重难点培优02 二项式定理题型归纳（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02二项式定理题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 二项展开式中的特定项问题（★★） 6 题型二 二项式系数问题（★★★） 9 题型三 三项展开式及两个二项式乘积展开式的系数（★★★） 13 题型四 二项展开式中各项系数的和问题（★★★） 16 03 实战检测・分层突破验成效 21 检测Ⅰ组 重难知识巩固 21 检测Ⅱ组 创新能力提升 25 一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 1.二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 2.二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． 3.两个常用的二项展开式： ①（） ② 4.二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 二、二项式展开式中的最值问题 模型1：二项式系数最大问题 二项式系数具备对称性，即（）对于大小以二次函数开口向下的图象分析. ①当，即为奇数 则共有项，总项数为偶数. 巧记：当为奇数时，则总的二项式系数为偶数（因为从开始），既然为偶数，则最大项个数也为偶数，即为2个. 如：当，，中间项为，和 结论：当幂指数为奇数时，中项即右上标为项二项式系数相等且最大 ②当，即为偶数 则共有项，总项数为奇数. 巧记：当为偶数时，则总的二项式系数为奇数（因为从开始），既然为奇数，则最大项个数也为奇数，即为1个. 如：当，，中间项为. 结论：当幂指数为偶数时，中项即右上标为项二项式系数最大。 形如：设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则= ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 破解：前面展开后共有2m+1(奇数项)，后面展开后共有2m+2(偶数项)，则有：，得，选B。 展开式系数最大（一道题破解所有） 正规方法： 原则：系数最大的这一项，即比前一项大，也比后一项大，从而列不等式组. ①在系数符号相同的前提下，求系数的最大（最小）值只需比较两组相邻两项系数的大小. 不等式组最大值为：，最小值为 ②当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式 不等式组最大值为： 求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式最小值为 秒杀方法： 求展开式中系数最大的项与求二次项系数最大的项是不同的，还需考虑各项系数的正负变化情况，事实上由于展开式中的各项的系数是离散型变量，因此我们可以考虑类比求数列最大项的方法，即比较第项与相邻两项系数的大小，根据通项构造不等式求解.技巧如下： 形如：的二项式展开式，设第项的系数为最大. 则 因为，所以不等式组必有解，且当和都为整数时，有两解，且两解分别为和，否则有一解，因此得出一个结论： 形如的二项展开式系数最大的项最多只有两项. 注意：若系数最大的项为最后一项，则（） 例如：求展开式中系数最大的项时，因为，所以系数最大的项是最后一项. 若系数最大的项为第一项，则，即 例如：求展开式中的系数最大的项时，因为，所以系数最大项是第一项. 但是，对于，使用上述方法时由于的奇偶性不确定，会有多个满足条件的，故此法不可取，考虑到展开式中各项的系数正负相间，奇数项的系数为正，偶数项系数为负，故系数最大的项必须满足奇数项，这里介绍一种通法， 对于可以先求系数绝对值最大的项，再根据项的系数的正负确定系数最大的项，求系数绝对值最大的不等式组和上述一致. 如果和都为整数，那么其中的偶数就是我们要求得. 若和不是整数，则介于它们之间的偶数，就是我们要求，如果介于它们之间的是奇数，那么只要比较第项左右两项的系数就可以了. 三、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 题型一 二项展开式中的特定项问题 【技巧通法·提分快招】 形如(a＋b)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： ①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． ③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 1．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 【答案】112 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】的展开式中常数项为. 故答案为：112. 2．（2024·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】求出的二项展开式的通式即可求解. 【详解】因为的二项展开式的通式为， 令，所以，所以常数项是. 故答案为：. 3．（2025·天津·一模）以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】B 【分析】求出选项A中数据的第75百分位数，即可判断A；根据相关系数的知识可判断B；求出的展开式中常数项可判断C；根据必然事件、不可能事件的概念可判断D． 【详解】对于A：因为，所以第75百分位数为，故A正确； 对于B：相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，并不说明变量之间不存在其它相关关系，故B错误； 对于C：常数项为，故C正确； 对于D：由必然事件和不可能事件的定义，可得D正确． 故选：B． 4．（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是 ． 【答案】 【分析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案． 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即展开式的常数项是． 故答案为：． 5．（2025·天津·一模）在的展开式中，常数项是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为 ， 令 ， 故常数项为 ， 故答案为： 6．（2024·天津·一模）的展开式中的常数项为 ． 【答案】． 【分析】求出的通项公式，令的指数为0，即可求解. 【详解】的通项公式是， ，依题意，令， 的展开式中的常数项为. 故答案为：. 7．（2026·天津东丽·开学考试）在的展开式中，常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，解出代入通项即可求解. 【详解】由题意有：，令，可得， 所以常数项为， 故答案为：. 8．（2025·天津西青·联考）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 【答案】(1)； (2)15； (3). 【分析】（1）由二项式系数和有，即可求参数值； （2）写出二项式的展开式通项，进而求其常数项； （3）根据二项式确定中间项是第四项，对应，即可得. 【详解】（1）由题设，可得； （2）由（1）得展开式通项为，， 当，即，则常数项； （3）由（2）知，展开式中间项是第四项，即，所以. 题型二 二项式系数问题 【技巧通法·提分快招】 二项式系数具备对称性，即（）对于大小以二次函数开口向下的图象分析. ①当，即为奇数 则共有项，总项数为偶数. 巧记：当为奇数时，则总的二项式系数为偶数（因为从开始），既然为偶数，则最大项个数也为偶数，即为2个. 结论：当幂指数为奇数时，中项即右上标为项二项式系数相等且最大 ②当，即为偶数 则共有项，总项数为奇数. 巧记：当为偶数时，则总的二项式系数为奇数（因为从开始），既然为奇数，则最大项个数也为奇数，即为1个. 1．（2026上·天津南开·开学考试）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）二项式定理所有二项式系数和为代入即可； （2）令即可求得所有系数的和； （3）写出二项式的通项，可求得；（4）根据第三小问的通项即可求得. 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，即，所以. （2）令，，所以展开式的系数和为. （3）二项式展开式的通项为：，令，解得，所以当时，，所以展开式中的系数为. （4）令，，所以展开式的第四项为. 2．（2025·天津西青·联考）若 展开式的二项式系数之和为64，n= ；展开式中x²项的系数为 【答案】 【分析】第一空，由二项式系数之和为64可得；第二空，由第一空分析可得展开式通项，据此可得答案. 【详解】第一空，因展开式的二项式系数之和为64，则. 第二空，由第一空可得展开式通项为，令， 则展开式中x²项的系数为. 故答案为：；. 3．（2025·天津·调研）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)1(2)180(3) 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 4．（2025·天津西青·联考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 【答案】 【分析】先求出，再利用二项式展开式的通项求出即可. 【详解】由题意可知，展开式共项，则， 则通项为， 令，得，则， 故含项的系数为. 故答案为： 5．（2025·天津河北·联考）已知 的展开式中，二项式系数之和是，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】利用二项式系数和以及二项式系数的单调性可得结果. 【详解】因为 的展开式中，二项式系数之和是，可得， 故展开式中二项式系数最大的项为第项. 故选：B. 6．（2025·天津滨海新·联考）在的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得出的系数；利用二项式系数和为可求得该二项式所有项的二项式系数和. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为； 所有项的二项式系数和为. 故答案为：；. 7．（2025·天津南开·调研）的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数. 【详解】因为的展开式中，各二项式系数和为，所以. 再令，可得各项系数和为，解得， 则展开式中的通项公式为， 令，可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 8．（2025·天津滨海新·联考）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则 ；展开式中的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 题型三 三项展开式及两个二项式乘积展开式的系数 【技巧通法·提分快招】 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2． (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 1．（2025·天津·二模）在的展开式中的系数为 . 【答案】6 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数． 【详解】， 展开式中含的项为 故它的展开式中的系数为6， 故答案为：6 2．（2025·天津·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 3．（2025·天津河西·联考）在的二项式展开式中的系数为90，则 . 【答案】 【分析】利用展开式的通项，令求出，进而求解. 【详解】因为的二项式展开式的通项为， 令，解得：，所以， 又因为的二项式展开式中的系数为90，则， 所以， 故答案为：. 4．（2025·天津·联考）的展开式中常数项是 ． 【答案】-11 【分析】把看作一项，写出通项，可解答此题． 【详解】的展开式的通项公式为，，1，2，3，4． 对于，它的通项公式为，，1，2，． 令，可得，；或，． 故展开式中常数项为， 故答案为：． 5．（2025·天津·模拟预测）展开式中含有项的系数为 . 【答案】 【分析】由，结合二项展开式，即可求得展开式中含有的系数. 【详解】由题意得， 又由的通项为，的通项为， 所以展开式中的系数为： . 故答案为： 6．（2025·天津西青·联考）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 7．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 8．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算可得的展开式中项与项的系数，则可得的展开式中的系数. 【详解】对有， 则展开式中项的系数为， 展开式中项的系数为， 则展开式中的系数为. 故答案为： 题型四 二项展开式中各项系数的和问题 【技巧通法·提分快招】 一般地，若，则展开式中各项系数的和为. ①奇次项系数的和为 偶次项系数的和为 ②形如的式子，求展开式的各项系数之和，只需令即可. ③形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令. ④二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：。 1．（2025·天津滨海新·期末）下列命题正确的是（   ） ①在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数，且的图象恒过定点； ③若函数，且在上单调递增，则； ④已知函数，若成立，则实数的取值范围为. A．②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据二项式定理性质可判断①；根据指数函数性质可判断②；根据复合函数单调性可判断③；判断函数奇偶性、单调性，然后计算即可. 【详解】对①可知，令，所以展开式中各项系数的和为，故正确； 对②，函数图象过定点，故错误； 对③，根据复合函数的单调性可知：，故错误； 对④，由，且， 所以函数为的奇函数， ，所以函数在单调递增. ， 所以，故正确. 故选：B 2．（2025·天津滨海新·联考）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1)6(2)64，4096(3)960 【分析】（1）利用前三项二项式系数和为22，可列方程求得的值； （2）令即可求得各项系数和； （3）由二项式定理可得展开式的通项，令的系数为0求得的值，再将代入通项即可得到常数项. 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， ， 或（舍）， 故n的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. 令，则展开式各项系数和为. （3）由题意得，展开式通项， 令，得， 所以常数项为960. 3．（2025·天津·调研）设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据展开式的通项可判断①；利用赋值法可判断②，③；对原式求导后再赋值可判断④. 【详解】展开式的通项为，， 所以 ，故①正确； 令，可得， 令，可得，（1） 所以，故②正确； 令，可得，（2） （1）（2）可得， 所以，故③正确； 对两边求导， 可得， 令，可得，故④正确； 所以结论中正确的个数为个. 故选：. 4．（2025·天津·联考），二项式系数和为128，则 ， (结果用数字表示). 【答案】 0 【分析】根据二项式系数计算可得，再利用赋值法计算可得0，将奇数项和偶数项分开计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得； 令可得， 令可得， 两式相加可得，即； 再令可得， 所以. 故答案为：0，. 5．（2025·天津滨海新·联考）若 ，则 ； . 【答案】 243 【分析】利用二项式定理求出指定项系数；再用赋值法求解. 【详解】依题意，，取，得. 故答案为：；243. 6．（2025·天津·联考）对于的展开式，下列说法正确的是 ①所有项的二项式系数和为64    ②所有项的系数和为64 ③常数项为1215    ④二项式系数最大的项为第3项 【答案】 【分析】根据二项系数和为判断①；利用赋值法求得各项系数和，判断②；利用二项式展开式的通项公式可求得常数项，判断③；根据二项式系数的性质即可判断④. 【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，故①正确； 中，令，得，故②正确； 展开式的通项为， 令，得，所以常数项为，故③正确； 二项式系数为，其中最大，为第4项，故④不正确． 故答案为：①②③ 7．（2024·天津南开·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． (1)求和的值及展开式中项的系数； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； （2） ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 8．（2025·天津滨海新·联考）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 令，可得，所以的系数. 故答案为：. 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】405 【分析】利用二项式定理直接列式求解. 【详解】的展开式常数项为. 故答案为：405 3．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 【答案】 【分析】求解二项式展开式的通项，确定的系数列方程即可得的值. 【详解】二项式的展开式的通项为：， 当可得的系数为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 4．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】15 【分析】写出展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】展开式通项公式为， 令，解得， ，故的系数为15. 故答案为：15 5．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 6．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】40 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：40 7．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 8．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】84 【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可. 【详解】根据二项式定理,的通项为: ， 当时,即时,可得. 即项的系数为. 故答案为：. 9．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：. 10．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，求得二项展开式的通项，把含x的进行幂运算合并，然后令指数等于7，即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：. 11．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式系数和求得，再由通项公式即可求解. 【详解】由题意可得，即， 通项公式， 令，可得：， 所以的系数为， 故答案为： 12．（2025·天津·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 13．（2024·天津·一模）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】利用二项式定理求出项即可. 【详解】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为. 故答案为： 14．（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用展开式求. 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即， 则的通项公式为， 令，则， 所以. 故答案为：. 15．（2024·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 【答案】280 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】由题意可知：二项式系数和为，解得， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：280. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·模拟预测）在的展开式中，的系数为，则实数为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出的系数即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 显然是偶数，由，解得，则有的项为， 因此，所以. 故答案为： 2．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】112 【分析】利用通项公式法求指定项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 易知，令，解得， 故的展开式中的系数为． 故答案为：112 3．（2024·全国·模拟预测）在的二项式展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式为，令计算即可求解. 【详解】在的二项式展开式中，通项公式为， 令，解得，所以的系数为． 故答案为： 4．（2024·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】224 【分析】根据二项式定理的通项公式可得结果. 【详解】因为通项公式为， 当即时，， 所以的系数为224， 故答案为：224. 5．（2025·天津·模拟预测）的展开式中的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用赋值法，即可求得对应的系数. 【详解】的展开式的通项公式， 令，解得，又，则该二项式展开式中的系数是. 故答案为：. 6．（2024·天津·模拟预测）已知．若，则 ． 【答案】 【分析】借助赋值法可得，结合二项式定理计算即可得解. 【详解】令，则有，即， 即有，则. 故答案为：. 7．（2024·天津·一模）在的展开式中，的系数为 .（结果用数字表示） 【答案】 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，解得，有. 故答案为：. 8．（2024·天津红桥·一模）已知二项式，则其展开式中含的项的系数为 ． 【答案】 【分析】求出展开式得通项，再令的指数等于，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以含的项的系数为. 故答案为：. 9．（2024·天津和平·一模）在的二项展开式中，的系数为 （请用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为， 令，解得, 所以， 故答案为： 10．（2024·天津·一模）已知，则 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据条件，两边求导得到，再取，即可求出结果. 【详解】因为， 两边求导可得， 令，得到，即， 故答案为：. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02二项式定理题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 二项展开式中的特定项问题（★★） 6 题型二 二项式系数问题（★★★） 7 题型三 三项展开式及两个二项式乘积展开式的系数（★★★） 9 题型四 二项展开式中各项系数的和问题（★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 11 检测Ⅰ组 重难知识巩固 11 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 1.二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 2.二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． 3.两个常用的二项展开式： ①（） ② 4.二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 二、二项式展开式中的最值问题 模型1：二项式系数最大问题 二项式系数具备对称性，即（）对于大小以二次函数开口向下的图象分析. ①当，即为奇数 则共有项，总项数为偶数. 巧记：当为奇数时，则总的二项式系数为偶数（因为从开始），既然为偶数，则最大项个数也为偶数，即为2个. 如：当，，中间项为，和 结论：当幂指数为奇数时，中项即右上标为项二项式系数相等且最大 ②当，即为偶数 则共有项，总项数为奇数. 巧记：当为偶数时，则总的二项式系数为奇数（因为从开始），既然为奇数，则最大项个数也为奇数，即为1个. 如：当，，中间项为. 结论：当幂指数为偶数时，中项即右上标为项二项式系数最大。 形如：设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则= ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 破解：前面展开后共有2m+1(奇数项)，后面展开后共有2m+2(偶数项)，则有：，得，选B。 展开式系数最大（一道题破解所有） 正规方法： 原则：系数最大的这一项，即比前一项大，也比后一项大，从而列不等式组. ①在系数符号相同的前提下，求系数的最大（最小）值只需比较两组相邻两项系数的大小. 不等式组最大值为：，最小值为 ②当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式 不等式组最大值为： 求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式最小值为 秒杀方法： 求展开式中系数最大的项与求二次项系数最大的项是不同的，还需考虑各项系数的正负变化情况，事实上由于展开式中的各项的系数是离散型变量，因此我们可以考虑类比求数列最大项的方法，即比较第项与相邻两项系数的大小，根据通项构造不等式求解.技巧如下： 形如：的二项式展开式，设第项的系数为最大. 则 因为，所以不等式组必有解，且当和都为整数时，有两解，且两解分别为和，否则有一解，因此得出一个结论： 形如的二项展开式系数最大的项最多只有两项. 注意：若系数最大的项为最后一项，则（） 例如：求展开式中系数最大的项时，因为，所以系数最大的项是最后一项. 若系数最大的项为第一项，则，即 例如：求展开式中的系数最大的项时，因为，所以系数最大项是第一项. 但是，对于，使用上述方法时由于的奇偶性不确定，会有多个满足条件的，故此法不可取，考虑到展开式中各项的系数正负相间，奇数项的系数为正，偶数项系数为负，故系数最大的项必须满足奇数项，这里介绍一种通法， 对于可以先求系数绝对值最大的项，再根据项的系数的正负确定系数最大的项，求系数绝对值最大的不等式组和上述一致. 如果和都为整数，那么其中的偶数就是我们要求得. 若和不是整数，则介于它们之间的偶数，就是我们要求，如果介于它们之间的是奇数，那么只要比较第项左右两项的系数就可以了. 三、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 题型一 二项展开式中的特定项问题 【技巧通法·提分快招】 形如(a＋b)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： ①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)． ③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项． 1．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为 ． 2．（2024·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数字作答） 3．（2025·天津·一模）以下说法不正确的是（    ） A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C．的展开式中常数项为15 D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 4．（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是 ． 5．（2025·天津·一模）在的展开式中，常数项是 .（用数字作答） 6．（2024·天津·一模）的展开式中的常数项为 ． 7．（2026·天津东丽·开学考试）在的展开式中，常数项为 （用数字作答）. 8．（2025·天津西青·联考）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64. (1)求； (2)求常数项； (3)求展开式的中间项. 题型二 二项式系数问题 【技巧通法·提分快招】 二项式系数具备对称性，即（）对于大小以二次函数开口向下的图象分析. ①当，即为奇数 则共有项，总项数为偶数. 巧记：当为奇数时，则总的二项式系数为偶数（因为从开始），既然为偶数，则最大项个数也为偶数，即为2个. 结论：当幂指数为奇数时，中项即右上标为项二项式系数相等且最大 ②当，即为偶数 则共有项，总项数为奇数. 巧记：当为偶数时，则总的二项式系数为奇数（因为从开始），既然为奇数，则最大项个数也为奇数，即为1个. 1．（2026上·天津南开·开学考试）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 2．（2025·天津西青·联考）若 展开式的二项式系数之和为64，n= ；展开式中x²项的系数为 3．（2025·天津·调研）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 4．（2025·天津西青·联考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 5．（2025·天津河北·联考）已知 的展开式中，二项式系数之和是，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 6．（2025·天津滨海新·联考）在的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 7．（2025·天津南开·调研）的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为 . 8．（2025·天津滨海新·联考）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则 ；展开式中的系数是 ． 题型三 三项展开式及两个二项式乘积展开式的系数 【技巧通法·提分快招】 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解． (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2． (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 1．（2025·天津·二模）在的展开式中的系数为 . 2．（2025·天津·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则 . 3．（2025·天津河西·联考）在的二项式展开式中的系数为90，则 . 4．（2025·天津·联考）的展开式中常数项是 ． 5．（2025·天津·模拟预测）展开式中含有项的系数为 . 6．（2025·天津西青·联考）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 7．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 8．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为 . 题型四 二项展开式中各项系数的和问题 【技巧通法·提分快招】 一般地，若，则展开式中各项系数的和为. ①奇次项系数的和为 偶次项系数的和为 ②形如的式子，求展开式的各项系数之和，只需令即可. ③形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令. ④二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：。 1．（2025·天津滨海新·期末）下列命题正确的是（   ） ①在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数，且的图象恒过定点； ③若函数，且在上单调递增，则； ④已知函数，若成立，则实数的取值范围为. A．②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．（2025·天津滨海新·联考）二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； (3)求展开式中的常数项. 3．（2025·天津·调研）设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·天津·联考），二项式系数和为128，则 ， (结果用数字表示). 5．（2025·天津滨海新·联考）若 ，则 ； . 6．（2025·天津·联考）对于的展开式，下列说法正确的是 ①所有项的二项式系数和为64    ②所有项的系数和为64 ③常数项为1215    ④二项式系数最大的项为第3项 7．（2024·天津南开·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． (1)求和的值及展开式中项的系数； (2)求的展开式中的常数项． 8．（2025·天津滨海新·联考）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为 ． 2．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为 . 3．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则 ． 4．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ． 5．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为 . 6．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 7．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是 ．（用数字填写答案） 8．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 9．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 10．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 11．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为 ． 12．（2025·天津·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 13．（2024·天津·一模）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 14．（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 15．（2024·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·模拟预测）在的展开式中，的系数为，则实数为 . 2．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 3．（2024·全国·模拟预测）在的二项式展开式中，的系数为 ． 4．（2024·天津·二模）在的展开式中，的系数为 ． 5．（2025·天津·模拟预测）的展开式中的系数是 ． 6．（2024·天津·模拟预测）已知．若，则 ． 7．（2024·天津·一模）在的展开式中，的系数为 .（结果用数字表示） 8．（2024·天津红桥·一模）已知二项式，则其展开式中含的项的系数为 ． 9．（2024·天津和平·一模）在的二项展开式中，的系数为 （请用数字作答）. 10．（2024·天津·一模）已知，则 ．（用数字作答） 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $