， 所以又，即， 所以，故无零点，不满足题意， 当时，有两个正数极值点，不妨设极大值点为，极小值点为， 由（i）可知， 在单调递增，在单调递减， ， 故时，，即在无零点， 先证明时，， 记（），则，，， 令，则， 当时，此时单调递增， 故，故单调递增， 故， 故单调递增， 则 ， 故时，， 所以， 又，故使得故有唯一的零点. 又， 所以， 令， ， 当单调递增，当单调递减，所以，故， 所以 即在上为单调递增函数，故， ，又在为单调递增函数，所以， 综上：若为的极小值点，为的零点时，恒有. 4．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因，则，解得. （2）［方法一］当时，不等式可化为恒成立， 不妨设，则， 当，即时，则在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，不合题意； 当时，则； 当时，由，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减 所以，， 此时， 因此，当时，的最大值为. ［方法二］依题意，可得恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 又，所以存在，使得，所以不符题意； 当时，要使恒成立，则，所以； 当且时，在上恒成立， 又因， 故可转化为恒成立，即恒成立， 令，则， 但时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时取得等号，即当时， 即的最大值为， 即当时，对任意满足恒成立， 所以当时，对任意恒成立， 当且时，， 所以的最大值为. （3）［方法一］有2个不同零点，则，因， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 设， 记，易知定义域上单调递增，又， 所以当时，，；当时，， 即在单调递减，单调递增， 故，又由知， 则， 要证，只需， 因且关于的函数在上单调递增， 则 所以只需证， 只需证， 只需证在时恒成立， ，只需证在时为正， 由于，故函数在上单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. ［方法二］ 有2个不同零点， ，由得（其中） 且. 要证，只需证， 即证，只需证 又，所以，即 所以只需证，而， 所以，又，只需证 所以， 原命题得证. ［方法三］ 若， 同法二知有两个零点且 又，故进一步有 由可得且， 从而， 因为，所以，只需证 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立 5．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， (3)若有三个零点，，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意，， 设切点，又直线与图象相切， 所以，即， 得，即，代入， 得，解得，代入，解得. 经检验，符合题意. 所以的值为. （2）当时，， 要证，即证， 令，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 而上面两个等号不是同时取到， 所以在上恒成立， 即当时，. （3）（i）由题意，， 由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. （ii），由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 6．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2024·天津·一模）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，作出，图象如下：    当时，， 与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点 故当时，函数有四个零点，故A错误 当时，， 与的图象只有一个交点；与的图象有两个交点 故当时，函数有三个零点，故C错误 当时，， 与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点 故当时，函数有四个零点，故B错误 当时，， 与的图象有三个交点；与的图象有三个交点 故当时，函数有六个零点，故D正确 故选：D 2．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，且， 则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点， 所以在上有唯一零点， 因为有3个零点，所以在上有2个零点， 即与的图象有2个交点， 如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，    由图可知，时，与的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①，当时，，令； 当时，，令， 所以的递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，又在上为递减函数，在为递增函数， 做出函数图象如下： 所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，， 令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故选：D 4．（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，下列命题正确的有（    ） A．可能有2个零点 B．没有极小值 C．时， D．若存在极大值点，其中，则 【答案】D 【详解】函数的定义域为，. 当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点； 当时，令，或. 当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减. 故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点. 对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误； 对于B，当时，函数有极小值，故B错误； 对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误； 对于D，由上述分析可知，则，，即. 已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·天津和平·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（   ） ①函数存在两个不同的零点 ②函数既存在极大值又存在极小值 ③当时，方程有且只有两个实根 ④若时，，则的最小值为2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，由，得，解得，故①正确； 对于②，， 由，得， 由，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，故②正确； 对于③，当时，， 函数的图象如图所示： 函数的最小值是， 当时，方程有且只有两个实根，故③正确； 对于④，，由图象知，若时，，则t的最大值是2，故④错误． 故选：C 6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，得， ， 令，则， 令得或， ∴当或时，，当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，取得极小值， 当时，取得极大值， 当时，， 只有一个零点， 只有一解， 或， 即． 故答案为：． 7．（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由有三个不等零点，等价于有三个不等实根， 当时，， 由，得， 即， 令， 由于在上单调递增，故， 故当时，方程无实根； 当时，方程在上有一实根． 当时，，由，得 当时，显然方程无实根； 当时，，令，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在单调递减； 即当时，函数取得极大值 ；；当时，；当时，， 作出函数的图象如图， 要使有三个不等实根，需满足：在上有一实根，在上有两个实根． 由图可知与的图象有两个交点时，，即， 综上，，即实数的取值范围是． 故答案为：. 8．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，由可得， 可得， 所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由可得或， 结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根， ，由韦达定理可得，， 因为，则， 、为方程的两根，即方程的两根， ，可得，故， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 所以， 令，， 所以， 对任意的，，则， 即对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且，， 故当时，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 9．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，． 故答案为：． 11．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，问题等价于与有且只有一个交点. 分别作图如下： 考虑他们的临界情况，即与相切时，如上图，即与相切时，仅有一个交点. 设切点为， 则， 所以，， 所以，即， 但因为与有且仅有一个交点， 所以，即， 故答案为：. 12．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，， （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 13．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【详解】（1）因为， 所以曲线在处的切线斜率为， 又，所以切线方程为. （2）记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以，a的取值范围为. 14．（24-25高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，， ， 则在恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则， ， 所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，.综上，实数的取值范围为. （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以， 即， 两边同除以， 得， 所以. 15．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 2．（2023·天津河西·一模）已知函数 (1)当时， ①求曲线的单调区间和极值； ②求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①函数的单调递增区间为，单调递增区间为；的极大值为，无极小值； ② (2) 【详解】（1）①当时，， 函数的定义域为，， 令得． 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 函数在时取极大值，极大值为，无极小值． ②由（i）可知当，． 则所求切线方程为， 即． （2）由已知可得，方程在内有两个不等实根， 设， 则函数定义域为且， ． 当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减， 所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去． 当，即时．， ①当，即时， 若，则，单调递减；若，则，单调递增， 所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去； ②当，即时， 若，则，当且仅当时，取等号， 所以函数在上单调递增， 又，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去； ③当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 若，则，单调递增． 又，可知． 因为 ． 因为，所以 ，即． 因为时，， 因为，所以， 所以在区间单调递增， 由零点存在定理，可得存在唯一，使得，又． 此时，所求方程有2个不同解，符合题意． ④当，即时， 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 若，则，单调递增． 又，于是， 令，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以， 所以， 所以 设，则 ， 因为，所以， 函数在单调递增， 当时，，， 因为在上单调递增，由零点存在定理，得存在唯一， 使得，又． 此时，所求方程有2个不同解，符合题意． 综上所述，当时，函数有两个不同零点． 3．（2023·天津河西·模拟预测）已知． (1)求在处的切线方程； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：． 【答案】(1) (2)3 (3)；证明见解析. 【详解】（1）的导数为： ， 所以，， 所以在处的切线方程为： ，即； （2）由已知可得， 等价于， 可令，， 记，， 所以为上的递增函数， 且，， 所以，，即， 所以在上递减，在上递增， 且， 所以的最大整数解为3； （3）证明：∵，， 若要有极值点，显然， 所以令，可得， 当，，，， 所以在上单调递减，上单调递增， 而要使有两个零点，要满足， 即可得， 因为，，令， 由， 即， 而， 即， 由，，只需证， 令， 则， 令， 则， 故在上递增，； 故在上递增，； ∴． 4．（2023·天津·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，（其中）. （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，当时，使不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由，则， 所以，即切点坐标为，切线斜率， 故切线方程为，即； （2）（i）由题意有两个不等的正根，等价于有两个不等的实根， 设，则， 设，，则在为增函数，，， ∴存在唯一的，使，得①. 当时，则，为单调减函数； 当时，则，为单调增函数. 所以，代入①式得，当趋向于或时趋向， 所以时，函数 有两个零点，即函数有两个零点. （ii）设，而，所以在为单调递增函数， 由题意，恒成立即可， 令，得，即有两正根，，， 设且，则有两个正根，， 由恒成立，故在上单调递增，且， 由，得，得 ，则， 令，由，整理得 ， 对于等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则， 注意到，则，解得 ， 当时，当时恒成立，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以符合题意； 当时，，， 存在使，又在上单调递增， 所以当时，为单调递减，则，不合题意. 综上：实数的取值范围. 5．（2023·天津·一模）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）当时，， ， 切线的斜率，又，所以切点为， 所以，切线方程为 （2）①.函数，， （ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； （ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增， 又，，所以在上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是． ②.由①知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以时，，则， 又因为，所以在上有唯一零点， 即在上有唯一零点． 因为， 由①知，所以， 则 ， 设，，则， ，，所以 在为单调递增，又，所以， 又时，，所以． 所以． 由前面讨论知，，在单调递增， 所以． 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$