第05讲 二项分布与超几何分布、正态分布（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 二项分布 4 知识点2 超几何分布 5 知识点3 正态分布 5 题型破译 6 题型1 n重伯努利试验的判断 7 题型2 n重伯努利试验概率的求法 9 题型3 二项分布的均值与方差 12 题型4 利用超几何分布的公式求概率 14 题型5 正态曲线的图象的应用 17 题型6 利用正态分布的对称性求概率 20 04真题溯源·考向感知 22 05课本典例·高考素材 28 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）二项分布 （2）超几何分布 （3）正态分布 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第5题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给实际问题，求解概率问题。设题稳定，难度较低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握独立重复的概念，能够求解概率问题 2.能掌握离散型随机变量和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，解决正态分布问题 4.会解运用几种分布求解概率 知识点1：二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 自主检测已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 知识点2：超几何分布 1．超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 自主检测一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A 知识点3：正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 自主检测已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用X表示这6件产品的质量指标不在区间内的产品件数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，结合条件可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 则1件产品的质量指标不在区间的概率为， 所以，故. 故选：C. 题型1 n重伯努利试验的判断 例1-1在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的定义判断. 【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是， 相当于次独立重复的伯努利实验， 所以服从二项分布. 故选：B 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【答案】C 【分析】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 方法技巧 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验的结果相互独立，互不影响． 【变式训练1-1】一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是（    ） A．若事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为 B．集合A内的元素个数不确定 C．用X表示事件B：“得到”发生的次数，p为事件B发生的概率，则 D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验 【答案】B 【分析】根据n重伯努利试验的特征和二项分布的定义可依次判断各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为，故A正确； 对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成合A，所以集合A内的元素个数为，所以B不正确； 对于C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为：，故C正确； 对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确. 故选：B. 【变式训练1-2】已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（    ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数的方差，因为，利用方差的性质即可得到答案 【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故： 又因为 根据方差的性质可得： 故选：D 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验. 【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 题型2 n重伯努利试验概率的求法 例2-1（2025·天津·联考）2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设哪吒向前走的步数为，依题意，，利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】设哪吒向前走的步数为，依题意，. 当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步， 根据二项分布概率公式，有. 故选：A. 例2-2设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为，由此利用条件概率公式即可求得. 【详解】因为事件每次成功的概率为， 所以3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为. 由条件概率公式得：，整理得：， 解得（舍）或（舍）或. 故选：D. 方法技巧 n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 【变式训练2-1】如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出质点经过次移动后与点的距离不大于一个单位时质点的位置，得出质点向右移动和向左移动的次数，即可求出质点位与点的距离不大于一个单位的概率. 【详解】由题意，设质点向右移动次，向左移动次. ∴最终位置为：， ∴ ，解得：， ∴，解得：， ∵为正整数， ∴， ∴质点向右移动3次，向左移动次， ∴该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为： ， 故选：C. 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（    ） 111  001  011  010  000  111  110  111  101  010 000  101  011  010  001  011  100  101  001  011 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现1次反面朝上”的概率；根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况，即可得出；即可的值. 【详解】由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率； 由表中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011共7组，所以. 所以. 故选：B. 【变式训练2-3·变载体】泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得. 【详解】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 题型3 二项分布的均值与方差 例3-1（2025·天津·调研）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性可得，，再结合二项分布运算求解． 【详解】由知， 则， ， 可知10名学生的成绩在65分以上的人数， 所以， 故选：C． 例3-2某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分析得到不同抽签顺序下甲胜出的概率，法一：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法二：利用二项分布，利用二项分布期望求法求甲胜出的概率均值，即可得. 【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，各情况出现概率为， 对于甲乙丙、甲丙乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙甲丙、丙甲乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙丙甲、丙乙甲两种情况，此时甲胜出的概率为， 法一：甲胜出的概率为； 法二：无论哪种情况甲胜出的概率为，故甲胜出服从，则甲胜出的概率均值为. 故选：A 方法技巧 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式训练3-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 【变式训练3-2】假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的性质及二项分布计算即可. 【详解】每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐， 则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布， 所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为． 故选：A 【变式训练3-3】某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 题型4 利用超几何分布的公式求概率 例4-1（2025·天津·调研）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 例4-2已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算. 【详解】在中，其展开式的通项为： ， 已知第项为常数项，即当时，的次数为，则，解得. 由可得，当为整数时，该项为有理项. 因为且，所以当，，时，分别为，，，是整数，即有理项有项. 从11项中任取项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布. 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 方法技巧 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【变式训练4-1】一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】方法一：求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解； 方法二：服从超几何分布，运用超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3， 其中，，， ， 故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 故选：B. 【变式训练4-2】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【分析】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项； 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析可知服从二项分布，服从超几何分布，由二项分布和超几何分布的性质依次分析各个选项， 对于选项ABD，可通过特殊值赋值验证发现其时错误的. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 题型5 正态曲线的图象的应用 例5-1（2025·天津武清·一模）已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，判断函数的对称性，可排除AC；求的值，可排除D.即可得到正确答案. 【详解】随机变量，， 因为， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 例5-2某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 【答案】A 【分析】由正态分布的性质可得，即可求解之间的概率. 【详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 方法技巧 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【变式训练5-1】已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 【变式训练5-2】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【变式训练5-3】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 题型6 利用正态分布的对称性求概率 例6-1（2025·天津武清·一模）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 例6-2某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 方法技巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式训练6-1】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与正态分布的性质求出和，最后结合条件概率公式求解即可. 【详解】由题可知该正态分布的均值为，其图象的对称轴为直线， 则，又， 由对称性可知， 由条件概率公式得． 故选：C． 【变式训练6-2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性结合随机事件的关系运算即可得答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以 又，所以， 则. 故选：B. 【变式训练6-3】第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（    ） A．0.2856 B．0.1428 C．0.1587 D．0.5 【答案】A 【分析】设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件，结合正态分布的概率计算，利用全概率及贝叶斯公式进行求解． 【详解】由于飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，得， 则， ，. 设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件， 则，， 所以. 故选：A. 1．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 【答案】 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为. 故答案为：；. 2．（2010·天津·高考真题）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【详解】（Ⅰ）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = = （Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 = 所以的分布列是: 3．（2006·天津·高考真题）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95． (1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； (2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件，结合独立重复试验下事件的概率计算公式求解即可； （2）根据对立事件的概率计算公式，先求得都是次品的概率，再求解即可. 【详解】（1）根据题意，从甲机床生产的产品中任取3件，恰有2件为正品，则1件为次品， 故其概率为：. （2）因为甲乙机床生产产品相互独立， 故从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，都是次品的概率为， 故其对立事件至少有1件正品的概率为：. 4．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 5．（2011·天津·高考真题）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球；乙箱子里装有个白球、个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （I）求在一次游戏中， （i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率； （II）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 【答案】（I）（i）；（ii）；（II）见解析 【分析】（I）（i）摸出三个白球说明甲箱子取个白球，乙箱子取个白球，个黑球，根据古典概型概率公式求得结果；（ii）获奖的情况包括摸出个白球或个白球，根据和事件的概率公式，结合古典概型求得结果；（II）确定所有可能的取值，可知，利用二项分布概率公式计算得到每个取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得. 【详解】（I）记“在一次游戏中摸出个白球”为事件， （i），即摸出个白球的概率为： （ii） 即获奖的概率为： （II）由题意可知，所有可能的取值为：，且 则；； 的分布列如下： 6．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 7．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）． 【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为． （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望． （ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A发生的概率为． 8．（2016·天津·高考真题）邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； （2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，利用组合知识，结合古典概型概率公式求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，利用期望公式计算其数学期望. 【详解】（1）由已知得.所以事件发生的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2 计算， ， ； 所以随机变量的分布列为： 随机变量的数学期望为. 9．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 1．某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求： (1)此人收益的概率分布； (2)此人收益的期望值． 【答案】(1)详见解析； (2)0.4 【分析】（1）先求得收益为0的概率，列出分布列； （2）利用数学期望公式求解. 【详解】（1）解：因为， 所以收益为0的概率为 ， 所以收益的概率分布为： 收益 0 1 10 100 p （2）此人收益的期望值为：. 2．在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛中，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分．用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”与“不是”，计算X的分布列和数学期望． 【答案】分布列见解析，数学期望为 【分析】由题意可知甲答对和答错的概率均为，可取，，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可得其分布列和数学期望 【详解】因为甲随机猜测“是”与“不是”， 所以甲答对和答错的概率均为， 由题意可知可取，， 甲连续两次答错问题的概率为, 所以， 所以的分布列为 所以 3．一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球． (1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列； (2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【分析】（1）由已知得符合两点分布，且，，由此能求出的分布列． （2）由已知Y符合两点分布，利用古典概型概率公式分别求出，，由此能求出的Y分布列． 【详解】（1）由题意符合两点分布，且，， 的分布列如下： 0 1 （2）从中任意摸出两个球，用“”表示两个球全是白球，用“”两个球不全是白球， 符合两点分布， ， ． 的分布列为： 0 1 4．球车中装有12个排球，其中9个是新的，3个是旧的．从球车中任取3个来用，用完后装回球车中（新球用完后变为旧球），此时球车中旧球的个数ξ是一个随机变量，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】结合超几何分布的分布列的求法求得的分布列. 【详解】的所有可能取值为， ， ， 5．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 【答案】至少应该购买6张奖券 【分析】根据独立重复试验的概率公式列不等式求解即可. 【详解】设购买张奖券，则中奖的概率为 ， 若， 即， 因为是单调递减函数， ，， 所以， 所以至少应该购买6张奖券. 6．10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次，求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率． 【答案】0.189 【分析】方法一，考虑3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个情况，根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的乘法公式即可求得答案； 方法二，根据二项分布的概率公式即可求得答案. 【详解】记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q，则， （方法一）设B=“3次抽检，恰好有2个次品”，=“第i次抽到次品”（i=1，2，3）， 则=“第i次抽到正品”（i =1，2，3）． 因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个，即，，． 这三个事件是互斥的，并且，，之间都是相互独立的． 由概率加法公式有 ． （方法二）用X表示3次抽检中抽到次品的次数，则X是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为， 由题意知 故连续抽检3次，抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 ． 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解. （2）根据条件由重复抛掷10次正面朝上出现的频率在得到，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则, 设表示事件A发生的次数，则． 则恰好出现5次正面朝上即， 所以， 故恰好出现5次正面朝上的概率为. （2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为， 重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即． 所以． 8．设某种疾病的发病率为0.001，且每个人是否患有这种疾病是相互独立的．已知一个单位有1000名员工，求这个单位至少有1人患有这种疾病的概率．（参考数值） 【答案】 【分析】根据对立事件与独立重复试验的概率公式计算可得； 【详解】依题意是一个独立重复试验，事件发生的概率是， 至少有1人患有这种疾病的对立事件为都不患病， 所以至少有1人患有这种疾病的概率. 9．设随机变量，，若，则 ． 【答案】 【分析】先有求出，即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，解得：（舍去）. 所以，即为. 所以. 故答案为：. 10．某家庭装修公司和客户洽谈装修协议时，洽谈成功的概率是．设一天内有9个客户前来洽谈装修协议，用X表示这天洽谈成功的客户数，求洽谈成功5个客户的概率． 【答案】 【分析】先得到，从而得到洽谈成功5个客户的概率. 【详解】X服从二项分布，于是 ． 因此，洽谈成功5个客户的概率约为． 11．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，可写出分布列． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，进而可算得，进行比较可判断. 【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示． k k 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．    12．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.999 【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解； （2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即． 因此 ， ， ， ， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 13．抛掷红蓝两颗骰子，取其中红色骰子点数为点P的横坐标，蓝色骰子点数为点P的纵坐标，求连续抛掷两颗骰子3次，点P在圆内次数的概率分布列． 【答案】答案见解析 【分析】先求抛掷两颗骰子1次，随机事件点P在圆内的概率，再由二项分布概率公式求随机变量的概率分布列. 【详解】随机试验抛掷两颗骰子1次的样本空间中的样本点的个数为， 事件P在圆内含有下列样本点： ， 所以随机事件P在圆内的概率为， 由已知的取值有， ，， ，， 所以的概率分布列为： 0 1 2 3 P 14．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 【答案】(1)0.4207； (2)0.9544. 【分析】（1）（2）将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207， （2） . 15故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 15．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率； (3)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； (4)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析，，； (4)分布列见解析，，； 【分析】（1）运用古典概型计算公式，结合独立事件的概率公式进行求解即可； （2）运用条件概率公式进行求解即可； （3）根据相互独立事件的概率公式计算，结合数学均值与方差公式进行求解即可； （4）根据古典概型计算公式，结合数学均值与方差公式进行求解即可； 【详解】（1）因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，因此从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率为：； （2）设事件为第一次摸到黑球，事件为第一次摸到黑球，第二次摸到黑球，所以，， 所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：； （3）因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 由题意可知：， ，由（1）可知：，， 所以X的分布列为： ， ； （4）由题意可知：， ，，， 所以X的分布列为： ， . 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 二项分布 4 知识点2 超几何分布 4 知识点3 正态分布 5 题型破译 6 题型1 n重伯努利试验的判断 6 题型2 n重伯努利试验概率的求法 7 题型3 二项分布的均值与方差 8 题型4 利用超几何分布的公式求概率 9 题型5 正态曲线的图象的应用 10 题型6 利用正态分布的对称性求概率 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）二项分布 （2）超几何分布 （3）正态分布 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第5题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给实际问题，求解概率问题。设题稳定，难度较低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握独立重复的概念，能够求解概率问题 2.能掌握离散型随机变量和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，解决正态分布问题 4.会解运用几种分布求解概率 知识点1：二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验________做n次；(2)各次试验的结果________． 3．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 自主检测已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点2：超几何分布 1．超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的________，则X的分布列为 ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的________)． 自主检测一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 知识点3：正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的________．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是________，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限________． 3．正态分布的期望与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为________. 自主检测已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用X表示这6件产品的质量指标不在区间内的产品件数，则（   ） A． B． C． D． 题型1 n重伯努利试验的判断 例1-1在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（    ） A． B． C． D． 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 方法技巧 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验的结果相互独立，互不影响． 【变式训练1-1】一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是（    ） A．若事件A“试验成功”的概率为，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为 B．集合A内的元素个数不确定 C．用X表示事件B：“得到”发生的次数，p为事件B发生的概率，则 D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验 【变式训练1-2】已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（    ） A．8 B． C． D．16 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型2 n重伯努利试验概率的求法 例2-1（2025·天津·联考）2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 例2-2设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 【变式训练2-1】如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则（    ） 111  001  011  010  000  111  110  111  101  010 000  101  011  010  001  011  100  101  001  011 A． B． C． D．0 【变式训练2-3·变载体】泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型3 二项分布的均值与方差 例3-1（2025·天津·调研）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 例3-2某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式训练3-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【变式训练3-2】假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练3-3】某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 题型4 利用超几何分布的公式求概率 例4-1（2025·天津·调研）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 例4-2已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 【变式训练4-1】一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式训练4-2】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型5 正态曲线的图象的应用 例5-1（2025·天津武清·一模）已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 例5-2某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 方法技巧 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【变式训练5-1】已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练5-2】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【变式训练5-3】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型6 利用正态分布的对称性求概率 例6-1（2025·天津武清·一模）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 例6-2某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 方法技巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式训练6-1】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式训练6-3】第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（    ） A．0.2856 B．0.1428 C．0.1587 D．0.5 1．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ． 2．（2010·天津·高考真题）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列． 3．（2006·天津·高考真题）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95． (1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； (2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）． 4．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 5．（2011·天津·高考真题）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球；乙箱子里装有个白球、个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （I）求在一次游戏中， （i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率； （II）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 6．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 7．（2018·天津·高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 8．（2016·天津·高考真题）邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率； （2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望． 9．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 1．某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求： (1)此人收益的概率分布； (2)此人收益的期望值． 2．在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛中，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分．用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”与“不是”，计算X的分布列和数学期望． 3．一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球． (1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列； (2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列． 4．球车中装有12个排球，其中9个是新的，3个是旧的．从球车中任取3个来用，用完后装回球车中（新球用完后变为旧球），此时球车中旧球的个数ξ是一个随机变量，求的分布列． 5．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 6．10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次，求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率． 7．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率． 8．设某种疾病的发病率为0.001，且每个人是否患有这种疾病是相互独立的．已知一个单位有1000名员工，求这个单位至少有1人患有这种疾病的概率．（参考数值） 9．设随机变量，，若，则 ． 10．某家庭装修公司和客户洽谈装修协议时，洽谈成功的概率是．设一天内有9个客户前来洽谈装修协议，用X表示这天洽谈成功的客户数，求洽谈成功5个客户的概率． 11．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 12．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 13．抛掷红蓝两颗骰子，取其中红色骰子点数为点P的横坐标，蓝色骰子点数为点P的纵坐标，求连续抛掷两颗骰子3次，点P在圆内次数的概率分布列． 14．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 15．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率； (3)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； (4)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $